Как найти площадь треугольника, образованного прямыми
Если предстоит найти площадь самого обычного треугольника, заданного прямыми, это автоматически подразумевает, что уравнения этих прямых тоже заданы. Именно на этом и будет базироваться ответ.
Инструкция
Считайте, что уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника известны. Это уже гарантирует, что все они лежат в одной плоскости и пересекаются между собой. Следует найти точки пересечения, решая системы, составленные из каждой пары уравнений. При этом каждая система в обязательном порядке будет иметь единственное решение. Задачу иллюстрирует рисунок 1. Считайте, что плоскость изображения принадлежит пространству и что уравнения для прямых, заданы параметрически. Они представлены на этом же рисунке.
Найдите координаты точки А (xa, ya, za), лежащей в пересечении f1 и f2 и составьте уравнение, где xa=x1 +m1*t1 или xa=х2 +m2*τ1. Следовательно, x1 +m1*t1=х2 +m2*τ1. Для координат ya и za аналогично. Возникла система (см. рис. 2). Эта система избыточна, так как для определения двух неизвестных вполне достаточно двух уравнений. Это означает, что одно из них является линейной комбинацией двух других. Ранее было оговорено, что решение гарантировано однозначно. Поэтому оставьте два, на ваш взгляд наиболее простых уравнения и, решив их, найдете t1 и τ1. Достаточно и одного из этих параметров. После этого найдите уа и za. В сокращенном виде основные формулы приведены на том же рисунке 2, так как доступный редактор может вызвать разночтения формул. Точки В(xb, yb, zb) и С(xc, yc, zc) найдите по аналогии с уже записанными выражениями. Просто заменяйте «лишние» параметры величинами соответствующими каждой из вновь применяемых прямых, оставляя неизменной нумерацию индексов.
Подготовительные действия завершены. Ответ можно получить на основании геометрического подхода или алгебраического (точнее векторного). Начните с алгебраического. Известно, что геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах. Найдите, скажем, векторы AB и AC. АВ={xb-xa, yb-ya, zb-za}, AC={xc-xa, yc-ya, zc-za}. Их векторное произведение [AB×AC] определите в координатной форме. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. Ответ вычислите в соответствии с формулой S=(1/2)|[AB×BC]|.
Для получения ответа на основе геометрического подхода найдите длины сторон треугольника. а=|BC|=√((xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2), b=|AC|=√((xc-xa)^2+(yc-ya)^2+(zc-za)^2), c=|AB|=√((xc-xb)^2+(yc-yb)^2+(zc-zb)^2). Вычислите полупериметр p=(1/2)(a+b+c). Определите площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Видео по теме
Источники:
- Шипачев В.С. Высшая математика. 3-е изд., стер. – М.: Высш. школа, 1996. 496 с.: ил.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
паукк
+10
Ответ дан
5 лет назад
Математика
10 — 11 классы
Найти площадь треугольника,образованного прямыми 2y+y+4=0 x+7y-11=0 3x-5y-7=0
Ответ
0.7/5
(6 оценок)
8
anna2501v
5 лет назад
Светило науки — 1730 ответов — 0 раз оказано помощи
Ответ: 13
Решение прилагаю
Оцените пользу ответа
Ответ
0/5
(0 оценок)
0
Alex228322
5 лет назад
Светило науки — 14 ответов — 0 раз оказано помощи
Для начала выражаешь из всех уравнений y, у тебя получаются такие прямые: y = -4 / 3; y = (11 — x) / 7 ; y = (7 — 3x)/ (-5) … После чего красиво на клетчатой бумаге строишь этот треугольник и по формуле Пика находишь его площадь… S = В + Г/2 — 1 … Про формулу Пика можешь почитать в вики
Оцените пользу ответа
Мозг
Отвечающий
Остались вопросы?
Задать вопрос
Natalia15 писал(а):
Пожалуйста, помогите решить задания по аналитической геометрии из контрольной:
Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми [math]y=2x,~y=-2x+1[/math] и [math]y=-x+2[/math].
