Как найти площадь в вольфрам

EMBED

Время на прочтение
4 мин

Количество просмотров 13K

Перевод поста Peter Barendse «Surfaces and Solids of Revolution: Using Wolfram|Alpha’s «Virtual Potter’s Wheel»».
Код, приведенный в статье, можно скачать здесь.
Выражаю огромную благодарность Кириллу Гузенко KirillGuzenko за помощь в переводе и подготовке публикации

Ещё до появления современной технологии 3D печати у нас была возможность создавать объекты практически любой формы, и единственные ограничения для человечества были связаны лишь с точностью, которую мы можем обеспечить. И на пути преодоления этих ограничений были разработаны разнообразные устройства, способные производить изделия очень сложных форм; кульминацией этого процесса (до появления 3D-принтеров) стало появление станков с ЧПУ и большим количеством степеней свободы:

Исторически одним из первых подобных устройств, был, пожалуй, гончарный круг, с помощью которого у нас появилась возможность создавать весьма точные осесимметричные изделия произвольного профиля. Я до сих пор воспринимаю это как волшебство, смотря на то, как гончар формирует кривую своими руками; то, как эта кривая задаёт форму для всей вазы через вращение колеса:

Простым обобщением гончарного круга является токарный станок. По сути это гончарный круг для дерева или металла. Токарные станки похожи на гончарные колеса, однако заготовка располагается горизонтально, а кривую формирует некоторый острый режущий инструмент. Режущий инструмент также может быть прикреплен к направляющей с некоторым контуром, в результате чего можно производить изделия одинаковой формы.

Станок и гончарный круг могут производить определённый класс тел, которые называются телами вращения. Поверхность тела вращения есть поверхность вращения.

С точки зрения математики поверхность вращения есть результат вращения некоторой кривой, заданной на плоскости, вокруг оси (ось должна лежать на той же плоскости). Полученная поверхность вращения располагается в трехмерном пространстве. Тело вращения есть результат вращения некоторой двумерной области вокруг оси.

Поверхности и тела вращения обычно изучают на втором семестре курса математического анализа – как одну из сфер применения интегрирования. Помню, эта тема показалась мне весьма полезным учебным материалом, ведь это следующий наиболее интуитивный пример концепции интегрирования после площади под графиком, в котором, правда, используется одиночный интеграл.

Вместе с 3D-печатью и Wolfram Language студенты имеют возможность добавить визуальное представление и опыт проектирования к теории и математической интуиции, которые они уже имеют. И, как будет показано далее, совсем не обязательно что-то знать из области программирования или уметь производить расчёты для того, чтобы использовать «виртуальный гончарный круг» в Wolfram|Alpha! И, повинуясь зову гончарного круга, давайте сделаем какую-нибудь чашку!

После некоторого изучения различных функций в Wolfram|Alpha (ладно, признаюсь, тут я использовал Wolfram Language, чтобы иметь возможность интерактивного управления формой кривой) я нашёл интересную кандидатуру на роль кривой для нашей чашки – из неё должно получиться нечто вроде коктейльного бокала:

Теперь я могу просто поменять plot (построить) на revolve (провращать), а Wolfram|Alpha расскажет мне о моём бокале и покажет его изображение:

В дополнение к уравнениям, которые определяют тело и поверхность, я получаю значение объёма внутри тела и площадь его поверхности. Объем около 120 – это означает, что если в качестве единицы измерения мы использовали сантиметры, то мой бокал будет вмещать в себя 120 мл (120 куб.см).

Однако этот объем включает в себя и то, что заключено в ножке бокала и в его основании. Часть этого пространства необходимо зарезервировать для стекла (или другого материала, из которого будет изготовлен бокал). Потому давайте добавим внутреннюю кривую – я её задал путем смещения исходной кривой на 1/6 вниз и взятия её на промежутке от 3 до 7:

Теперь я мог бы либо распечатать этот график для использования его в качестве шаблона на своем токарном станке (если бы у меня такой был), либо продолжить работать с «виртуальным гончарным колесом»:

Теперь я знаю, сколько материала мне потребуется для производства одного бокала – около 20 куб.см., то есть у нас остаётся около 100 мл пространства для размещаемого в бокале питья. Можно также вычислить то, сколько краски нам нужно потратить для окрашивания бокала. Площадь его поверхности составляет приблизительно 233 см², а на банках с краской обычно указывается то, на покраску какой площади её хватит.

Чтобы распечатать эту чашу через сайт Shapeways, я воспользовался упрощенным способом, о котором в прошлом году писал Виталий Кауров.

Хоть я и могу построить любую поверхность вращения в Wolfram Language с помощью RevolutionPlot3D, вместо этого я просто скопировал «Параметрическое представление поверхностей» и использовал его в ParametricPlot3D (а если вы хотите реализовать это через Wolfram|Alpha, то скопируйте «Текстовый ввод в Wolfram Language» из «Параметрического представления поверхностей» – часть вывода Wolfram|Alpha). Оказалось, что мне нужно было кое-что поменять, чтобы удовлетворить требованиям Shapeways: во-первых, необходимо было перевести сантиметры в миллиметры, чего я добился, увеличив все размеры в 10 раз (посредством ScalingTransform), а во-вторых мне нужно было задать толщину в 1.6 мм, что я реализовал с помощью PlotStyle:

Единственное, что после этого потребовалось – загрузить чашку в .stl формате на их вебсайт:

И… вуаля! Вот изображение готового бокала, воплощенного в пластике (стоило это всё $23):

В Wolfram|Alpha можно создавать самые разнообразные поверхности и тела вращения, используя различные функции, оси и параметры вращения:

Я могу даже провращать бесконечно длинную часть кривой, что приведёт нас к математическому «парадоксу» под названием рога Гавриила (или труба Торричелли):

Wolfram|Alpha сообщает, что полученный объем равен π, однако площадь поверхности бесконечна! Кажется, из этого следует, что я могу заполнить рог конечным количеством краски, однако этого количества не должно хватить на то, чтобы покрыть всю внутреннюю поверхность – какой-то абсурд получается. Разумеется, слой краски на самом деле не является двумерным, и в некоторый момент трубка сузится настолько, что через неё больше не сможет пройти ни одной молекулы, так что с точки зрения физики мы не имеем никакого парадокса.

Вскоре пользователи Wolfram|Alpha Pro смогут получить доступ к пошаговым решениям задач о нахождении площади и объема поверхности вращения, показывающие, как можно вычислить отдельные составляющие поверхности или объема и объединить их вместе. Я был бы рад услышать от вас идеи о том, как еще можно использовать данную методику.

И вот, держа сейчас этот бокал в руках (отчасти потому, что я не учёл его склонность к опрокидыванию), я предлагаю тост: за творчество и за те инструменты, которые позволяют реализовать наши идеи. Будем!

Как правильно вводить формулы на вольфрам альфа

Основные операции

Примеры

• 314+278; 314—278; 314*278; 314^278;
• (a^2+b^2)+(a^2-b^2); (a^2+b^2)/(a^2-b^2); (a+b)^(2+2/3).

Знаки сравнения

Логические символы

Основные константы

Основные функции

• : x^a

модуль x: abs(x)

Решение уравнений

Чтобы получить решение уравнения вида достаточно записать в строке Wolfram|Alpha: f[x]=0, при этом Вы получите некоторую дополнительную информацию, которая генерируется автоматически. Если же Вам необходимо только решение, то необходимо ввести: Solve[f[x]=0, x].

Примеры

• Solve[Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0,x] или Cos[x]+Cos[2x]+Sin[4x]=0;
• Solve[x^5+x^4+x+1=0,x] или x^5+x^4+x+1=0;
• Solve[Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0,x] или Log[3,x^2+x+1]-Log[9,x^2]=0.

Если Ваше уравнение содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]=0 даст весьма разнообразный набор сведений, таких как решение в целых числах, частные производные функции и т. д. Чтобы получить решение уравнения вида по какой-либо одной из переменных, нужно написать в строке: Solve[f[x, y, …, z]=0, j], где — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos[x+y]=0 или Solve[Cos[x+y]=0,x] или Solve[Cos[x+y]=0,y];
• x^2+y^2-5=0 или Solve[x^2+y^2-5=0,x] или Solve[x^2+y^2-5=0,y];
• x+y+z+t+p+q=9.

Решение неравенств

Решение в Wolfram Alpha неравенств типа , полностью аналогично решению уравнения . Нужно написать в строке WolframAlpha: f[x]>0 или f[x]>=0 или Solve[f[x]>0, x] или Solve[f[x]>=0,x].

Примеры

• Cos[10x]-1/2>0 или Solve[Cos[10x]-1/2>0,x];
• x^2+5x+10>=0 или Solve[x^2+5x+10>=0,x].

Если Ваше неравенство содержит несколько переменных, то запись: f[x, y,…,z]>0 или f[x, y,…,z]>=0 даст весьма разнообразный набор сведений, как и в случае соответствующих уравнений. Чтобы получить решение такого неравенства по какой-либо одной из переменных нужно написать в строке: Solve[f[x, y,…,z]>0,j] или Solve[f[x, y,…,z]>=0,j], где — интересующая Вас переменная.

Примеры

• Cos[x+y]>0 или Solve[Cos[x+y]>0,x] или Solve[Cos[x+y]>0,y];
• x^2+y^3-5<0 или Solve[x^2+y^3-5<0,x] или Solve[x^2+y^3-5<0,y];
• x+y+z+t+p+q>=9.

Решение различных систем уравнений, неравенств и уравнений

Решение систем различного вида в Wolfram Alpha крайне просто. Достаточно набрать уравнения и неравенства Вашей системы, точно так, как это описано выше в пунктах 7. и 8., соединяя их союзом «И», который в Wolfram Alpha имеет вид &&.

Примеры

• x^3+y^3==9&&x+y=1;
• x+y+z+p==1&&x+y-2z+3p=2&&x+y-p=-3;
• Sin[x+y]+Cos[x+y]==Sqrt[3]/4&&x+y²=1;
• Log[x+5]=0&&x+y+z<1.

Построение графиков функций

Сервис Wolfram Alpha поддерживает возможность построения графиков функций как вида , так и вида . Для того, чтобы построить график функции на отрезке нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x],{x, a, b}]. Если Вы хотите, чтобы диапазон изменения ординаты был конкретным, например , нужно ввести: Plot[f[x],{x, a, b},{y, c, d}].

Примеры

• Plot[x^2+x+2, {x,-1,1}];
• Plot[x^2+x+2, {x,-1,1},{y,-1,5}];
• Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E}];
• Plot[Sin[x]^x, {x,-Pi,E},{y,0,1}].

Если Вам требуется построить сразу несколько графиков на одном рисунке, то перечислите их, используя союз «И»:Plot[f[x]&&g[x]&&h[x]&&…&&t[x],{x, a, b}].

Примеры

• Plot[x&&x^2&&x^3, {x,-1,1},{y,-1,1}];
• Plot[Sin[x]&&Sin[5x]&&Sin[10x]&&Sin[15x], {x,-5,5}].

Для того, чтобы построить график функции на прямоугольнике , нужно написать в строке Wolfram Alpha: Plot[f[x, y],{x, a, b},{y, c, d}]. К сожалению, диапазон изменения аппликаты пока что нельзя сделать конкретным. Тем не менее, интересно отметить, что при построении графика функции Вы получите не только поверхность, которую она определяет, но и «контурную карту» поверхности (линии уровня).

Примеры

• Plot[Sin[x^2+y^2],{x,-1,-0.5},{y,-2,2}];
• Plot[xy,{x,-4,4},{y,-4,4}].

Математический анализ

Wolfram Alpha способен находить пределы функций, последовательностей, различные производные, определенные и неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения и их системы и многое многое другое.

Пределы

Для того, чтобы найти предел последовательности нужно написать в строке Wolfram Alpha: Limit[x_n, n -> Infinity].

Примеры

• Limit[n^3/(n^4 + 2*n), n -> Infinity];
• Limit[(1+1/n)^n, n -> Infinity].

Найти предел функции при можно совершенно аналогично: Limit[f[x], x -> a].

Примеры

• Limit[Sin[x]/x, x -> 0];
• Limit[(1-x)/(1+x), x -> −1].

