Как найти площадь треугольника по вершинам онлайн

Этот калькулятор онлайн вычисляет площадь треугольника построенного на векторах. Треугольник может быть задан координатами двух векторов или
координатами трех вершин треугольника.

Онлайн калькулятор для вычисления площади треугольника построенного на векторах не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Правила ввода чисел

Определение
Векторы ( vec{a}, ; vec{b} ) и ( vec{c} ) называются компланарными, если они лежат в одной плоскости
или параллельных плоскостях.

Определение
Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой из них считается первым, вторым и третьим.

Например, в записи ( ( vec{a} ; vec{b} ; vec{c} ) ) вектор ( vec{a} ) считается первым, ( vec{b} )
— вторым, ( vec{c} ) — третьим.

Определение
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если после приведения их к общему началу из конца третьего
вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден совершающимся против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов
называется левой.

Определение
Векторным произведением вектора ( vec{a} ) на вектор ( vec{b} ) называется вектор
( vec{a} times vec{b} ), который определяется тремя условиями:
1) длина вектора ( vec{a} times vec{b} ) равна ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi ), где ( varphi )
— угол между векторами ( vec{a} ) и ( vec{b} )
2) вектор ( vec{a} times vec{b} ) перпендикулярен каждому из векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} )
3) векторы ( vec{a}, ;; vec{b}, ;; vec{a} times vec{b} ) образуют правую тройку векторов

Заметим, что условия 2 и 3 относятся к случаю, когда ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi neq 0 ), т.е. вектор
( vec{a} times vec{b} neq vec{0} ). Если же ( |vec{a}| |vec{b}| sin varphi = 0 ), то векторное произведение
определяется только условием 1: в этом случае ( vec{a} times vec{b} = 0 )

1. Если ( vec{a} ) и ( vec{b} ) — коллинеарные векторы, то ( vec{a} times vec{b} = 0 )

2. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов ( vec{a} ) и ( vec{b} ) равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.

3. ( vec{a} times vec{b} = — vec{b} times vec{a} ) свойство антиперестановочности сомножителей

4. ( ( alpha vec{a} ) times vec{b} = alpha ( vec{b} times vec{a} ) ) свойство сочетательности по отношению к
скалярному произведению

5. ( ( vec{a}+vec{b} ) times vec{c} = vec{a} times vec{c} + vec{b} times vec{c} ) свойство распределительности
относительно суммы векторов.

Теорема
Если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) заданы своими координатами:
( vec{a} left( a_x; a_y; a_z right), ;; vec{b} left( b_x; b_y; b_z right) ), то векторное произведение
векторов вычисляется по формуле:
( vec{a} times vec{b} = left( a_y b_z — b_y a_z ; ; ; a_z b_x — b_z a_x ; ; ; a_x b_y — b_x a_y right) )

Эту формулу с помощью определителей второго порядка можно записать в виде
( vec{a} times vec{b} = left( begin{vmatrix} a_y & a_z \ b_y & b_z end{vmatrix} ; ; ;
begin{vmatrix} a_z & a_x \ b_z & b_x end{vmatrix} ; ; ; begin{vmatrix} a_x & a_y \ b_x & b_y end{vmatrix} right) )