Как найти площадь треугольника по трем высотам - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

mat:geom:triangle-area

Содержание

Площадь треугольника

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
p — полупериметр, $p = frac{a+b+c}{2}$

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.
Площадь треугольника равна произведению сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности.
Площадь треугольника по трем высотам легко выводится из формулы Герона
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

$$ begin{align} mbox{По высоте: } ; & S = frac12 a cdot h_a \[10pt]
mbox{По произведению сторон: } ; & S = frac{abc}{4R} \[10pt]
mbox{По полупериметру: } ; & S = p cdot r \[10pt]
mbox{По двум сторонам: } ; & S = frac12 cdot a cdot b cdot sin{gamma} \[12pt]
mbox{Формула Герона: } ; & S = sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} \[12pt]
mbox{По высотам: } ; & S = frac{1}{sqrt {(frac1{h_a}+frac1{h_b}+frac1{h_c})(-frac1{h_a}+frac1{h_b}+frac1{h_c})(frac1{h_a}-frac1{h_b}+frac1{h_c})(frac1{h_a}+frac1{h_b}-frac1{h_c})}} \[12pt]
mbox{По высотам и радиусу: } ; & S = frac{r}{sqrt3} (h_a+h_b+h_c) \[12pt]
mbox{По трем углам: } ; & S = 2R^2 sin{alpha} cdot sin{beta} cdot sin{gamma}
end{align} $$

$
$

Формула Герона

Интерактивная модель и калькулятор

Формула Герона для треугольника — это частный случай формулы Брахмагупты для четырехугольника, вписанного в окружность (одну из сторон положить равной 0):

$S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

где p — полупериметр четырехугольника

Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю.

Формула Пика

Площадь треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге.

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычислять по формуле Пика:
$$S = V+frac{G}{2}-1,$$
где $V$ — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника, $G$ — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Подробнее — см. ниже Теорема Пика.

Целочисленные площади

Задача

Вычислить площадь Бермудского треугольника.

Бермудский Треугольник — широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико.

Расстояние между вершинами треугольника в милях

Norfolk	Bermuda	850
Bermuda	Santiago	810
Norfolk	Santiago	894

В расчетах игнорировать кривизну поверхности Земли.

Задача

Может ли треугольник со сторонами больше километра иметь площадь, меньшую 1 мм²?

Теорема Пика. Нахождение площади решётчатого многоугольника

http://e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через $S$; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через $I$; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через $B$.

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:
$$S = I -B/2 + 1$$

В частности, если известны значения $I$ и $B$ для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за $O(1)$, даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

Единичный квадрат. В самом деле, для него S=1, B=4, I=0, и формула верна.
Произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через $a$ и $b$ длины сторон прямоугольника. Тогда находим: $S=ab$, $I=(a-1)(b-1)$, $B=2(a+b)$. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.
Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через C число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения C.
Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.
Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника.

Задача

Обобщение на высшие размерности

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.
(подробнее по ссылке на источник)

Как можно найти I и B на практике?

$B = gcd(abs(x_0-x_1),abs(y_0-y_1)) — 1$, где $gcd$ — наибольший общий делитель, $(x_0;y_0), (x_1;y_1)$ — точки, соединённые стороной многоугольника.

тут интересно находить не площадь, а количество точек внутри, потому что другого алгоритма я не видел для подсчета этого количества.

Литература:

Учебники:
Площадь треугольника по высоте, проведенной к стороне — Геометрия 8 класс
Геометрия 9 класс Мерзляк, параграф 1 — формула Герона, по произведению сторон, через радиус вписанной и описанной окружности

mat/geom/triangle-area.txt

· Последние изменения: 2020/02/21 17:21 —

Источник

Геометрия 8 класса — это, в основном, площади фигур. Во многих задачах фигурирует треугольник, некоторые элементы которого известны, и требуется найти площадь.

Здесь мы систематизируем формулы площади треугольника, грамотно применяя которые вы сможете решить любую задачу 8 класса по геометрии, а то и олимпиадную геометрическую задачу в 8, 9 или 10 классе.

1. Формула площади треугольника по основанию и высоте

Если в треугольнике известны основание a и проведённая к нему высота h_a, то площадь его будет равна полупроизведению основания на высоту.

$S=frac{1}{2}a h_a$

2. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Если в треугольнике известны две стороны a и b и угол между ними $alpha$, то его площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними.

$S=frac{1}{2}absinalpha$

3. Формула площади треугольника по трём сторонам (формула Герона)

Если в треугольнике известны три стороны, a, b, c то для определения площади у него нужно найти полупериметр $p=frac{a+b+c}{2}$ и вычислить площадь по формуле Герона:

$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Иногда формулу Герона ещё записывают так:
$S=frac{1}{4}sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))$

Кстати, сущесвтует и формула Герона для четырёхугольника.

4. Формула площади прямоугольного треугольника по двум катетам

Если треугольник прямоугольный и в нём известны два катета, a и b, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение катетов.

$S=frac{1}{2}ab$

5. Формула площади прямоугольного треугольника по одному катету и прилежащему углу

Если треугольник прямоугольный и в нём известен катет a и прилежащий угол $beta$, то площадь треугольника вычисляется как полупроизведение квадрата этого катета на тангенс прилежащего угла.

$S=frac{1}{2}a^2 tg beta$

Если же известен противолежащий угол, то площадь треугольника можно вычислить как полупроизведение квадрата этого катета на котангенс противолежащего угла.
$S=frac{1}{2}a^2 ctg alpha$

6. Формула площади равностороннего треугольника по его стороне

Если дан равносторонний треугольник со стороной a, то площадь его равна квадрату сторону, умноженному на корень из трёх и раделённому на 4.

$S=frac{a^2sqrt{3}}{4}$

7. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу описанной окружности

Если дополнительно к сторонам a, b, c треугольника известен и его радиус описанной окружности R, то площадь можно найти без формулы Герона, просто разделив произведение сторон на четыре радиуса описанной окружности.

$S=frac{abc}{4R}$

8. Формула площади треугольника по сторонам и радиусу вписанной окружности

Если у треугольника известны все стороны и ещё радиус вписанной окружности, то снова формула Герона будет не нужна. Площадь будет равна полупоризведению радиуса списанной окружности на пеример (ну или полупериметра на радиус описанной окружности).

$S=frac{(a+b+c)r}{2}=pr$

9. Формула площади треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

Бывает, что в треугольнике известна только одна строна a, зато два прилежащих к ней угла: $beta$ и $gamma$. В этом случае площадь находится как половина квадрата стороны на произведение синусов прилежащих углов, делённое на синус суммы этих углов.

$S=frac{1}{2}a^2frac{sinbetasingamma}{sin(beta+gamma)}$

10. Формула площади равнобедренного треугольника

Если в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны по a, а основание равно b, то его площадь можно вычислить по следующей формуле:

$S=frac{b}{4}sqrt{4a^2-b^2}$

11. Формула площади треугольника, который задан координатами своих вершин на плоскости

Если треугольник задан на плоскости координатами своих вершин: $(x_0; y_0)$, $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить как определитель матрицы:

$S=frac{1}{2}begin{vmatrix}x_0&y_0&1\x_1&y_1&1\x_2&y_2&1end{vmatrix}$

При этом если точки взяты по часовой стрелке, результат будет положительным, а если против часовой — отрицательным.

12. Формула площади треугольника, стороны которого заданы векторами

Если две стороны треугольника заданы векторами с общим началом и координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, то его площадь можно вычислить по формуле:

$frac{1}{2}|x_1 y_2 — x_2 y_1|$

13. Формула площади треугольника по трём медианам

Если у треугольника известны все медианы $m_a$, $m_b$, $m_c$, то его площадь можно найти по формуле, аналогичной формуле Герона:

$S = frac{4}{3} sqrt{sigma (sigma — m_a)(sigma — m_b)(sigma — m_c)}$,
где $sigma$ — полусумма медиан.

14. Формула площади треугольника по трём высотам

Если у треугольника известны все высоты $h_a$, $h_b$, $h_c$, то можно сначала найти величину $H = frac{frac{1}{h_a}+frac{1}{h_b}+frac{1}{h_c}}{2}$ (она в полтора раза больше среднего гармонического высот), а затем найти площадь по формуле:

$S=frac{1}{4 sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}}$

15. Формула площади треугольника по радиусу описанной окружности и всем углам

Если у треугольника известны все углы $alpha$, $beta$, $gamma$ и радуис описанной окружности R, то площадь треугольника можно найти как одну восьмую произведения квадрата радиуса вписанной окружности на произведение синусов углов.

$S = frac{1}{8}R^{2} sin alpha sin betasin gamma$

16. Формула площади треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычисляить по формуле Пика:
S = В+Г/2-1,
где В — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника,
Г — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Источник

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

По формуле Герона
Через основание и высоту
Через две стороны и угол
Через сторону и два прилежащих угла
Площадь прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a — основание треугольника; h — высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b — катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b — стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a — сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h — высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.

Источник

В этой статье собраны наиболее популярные формулы для нахождения площади треугольника.

Как найти площадь треугольника по высоте?

Если известно основание и высота, проведенная к основанию треугольника, можно вычислить площадь треугольника.

(S=frac{1}{2}a*h)

Калькулятор площади треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника:

Высота треугольника:

Как найти площадь треугольника: формула Герона

Формула площади треугольника Герона помогает вычислить ее по трем сторонам фигуры:

Треугольник

(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})

где (a,b,c) – стороны треугольника, (p=frac{a+b+c}{2}) – его полупериметр.

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам

Первая сторона треугольника:

Вторая сторона треугольника:

Третья сторона треугольника:

Формула нахождения площади треугольника по окружности

Как вычислить площадь треугольника, если известна окружность и три его стороны?

Как узнать площадь треугольника по окружности

(S=frac{a*b*c}{4R})

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

Первая сторона треугольника:

Вторая сторона треугольника:

Третья сторона треугольника:

Радиус описанной окружности R:

Как найти площадь прямоугольного треугольника

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, необходимо знать длины двух катетов. После этого можно воспользоваться формулой:

S = (a * b) / 2

, где a и b — длины катетов. Просто перемножьте значения длин катетов и разделите результат на два, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника.

Как узнать площадь треугольника по радиусу и полупериметру

Можно найти площадь треугольника, когда мы знаем полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника: формулы по вписанной окружности

(S=pr)

где r — радиус вписанной окружности, (p=frac{a+b+c}{2})– его полупериметр.

Калькулятор площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Первая сторона треугольника:

Вторая сторона треугольника:

Третья сторона треугольника:

Радиус вписанной окружности R:

Как найти площадь треугольника по стороне и тангенсу: формула

Формула нахождения площади по стороне и тангенсу углов треугольника:

S треугольника

(S=frac{c^2}{2(ctgA+ctgB)})

Основные формулы площади треугольника для учащихся 5-6 классов

Для ученика 5-6 класса обычно достаточно знать две формулы для вычисления площади треугольника:

Формула площади произвольного треугольника по основанию и высоте:

S = (a * h) / 2

где S — площадь треугольника, a — длина основания треугольника, h — высота треугольника, опущенная на это основание.
Формула Герона:

S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c))

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, p — полупериметр треугольника, равный половине суммы длин сторон:

p = (a + b + c) / 2

Здесь sqrt означает извлечение квадратного корня. Обе формулы могут быть использованы для вычисления площади треугольника в зависимости от имеющихся данных.

Как найти площадь равнобедренного и равностороннего треугольника

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, необходимо знать длину боковой стороны и высоту, проведенную к основанию. После этого можно воспользоваться формулой:

S = (a * h) / 2

, где a — длина основания, а h — высота, опущенная на основание.

Чтобы найти площадь равностороннего треугольника, необходимо знать длину любой стороны. После этого можно воспользоваться формулой:

S = (a^2 * sqrt(3)) / 4

, где a — длина любой стороны. Также можно использовать формулу через высоту:

S = (a * h) / 2

, где h — высота, опущенная из вершины на основание, а a — длина любой стороны.

Все формулы площади треугольника

Не знаете, как посчитать площадь треугольника? Собрали для вас все возможные формулы. как находить площадь треугольника:

Формула площади треугольника по основанию и высоте:

S = (a * h) / 2

где S — площадь треугольника, a — длина основания треугольника, h — высота треугольника, опущенная на это основание.
Формула Герона:

S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c))

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, p — полупериметр треугольника, равный половине суммы длин сторон:

p = (a + b + c) / 2
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними:

S = (a * b * sin(C)) / 2

где S — площадь треугольника, a и b — длины двух сторон треугольника, C — угол между этими сторонами (в радианах), sin — функция синуса.
Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности:

S = (a * b * c) / (4 * R)

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, R — радиус вписанной в треугольник окружности.
Формула площади треугольника через радиус описанной окружности:

S = (a * b * c) / (4 * R)

где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон треугольника, R — радиус описанной вокруг треугольника окружности.

Часто задаваемые вопросы

✅ Какие есть формулы площади треугольника?

↪ Формула площади треугольника по основанию и высоте: S = (a * h) / 2
Формула Герона: S = sqrt(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)), где p = (a + b + c) / 2
Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = (a * b * sin(C)) / 2
Формула площади треугольника через радиус вписанной окружности: S = (a * b * c) / (4 * R)
Формула площади треугольника через радиус описанной окружности: S = (a * b * c) / (4 * R)

✅ Как найти площадь треугольника формуле Герона?

↪ Формула площади треугольника Герона помогает вычислить ее по трем сторонам фигуры.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Площадь треугольника. Онлайн-калькулятор

Онлайн-калькулятор для расчета площади треугольника поможет Вам найти площадь треугольника несколькими способами в зависимости от известных данных. Наш калькулятор не просто рассчитает площадь треугольника, но и покажет подробное решение, которое будет показано под калькулятором. Поэтому данный калькулятор удобно использовать не только для быстрых расчетов, но и для проверки своих вычислений. С помощью данного калькулятора вы сможете найти площадь треугольника по следующим формулам: через основание и высоту, через две стороны и угол, по трем сторонам (формула Герона), через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности.

Выберите способ расчета площади:

Основание треугольника:

a =

Рассчитать

Треугольник – это геометрическая фигура, которая образована тремя отрезками. Эти отрезки называются сторонами треугольниками, а точки соединения отрезков – вершинами треугольника. В зависимости от соотношения сторон треугольники бывают нескольких видов: равнобедренный треугольник (две стороный треугольника равны между собой, эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника), равносторонний треугольник (у треугольника все три стороны равны), прямоугольный треугольник (один угол треугольника прямой).

Как найти площадь треугольника?

Найти площадь треугольника очень просто, достаточно воспользоваться нашим калькулятором или рассчитать самостоятельно, воспользовавшись формулой площади треугольника. В зависимости от того, какие данные известны, для расчета площади треугольника использует несколько способов: