Есть несколько вариантов найти площадь треугольника.
Первый вариант — через основание и высоту.
S= 1/2ah.
Второй вариант — по трем сторонам и синусы одного угла. Находится по формуле.
Третий вариант — формула Герона. В данной формуле площадь находится через длины трех сторон треугольника плюс полупериметр. Формула.
Р — полупериметр.
Четвертый вариант — через радиус вписанной окружности.
Пятый вариант — через радиус описанной окружности.
Изучение формул площади треугольника зависит от программы, которая выбрала школа. Некоторые ученики начинают изучать площади фигур в 7 классе, а некоторые проходят площадь треугольника в 8 классе.
В зависимости от величин углов треугольника выделяют:
-
остроугольные треугольники
(все углы острые, как на рисунке выше);
-
прямоугольные треугольники
(один угол прямой —
∡P=90°
);
-
тупоугольные треугольники
Площадь треугольника
Прямоугольный треугольник легко представить как половину прямоугольника.
Если площадь прямоугольника равна произведению длин сторон, то для определения площади треугольника необходимо это произведение разделить на (2).
Допустим, (RP) (=) (a), (TP) (=) (b);
Если треугольник не имеет прямого угла, можно построить два прямоугольника, как показано на рисунке.
Допустим, (MA = BD = NC) (=) (h), (AC) (=) (a).
.
Как видно, достаточно в треугольнике от одной вершины провести отрезок под прямым углом к противолежащей стороне и использовать длины отрезка для определения площади треугольника.
Отрезок называют высотой треугольника.
Цель:
- Сформировать понятие площади треугольника.
- Вывести формулу S треугольника.
- Повторить основные математические понятия (катеты, гипотенуза, высота…)
- Тренировать навыки быстрого счета
- Развитие мыслительных операций: (анализ, синтез, сравнение, обобщение)
Ход урока
I этап: Самоопределение к деятельности.
— У нас сегодня большое количество гостей, поздороваемся с ними. (Дети здороваются и садятся).
— Как думаете, какое количество гостей присутствует на нашем уроке? (Дети не считая отвечают и дают примерный результат).
— 1/6 часть всего кол-ва, это учителя нашей школы. Сколько их?
— Что мы сейчас делали? (Считали гостей).
— Всегда ли ваши ответы были точными? (Нет).
— По какой причине? (Не было времени считать, сделали прикидку, на глаз оценили).
— Используем ли мы данный прием на уроках? (Да).
— В каких ситуациях? (Нехватка времени, нет иного способа действия).
— Но математика наука точная, еще древний философ Платон говорил: «Математика приближает разум к истине». А значит ответы все же должны быть верными.
— А вот современное высказывание гласит: «Математику изучить нельзя…».
— Вы согласны с этим утверждением? (Нет, тогда что мы на уроках делаем?)
— Дело в том, что у этой фразы есть продолжение, которое вносит иной смысл , но вот какой и какое же у фразы продолжение мы узнаем в конце урока.
II этап: Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
- Быстрый счет. (Конечный ответ цепочки примеров дети фиксируют на планшете).
- Внимание на экран. Какое из слов может быть лишним и почему?
(демонстрация № 1)
(Погода ,т.к не имеет к математике отношения).
— Но и не все оставшиеся слова будут иметь отношение к сегодняшнему уроку математики. Определить круг ключевых слов урока нам поможет арифметический диктант.
Арифметический диктант: (1 за доской, остальные работают в тетради)
— третья часть 18 6, 15, 7, 70, 24
— 3/4 от 20
— 1% числа 700
— 7 % от 1000
— 1/6 часть числа это 4, найди все число
(Проверка числового ряда, на экране исчезают лишние слова и числа).
— Что объединяет оставшиеся числа? (Целые, натуральные).
— На какие две группы можно разбить? (Дети предлагают варианты).
— А вот оставшиеся слова объединены темой сегодняшнего урока. Чтобы нам ее сформулировать как можно точнее, давайте вспомним основные математические понятия и поиграем в математическое лото.
(Детям предлагаются карточки двух цветов, вопросы и ответы).
|
Основанием треугольника называется |
Сторона, на которую опущен перпендикуляр |
|
Сторона треугольника, лежащая против прямого угла называется… |
гипотенузой |
|
Площадь… |
Это место, которое фигура занимает на плоскости |
|
формула |
Это равенство, устанавливающее взаимосвязь между величинами |
|
Тупоугольным называется треугольник, у которого |
Один из углов тупой |
|
Стороны треугольника, образующие прямой угол, называются |
катетами |
|
Перпендикулярные линии это |
Линии, которые при пересечении образуют прямой угол |
|
Высота треугольника |
Перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону |
|
Остроугольным называют треугольник |
У которого все углы острые |
|
В зависимости от длины сторон треугольники бывают |
Равносторонние, разносторонние, равнобедренные |
|
Прямоугольным называют треугольник, у которого |
Один из углов прямой |
|
Чтобы найти площадь прямоугольника, надо |
Длину умножить на ширину |
Предлагаю поиграть еще в одну игру, которую придумали китайцы, всегда слывшие хорошими математиками. Она называется «Танграм».
Суть ее состоит в собирании фигур из более мелких геометрических фигур. Работать будем в парах. Откройте конверт №1 и выложите все фигуры перед собой. Перечислите все, что перед вами. (4 маленьких и 2 больших прямоугольных треугольника разного цвета).
— Соберите из всех фигур:
1 ряд – квадрат
2 ряд – прямоугольник
3 ряд – треугольник
(Практическая работа в парах, проверка построений с помощью компьютера).
(демонстрация № 2)
— Что объединяет все получившиеся фигуры? (Многоугольники, состоят из равного кол-ва фигур).
— Сравните их по площади. (Равные, т.к. состоят из одинаковых частей).
— Как называются такие фигуры? (Равновеликие).
— Взгляните на фигуры. (демонстрация № 3)
— Можете ли вы утверждать, что данные фигуры также равновеликие? (нет, другая ситуация, иной значит способ действия).
— Используете знания свои и сравните фигуры по площади).
(Дети без труда по формуле находят S квадрата и прямоугольника, но возникает проблема при работе с треугольником).
III этап: Постановка проблемы, формулирование темы урока.
— Почему возникло затруднение? (Не знаем как найти S треугольника, можем только найти неточный результат).
— Значит какова цель сегодняшнего урока? ( научиться находить S треугольника).
— На основе поставленной цели и ключевых слов урока, попробуйте как можно точнее сформулировать тему сегодняшнего урока.
(S прямоугольного треугольника).
IV этап: Проектирование и фиксация нового знания.
(демонстрация № 4)
Расскажите все о треугольнике, который перед вами. (Прямоугольный, разносторонний).
— В группах попробуйте найти способ нахождения S прямоугольного треугольника, создать формулу и прокомментировать свои действия.
(Результаты вывешиваются на доску, в громкой речи проговаривается способ действия).
— Что такое стороны а и в? (Катеты).
— Сформулируйте свои выводы в знаковой и словесной форме.
— S = ( а в ) : 2 , Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов).
— Сверим свою формулировку с предложенной в учебнике (стр. 95).
— Площадь какого треугольника мы находили? (Прямоугольного).
— А для других треугольников эта формула будет верна? (Нет, т.к. нет катетов).
— Тогда давайте составим алгоритм наших действий.
Алгоритм.
- Выдели прямой угол
- Измерь длину катетов
- Найди S по формуле.
V этап: Первичное закрепление во внешней речи.
Выполняется в парах задание из учебника (стр. 95 № 5).
(демонстрация № 5)
VI этап: Самостоятельная работа с самопроверкой.
— Сравните фигуры по площади.
(Появляются в тетрадях записи:
S = ( 4 * 3 ): 2 = 6 кв.см
S = ( 2 * 6 ): 2 = 6 кв.см
S = S
VII этап: Включение в систему знаний и повторение.
— Вернемся к заданию, вызвавшему затруднение. Выполните расчеты в тетради и сравните площади данных фигур.
S = 2 * 2 = 4 кв.см
S = 1 * 3 = 3 кв.см
S = (3 * 2 ) : 2 = 3 кв.см
— Что можете сказать о S прямоугольника и треугольника? (Она одинаковая, значит фигуры равновеликие).
(демонстрация № 6)
Что вы можете сказать о данном треугольнике?
(Разносторонний, тупоугольный).
— Можем ли мы воспользоваться нашим алгоритмом для нахождения его площади?
(Нет, т.к. должен быть треугольник прямоугольным).
— А нельзя ли с помощью построений сделать из данного треугольника два прямоугольных?
(Можно, надо провести высоту).
Чему будет равна площадь всего треугольника?
(Сумме S двух прямоугольных треугольников, их S мы умеем находить).
S = ( а* h ) : 2
S = ( а * h ) : 2
S = ( ( а + а ) * h ) : 2
( а + а ) -основание , значит
S = ( а * в ) : 2, где а – катет основание; в – катет высота
— Давайте дополним алгоритм.
Алгоритм.
VII этап: Рефлексия деятельности.
— Какова была цель урока?
— Удалось ли нам ее выполнить?
— А теперь узнаем окончание фразы «Математику нельзя изучить, наблюдая как это делает сосед».
— Вы согласны с этим утверждением. (да, на уроке мы делали все сами, а не только наблюдали)
— Что на уроке было главным, а что интересным?
Д/З : (На выбор). – Найди S фигур и сравни фигуры по S.
(Задание в конвертах, на основе демонстрации дети выбирают нужное для себя, определив уровень понимания темы на данном этапе и берут задание из конверта)
Урок
по геометрии.
4
класс
Учитель: Карташева Елена Евгеньевна
Тема урока: « Площадь прямоугольного
треугольника»
Тип урока: Урок
открытия новых знаний.
Цели урока:
— Повторить определения геометрических
фигур.
— Дать учащимся представление о
прямоугольном треугольнике, вывести формулу нахождения площади прямоугольного
треугольника, формировать способность к использованию ее для решения задач.
— Тренировать навыки решения задач на
нахождение площади прямоугольника и прямоугольного треугольника.
— Развивать математическую речь, мышление,
внимание, познавательный интерес.
— Воспитывать самостоятельность,
аккуратность в работе.
Оборудование: компьютер,
интерактивная доска, технологические карты учащихся,
модели прямоугольников, карточки с формулами.
У каждого учащегося: ножницы, прямоугольник со сторонами: 4 см на 6 см,
линейка, фломастеры, клей
Структура
урока: 1)
Организационный момент
2) Актуализация знаний
3) Постановка проблемы
4)
« Открытие» детьми нового знания
5) Физкультминутка
6) Первичное закрепление
7) Самостоятельная работа с самопроверкой в классе
Рефлексия деятельности
Ход
урока
1. Организационный момент. ( кадр 1)
Улыбнитесь друг другу. Ваши улыбки
располагают к приятному общению. Спасибо! Сегодня на уроке мы будем работать в
группах, в каждой группе будет технолог, ученик который будет помогать и
контролировать выполнение технологического процесса.
2. Актуализация знаний.
Разминка: ( кадр 2)
1. Как называется фигура, у
которой противоположные стороны равны?
2. Какой угол называется
развернутым?
3. Что такое треугольник?
4. Какой треугольник называется
прямоугольным?
5. Чему равна сумма углов треугольника?
6. Дайте определение геометрии как
науки.
7. В каких единицах измеряется площадь?
8.Что обозначает слово « ЭВРИКА»
?
( « Эврика» — воскликнул
древнегреческий философ и ученый АРХИМЕД, когда нашел решении задачи.
Слово « Эврика» означает – нашёл, открытие).
3. Постановка проблемы. Геометрическая
площадка. ( кадр 3)
— Назовите какие фигуры вы видите?
— Оставлю только треугольник и
прямоугольник. Наш урок тесно будет связан с
понятием
« площадь», кто может предположить тему нашего урока? Формулу
нахождения площади прямоугольника мы знаем, значит, тема нашего урока: «
Нахождение площади треугольника». (прямоугольного) Поможет нам в этом
прямоугольник. Чему равна площадь прямоугольника?
— Работа в тетрадях. Запись числа,
классная работа. Каждая группа получает карточку с задачей на нахождение
площади прямоугольника.
Задачи
1 группа
–
Ширина прямоугольника 8 см, его длина в 2
раза больше. Найдите площадь прямоугольника.
2 группа –
Длина прямоугольника 12см, что в 2 раза больше
его ширины. Найдите площадь прямоугольника.
3 группа –
Длина прямоугольника 15см, его ширина
составляет 1/3 часть длины. Найдите площадь прямоугольника.
Проверка результатов. ( кадр 4)
4. « Открытие» учащимися новых
знаний. Нахождение формулы площади прямоугольного треугольника.
Сейчас мы выполним практическую работу для
того, чтобы найти формулу площади прямоугольного треугольника.
Мы будем использовать ножницы, не
забудьте, разрезаем лист, касаясь парты.
— Какая фигура лежит перед вами? ( прямоугольник)
Какими свойствами обладает эта фигура? ( все углы прямые, противоположные
стороны равны) Возьмите прямоугольник, проведите диагональ, разрежьте.
Какие 2 фигуры получились? (треугольники, прямоугольные). Равные ли эти
треугольники? (да) Что нужно сделать, чтобы найти площадь треугольника?
(площадь прямоугольника (ахв) : 2, запишите формулу в технологическую карту.
5. Физкультминутка
6. Первичное закрепление материала.
Работа в тетрадях. Начертите прямоугольный
треугольник со сторонами 3см и 6 см
3см
3см
6 см
Найдите его площадь по формуле!!! Что
нужно сделать для её нахождения? ( достроить прямоугольник), решение : 3
х 6 : 2= 9 см2
7. Нахождение площади треугольника и
прямоугольника ( связь с жизненными задачами и ситуациями)
У всех ребят макет горки. Нужно найти
площадь занимаемой ею поверхности на листе.
4см
9см
Решение: 4 х 9 : 2 = 18см2
8. Рефлексия урока. Таблица
9. Домашнее задание
Технологическая карта
урока
1.
– « нашёл, открыл» — АРХИМЕД
2. —
формула нахождения площади
прямоугольника3. —
формула нахождения площади
прямоугольного треугольника
4. Рефлексия
|
Было |
|
|
|
Было |
||
|
Теперь я |
Технологическая карта урока
1.
– « нашёл, открыл» — АРХИМЕД
2. —
формула нахождения площади
прямоугольника
3. —
формула нахождения площади
прямоугольного треугольника
4. Рефлексия
|
Было |
|
|
|
Было |
||
|
Теперь я |
1. Орг. момент.
-Здравствуйте, ребята. Начинаем урок математики. Проверьте свои рабочие места.
2. Проверка домашнего задания.
-Что вы повторили при выполнении домашнего задания?
(Дети: — Мы повторили виды треугольников. Треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние – по размерам сторон.
Также треугольники бывают остроугольные, тупоугольные, прямоугольные по размерам углов треугольника.)
-Предлагаю вам встать и с помощью рук показать виды углов, молча отвечая на мои вопросы(дети разводят руки меньше 90′, больше 90′, под прямым углом):
-Какие углы содержит остроугольный треугольник? ( острые)
-У тупоугольного треугольника какой угол определяет его название? (тупой) —Какой угол обязательно должен быть у прямоугольного треугольника? (прямой)
(Дети встают и по команде учителя показывают с помощью рук острые, тупые, прямые углы — разводят руки меньше 90 градусов, больше 90 градусов, ставят руки под прямым углом)
3.Работа над изученным материалом.
ЗАДАНИЕМ № 1.
А)Возьмите пятиугольник в руки, посмотрите на него, теперь посмотрите на экран и повторите глазами повторите форму фигуры — это разминка для глаз.
-Теперь возьмите линейку и карандаш и постарайтесь разделить эту фигуру на три треугольника разного вида исходя из размеров углов треугольников(Рисунок.1)
—посмотрите на экран, если вы затрудняетесь, то вам уже предложены варианты, выберите нужный и назовите виды треугольников, полученных вами.(Рисунок.2)
(Нужный вариант С)
Б) -Для выполнения следующего задания вспомните, чему должна быть равна сумма внутренних углов треугольника. (Дети отвечают: сумма внутренних углов треугольника должна быть равна 180 градусов.)
-Внимание на экран, выполните ЗАДАНИЕ №2, вам необходимо дописать недостающие размеры углов: треугольник №1 — 45′ 45′ ? ‘
треугольник №2 — 120′ 40′ ? ‘
треугольник №3 — 60′ 30′ ?’
треугольник №4 — 70′ 75′ ?’
(Дети вписывают недостающие размеры углов и определяют вид каждого треугольника: №1 – прямоугольный, №2 – тупоугольный, №3 – прямоугольный, №4 – остроугольный. При проверке один ученик отвечает, остальные показывают с помощью рук вид треугольника. В ответе у фигуры № 2 специально допущена ошибка, чтобы активизировать внимание детей )
4.0бъяснение нового материала и закрепление полученных знаний.
-Сегодня на уроке мы поговорим о том как найти площадь прямоугольного треугольника.
А) (каждому ученику в паре дается по одному прямоугольному треугольнику)
- Посмотрите на эти фигуры, что вы можете о них сказать? ( Дети отвечают: — это прямоугольные треугольники, они равные)
- Имеют ли треугольники площадь? (Дети отвечают: — Да, так как занимают какую-то поверхность на плоскости.)
- Как найти площадь прямоугольного треугольника? (Дети озадачены)
- А давайте, работая в парах, вы попробуете составить из двух треугольников какую — либо фигуру, (дети могут составить большой треугольник, четырехугольник, прямоугольник). Посмотрите, какие фигуры получились у вас?
-Площадь какой фигуры мы можем находить? (площадь прямоугольного треугольника)
-Что вы заметили? ( Что прямоугольник состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, значит площадь прямоугольного треугольника равна половине площади прямоугольника)
— Так как треугольники равны, то площадь каждого из них равна половине площади прямоугольника.
-Какой алгоритм мы бы составили, для выполнения этого задания? (Дети говорят, что прямоугольный треугольник надо достроить до прямоугольника, найти площадь прямоугольника и разделить её на 2. То есть составляется алгоритм нахождения площади прямоугольного треугольника. При этом самый верхний пункт алгоритма пока остается пустым, но мы к нему вернёмся в конце урока. Алгоритм появляется на презентации и на доске параллельно, чтобы во время урока им пользоваться при выполнении заданий учителя.)
— Запишите формулу нахождения площади прямоугольного треугольника: (а×в):2
5. Закрепление изученного материала.
Б) — Давайте решим задачу: найти площадь прямоугольного треугольника со сторонами З см и 6 см. (Работаем фронтально, дети чертят прямоугольный треугольник, достраивают до прямоугольника и записывают условие задачи, решение:(3×6):2 =В)
— Выполните следующую задачу: Дан четырёхугольник, наймите площадь данной фигуры (Рисунок 3)
7см
4см
11см
Детям дается возможность самостоятельно решить задачу на черновиках, кто решил, поднимает руку и получает оценку. Если дети затрудняются, то и задается наводящий вопрос: Подумайте, на какие фигуры можно разбить данный четырехугольник? (на прямоугольник и прямоугольный треугольник) Когда время истекло, обсуждаем решение и записываем в рабочие тетради)
Г)- Внимание, теперь послушайте стихотворение (разыгрывается двумя учениками сценка по тексту стихотворения, остальные ученики сидят непринуждённо, со смехом реагируют на содержание стихотворения — это скрытая физминутка):
ТРЕУГОЛЬНИК И КВАДРАТ:
Жили-были два брата: Треугольник с квадратом.
Старший — квадратный,
добродушный, приятный.
Младший — треугольный,
Вечно недовольный.
Стал расспрашивать квадрат:
«Почему ты злишься брат?»
Тот кричит ему: «Смотри,
Ты полней меня и шире.
У меня углов лишь три,
У тебя их все четыре.»
Но квадрат ответил: «Брат!
Я же старше, я — квадрат!»
Но настала ночь,
и к брату,
Натыкаясь на столы,
Младший лезет воровато
Срезать старшему углы.
Уходя сказал: «Приятных
Я тебе желаю снов!
Спать сложился — был квадратом,
А проснёшься без углов!»
Но наутро младший брат
Страшной мести был не рад:
Поглядел он — нет квадрата!
Онемел, стоял без слов..
Вот так месть!
Теперь у брата
Восемь новеньких углов!
-Как называется фигура, у которой 8 углов? (Восьмиугольник)
-Возьмете квадрат и сделайте восьмиугольник, (дети сгибают углы квадрата по отмеченным точкам, так, чтобы получились у всех одинаковые фигуры — физминутка для пальцев. От каждой вершины квадрата на расстоянии 2см стоят по сторонам квадрата точки. По которым нужно провести отрезки и отогнуть 4 угла по получившимся линиям.)
— А теперь предложите задание. ( ЗАДАНИЕ №5: дети предлагают найти площадь отогнутых углов, площадь большого квадрата, площадь оставшегося восьмиугольника) Записывается решение всем классом:
- (2×2):2=2 (кв. см)- площадь одного прямоугольного треугольника.
- 2×4=8 (кв. см)- площадь четырех прямоугольных прямоугольников.
- 10× 10 =100 (кв. см) — площадь большого квадрата.
- 100 – 8=92 (кв. см)
Ответ: площадь восьмиугольника равна 92 см2.
Д) – После выполнения такого интересного задания, скажите в какую фигуру может превратиться крышка вашей парты, если у неё отрезать один угол (детям предлагается взять прямоугольник и отрезать угол, могут получиться треугольник, четырехугольник и пятиугольник).
-Давайте разберем каждый вариант и определим площадь оставшейся поверхности. Размеры парты 60см×100см,
— если получился треугольник, то площадь оставшейся части =3000см2;
— если получился четырехугольник, то по длине задается размер отрезанной части , равный 20см, а ширина отрезается полностью. Тогда площадь оставшейся части равна: 60см×100см – (60см×20см):2=5400см2;
— если получился пятиугольник, то размеры отрезанного треугольника по прямому углу 20см×40см, тогда площадь оставшейся фигуры равна 60см×100см – (40см×20см):2=5600см2.
— Посмотрите на экран (ЗАДАНИЕ №7), скажите, на какие группы можно разделить эти треугольники, анализируя размеры их углов (прямоугольные треугольники и непрямоугольные).
Найдите устно площади прямоугольных треугольников (один ученик выходит к доске, поворачивается спиной к классу и рукой в воздухе «пишет» ответ, если ответ правильный — его «пишет» весь класс: площадь зеленой фигуры —8см2, синей фигуры — 9 см2, темно-красной — 9см2.)
— Раз вы так быстро научились определять площади прямоугольных треугольников, то вам задание (ЗАДАНИЕ №8) по вариантам. 1 вариант определяет площадь цветка, 2 вариант- — площадь дома. (Эти фигуры составлены из одинаковых прямоугольных треугольников. Детям дается время на обдумывание и запись решения на черновиках. Справившиеся с заданием поднимают руку и получают заслуженную оценку. (* Хочется сказать, что задание на сообразительность. Зная размеры прямоугольного треугольника, нужно найти его площадь и умножить на количество таких треугольников. Итак, площадь цветка =36см2, площадь дома=144см2.) После этого идет совместное обсуждение решения данного задания по вариантам.
— Теперь попробуйте определить площадь следующей аппликации (ЗАДАНИЕ №9) (Дети не смогут это сделать, так как треугольники не прямоугольные).
-Скажите, а в чем причина трудностей выполнения этого задания?
(- треугольники непрямоугольные)
-Давайте вернемся к алгоритму, который мы составили в начале урока, скажите, какого вопроса не хватало в начале алгоритма. ( вопроса: «Треугольник прямоугольный?»)
— Действительно так, потому что площадь прямоугольного треугольника мы уже можем найти, если же треугольник непрямоугольный, то… нам предстоит выяснить на следующих уроках, как найти площадь треугольников других видов.
6. Домашнее задание.
— Я вам предлагаю дома подумать, как применить наши знания, при выполнении этого задания. Обратите внимание на подсказку (на слайде видно, что аппликация составлена из одинаковых равнобедренных треугольников ,проводится высота этого треугольника , равная 3см, а основание треугольника равно 4см. Значит, он состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников, площадь каждого прямоугольного треугольника мы можем найти: (3×2):2=3см2, 3+3=6 см2 – площадь одного равнобедренного треугольника. Теперь посчитаю количество таких треугольников — 32шт 6×32 =192см2.