Как найти площадь треугольника изображенной на рисунке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Сторона треугольника равна 10, а проведённая к этой стороне высота равна 5. Найдите площадь треугольника.

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна а угол между ними равен 60°. Найдите площадь треугольника.

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

В треугольнике ABC отрезок DE  — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника ABC.

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD  =  3, DC  =  7. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника BCD.

Источник: Банк заданий ФИПИ

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

$[S = frac{1}{2}ab,]$

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

$[ S = frac{1}{2} cdot 2 cdot 5 = 5. ]$

2) a=6, b=3,

$[ S = frac{1}{2} cdot 6 cdot 3 = 9. ]$

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

$[S = frac{1}{2}ah_a ,]$

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, h_a=4,

$[ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 6 cdot 4 = 12. ]$

2) a=3, h_a=5,

$[ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 = 7,5. ]$

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

$[S_{Delta ABC} = S_{AMNK} - S_{Delta AKC} - S_{Delta AMB} - S_{Delta CBN} .]$

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

$[ S_{AMNK} = AM cdot AK = 7 cdot 5 = 35. ]$

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

$[ S = frac{1}{2}ab, ]$

где a и b — катеты.

$[S_{Delta AKC} = frac{1}{2}AK cdot KC = frac{1}{2} cdot 5 cdot 1 = 2,5;]$

$[S_{Delta AMB} = frac{1}{2}AM cdot MB = frac{1}{2} cdot 7 cdot 3 = 10,5;]$

$[S_{Delta CBN} = frac{1}{2}CN cdot BN = frac{1}{2} cdot 6 cdot 2 = 6.]$

Отсюда

$[S_{Delta ABC} = 35 - 2,5 - 10,5 - 6 = 16.]$

Источник

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Оценив обстановку, я обратил внимание на то, что в задании ни слова не сказано ни о высоте треугольника, ни о том, является ли отрезок длиной 24 перпендикуляром. Стало быть, он может быть проведён под любым углом. Тут, как говорится, не верь глазам своим. Или о собственных глазах можно сказать иначе — доверяй, но проверяй. А как проверить?

Выдам вам один секретный способ. В интернете теперь много таких сайтов, которые решают задачи за нас. Они ещё называются «онлайн-калькуляторами». Заходишь на ресурс — открывается форма для ввода данных.

Стоит только ввести известные значения и нажать кнопку «рассчитать», через секунду получите ответ.

Опс! А ведь угол между катетами 24 и 32 действительно прямой. Только убедиться в этом можно было быстрее и проще. Как? Давайте попробуем для чисел 40, 32 и 24 подыскать общие делители. Во-первых, все числа чётные — делятся на 2 (20, 16 и 12). Кстати, и на 4 они тоже легко делятся без остатка (10, 8 и 6). Мало того, точно также и на 8 (5, 4 и 3). А это, обратите внимание, классический вариант Пифагоровой тройки. Соглашаемся — отрезок длиной 24 является перпендикуляром и одновременно высотой треугольника. В таком случае у нас два варианта решения задачи:

можно отдельно вычислить площадь левого прямоугольного треугольника, умножив основание на высоту и разделив на два (площадь равна половине произведения основания на высоту): 32 * 24 / 2 = 384
таким же образом узнать площадь второго: 10 * 24 / 2 = 120
просуммировать полученные значения: 384 + 120 = 504.

Другой способ:

сначала вычисляем длину основания треугольника: 32 + 10 = 42, а потом
по той же формуле находим площадь: S = (42 * 24) / 2 = 1008 / 2 = 504
S = 504

Кстати, проверить окончательный ответ можно с помощью всё того же онлайн-калькулятора:

Как видите, всё сходится. Простите за тавтологию, но за свой ответ отвечаю! Удачи на дорогах!

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

MTetyana
[173K]

2 недели назад

Из школьной программы, хорошо помню, что площадь треугольника можно найти по формуле: произведение основания и высоты, делённое на два

S=(a•h):2

И что интересно, все данные для решения есть на рисунке.

Поэтому ответ на этот вопрос будет таким:

а=32+10=42

S=(42•24):2=504

Тут не написано, в каких единицах даны измерения. Предположим что в сантиметрах. Тогда площадь этого треугольника будет равна 504 см2

Задачку легко решит любой школьник, кто проходил эту тему по математике.

Правда ещё можно найти площадь треугольника другим, не таким коротким способом, сложив площади друх прямоугольных треугольников, из которых этот треугольник состоит.

S1=(24•32):2=384

S2=(24•10):2=120

S= 384+120=504см2

Единственное, что меня удивляет — зачем на чертеже даны длины боковых сторон треугольника?

Наверное, прикол в том чтобы сбить с толку, чтобы мозги поломали над решением этой простейшей задачки)

Молодец автор этого вопроса!)

Vladimir 1215
[182K]

2 недели назад

Площадь данного треугольника можно определить по известным двум величинам-стороне и его высоте.

Причём, необходимо знать величину стороны этого треугольника и высоты, которая проведена к этой стороне. Формула площади треугольника а*h/2(a — сторона треугольника, h — его высота).

Исходя из этого, сначала определим величину основания треугольника:

32+10=42

Теперь величину основания надо умножить на величину высоты и результат разделить на 2. В результате вычислений получаем площадь треугольника:

(42*24)/2=1008/2=504.

Ответ — площадь треугольника составляет 504.

Kjdm Rfghfkjdf
[3.5K]

2 недели назад

Судя по рисунку, сторона, равная 24, является высотой, тогда: Треугольник 24-26-10-прямоугольный, и соответственно треугольник 40-24-32 тоже прямоугольный.

Можно достроить до прямоугольника и треугольник 24-26-10 и другой треугольник 40-24-32,найти площади этих прямоугольников, суммировать и разделить на два.

Можно воспользоваться формулой нахождения площади треугольника.:

Тогда S=1/2*(32+10)*24=504

Ответ:504

Натусииииии2023
[2.2K]

2 недели назад

Площадь треугольника равняется половине его основания умноженного на высоту. S=1/2A *h

Основание треугольника=32+10=42

S = 42/2*24=504 м2

Знаете ответ?

Источник

Решение:

Чтобы найти площадь треугольника надо половину основания умножить на высоту, проведенную к этому основанию.

Высота h равна 4, основание а — 8.

Найдем площадь:

Ответ: 16.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#440

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{circ}.$ Тогда $angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.$

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $frac{sqrt{5}}{2}.$

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

${sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $frac{sqrt{5}}{2}.$

$frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $frac{1}{8}$ круга, то есть $frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $frac{3}{8}$ . Получим:

$frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2 , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник