Как найти площадь усеченного конуса параллельной основанию

Как рассчитать площадь усеченного конуса

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности усеченного конуса онлайн. Для расчета задайте радиусы и образующую.

Усеченный конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Образующая конуса — это отрезок, соединяющий вершину и границу основания.

Площадь поверхности усеченного конуса

1. Площадь боковой поверхности усеченного
   конуса равна разности площадей боковых
   поверхностей полного конуса и конуса,
   отсекаемого плоскостью, параллельной
   основанию конуса.

Пусть Р – вершина конуса, из которого
получен усеченный конус, АА1-одна из
образующих

Усеченного конуса О и О1 – центры
оснований. Используя формулу Sбок для
конуса получаем

S бок =   πr*PA-πr1*PA1=πr(PA1+AA1)- πr1PA1, отсюда,
учитывая, что AA1=L, находим

Sбок =πrL +π (r — r1)PA1

Выразим РА1 через L1, r и  r1. Прямоугольные
треугольники РО1А1 и РОА подобны, так
как имеют общий острый угол Р и поэтому
PA1/PA=r/r1 или PA1/PA1+L=r/R1. Получаем 
PA1=Lr1/R-r1.  S=πrL + (π(r-r1)Lr1)/r-r1=πrL+πr1L=πL(r+r1) 

Sбок =πL(r+r1)

2.    Площадь полной поверхности
усеченного конуса равна сумме площадей
боковой поверхности усеченного конуса
и оснований

Sполн
= S1+S2+Sбок=πL(r+r1)+
πR²+πr²

Обьем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен разности
объемов полного конуса и конуса,
отсекаемого плоскостью, параллельной
основанию конуса.. Обьем усеченного
конуса V, высота которого равна h, а
площади оснований S и S1 вычисляется по
формуле

V=1/3h(S+S1+√S*S1)

рисунок 8                   
рисунок  9

Касательной  плоскостью 
к  конусу  называется  плоскость,
проходящая через образующую  конуса 
и  перпендикулярная плоскости  
осевого   сечения,   содержащей  
эту   образующую

За величину боковой поверхности конуса
(полного или усеченного) принимается
предел, к которому стремится боковая
поверхность вписанной в этот конус
правильной пирамиды (полной или
усеченной), когда число сторон правильного
многоугольника, вписанного в основание,
неограниченно увеличивается (и,
следовательно, площадь каждой боковой
грани неограниченно убывает).

Теорема. Боковая поверхность конуса
равна произведению длины окружности
основания на половину образующей.

В
пишем
в конус какую-нибудь правильную пирамиду.
Пусть p — длина периметра
основания, l — длина
апофемы пирамиды, L —
образующая конуса. Предположим, что
число сторон вписанного в основание
многоугольника неограниченно возрастает.
Тогда периметр p будет
стремиться к пределу, принимаемому за
длину окружности основания C,
а апофема l будет иметь
пределом образующую конуса, значит
боковая поверхность вписанной пирамиды,
равная

,
будет стремиться к пределу
.
Этот предел и принимается за величину
боковой поверхности конуса, то есть

.

Чтобы получить полную поверхность
конуса, достаточно приложить к боковой
поверхности площадь основания:

.

Теоремы:.
Теорема. Плоскость, параллельная
плоскости основания конуса, пересекает
конус по кругу, а боковую поверхность 
— по окружности с центром на оси
конуса.

Доказательство.
Пусть 

 
— плоскость, параллельная плоскости
основания конуса и пересекающая конус
(рис.5). Преобразование гомотетии
относительно вершины конуса, совмещающее
плоскость

  
с плоскостью основания, совмещает
сечение конуса плоскостью

  
с основанием конуса. Следовательно,
сечение конуса плоскостью есть круг, а
сечение боковой поверхности – окружность
с центром на оси конуса. Теорема
доказана.

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Теоремы:
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Боковая
поверхность усеченного конуса равна
произведению полусуммы длин окружностей
оснований на образующую.

Доказательство.

В
пишем
в усеченный конус какую-нибудь правильную
усеченную пирамиду. Пусть p
— периметр нижнего основания,

 —
периметр верхнего, l
— длина апофемы пирамиды,

L — образующая усеченного
конуса. При неограниченном возрастании
числа боковых граней вписанной пирамиды
периметры p и

 стремятся
к пределам, принимаемым за длины
окружностей оснований C
и

,
а апофема l имеет
пределом образующую L
=> величина боковой поверхности
вписанной пирамиды, равная

,
будет стремиться к пределу

.
Этот предел и принимается за величину
боковой поверхности усеченного конуса,
то есть

.

Чтобы получить полную поверхность
усеченного конуса, достаточно приложить
к боковой поверхности сумму площадей
двух оснований:

.

Следствие:

Если в трапеции

,
от вращения которой получается конус,
провести среднюю линию BC,
то

 =>


 =>


.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого усеченного кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем пример решения задачи для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления площади усеченного конуса

Примечание: иногда усеченный конус, также, называют коническим слоем.

1. Боковая поверхность

Чтобы найти площадь (S) боковой поверхности прямого усеченного кругового конуса, необходимо знать длину его образующей, а также радиусы двух оснований.

S_бок. = πRl + πrl = πl(R + r)

Примечание: в этой и других формулах ниже число π чаще всего округляется до 3,14.

2. Основания

Основаниями кругового усеченного конуса являются два круга, площади которых считаются таким образом:

S_осн.1 = πR ²

S_осн.2 = πr ²

Примечание: если вместо радиусов (R или r) даны соответсвующие им диаметры (d), их следует разделить на 2, чтобы получить нужные радиусы.

3. Полная площадь

Чтобы вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса, требуется сложить площади его боковой поверхности и двух оснований.

S_полн. = πl(R + r) + πR ² + πr ² = π(lR + lr + R ² + r ²)

Пример задачи

Найдите площадь поверхности усеченного конуса, если известно, что радиусы его оснований равны 6 и 11 см, а длина образующей составляет 8 см.

Решение

Все известные значения для вычисления площади нам известны, так что остается лишь подставить их в формулы, приведенные выше.

S_бок. = 3,14 ⋅ 8 см ⋅ (6 см + 11 см) = 427,04 см²

S_осн.1 = 3,14 ⋅ (11 см) ² = 379,94 см²

S_осн.2 = 3,14 ⋅ (6 см) ² = 113,04 см²

S_полн. = 427,04 см² + 379,94 см² + 113,04 см² = 920,02 см²

Площадь поверхности усеченного конуса, формула.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. См. также Объем усеченного конуса

Боковая площадь поверхности усеченного конуса, формула.

Боковая площадь поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

[S=pi (r_1 + r_2) l]

(r₁ — радиус нижнего основания усеченного конуса; r₂ — радиус верхнего основания усеченного конуса; l — образующая усеченного конуса)

Вычислить площадь боковой поверхности усеченного конуса по формуле (1).

Полная площадь поверхности усеченного конуса, формула.

Полная площадь поверхности усеченного конуса равна сумме площадей боковой поверхности усеченного конуса и его оснований. Основания усеченного конуса есть круги и их площадь вычисляется по формуле площади круга:

[S=pi (r_1^2 + (r_1 + r_2) l + r_2^2) ]

(r — радиус вращения усеченного конуса; l — образующая усеченного конуса)

Вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса по формуле (2).

Ссылки по теме

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки: