We see solids everywhere where we look. Most of the time these solids are either in the shape of a cube, cylinder, and cone, etc., or in the shape that combines these shapes. It is essential in many of the real-life problems for us to know how to calculate the area and volume of these shapes. For example, a painter might want to know the area he/she has to paint for the given shape. Similarly, before making a metal sphere ball, we need to know how much material will be required. All these things require some knowledge of the volume and surface areas of the basic shapes. Let’s see them in detail.
Surface Area and Volume of Solid Shapes
The surface area is the area that describes the amount of material used to cover a geometric solid while the volume can be defined as a measure of how much space the solid takes. It is essential to know the formulas for calculating the areas and volumes for basic shapes. Let’s look at the surface of the following shapes:
Cuboid
The figure below shows the cuboid shape, this is the shape of our boxes, cartons, etc, our goal is to derive the formulas to calculate its surface area and the volume. Let’s say the length of the cuboid is “l”, the breadth is “b” and the height is “h”.
Surface Area of Cuboid
To calculate the surface area of the cube, let’s open it up like in the figure given below. Now the figure shows the flattened cuboid. It has 6 rectangles which correspond to the six faces of the cuboid. For the surface area of the cube, we need to find out the total area of all the rectangles.
Total surface area = Area of rectangle 1 + Area of rectangle 2 + Area of rectangle 3 + Area of rectangle 4 + Area of rectangle 5 + Area of rectangle 6
⇒ (l × h) + (l × b) + (l × h) + (l × b) + (b × h) + (b × h)
⇒ 2(lh + lb + bh)
Thus, the surface area of cuboid = 2 (lh + lb + bh)
Volume of Cuboid
We know that the volume of a region is given by its magnitude, that is how much space it takes.
The volume of a cuboid = base area x height
= l × b × h
= lbh
Cube
Cube is a solid shape with has all of its sides of equal length. We know that a cube is just a cuboid with all the sides equal. Our goal is to derive the formulas for calculating the surface area and the volume of the cube. The figure below represents a cube. Notice that all the sides are equal, and it looks similar to the cuboid. A cube is basically a cuboid that has all of its sides of equal length. That is,
l = b = h = a
Where “a” is the length of the side of the cube.
Surface Area of Cube
Thus, putting this in the above formula
Surface area of cube = 2(a2 + a2 + a2)
⇒ 2(3a2) = 6a2
Volume of Cube
Similar to above method, let’s substitute the length of side in the formula.
Volume = lbh
= aaa
= a3
Right Circular Cylinder
The cola cans we use are an example of a right circular cylinder. It can also be found in other places in our lives, for example, our pens also look similar to cylinders. The figure below shows a cylinder and its unrolled version which will be used for calculating surface area. Let’s say the height of the cylinder is “h” and its radius is “r”.
Surface Area of Cylinder
The figure above shows a cylinder when it is unrolled. It becomes easy to find its surface area once it is unrolled. Notice that the cylinder once unrolled looks like a rectangle. The breadth of the rectangle will be given by “h” but the length is given by the circumference of the cylinder.
Circumference of the cylinder = 2πr
Area of the rectangle = 2πrh
Thus, the Surface area of the Right Circular Cylinder = 2πrh
Total surface area of the right circular cylinder = Surface Area of the cylinder + Area of base
= 2πrh + 2πr2 = 2πr(r+h)
Volume of Cylinder
Volume of cylinder = base area x height
= πr2 × h
= πr2 h
Sphere
A sphere is a three-dimensional figure (solid figure), which is made up of all points in the space, which lie at a constant distance called the radius, from a fixed point called the Centre of the sphere. The figure below shows a sphere, and its flattened version when it is cut. This is used to calculate the surface area of the sphere.
Surface Area of a Sphere
As similar to the above cases, we will cut the sphere and flatten it.
In the figure, we can see that when a sphere is cut, it generates an area equivalent to four spheres.
Thus, the surface area of the sphere = 4πr2
Volume of the Sphere
This formula is proved experimentally, so we cannot present any proof here.
Volume of Sphere =
Cone
A cone is a three-dimensional figure having the base as a circle and the height tapers and meets at a point in the end. Apex is the name of the pointed end of the cone, we see a lot of shapes in form of a cone in our everyday life, for example, the ice cream is in the shape of a cone, etc.
In the figure below, the cone has a radius of “r”, and a height of “h”.
Surface Area of Cone
The surface area of the cone is given by
Curved surface Area of cone =
Where,
Volume of Cone
The volume of the cone is given by,
Volume of Cone =
Hemisphere
Imagine a plane dividing the sphere in two equal parts, each part is known as a Hemisphere. The term hemisphere is used to explain the different parts on the globe, Northern Hemisphere, Southern Hemisphere, eastern hemisphere, western hemisphere.
Surface Area of a Hemisphere
Since a Hemisphere is half a sphere, The surface area will be half as well but along with that, a base in the shape of a circle is also visible that too is included in the surface area of the hemisphere.
Therefore, the surface area of a hemisphere= 2πr2+πr2
= 3πr2
Volume of a Hemisphere
The Volume of the hemisphere will be half the volume of sphere.
Volume of hemisphere=
Prism
A Prism is a three-dimensional figure having two bases facing each other, these bases can be the shape of a triangle, rectangle, or any polygon. The material of prism is mostly fluorite, glass, plastic.
The base of the prism can be regular or irregular, if the base is irregular, it is called as irregular prism. If the base of the prism is regular, the prism is a regular prism.
Surface area of the Prism
Let’s look at the surface area of the Triangular prism,
Surface area of the prism= 2(area of triangular bases) + (area of rectangle with base b and length l) +2(area of rectangle with side s and length l).
Surface area of the Prism= 2(1/2 ×b× h) +2(s× l) +(b×l)
= (b×h) + 2(s×l) + (l×b)
Volume of the prism
The volume of the prism is the area of the square multiplied by the height/length of the prism,
Volume of Prism= 1/2 bhl
Let’s see some sample problems on these concepts
Sample Problems
Question 1: Find the volume and surface area of a cube whose side is a = 10cm.
Solution:
We know the formulas for surface areas and volume.
Surface Area = 6a2
= 6(10)2 {Given a = 10cm}
= 6 (100)
= 600 cm2
Volume of the cube = a3
= (10)3
= 1000 cm3
Question 2: Find the volume and surface area of the water tank which is in the shape of a cylinder with a radius of 10m and height of 40m.
Solution:
We know the formulas for surface areas and volume for cylinder.
r = 10 and h =40.
Surface Area of the cylinder = Curved Surface Area + Area of bases
Volume of the Cylinder,
Question 3: Find the volume and surface area of an ice cream cone whose radius is 3cm and height is 4cm.
Solution:
An ice cream cone is basically a cone. We need to find the area and the volume for that cone. Since the cone is not closed from the top, we only need to find the curved surface area.
Surface Area of cone,
Volume of the cone,
Question 4: Find the volume and surface area of the sphere whose radius is 10cm.
Solution:
Given r = 10cm.
Surface Area
Volume
Question 5: Find the surface area of the hemisphere with radius 7cm, also find the volume.
Solution:
Surface area of the hemisphere=
= 3× 22/7× (7×7)
=462 cm2
Volume of hemisphere
= 1437.333 cm3
Question 6: Find the surface area of a triangular prism mentioned in the figure below,
Solution:
Surface area of the Prism = (b×h) + 2(l×s)+ (l×b)
= (5×5)+ 2(7×10) +(5×10)
= 25+ 140+ 50
= 75+ 140
= 215cm2
МАТЕМАТИКА
Калькулятор для Общая площадь поверхности кубоида
Альтернативное название: Калькулятор площади восьмиугольного куба
Этот калькулятор поможет вам найти площадь поверхности формы кубовид. Формула, используемая в этом калькуляторе, приведена ниже.
Чтобы использовать этот калькулятор, вам необходимо знать длина, ширина и высота.
Чтобы дать вам лучшую мысленную модель кубовид, вы можете взглянуть на визуализацию ниже. Вы можете перемещаться по 3D-модели кубовид как хотите.
CALCULATOR.RESULTS.HEADER
Площадь Поверхности = 600.0
Формула Кубовид Площадь Поверхности
Объяснение переменной формулы:
- C представляет площадь поверхности.
- l представляет Длина.
- w представляет Ширина.
- h представляет Высота.
Формула LaTeX
Если вы работаете в редакторе на основе TeX, вы можете использовать эту формулу TeX для вычисления кубовид площадь поверхности.
mathrm{C}:=2cdotleft(mathrm{l}cdot w+ wcdotmathrm{h}+mathrm{h}cdotmathrm{l}right)
Как Рассчитать Кубовид Площадь Поверхности Для Себя
Расчет площадь поверхности довольно просто, если знать приведенную выше формулу. Выполните следующие действия:
-
Затем измените следующие переменные своими значениями:
- l следует заменить на Длина вашего кубовид. Например, l можно изменить на 10.
- w следует заменить на Ширина вашего кубовид. Например, w можно изменить на 10.
- h следует заменить на Высота вашего кубовид. Например, h можно изменить на 10.
- Теперь вы можете ввести это в калькулятор и получить ответ.
Как найти площадь куба
Куб – одна из простейших трехмерных фигур. Каждому знакомы кубики льда, квадратные коробки или кристаллы соли – все они являются такими фигурами. Площадь поверхности куба – это общая площадь всех сторон на его поверхности. Все шесть его граней соразмерны, поэтому, зная длину одной из них, можно рассчитать боковую площадь и площадь поверхности любой фигуры.
1
Как найти площадь куба – что собой представляет фигура?
Куб – это трехмерная фигура, которая имеет одинаковые размеры. Его длина, ширина и высота идентичны, а каждое ребро встречает другие края под одним углом. Поиск площади поверхности куба быстрый и удобный, поскольку он состоит из конгруэнтных или соразмерных квадратов. Итак, как только вы найдете размер одного из квадратов, вы узнаете площадь всей фигуры.
2
Как найти площадь куба – грани фигуры
Из иллюстрации видно, что куб имеет переднюю и заднюю грань, две боковые и верхнюю с нижней стороны. Площадь любого куба будут составлять шесть конгруэнтных квадратов. Фактически, если развернуть его, можно четко увидеть шесть квадратов, которые составляют общую поверхность фигуры.
3
Как найти площадь куба
Площадь куба состоит из площади шести граней. Поскольку все они равны, достаточно знать площадь одной из них и умножить значение на 6. Площадь фигуры также находят по простой формуле: S = 6 x а², где «а» – одна из сторон куба.
4
Как найти площадь куба – установите площадь стороны
- Предположим, что высота куба составляет 2 см. Поскольку его поверхность состоит из квадратов, все его края будут иметь одинаковую длину. Поэтому, исходя из размеров высоты, его длина и ширина будут составлять 2 см.
- Чтобы найти площадь одного из квадратов, вспомните базовые знания геометрии, где S = а², где а – длина одной из сторон. В нашем случае, а = 2 см, так что S = (2 см)² = 2 см х 2 см = 4 см².
- Площадь одного из квадратов поверхности составляет 4 см². Не забудьте указать свое значение в квадратных единицах.
5
Как найти площадь куба – пример
Поскольку вся поверхность фигуры состоит из шести соразмерных квадратов, нужно умножить площадь одной стороны на 6, следуя формуле S = 6 x а². В нашем случае S = 6 х 4 см² = 24 см². Площадь трехмерной фигуры составляет 24 см².
6
Находим площадь куба, если сторона выражена в дробях
Если вам сложно работать с дробью, конвертируйте ее в десятичную.
Например, высота куба 2 ½ см.
- S = 6 х (2½ см) ²
- S = 6 х (2,5 см) ²
- S = 6 х 6,25 см ²
- S = 37,5 см ²
- Площадь поверхности куба – 37,5 см ².
7
Зная площадь куба, находим его сторону
Если площадь поверхности куба известна, можно определить длину его сторон.
- Площадь куба составляет 86,64 см². Необходимо определить длину грани.
- Решение. Поскольку известна площадь поверхности, нужно считать в обратном порядке, разделив значение на 6, а затем извлечь квадратный корень.
- Сделав необходимые вычисления, получаем длину 3,8 см.
8
Как найти площадь куба – онлайн измерение площади
Используя калькулятор на сайте OnlineMSchool , можно быстро вычислить площадь куба. Достаточно ввести нужное значение стороны и сервис выдаст детальное пошаговое решение задания.
Итак, чтобы знать площадь куба, вычислите площадь одной из сторон, затем умножьте результат на 6, так как фигура имеет 6 равных сторон. Можно при подсчете использовать формулу S = 6а². Если задана площадь поверхности, возможно определить длину боковой части, проделав обратные шаги.
Как рассчитать площадь поверхности AutoCAD 3d?
- Выберите вкладку «Главная» панель «Утилиты» раскрывающийся список «Измерить площадь». Находить.
- В командной строке введите o (Объект).
- Выберите объект.
Как определить размер 3D-объекта в AutoCAD?
Разместите размер с помощью ПСК:
- Перейдите на вкладку «Главная».
- Наведите указатель мыши на панель координат.
- Нажмите на исходную UCS.
- Поместите ПСК на грань объекта, где необходимо добавить размер.
- Перейдите на вкладку «Аннотации».
- Щелкните Размер.
- Поместите размер там, где это необходимо.
Как найти площадь наклонной поверхности?
Умножить гипотенузу на длину крыши. Результатом является площадь поверхности наклонной крыши. Например, если наклонная поверхность имеет ширину 11.18 фута, а длина крыши 30 футов, площадь наклона составляет 335.4 квадратных фута — 11.18 х 30 = 335.4.
Что такое формула площади?
Для прямоугольника длиной l и шириной w формула для вычисления площади имеет следующий вид: A = lw (прямоугольник). То есть площадь прямоугольника — это длина, умноженная на ширину. В качестве особого случая, поскольку l = w в случае квадрата, площадь квадрата со стороной s определяется по формуле: A = s2 (площадь).
Как измерить площадь?
Основная формула квадратных футов
Умножьте длину на ширину, и вы получите квадратные футы. Вот основная формула, которой вы можете следовать: Длина (в футах) x ширина (в футах) = площадь в кв.
По какой формуле можно найти площадь и объем трехмерных фигур любых 3-х фигур)?
Блок 9 Раздел 4: Площадь поверхности и объем трехмерных фигур
| Cubo,en | Объем = x³ Площадь = 6x² |
|---|---|
| Кубоид | Объем = xyz Площадь поверхности = 2xy + 2xz + 2yz |
| цилиндр | Объем = π r²h Площадь криволинейной поверхности = 2π rh Площадь каждого конца = π r² Общая площадь поверхности = 2π rh + 2π r² |
Как найти площадь поверхности неправильной трехмерной фигуры?
Для обычной призмы (у которой все стороны одинаковые) вычислите площадь одной из сторон и умножьте на общее количество сторон. Для призм неправильной формы (с разными сторонами) рассчитайте площадь каждой стороны. Сложите два ответа вместе (концы × стороны) чтобы найти общую площадь призмы.
Что такое три измерения?
Трехмерная вселенная состоит из трех измерений, ширина, ширина и высота.
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления площади куба
- 1. Через длину ребра
- 2. Через длину диагонали грани
- Примеры задач
Формула вычисления площади куба
1. Через длину ребра
Площадь (S) поверхности куба равна произведению числа 6 на длину его ребра в квадрате.
S = 6 ⋅ a2
Данная формула получена следующим образом:
- Куб – это правильная геометрическая фигура, все грани которого являются равными квадратами с длиной стороны a (одновременно является ребром куба).
- Площадь каждой грани считается так: S = a ⋅ a = a2.
- Всего у куба 6 граней, а значит, площадь его поверхности равняется шести площадям одной грани: S = 6 ⋅ a2.
2. Через длину диагонали грани
Сторона любой грани куба (ребро) может быть рассчитана через длину ее диагонали по формуле: a=d/√2.
Это значит, что вычислить площадь поверхности фигуры можно так:
S = 6 ⋅ (d/√2)2
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь поверхности куба, если длина его ребра составляет 12 см.
Решение:
Используем первую формулу выше и получаем:
S = 6 ⋅ (12 см)2 = 864 см2.
Задание 2
Площадь поверхности куба равняется 294 см2. Вычислите длину его ребра.
Решение:
Примем ребро куба за a. Из формулы расчета площади следует:
Задание 3
Вычислите площадь поверхности куба, если диагональ его грани равняется 5 см.
Решение:
Воспользуемся формулой, в которой задействована длина диагонали:
S = 6 ⋅ (5 см : √2)2 = 75 см2.