Как найти площадь треугольника по картинке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Каталог заданий.
Многоугольники: вычисление площадей

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Источники:

Демонстрационная версия ЕГЭ—2018 по математике. Профильный уровень;

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

Площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

Найдите площадь треугольника по рисунку

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см 2 .

Приведём другое решение:

Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника

Одна из сторон данного треугольника является диагональю квадрата со стороной 6, а высота, проведённая к этой стороне, является диагональю квадрата со стороной 2. Тогда

Найдите площадь треугольника изображённого

Здравствуйте! В этой статье мы разберём задачи на нахождение площади треугольника построенного на листке в клетку (масштаб клетки 1×1). Фигуры на листе в клетку с вычислением их площади — это целая группа типов задач входящая в экзамен по математике. Кроме треугольника рассматриваются следующие фигуры — трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат.

Решение заданий с треугольником труда не представляет, относятся они к простейшим. Для решения необходимо знать формулу площади треугольника и знать один приём, о котором я вам расскажу ниже.

Вообще, способов нахождения площади любой фигуры, построенной на листе в клетку существует более пяти. Все здесь рассматривать не будем, в интернете вы без труда найдёте их описание. Уверен, что тех рекомендаций, которые представлены будет вполне достаточно для решения.

Итак! Вам необходимо знать и понимать одну из основных формул площади треугольника, она наиболее часто используется при решении:

Длину основания и высоту считаем по клеткам. В задаче 27545 это наглядно показано. То есть, если перед вами задача, где треугольник построен именно таким образом, то считаем оговоренным способом. Например, рассмотрим треугольники:

У всех этих треугольников можно по клеткам установить длину основания и высоту. У первого основание равно 3, высота 5; у второго основание 6, высота 2; у третьего основание 6, высота 2; у четвертого основание равно 3, высота 8; у пятого основание равно 6, высота 2. Подставив их в формулу, остаётся только вычислить площадь (без ошибки).

Есть задачи, в которых треугольники расположены так, что по клеткам длину основания и высоту посчитать неудобно (но можно), вот примеры:

В задачах, где будут даны подобные треугольники, используйте способ, который по моему мнению универсален, его достоинство объясню в одной из следующих статей: «заключите» такой треугольник в прямоугольник, вычислите площадь прямоугольника, затем из его площади вычтите площади треугольников. Пример:

Найти площадь треугольника, изображённого на рисунке:

Заключим данный треугольник в прямоугольник:

Теперь вычислим площадь прямоугольника. Уверен, всем известно, что она равна произведению его соседних сторон:

Далее из его площади вычитаем площади трёх треугольников:

Есть ещё подобные задачи, но в них иначе представлено условие. Также нужно найти площадь треугольника, он построен на координатной плоскости, например:

Решения аналогичны: если можем установить длину основания и высоту треугольника по координатам, то далее площадь вычисляем просто по формуле:

В треугольнике на рисунке 1 этого сделать нельзя, поэтому советую построить данный треугольник по координатам на листе в клетку, и использовать уже рассмотренный нами метод, а именно описать около треугольника прямоугольник.

В будущем мы рассмотрим нахождения площадей параллелограммов, трапеций, четырёхугольников, элементов круга, а так же «сложных» фигур, не пропустите!

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

источники:

http://ege.sdamgia.ru/search?search=%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B5%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C%20%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BA%D0%BB%D0%B5%D1%82%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B9

http://matematikalegko.ru/plocshadi-figur/naozhdenie-ploshhadi-treugolnika.html

Источник

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

$[S = frac{1}{2}ab,]$

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

$[ S = frac{1}{2} cdot 2 cdot 5 = 5. ]$

2) a=6, b=3,

$[ S = frac{1}{2} cdot 6 cdot 3 = 9. ]$

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

$[S = frac{1}{2}ah_a ,]$

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

1) a=6, h_a=4,

$[ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 6 cdot 4 = 12. ]$

2) a=3, h_a=5,

$[ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 = 7,5. ]$

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

$[S_{Delta ABC} = S_{AMNK} - S_{Delta AKC} - S_{Delta AMB} - S_{Delta CBN} .]$

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

$[ S_{AMNK} = AM cdot AK = 7 cdot 5 = 35. ]$

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

$[ S = frac{1}{2}ab, ]$

где a и b — катеты.

$[S_{Delta AKC} = frac{1}{2}AK cdot KC = frac{1}{2} cdot 5 cdot 1 = 2,5;]$

$[S_{Delta AMB} = frac{1}{2}AM cdot MB = frac{1}{2} cdot 7 cdot 3 = 10,5;]$

$[S_{Delta CBN} = frac{1}{2}CN cdot BN = frac{1}{2} cdot 6 cdot 2 = 6.]$

Отсюда

$[S_{Delta ABC} = 35 - 2,5 - 10,5 - 6 = 16.]$

Источник

Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.

Оценив обстановку, я обратил внимание на то, что в задании ни слова не сказано ни о высоте треугольника, ни о том, является ли отрезок длиной 24 перпендикуляром. Стало быть, он может быть проведён под любым углом. Тут, как говорится, не верь глазам своим. Или о собственных глазах можно сказать иначе — доверяй, но проверяй. А как проверить?

Выдам вам один секретный способ. В интернете теперь много таких сайтов, которые решают задачи за нас. Они ещё называются «онлайн-калькуляторами». Заходишь на ресурс — открывается форма для ввода данных.

Стоит только ввести известные значения и нажать кнопку «рассчитать», через секунду получите ответ.

Опс! А ведь угол между катетами 24 и 32 действительно прямой. Только убедиться в этом можно было быстрее и проще. Как? Давайте попробуем для чисел 40, 32 и 24 подыскать общие делители. Во-первых, все числа чётные — делятся на 2 (20, 16 и 12). Кстати, и на 4 они тоже легко делятся без остатка (10, 8 и 6). Мало того, точно также и на 8 (5, 4 и 3). А это, обратите внимание, классический вариант Пифагоровой тройки. Соглашаемся — отрезок длиной 24 является перпендикуляром и одновременно высотой треугольника. В таком случае у нас два варианта решения задачи:

можно отдельно вычислить площадь левого прямоугольного треугольника, умножив основание на высоту и разделив на два (площадь равна половине произведения основания на высоту): 32 * 24 / 2 = 384
таким же образом узнать площадь второго: 10 * 24 / 2 = 120
просуммировать полученные значения: 384 + 120 = 504.

Другой способ:

сначала вычисляем длину основания треугольника: 32 + 10 = 42, а потом
по той же формуле находим площадь: S = (42 * 24) / 2 = 1008 / 2 = 504
S = 504

Кстати, проверить окончательный ответ можно с помощью всё того же онлайн-калькулятора:

Как видите, всё сходится. Простите за тавтологию, но за свой ответ отвечаю! Удачи на дорогах!

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

MTetyana
[173K]

2 недели назад

Из школьной программы, хорошо помню, что площадь треугольника можно найти по формуле: произведение основания и высоты, делённое на два

S=(a•h):2

И что интересно, все данные для решения есть на рисунке.

Поэтому ответ на этот вопрос будет таким:

а=32+10=42

S=(42•24):2=504

Тут не написано, в каких единицах даны измерения. Предположим что в сантиметрах. Тогда площадь этого треугольника будет равна 504 см2

Задачку легко решит любой школьник, кто проходил эту тему по математике.

Правда ещё можно найти площадь треугольника другим, не таким коротким способом, сложив площади друх прямоугольных треугольников, из которых этот треугольник состоит.

S1=(24•32):2=384

S2=(24•10):2=120

S= 384+120=504см2

Единственное, что меня удивляет — зачем на чертеже даны длины боковых сторон треугольника?

Наверное, прикол в том чтобы сбить с толку, чтобы мозги поломали над решением этой простейшей задачки)

Молодец автор этого вопроса!)

Vladimir 1215
[182K]

2 недели назад

Площадь данного треугольника можно определить по известным двум величинам-стороне и его высоте.

Причём, необходимо знать величину стороны этого треугольника и высоты, которая проведена к этой стороне. Формула площади треугольника а*h/2(a — сторона треугольника, h — его высота).

Исходя из этого, сначала определим величину основания треугольника:

32+10=42

Теперь величину основания надо умножить на величину высоты и результат разделить на 2. В результате вычислений получаем площадь треугольника:

(42*24)/2=1008/2=504.

Ответ — площадь треугольника составляет 504.

Kjdm Rfghfkjdf
[3.5K]

2 недели назад

Судя по рисунку, сторона, равная 24, является высотой, тогда: Треугольник 24-26-10-прямоугольный, и соответственно треугольник 40-24-32 тоже прямоугольный.

Можно достроить до прямоугольника и треугольник 24-26-10 и другой треугольник 40-24-32,найти площади этих прямоугольников, суммировать и разделить на два.

Можно воспользоваться формулой нахождения площади треугольника.:

Тогда S=1/2*(32+10)*24=504

Ответ:504

Натусииииии2023
[2.2K]

2 недели назад

Площадь треугольника равняется половине его основания умноженного на высоту. S=1/2A *h

Основание треугольника=32+10=42

S = 42/2*24=504 м2

Знаете ответ?

Источник

Трудная математическая задача, с которой могут справиться не все преподаватели: попытайтесь найти площадь треугольника

Все со школы помнят геометрию, кто-то как нечто хорошее, а кто-то как нечто плохое. На самом деле геометрия может быть увлекательной, главное знать формулы и как прийти к решению. Хотите попробовать свои силы? А узнать способ вычисления площади треугольника? Предлагаем решить очень простую, но по-своему остроумную геометрическую задачку. Ответ в статье.

Соцсети

Вопрос: какая часть площади квадрата закрашена розовым?

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Как найти площадь данного треугольника

Как вычислить площадь треугольника? Давайте разбираться. Площадь — это внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры. Каждая фигура в математике — то есть каждый квадрат, прямоугольник, треугольник, параллелограмм, трапеция и т. д. — имеет определенную площадь или определенное количество пространства, которое она занимает. Она определяется длиной определенных сторон фигуры и всегда указывается в квадратных единицах, которые могут быть общими единицами измерения или такими вещами, как футы, дюймы, метры или мили. Теперь внимательно посмотрите на данный треугольник.

Найдите площадь треугольника — изображенного на картинке выше. Получается — для того чтобы найти площадь треугольника, нам нужно знать длину стороны в основании и длину опущенной на нее высоты. Площадь каждого прямоугольного треугольника составляет 1/2 площади квадрата. Длину высоты мы не знаем.

РЕКЛАМА – ПРОДОЛЖЕНИЕ НИЖЕ

Найти ее нам поможет верхний, самый маленький треугольник. Нетрудно видеть, что он подобен розовому: у них одинаковые углы, соотношения длин соответствующих сторон — и высот.

Примем длину стороны квадрата за 1. Длина нижнего ребра розового треугольника, таким образом, равна 1. Кроме того, их высоты образуют один отрезок, длина которого равна длине стороны квадрата — 1. Длина основания розового треугольника равна 1/3 длины стороны квадрата, то есть просто 1/3.

Соотношение длин ребер подобных треугольников и соотношение длин их высот одинаково и в нашем случае равно 1/2, а значит, длина высоты розового треугольника равна 2/3. Не забываем, что площадь треугольника можно вычислить по формуле. Поэтому нам осталось подставить эти значения в формулу площади треугольника: S=0,5*1*2/3=1/3 кв. ед. Площадь же квадрата равна 1 кв.ед, поэтому розовый треугольник составляет треть его площади.

Источник