Как найти площадь треугольника по пифагору

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем в геометрии.

Формулировка у теоремы такая:
в прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Зная формулировку теоремы Пифагора и две стороны прямоугольного треугольника:
два катета либо катет и гипотенузу, можно найти третью сторону треугольника,
соответственно: гипотенузу либо катет. На рисунке 1 изображен
прямоугольный треугольник и формулировка теорема Пифагора.

Доказательство теоремы Пифагора

Для доказательства этой теоремы, нарисуем прямоугольный треугольник.
Ради удобства обозначим гипотенузу латинской буквой с, а катеты латинскими
буквами a и b. Докажем, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов, или иначе ( c^2=a^2+b^2 ).

Достроим наш прямоугольный треугольник до квадрата, изображенного
на рисунке 2. Квадрат, который мы построили состоит из четырех равных
прямоугольных треугольников. Площадь каждого прямоугольного треугольника
равна ( (1/2)ab ) ​, а площадь всего квадрата ( (a+b)^2 ) ​, поэтому:
( S = 4 * (1/2)ab + c^2 = 2ab + c^2. ). ​Тогда, ( (a+b)^2 = 2ab + c^2 ) , откуда
следует, что ​ ( c^2=a^2+b^2 ). ​ ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы Пифагора

У этой теоремы много следствий, которые используются при доказательстве
других теорем и некоторых свойств. Перечислим основные из них:

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения одного катета на другой катет.
3. Треугольник прямоугольный, если к любым двум сторонам треугольника можно применить теорему Пифагора и найти третью сторону.
4. ​ ( c^2=a^2+b^2 ) ​
5. ​ ( a^2=c^2-b^2 ) ​
6. ( b^2=c^2-a^2 )

Теорема Пифагора

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

• a = √c 2 − b 2
• b = √c 2 − a 2
• c = √a 2 + b 2

Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:

• если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
• если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
• если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.

Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .

Пошаговое доказательство:

• Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
• Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:

• Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:

• Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

• Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.

• Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
• Сложим полученные равенства:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

a 2 + b 2 = c * AB

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

• Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
• Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.

• Проведём отрезок A₁B₁.
• Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.

• В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
• Таким образом получится:

• Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:

1. C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
2. A₁B₁ = AB по доказанному результату.

• Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
• Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?

Как решаем:

Пусть катеты a = 6 и b = 8.

По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .

Подставим значения a и b в формулу:
c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100
c = √100 = 10.

Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?

• Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника.

Будет полезно сохранить таблицу Пифагора.

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

Или, иными словами:

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

,

что соответствует —

Сложив a 2 и b 2 , получаем:

или , что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

• Доказательство через равнодополняемость.

Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

наблюдая изменение стороны a , мы можем

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

Используя метод разделения переменных, находим:

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

Содержание:

• Формула теоремы Пифагора
• Доказательство теоремы Пифагора
• Геометрическая формулировка теоремы Пифагора
• Примеры решения задач
• Историческая справка

Формула теоремы Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник $A B C$ — прямоугольный треугольник с
прямым углом $C$ (рис. 2).

Проведём высоту из вершины $C$ на гипотенузу $A B$, основание высоты обозначим как $H$ .

Прямоугольный треугольник $A C H$ подобен треугольнику $A B C$ по двум углам ( $angle A C B=angle C H A=90^{circ}$,
$angle A$ — общий). Аналогично, треугольник $C B H$ подобен $A B C$ .

Введя обозначения

$$B C=a, A C=b, A B=c$$

из подобия треугольников получаем, что

$$frac{a}{c}=frac{H B}{a}, frac{b}{c}=frac{A H}{b}$$

Отсюда имеем, что

$$a^{2}=c cdot H B, b^{2}=c cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^{2}+b^{2}=c cdot H B+c cdot A H$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot(H B+A H)$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot A B$$

$$a^{2}+b^{2}=c cdot c$$

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

Примеры решения задач

Историческая справка

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая
соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.

В древнекитайской книге «Чжоу би суань цзин» говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5. Крупнейший немецкий
историк математики Мориц Кантор (1829 — 1920) считает, что равенство $3^{2}+4^{2}=5^{2}$ было известно уже египтянам ещё около
2300 г. до н.э. По мнению ученого, строители строили тогда прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного
прямоугольного треугольника.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является
единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным
значением теоремы для геометрии.

Понятие площади

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

«Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника» 👇

Формула Герона

Площадь равностороннего треугольника

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Площадь
5. Теорема Пифагора

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника

Площадь трапеции

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 496,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 513,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 532,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 575,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 774,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1205,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1222,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1290,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1307,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

План урока:

Теорема Пифагора

Задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагоровы тройки

Обратная теорема Пифагора

Формула Герона

Теорема Пифагора

Попытаемся установить связь между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Пусть в некотором прямоугольном треуг-ке катеты имеют длины а и b, а гипотенуза равна с. Пусть один из острых углов треуг-ка составляет α, тогда другой острый угол должен равняться 90 – α:

Далее возьмем 4 таких треуг-ка и расположим их следующим образом:

Здесь мы прикладываем треуг-ки так, чтобы их разные катеты образовали одну сторону четырехугольника. В результате получается большой квадрат со стороной a + b. Квадратом он является по определению, ведь все его стороны одинаковы, а углы – прямые.

Изучим центральную фигуру, чью площадь мы обозначили как S₂. Это четырехуг-к, причем все его стороны равны с, то есть длине гипотенузы треугольника. С другой стороны, каждый его угол можно найти, вычтя из 180° величины α и 90° – α:

Получается, что всего его углы прямые, то есть он является квадратом. Найдем его площадь:

Вернемся к большому квадрату. С одной стороны, его площадь можно записать как сумму площадей фигур, его составляющих:

Cдругой стороны, эту же площадь можно найти, просто возведя в квадрат его сторону:

Получили формулу, в которой и заключен смысл теоремы Пифагора:

Изучим несколько простейших примеров использования теоремы Пифагора.

Задание. Длины катетов прямоугольного треугольника составляют 5 и 12. Определите длину гипотенузы.

Решение. Запишем теорему Пифагора:

Задание. Длина катета треугольника составляет 3, а гипотенузы – 5. Какова длина другого катета?

Решение: На это раз нам известен один из катетов а = 3 и гипотенуза с = 5. Подставим в теорему Пифагора эти числа:

Теорема Пифагора имеет огромное значение для геометрии и смежных дисциплин. Приведенное здесь ее доказательство является одним из простейших, но отнюдь не единственным. Сегодня человечеству известно 367 различных доказательств теоремы Пифагора, что лишь показывает ее огромную значимость.

На самом деле Пифагор, известный древнегреческий математик, не был первым, кто обнаружил это равенство. Пифагор родился примерно в 570 г. до н. э., однако ещё египтяне знали про прямоугольный треуг-к со сторонами 3, 4 и 5. Поэтому его часто именуют египетским треугольником.

Также вычислять стороны прямоугольного треуг-ка умели и в Вавилоне уже за 1000 лет до рождения Пифагора. Вероятно, Пифагор узнал о формуле от вавилонян, а сам лишь вывел ее доказательство (вавилоняне не утруждали себя необходимостью доказывать теоремы геометрии). Утверждается, что Пифагор принес сделал жертвоприношение в размере 100 быков после того, как смог доказать теорему.

Задание. Вычислите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треуг-ка, чьи катеты имеют единичную длину.

Решение. В теорему Пифагора вместо букв a и b подставим единицу:

Обратите внимание, что в данной задаче в качестве длины гипотенузы прямоугольного треугольника получилось иррациональное число. Исторически именно при решении подобной задачи люди (это были ученики Пифагора) впервые столкнулись с иррациональными числами. Перед дальнейшим изучением темы есть смысл вспомнить основные правила вычислений с квадратными корнями.

Задание. На рисунке построен произвольный квадрат. Предложите способ, как построить квадрат с вдвое большей площадью.

Решение. Проведем в исходном квадрате диагональ. Далее построим новый квадрат со стороной, равной этой гипотенузе:

Докажем, что получившийся квадрат (его стороны отмечены синим цветом) вдвое больше исходного квадрата. Пусть сторона изначального квадрата равна х.Тогда его площадь составляет х². Диагональ разбивает квадрат на два прямоугольных треуг-ка, в которых она является гипотенузой.

Запишем для одного из них теорему Пифагора:

Но площадь квадрата равна его стороне, возведенной во вторую степень, поэтому величина с²– это площадь большого (на рисунке – синего)квадрата, а х² – площадь маленького:

Подставим эти выражения в формулу, выведенную из теоремы Пифагора, и получим, что площадь большего квадрата ровно вдвое больше:

Задание. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треуг-ка, гипотенуза которого имеет длину 10.

Решение. Обозначим катеты переменной х, тогда теорема Пифагора будет выглядеть как уравнение:

Задание. Один из острых углов прямоугольного треугольника составляет 30°, а его гипотенуза равна 10. Найдите оба катета.

Решение. Мы знаем, что в прямоугольном треуг-ке с острым углом 30° гипотенуза вдвое длиннее меньшего катета (он как раз лежит против угла 30°), мы можем найти этот катет:

10:2 = 5

Другой катет находим с помощью теоремы Пифагора:

Задачи на применение теоремы Пифагора

Теорема Пифагора используется в огромном количестве геометрических задач. С ее помощью можно находить диагонали некоторых четырехуг-ков, длины высот, вычислять площади.

Задание. Стороны прямоуг-ка имеют длину 8 и 15 см. Найдите длину его диагонали.

Решение. Рассмотрим произвольный прямоугольник АВСD. Если в нем провести диагональ ВD, то получится прямоугольный треуг-к АВD. Пусть АВ = 15, АD = 8. Запишем теорему Пифагора для ∆АВD:

Задание. В равнобедренном треуг-ке основание имеет длину 16 см, а боковые стороны составляют 17 см. Найдите длину высоты, проведенной к основанию этого треуг-ка, а также площадь треуг-ка.

Решение. Напомним, что высота, опущенная к основанию равнобедренного треуг-ка, одновременно является и медианой, и биссектрисой. Это значит, что Н – середина АВ. Тогда можно найти длину отрезков АН и НВ:

Теперь можно рассмотреть ∆АСН. Он прямоугольный, и нам известно его гипотенуза (она является боковой стороной ∆АВС и по условию равна 17 см) и катет АН. Тогда можно найти и второй катет, то есть высоту СН:

Задание. Высота равностороннего треуг-ка составляет 4 см. Найдите его сторону.

Решение. Напомним, что в равностороннем треуг-ке все углы равны 60°. Также учтем, что высота в равностороннем треуг-ке является также и биссектрисой и медианой:

Рассмотрим ∆АСН. Он прямоугольный, и один из его углов составляет 60°. Значит, другой угол составляет 30°. Но в таком треуг-ке гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против ∠30°:

Обратите внимание, мы специально домножили дробь на корень из 3, чтобы корень оказался в числителе, а не знаменателе. Т.к. в таком виде проще работать с квадратными корнями.

Итак, мы нашли АН. Теперь можно найти сторону АС, которая вдвое длиннее:

Задание. Составьте формулу для нахождения площади равностороннего треуг-ка, если известна только его сторона.

Решение. Обозначим сторону треуг-ка буквой а. Для вычисления площади необходимо найти высоту:

Как и в предыдущей задаче, отрезок АС вдвое длиннее АН:

Высоту мы нашли. Осталось найти площадь:

Задание. В прямоугольном треуг-ке, катеты которого имеют длину 60 и 80, проведена высота к гипотенузе. Найдите высоту гипотенузы, а также длину отрезков, на которые эта высота разбивает гипотенузу.

Решение. Найдем длину гипотенузы ВС:

Осталось найти длины отрезков СН и НВ. Для этого необходимо записать теорему Пифагора для ∆АСН и ∆АНВ, которые являются прямоугольными. Начнем с ∆АСН:

Аналогично работаем и с ∆АНВ:

Можно проверить себя. Отрезки НВ и СН вместе составляют отрезок СВ, поэтому должно выполняться равенство:

Задание. Диагонали ромба равны 10 и 24 см. Чему равна его сторона?

Пусть в ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О, причем АС = 24 см, а ВD = 10 см.Напомним, что диагонали ромба пересекаются под углом 90° и делятся при этом на одинаковые отрезки. Следовательно, ∆АВО прямоугольный. Найдем его катеты:

Задание. Основания равнобедренной трапеции имеют длину 20 и 10, а боковая сторона имеет длину 13. Найдите площадь трапеции.

Решение. Опустим на большее основание две высоты:

В итоге получили прямоуг-к АВКН. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому

∆АНD и ∆ВКС равны друг другу, ведь это прямоугольные треуг-ки с одинаковой гипотенузой (АD = ВС, ведь это равнобедренная трапеция) и равным катетом (АН = ВК как стороны прямоуг-ка). Это значит, что DH = КС. Но эти отрезки вместе с НК составляют CD. Это позволяет найти DH и KC:

Зная высоту трапеции и ее основания, легко найдем и ее площадь:

Пифагоровы тройки

Возможно, вы уже заметили, что в большинстве школьных задач на применение теоремы Пифагора используются треуг-ки с одними и теми же сторонами. Это треуг-к, чьи стороны имеют длины

Их использование обусловлено тем, что все их стороны выражаются целыми числами. В задачах же, например, с равнобедренным прямоугольным треуг-ком хотя бы одна из сторон обязательно оказывается иррациональным числом.

Прямоугольные треуг-ки, у которых все стороны являются целыми, называют пифагоровыми треугольниками, а длины их сторон именуются пифагоровыми тройками. Получается, что пифагоровыми называются такие тройки натуральных чисел а, b и с, которые при подстановке в уравнение

обращают его в справедливое равенство.

Для удобства такие тройки иногда записывают в скобках.

Например, тройка чисел (3; 4; 5)– пифагорова, так как

Задание. Определите, какие из следующих троек чисел являются пифагоровыми:

Несложно догадаться, что пифагоровых троек существует бесконечно много. Действительно, возьмем тройку (3; 4; 5). Далее умножим все числа, составляющие ее, на два, и получим новую тройку (6; 8; 10), которая также пифагорова. Умножив исходную тройку на 3, получим тройку (9; 12; 15), и она снова пифагорова. Вообще, умножая числа пифагоровой тройки на любое натуральное число, всегда будем получать новую пифагорову тройку. А так как натуральных чисел бесконечно много, то и троек Пифагора также бесконечное количество.

Отдельно выделяют понятие примитивной пифагоровой тройки. Эта такая тройка, числа которой являются взаимно простыми, то есть не имеют общих делителей. Другими словами, примитивная тройка НЕ может быть получена из другой тройки простым умножением ее чисел на натуральное число. В частности, тройка (3; 4; 5)является примитивной, а «производные» от нее тройки (6; 8; 10) и (9; 12; 15) уже не примитивные.

Интересно, что примитивных троек также бесконечно много. Ещё Евклид предложил алгоритм для их поиска, который, однако, не изучается в рамках школьного курса геометрии.

Задание. Докажите, что у любого прямоугольного треуг-ка с целыми длинами сторон все эти длины не могут быть нечетными числами.

Предположим, что такой треуг-к существует. Пусть его стороны равны a, b и c, и эти числа нечетны. Тогда должно выполняться уравнение:

Заметим, что квадрат нечетного числа также является нечетным числом. Поэтому числа а², b² и с² – нечетные. Однако сумма нечетных чисел является уже четной. Поэтому выражение а² + b² четное. Таким образом, получается, что равенство

не может быть верным, ведь его левая часть четна, а правая – нечетна. Поэтому пифагоров треуг-к с тремя нечетными сторонами существовать не может.

Обратная теорема Пифагора

По теореме Пифагора из того факта, что в треуг-ке есть прямой угол, следует следующее соотношение между длинами его сторон:

Оказывается, верно и обратное: если в произвольном треуг-ке одна сторона (очевидно, большая из них) равна сумме квадратов двух других сторон, то из этого следует, что такой треуг-к является прямоугольным.

Это утверждение называют обратной теоремой Пифагора. Докажем её. Пусть есть некоторый ∆АВС, для сторон которого выполняется равенство

Так как ∆А₁В₁С₁ прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора. Найдем с ее помощью гипотенузу:

а именно это мы и доказываем.

Уточним разницу между собственно теоремой Пифагора и только что доказанной обратной ей теореме. В каждой теореме есть две ключевые части:

1) некоторое условие, которое описывает какое-то геометрическое построение;

2) вывод (или заключение), который делается для условия.

В самой теореме Пифагора в качестве условия описывается прямоугольный треугольник. Для него делается вывод – катеты, возведенные в квадрат, в сумме дадут квадрат гипотенузы.

В обратной же теореме условие и вывод меняются местами. В роли условия описывается треугольник, у которого большая сторона, возведенная во 2-ую степень, равна сумме двух других сторон, также возведенная в квадрат. Для этого описания делается вывод – такой треугольник обязательно должен быть прямоугольным.

Заметим, что не всякая обратная теорема является справедливой. Например, одна из простейших теорем гласит – если углы вертикальные, то они равны. Сформулируем обратную теорему – если углы равны, то они вертикальные. Понятно, что это неверное утверждение.

Задание. Выясните, является ли треуг-к прямоугольным, если его стороны имеют длины:

Решение. Здесь надо просто проверить, являются ли эти числа пифагоровыми тройками. Если являются, то соответствующий треуг-к окажется прямоугольным.

Задание. В ∆КМР проведена биссектриса МН. Её длина 12. КМ = 13 и КН = 5. Найдите МР.

Решение. Рассмотрим ∆МНК. Его стороны равны 5, 12 и 13. Но это одна из пифагоровых троек:

Отсюда следует, что треуг-к прямоугольный, причем МК – гипотенуза (гипотенуза – это длиннейшая сторона). Тогда ∠Н = 90°. Но это означает, что биссектриса МН ещё и высота. Но если в треугольнике одна линия одновременно и медиана, и высота, то это равнобедренный треуг-к, причем КР – его основание. Тогда

Формула Герона

Невозможно построить два треугольника с тремя одинаковыми сторонами. Это значит, что теоретически знания трех сторон треугольника достаточно, чтобы найти его площадь. Но как это сделать? Здесь может помочь формула Герона, которая выводится с помощью теоремы Пифагора.

Пусть стороны треуг-ка равны а, b и с, причем с не меньше, чем а и b. В любом треуг-ке есть хотя бы два острых угла, а тупой угол, если он есть, лежит против большей стороны. Это значит, что оба прилегающих кс угла – острые. Отсюда следует, что высота, опущенная нас, будет лежать внутри треуг-ка. Обозначим длину этой высоты как h. Пусть она разобьет сторону сна два отрезка длиной х и у:

По рисунку можно записать три уравнения:

Левая часть одинакова в обоих уравнениях, значит, равны и правые:

С учетом этого выразим h²:

Мы уже выразили высоту (точнее, ее квадрат) через длины сторон. Однако обычно в этой формуле производят замену и вводят число р, равное полупериметру треуг-ка, то есть

Площадь треуг-ка вычисляется по формуле:

Запоминать вывод формулы Герона не надо. Саму формулу всегда можно найти в любом справочнике по геометрии или в Интернете. Достаточно запомнить, что площадь любого треуг-ка можно вычислить, если известны все его стороны.

Задание. Стороны треуг-ка имеют длину 9, 7 и 8 см. Какова его площадь?

Решение. Пусть а = 9; b = 8; с = 7. Для использования формулы Герона сначала вычислим половину периметра треуг-ка:

Итак, сегодня мы узнали о теореме Пифагора. Она представляет собой соотношение, которое связывает катеты и гипотенузу в прямоугольном треуг-ке. Это соотношение помогает в исследованиях других фигур – квадратов, параллелограммов, трапеций. Также с его помощью выведена формула Герона, которая позволяет вычислять площадь треуг-ка, зная только длины его сторон.