Как найти площадь треугольника зная только стороны

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм²);

• квадратный сантиметр (см²);

• квадратный дециметр (дм²);

• квадратный метр (м²);

• квадратный километр (км²);

• гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Пройдите тест и узнайте, какие темы отделяют от пятёрки по математике

Формулы площади для любого треугольника

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где

— основание,

— высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

, где

,

— стороны,

— угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где

,

,

— стороны,

— радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны.

, где

,

,

— стороны,

— радиус вписанной окружности.

, где

— полупериметр.

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где

— сторона,

и

— прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где

,

,

— стороны,

— полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника чаще всего используют одну формулу — половину произведения катетов. Потому что их всегда можно найти с помощью правил тригонометрии или теоремы Пифагора.

, где

,

— стороны.

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где

— гипотенуза,

— любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где

— катет,

— прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где

— гипотенуза,

— радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где

,

— части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где

,

— катеты,

— полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Ниже мы покажем разные формулы для площади равнобедренного и равностороннего треугольника, их редко используют, но их легко вывести самому. Попробуйте сделать это самостоятельно.

Вычисление площади через основание и высоту

, где

— основание,

— высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними.

, где

— боковая сторона,

— угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где

— радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где

— радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

, где

— сторона.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

, где

— высота.

Таблица формул нахождения площади треугольника

В задачах встречаются разные фигуры, и кажется, что нужны разные формулы. Но на самом деле, зная всего несколько формул для треугольника и пользуясь теоремами и свойствами геометрии, можно найти площадь любой фигуры.

Скачать таблицу

Но что делать, если нужно решить контрольную по математике или геометрии быстро, а вы плохо знаете конкретную тему? Закажите контрольную по математике онлайн у специалистов, которые помогут быстро выполнить задание и пояснят решение.

Как найти площадь треугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.

Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Формула площади треугольника по основанию и высоте

(S = {{a*h} over 2})

(a) — сторона к которой проведена высота (основание)

(h) — высота

Формула площади треугольника через две стороны и угол между ними

(S = 0,5*a*b*sinalpha)

a, b — стороны, прилежащие к углу (alpha)

Формула площади треугольника через три стороны и описанную окружность

(S = frac{a*b*c}{4R})

(R) — радиус описанной окружности

(a, b, c) — длины сторон треугольника

Примеры

1. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 6 см и 12 см, а угол между этими сторонами равен 30 градусов.

Решение: 

(S= 0,5 *a*b*sin alpha= 0,5*6*12*sin30 = 18) (Ответ 18 см2)

2. Найдите площадь треугольника, если высота равна 4 см. , а основание равно 8 см.

Решение:

(S = {{a*h} over 2} = {{8*4} over 2} = 16) (Ответ 16 см2)

3. Треугольник вписан в окружность радиусом 10см. Длины сторон треугольника 8 см, 6 см и 4 см. Найдите площадь вписанного треугольника со сторонами, равными этим числам, зная радиус описанной окружности.

Решение: 

(S = frac{a*b*c}{4R} = frac{8*6*4}{4*10} = 4,8)