Как найти площадь треугольника образованного пересечением прямой

69) Определить площадь треугольника образованного прямой с осями координат

69) Определить площадь треугольника, образованного прямой
с осями координат.
Решение:
1) Находим точки пересечения прямой с осями:
х = 0,
у = 0,
2) Имеем прямоугольный треугольник с катетами 12 и 9
S =
Ответ: 54 кв. ед.
73) Прямая отсекает на осях координат равные положительные отрезки. Составить уравнение прямой, если площадь треугольника, образованного этими отрезками равна 8 кв. ед.
Решение:
Уравнение прямой имеет вид:
; a = 4; -4
a = -4 не подходит по условию задачи
Ответ:
74) Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку
A (-2;-3).
Решение:
Пусть уравнение прямой.
Прямая проходит через начало координат, поэтому с = 0.
Так что
Так как прямая проходит через (-2; -3), то ,
то есть
Уравнение примет вид :
То есть,
Ответ:
109) Точки А (1;2) и С(3;6) являются противоположными вершинами квадрата.
Определить координаты двух других вершин квадрата.
Решение:
Обозначим буквами B и D искомые вершины: B() и D().
Надо найти числа и . Для определения каждой пары этих чисел необходимы два уравнения, связывающие их.
Первое из них найдем, определив расстояние AB и приравняв его к расстоянию BC (AB = BC, так как стороны квадрата равны между собой):
,
Отсюда следует, что
=
Возводя обе части этого равенства в квадрат, после упрощений получим первое уравнение, связывающее ,
Затем составим систему уравнений:

Коэффициенты уравнения:
a=5, b=−40, c=75
Вычислим дискриминант:
D==(−40)2−4·5·75=1600−1500=100
(D>0), следовательно, это квадратное уравнение имеет 2 различных вещественных корня:
Вычислим корни:
;

Ответ: B (0;5) и D (4;3)

110) На оси абсцисс найти точку, расстояние которой до прямой 8х+15у+10=0 равняется 1.
Решение:
Рассчитываем по формуле расстояние от точки до прямой.
Именно, пусть d(x1,y1) – расстояние от точки с координатами (x1,y1) до прямой Ax+By+C=0, тогда:

Решая это уравнение, получим два решения:

123) Показать, что треугольник с вершинами А (1;1) B(2+1) C(3;1) равносторонний, и вычислить его площадь.
Решение:
Равносторонний (правильный) треугольник – это треугольник, у которого все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60°).
Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле :
1. Находим длины сторон треугольника:

= =2
= =2
= =2
Так как , то треугольник является равносторонним.
2) Вычислим площадь треугольника:

=
Ответ: Площадь треугольника равна кв. ед.

191) Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями.
Построить чертежи.

1) Находим коэффициенты:

2) Находим ортогональные инварианты :

==20+0+0-(0+0+16) =4
==4
Из этого следует, что уравнение задает мнимый эллипс, так

192) Установить, какие кривые определяются нижеследующими уравнениями.
Построить чертежи.

1) Находим коэффициенты:

2) Находим ортогональные инварианты :
1-1=0
==-10+0+0-(-9+0+0)=-10+9=-1
== -1-0= -1
Таким образом, уравнение задает гиперболу, так как
3) Приводим уравнение в квадратичную форму:
B=
Вид квадратичной формы:

Разделим все выражение на -1
-1(-3)
Данное уравнение определяет гиперболу с центром в точке:
C (3; 0)
и полуосями:
a = 1 (мнимая полуось); b = 1 (действи

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти S треугольника,образованного осями координат и прямой Добавлено: 30 ноя 2022, 13:18
Профи Зарегистрирован: 20 дек 2020, 23:49 Сообщений: 421 Cпасибо сказано: 332 Спасибо получено: 8 раз в 8 сообщениях Очков репутации: 2	Добрый день. Подскажите, пожалуйста, как найти площадь треугольника, образованного осями координат и прямой, проходящей через точки М (2; 9) и N(-1;-3)?
Вернуться к началу

Pirinchily	Заголовок сообщения: Re: Найти S треугольника,образованного осями координат и прямой Добавлено: 30 ноя 2022, 13:53
	В данном случае : Уравнение прямой будет : [math]begin{vmatrix} x & y & 1 \ 2 & 9 & 1 \ -1 & -3 & 1 end{vmatrix}=9x-y-6+9-2y+3x=12x-3y+3=0 Rightarrow 4x-y+1=0[/math] — это уравненеу прямой через т.(2,9) и т.(-1,-3); Этой прямой пересекает абсцисной оси в т.([math]-frac{ 1 }{ 4 }[/math],0), а ординатной в т.(0,1); Тогда [math]S=frac{ 1 }{ 2 } cdot left| left( -frac{ 1 }{ 4 } right) cdot 1 right| = frac{ 1 }{ 2 } cdot frac{ 1 }{ 4 }=frac{ 1 }{ 8 }[/math]
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Pirinchily «Спасибо» сказали: dikarka2004

dikarka2004	Заголовок сообщения: Re: Найти S треугольника,образованного осями координат и прямой Добавлено: 30 ноя 2022, 15:31
	Pirinchily Спасибо большое! Теперь все стала понятно!
Вернуться к началу

guy	Заголовок сообщения: Re: Найти S треугольника,образованного осями координат и прямой Добавлено: 30 ноя 2022, 16:16
	Pirinchily писал(а): В данном случае : Уравнение прямой будет : [math]begin{vmatrix} x & y & 1 \ 2 & 9 & 1 \ -1 & -3 & 1 end{vmatrix}=9x-y-6+9-2y+3x=12x-3y+3=0 Rightarrow 4x-y+1=0[/math] — это уравненеу прямой через т.(2,9) и т.(-1,-3); Этой прямой пересекает абсцисной оси в т.([math]-frac{ 1 }{ 4 }[/math],0), а ординатной в т.(0,1); Тогда [math]S=frac{ 1 }{ 2 } cdot left| left( -frac{ 1 }{ 4 } right) cdot 1 right| = frac{ 1 }{ 2 } cdot frac{ 1 }{ 4 }=frac{ 1 }{ 8 }[/math] 0,5*(-0,25*1)=с каким знаком? Ну да, отрицательная площадь. Асю жизнь мечтал за отрицательную площадь коммунальные платить.
Вернуться к началу

Here we will see how to get the area of a triangle formed by the x and y axis and another straight line. The diagram will be look like below. The equation of the straight line is −

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0

The line is cutting the x-axis at the point B, and cutting the y-axis at the point A. The intercept form will be like below −

So the x-intercept is −𝑐∕𝑎 and y-intercept is −𝑐∕𝑏 . So the area of the triangle is

Example

 Live Demo

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double areaTriangle(double a, double b, double c){
   return fabs((c*c) / (2*a*b));
}
main() {
   double a = -2, b = 4, c = 3;
   cout << "Area: " << areaTriangle(a, b, c);
}

Output

Area: 0.5625

Как найти площадь треугольника, образованного прямыми

Если предстоит найти площадь самого обычного треугольника, заданного прямыми, это автоматически подразумевает, что уравнения этих прямых тоже заданы. Именно на этом и будет базироваться ответ.

Инструкция

Считайте, что уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника известны. Это уже гарантирует, что все они лежат в одной плоскости и пересекаются между собой. Следует найти точки пересечения, решая системы, составленные из каждой пары уравнений. При этом каждая система в обязательном порядке будет иметь единственное решение. Задачу иллюстрирует рисунок 1. Считайте, что плоскость изображения принадлежит пространству и что уравнения для прямых, заданы параметрически. Они представлены на этом же рисунке.

Найдите координаты точки А (xa, ya, za), лежащей в пересечении f1 и f2 и составьте уравнение, где xa=x1 +m1*t1 или xa=х2 +m2*τ1. Следовательно, x1 +m1*t1=х2 +m2*τ1. Для координат ya и za аналогично. Возникла система (см. рис. 2). Эта система избыточна, так как для определения двух неизвестных вполне достаточно двух уравнений. Это означает, что одно из них является линейной комбинацией двух других. Ранее было оговорено, что решение гарантировано однозначно. Поэтому оставьте два, на ваш взгляд наиболее простых уравнения и, решив их, найдете t1 и τ1. Достаточно и одного из этих параметров. После этого найдите уа и za. В сокращенном виде основные формулы приведены на том же рисунке 2, так как доступный редактор может вызвать разночтения формул. Точки В(xb, yb, zb) и С(xc, yc, zc) найдите по аналогии с уже записанными выражениями. Просто заменяйте «лишние» параметры величинами соответствующими каждой из вновь применяемых прямых, оставляя неизменной нумерацию индексов.

Подготовительные действия завершены. Ответ можно получить на основании геометрического подхода или алгебраического (точнее векторного). Начните с алгебраического. Известно, что геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах. Найдите, скажем, векторы AB и AC. АВ={xb-xa, yb-ya, zb-za}, AC={xc-xa, yc-ya, zc-za}. Их векторное произведение [AB×AC] определите в координатной форме. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. Ответ вычислите в соответствии с формулой S=(1/2)|[AB×BC]|.

Для получения ответа на основе геометрического подхода найдите длины сторон треугольника. а=|BC|=√((xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2), b=|AC|=√((xc-xa)^2+(yc-ya)^2+(zc-za)^2), c=|AB|=√((xc-xb)^2+(yc-yb)^2+(zc-zb)^2). Вычислите полупериметр p=(1/2)(a+b+c). Определите площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Видео по теме

Источники:

• Шипачев В.С. Высшая математика. 3-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 1996. 496 с.: ил.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Уравнение вида

Ax + By + C = 0,

где A≠0, B≠0 и C — произвольные константы, задает прямую, пересекающую оси координат Ox и Oy. При этом образуется прямоугольный треугольник с вершинами в точках пересечения и начале координат.

Чтобы найти площадь этого треугольника, нужно сначала определить координаты точек пересечения прямой с осями координат. Для определения точки пересечения с осью Ox, надо подставить в исходное уравнение значение y=0. Получится:

Ax₀ + C = 0   =>  x₀ = −C/A.

Это длина катета прямоугольного треугольника, лежащего на оси Ox.

Координаты точки пересечения: (−C/A; 0).

Аналогичным образом найдет координату пересечения с точкой Oy, подставив x=0:

Вy₀ + C = 0   =>  y₀ = −C/B.

Это длина второго катета, лежащего на оси Oy.

Координаты точки пересечения: (0; −C/B).

Зная длины двух катетов, можно найти площадь треугольника как половину их произведения:

S = x₀·y₀/2 = C²/2AB.

Дополнительно на Геноне:

• Как найти площадь прямоугольного треугольника? 
• Как найти точки пересечения графика линейной функции y = kx + b с осями координат?