Пусть
[math]A(x_{{}_A},y_{{}_A})[/math] — точка пересечения [math]y=2x[/math] и [math]y=-2x+1[/math],
[math]B(x_{{}_B},y_{{}_B})[/math] — точка пересечения [math]y=-2x+1[/math] и [math]y=-x+2[/math],
[math]C(x_{{}_C},y_{{}_C})[/math] — точка пересечения [math]y=2x[/math] и [math]y=-2x+1[/math].
Найдём вершины треугольника [math]ABC[/math], то есть точки пересения прямых:
[math]Acolon~left{!begin{gathered}y_{{}_A}=2x_{{}_A},hfill\y_{{}_A}=-2x_{{}_A}+1hfill\end{gathered}right.~Leftrightarrow~left{!begin{gathered}-2x_{{}_A}+1=2x_{{}_A},hfill\y_{{}_A}=-2x_{{}_A}+1hfill\end{gathered}right.~Leftrightarrow~left{!begin{gathered}x_{{}_A}=1/4,hfill\y_{{}_A}=1/2.hfill\end{gathered}right.[/math]
[math]Bcolon~left{!begin{gathered}y_{{}_B}=-2x_{{}_B}+1,hfill\y_{{}_B}=-x_{{}_B}+2hfill\end{gathered}right.~Leftrightarrow~left{!begin{gathered}-x_{{}_B}+2=-2x_{{}_B}+1,hfill\y_{{}_B}=-x_{{}_B}+2hfill\end{gathered}right.~Leftrightarrow~left{!begin{gathered}x_{{}_B}=-1,hfill\y_{{}_B}=3.hfill\end{gathered}right.[/math]
[math]Ccolon~left{!begin{gathered}y_{{}_C}=2x_{{}_C},hfill\y_{{}_C}=-x_{{}_C}+2hfill\end{gathered}right.~Leftrightarrow~left{!begin{gathered}-x_{{}_C}+2=2x_{{}_C},hfill\y_{{}_C}=-x_{{}_C}+2hfill\end{gathered}right.~Leftrightarrow~left{!begin{gathered}x_{{}_C}=2/3,hfill\y_{{}_C}=4/3.hfill\end{gathered}right.[/math]
Вычислим длины сторон треугольника [math]ABC[/math]:
[math]AB=sqrt{(x_{{}_B}-x_{{}_A})^2+(y_{{}_B}-y_{{}_A})^2}=sqrt{{left(-1-dfrac{1}{4}right)!}^2+{left(3-dfrac{1}{2}right)!}^2}=sqrt{dfrac{25}{16}+dfrac{25}{4}}=sqrt{dfrac{125}{16}}=dfrac{5sqrt5}{4}[/math]
[math]AC=sqrt{(x_{{}_C}-x_{{}_A})^2+(y_{{}_C}-y_{{}_A})^2}=sqrt{{left(dfrac{2}{3}-dfrac{1}{4}right)!}^2+{left(dfrac{4}{3}-dfrac{1}{2}right)!}^2}=sqrt{dfrac{25}{144}+dfrac{25}{36}}=sqrt{dfrac{125}{144}}=dfrac{5sqrt5}{12}[/math]
[math]BC=sqrt{(x_{{}_C}-x_{{}_B})^2+(y_{{}_C}-y_{{}_B})^2}=sqrt{{left(dfrac{2}{3}+1right)!}^2+{left(dfrac{4}{3}-3right)!}^2}=sqrt{dfrac{25}{9}+dfrac{25}{9}}=sqrt{dfrac{50}{9}}=dfrac{5sqrt2}{3}[/math]
Зная длины сторон треугольника [math]ABC[/math], найдём его углы по теореме косинусов:
[math]cosangle A=dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2cdot ABcdot AC}=dfrac{dfrac{125}{16}+dfrac{125}{144}-dfrac{50}{9}}{2cdot dfrac{5sqrt5}{4}cdot dfrac{5sqrt5}{12}}=dfrac{25}{8}:dfrac{125}{24}=dfrac{3}{5}~Rightarrow~angle A=arccosdfrac{3}{5}[/math]
[math]cosangle B=dfrac{AB^2+BC^2-AC^2}{2cdot ABcdot BC}=dfrac{dfrac{125}{16}+dfrac{50}{9}-dfrac{125}{144}}{2cdot dfrac{5sqrt5}{4}cdot dfrac{5sqrt2}{3}}=dfrac{25}{2}:dfrac{25sqrt{10}}{6}=dfrac{3sqrt{10}}{10}~Rightarrow~angle B=arccosdfrac{3sqrt{10}}{10}[/math]
[math]cosangle C=dfrac{AC^2+BC^2-AB^2}{2cdot ACcdot BC}=dfrac{dfrac{50}{9}+dfrac{125}{144}-dfrac{125}{16}}{2cdot dfrac{5sqrt5}{12}cdot dfrac{5sqrt2}{3}}=-dfrac{25}{18}:dfrac{25sqrt{10}}{18}=-dfrac{sqrt{10}}{10}~Rightarrow~angle C=pi-arccosdfrac{sqrt{10}}{10}[/math]
Вычислим ориентированную площадь треугольника:
[math]S_{vartriangle ABC}^{{}^land}=dfrac{1}{2},,vline!begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\x_{{}_A}&x_{{}_B}&x_{{}_C}\y_{{}_A}&y_{{}_B}&y_{{}_C}end{array}!vline,=dfrac{1}{2},,vline!begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\1/4&-1&2/3\1/2&3&4/3end{array}!vline,=dfrac{1}{2}!left(-dfrac{4}{3}+dfrac{1}{3}+dfrac{3}{4}+dfrac{1}{2}-dfrac{1}{3}-2}right)=dfrac{1}{2}cdot left(-dfrac{25}{12}right)=-dfrac{25}{24}[/math]
Следовательно, искомая площадь треугольника есть
[math]S_{vartriangle ABC}}=,,vline S_{vartriangle ABC}^{{}^land},vline,=,,vline,-dfrac{25}{24},vline,=dfrac{25}{24}[/math]
Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2y + y + 4 = 0 x + 7y — 11 = 0 3x — 5y — 7 = 0.
На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Найти площадь треугольника, образованного прямыми 2y + y + 4 = 0 x + 7y — 11 = 0 3x — 5y — 7 = 0?,
относящийся к категории Математика. Сложность вопроса соответствует базовым
знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации
найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой
системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и
задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям.
Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы
помогут найти нужную информацию.
Светило науки — 301 ответ — 2094 помощи
Решаем чисто аналитически:
Сначала найдем точки пересечения прямых (каждой с каждой), получим 3 точки, являющиеся вершинами треугольника.
пусть это будет точка А.
пусть это будет точка В.
пусть это будет точка С.
Итак, нашли координаты вершин треугольника.
Теперь вычислим расстояния между точками (от каждой до каждой)
Напомню, что расстояние между точками
считается по формуле
Известны длины всех сторон. По формуле Герона мы можем вычислить площадь. Но очень неприятно возиться с корнями, поэтому найдем лучше найти высоту треугольника, например, проведенной к основанию AC. Для этого надо вычислить коэффициенты уравнения прямой, содержащей эту высоту. Это можно сделать, исходя из того факта, что прямые BH (BH — высота к AC) и AC перпендикулярны, а значит, произведение их угловых коэффициентов равно -1.
Тогда уравнение прямой, перпендикулярной AC и проходящей через точку B, имеет вид
Надо понять, какое уравнение содержит точки A и C. Подставив в каждое координаты точек A и C, поймем, что это второе уравнение
А учитывая, что B(-3;-10), получаем уравнение прямой, содержащей высоту к AC.
Теперь найдем координаты точки H — это пересечение прямой, содержащей высоту и прямой, содержащей точки A и C.
То есть
Вычислим длину высоты:
Площадь треугольника равна половине произведения основанию на высоту, проведенную к этому основанию. Считаем:
Ответ: