Как найти площадь треугольника по клеткам решение - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см times 1 см

изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных

сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см times 1 см

изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных

сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  times  1 см изображен треугольник (см. рис.). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см times 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см times 1 см изображена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

На клетчатой бумаге с размером клетки изображён круг. Найдите площадь закрашенного сектора. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Всего: 240 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

Задача 1

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Решение:

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

$[S = frac{1}{2}ab,]$

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

$[ S = frac{1}{2} cdot 2 cdot 5 = 5. ]$

2) a=6, b=3,

$[ S = frac{1}{2} cdot 6 cdot 3 = 9. ]$

Задача 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Решение:

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

$[S = frac{1}{2}ah_a ,]$

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

1) a=6, h_a=4,

$[ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 6 cdot 4 = 12. ]$

2) a=3, h_a=5,

$[ S = frac{1}{2}ah_a = frac{1}{2} cdot 3 cdot 5 = 7,5. ]$

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

Задача 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Решение:

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

$[S_{Delta ABC} = S_{AMNK} - S_{Delta AKC} - S_{Delta AMB} - S_{Delta CBN} .]$

Площадь прямоугольника найдём по формуле S=ab.

$[ S_{AMNK} = AM cdot AK = 7 cdot 5 = 35. ]$

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

$[ S = frac{1}{2}ab, ]$

где a и b — катеты.

$[S_{Delta AKC} = frac{1}{2}AK cdot KC = frac{1}{2} cdot 5 cdot 1 = 2,5;]$

$[S_{Delta AMB} = frac{1}{2}AM cdot MB = frac{1}{2} cdot 7 cdot 3 = 10,5;]$

$[S_{Delta CBN} = frac{1}{2}CN cdot BN = frac{1}{2} cdot 6 cdot 2 = 6.]$

Отсюда

$[S_{Delta ABC} = 35 - 2,5 - 10,5 - 6 = 16.]$

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{circ}.$ Тогда $angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.$

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $frac{sqrt{5}}{2}.$

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

${sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $frac{sqrt{5}}{2}.$

$frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $frac{1}{8}$ круга, то есть $frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $frac{3}{8}$ . Получим:

$frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2 , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

Как считать треугольник по клеткам

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см 2 .

Приведём другое решение:

Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника

Одна из сторон данного треугольника является диагональю квадрата со стороной 6, а высота, проведённая к этой стороне, является диагональю квадрата со стороной 2. Тогда

Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где и — диагонали.

Получим:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

источники:

http://ege.sdamgia.ru/search?search=%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B5%20%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0%D0%B4%D1%8C%20%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0%20%D0%BD%D0%B0%20%D0%BA%D0%BB%D0%B5%D1%82%D1%87%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B9

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/zadanie-3-zadachi-na-kletchatoj-bumage-ili-koordinatnoj-ploskosti/

Источник

Для этого есть формула точек Пика.

Чем мельче сетка, тем больше точек и ответ более точен. В чём суть формулы Пика? Суть весьма проста. Надо расставить точки внутри любой фигуры, любой формы в перекрестьях клеток, затем расставить точки в самой линии периметра фигуры, также в перекрестьях клеток сетки. Вычислить все точки внутри прибавить половину количества точек периметра и отнять единицу от суммы.

В моём случае я их окрасила в 2 цвета внутренние точки синим, а внешние точки красным для удобства восприятия.

У меня вышло 18 синих и 3 красных. Беру формулу Пика и вычисляю:

S = В + Г/2 — 1. Вставляю значения чисел и вычисляю:

S = 18 + 3/2 — 1 = 18,5 кл^2.

Проверка:

Я достроила до прямоугольника с площадью 10*5 = 50 кл^2.

Наименьшая сторона данного треугольника имеет диагональ в прямоугольнике 1*4 кл^2.

Средняя сторона данного треугольника имеет диагональ в прямоугольнике 1*9 кл^2. Но их по две, а диагональ делит прямоугольники надвое. Значит лишние как раз 2 прямоугольника. Их я и вычту из большого прямоугольника, и результат поделю пополам, чтобы узнать площадь данного треугольника. Вычисляю:

(50 — 4 — 9)/2 = 18,5 кл^2. Сходится с вычислениями по формуле Пика.

Проверка завершилась успешно!

Мой ответ: Площадь треугольника на клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 равна 18,5 клеток.

Источник