Производные

Для того, чтобы найти производную функции нужно написать в строке WolframAlpha: D[f[x], x]. Если Вам требуется найти производную n-го порядка, то следует написать: D[f[x], {x, n}]. В том случае, если Вам требуется найти частную производную функции напишите в окне гаджета: D[f[x, y, z,…,t], j], где — интересующая Вас переменная. Если нужно найти частную производную по некоторой переменной порядка n, то следует ввести: D[f[x, y, z,…,t], {j, n}], где означает тоже, что и Выше.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение производной при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

• D[x*E^x, x];
• D[x^3*E^x, {x,17}];
• D[x^3*y^2*Sin[x+y], x];
• D[x^3*y^2*Sin[x+y], y],
• D[x/(x+y^4), {x,6}].

Интегралы

Для того, чтобы найти неопределенный интеграл от функции нужно написать в строке WolframAlpha: Integrate f[x], x. Найти определенный интеграл так же просто: Integrate[f[x], {x, a, b}] либо Integrate f(x), x=a..b.

Важно подчеркнуть, что Wolfram Alpha выдает пошаговое нахождение интеграла при нажатии на «Show Steps» в правом верхнем углу выдаваемого ей ответа.

Примеры

• Integrate[Sin[x]/x², x];
• Integrate[x^10*ArcSin[x], x];
• Integrate[(x+Sin[x])/x, {x,1,100}];
• Integrate[Log[x^3+1]/x^5, {x,1,Infinity}].

Дифференциальные уравнения и их системы

Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения нужно написать в строке WolframAlpha: F[x, y, y’,y»,…] (при k-й производной y ставится k штрихов).

Если Вам требуется решить задачу Коши, то впишите: F[x, y, y’,y»,…], y[s]==A,y'[s]==B, …. Если нужно получить решение краевой задачи, что краевые условия, так же перечисляются через запятую, причем они должны иметь вид y[s]==S.

Решение систем дифференциальных уравнений также просто, достаточно вписать: {f_1,f_2,…,f_n}, где f_1, f_2, …, f_n — дифференциальные уравнения, входящие в систему. К сожалению, решение задач Коши и краевых задач для систем дифференциальных уравнений пока-что не поддерживается.

Примеры

• y»’+y»+y=Sin[x];
• y»+y’+y=ArcSin[x];
• y»+y+y^2=0;
• y»=y, y[0]==0, y'[0]=4;
• y+x*y’=x, y[6]=2;
• y»'[x]+2y»[x]-3y'[x]+y=x, y[0]=1, y[1]=2, y'[1]=2;
• {x’+y’=2, x’-2y’=4}.

Ошибки при работе с системой

Система может допускать некоторые ошибки при решении сложных задач. К примеру, если попытаться решить неравенство , для чего ввести запрос solve (3x^2-18x+24)/(2x-2)-(3x-12)/(2x^2-6x+4)<0, то Wolfram|Alpha выдаст в качестве ответа промежуток , в котором будет присутствовать точка 1, обращающая оба знаменателя исходного неравенства в 0. Так что весь риск и вся ответственность при использовании Wolfram|Alpha ложится на Вас. Скорее всего, данные недочеты будут скоро исправлены.

Разложение на множители

Например, разложить на множители

x²/3 — 3x + 12

Запишем как

factor x^2/3 — 3x + 12

и нажимаем равно (=). 

Например, разложить на слагаемые

Запишем как

Partial fraction expansion(1-x^2)/(x^3+x)

используются формулы разложения функций в ряд Тейлора (Taylor series) и ряд Маклорена (Maclaurin series) или

Series expansion at x=0

Разложить в ряд Лорана:

Laurent expansion z*cos(1/z) at z =0

Чтобы упростить выражение f[x], наберите команду Simplify[f[x]]

Комплексно сопряженное z*

11/30=1/3+1/30

parametric plot (3*cos t, sin t, 2t), t=0..2pi

 interpolation polynomial {1,4,9,16}

Транспонировать матрицу:   transpose {{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}

Обратная матрица inverse {{a, b}, {c, d}}

Собственные числа (вектора) матрицы:  eigenvalues( ( transpose{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}})-1/67.42598*({{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}*{{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}))

Решение СЛАУ :  {{8,2,-3,2},{-6,3,-2,1},{3,8,4,-8},{2,1,-6,2}}*{{x_1},{x_2},{x_3},{x_4}}={{102},{-47},{-122},{-24}}

{{-9,5,2},{5,-6,3},{4,1,-5}}*{{x},{y},{z}}={{0},{0},{0}}

Интегральное преобразование Лапласа  —-  LT

Обратное преобразование Лапласа  —    ILT

WolframAlpha

Построение графиков

plot x^3 - 6x^2 + 4x + 12
graph 3x^2-2xy+y^2=1

plot e^x from x=0 to 10
plot x^2 y^3, x=-1..1, y=0..3

plot sin x, cos x, tan x

plot sin(sqrt(-7)x)+19cos(x) for x between -5 and 5

plot sin x cos y
3D plot sin x cos y
plot x^2 - 3y^2 - z^2 = 1

plot sin((x + i y)) cos(y) // выводятся графики действительной и мнимой части

y-intercept of 3x-4y=5
intercepts (x+1)^3

corners of x + 2 |sin x|
corners sqrt |x-2| - cbrt |x+2|

asymptotes (2x^3 + 4x^2 - 9)/(3 - x^2)  

inflection points of x+sin(x)

number line 2, 3, 5, 7, 11, 13
plot {2, 3, 5, 7, 11, 13}
number line x^2>5, 0<=x<3
sum j^2, j=1 to 100 // сумма
product j^2, j=1 to 100 // произведение

plot Ai(x) // Airy function
polar plot r = Ai(theta)

Графики в полярной системе координат

polar plot r=1+cos theta
polar plot r=theta, theta=0 to 8 pi
polar plot r^2 = 4/theta
polar plot 2 cos(4 * theta)
polar plot r = 3 sin(theta)/theta

Параметрические графики

parametric plot (1-t, t^2) 
parametric plot (t sin(t), tcos(t)), t in 0..5pi // спираль
parametric plot (2cos(t)+cos(2t), 2sin(t)−sin(2t)), t in 0..2pi // дельтоида
3d parametric plot (r cos(t), r sin(t), log(sqrt(r))), t in 0..2pi, r in 0.1..1

Графическое решение неравенств

plot |x|^3+|y|^3<1

plot x^2+y^2<1 and y>x

Площади фигур

compute the area between y=|x| and y=x^2-6

area inside x^2 -2xy + 4y^2 -x+y= 4

Алгебра

Уравнения

solve x^2 + 4x + 6 = 0

x+y=10, x-y=4
или {x+y=10, x-y=4}

solve a x^2 + b x + c = 0 for x  
solve a = b + c for b
solve |x^2-3x|-a for x // нажать more roots, т.к. показывает не все корни

solve 3x+4y=5 over the integers

Преобразовать выражение

simplify x^5-20x^4+163x^3-676x^2+1424x-1209
1/(1+sqrt(2))
simplify cos(arcsin(x)/2)

factor 2x^5 - 19x^4 + 58x^3 - 67x^2 + 56x - 48

expand (x+1)^3

complete the square 3x^2-2x-3

Числа

1/9801

place values of 6135

.03571428571428...
(0.8333...)(0.1111...)/(0.22111111...)

Is sqrt(1-1/5+1/9) a rational number?
is (sqrt(8)-sqrt(2))^2 irrational?

last digit of 9^9^9
last nonzero digit of 178,000!  // также выдает сколько нулей в конце

141(2^141) + 1   // 45 знаков
2009! // факториал
pi to 1000 digits

number line e^3  
show x^3-4x+1>0 on a number line // решает неравенство

continued fraction 12/67  

russian numeral names

write out 10^39
spell 40

Константы

Conway constant to 200 digits
golden ratio - 1/(golden ratio) // золотое сечение
silver ratio
series representations of pi // разложения в ряд

express 4.8675 through pi and e  

Интервалы

[3,8)
intervals [0,1), (1,oo)  
interval [-sqrt(5), 1+sqrt(5)]

Простые числа. Делители

Простые числа

primes <= 100
primes between 100,000 and 101,000 // все простые числа из диапазона
prime closest to 169743212304 // простое число, ближайшее к указанному

1,000,000th prime  

Is 10001 prime?

table[prime(n), {n=4,17}]

Accumulate[Table[Prime[n], {n, 1, 19}]]

1000th twin prime  

20th Mersenne prime  

Факторизация

factor 70560

divisors 3600  

Is 1729 divisible by 13?  

gcd 24, 36, 48, 60

common divisors of 360 and 96

common multiples of 10, 25

lcm 9, 12, 21  

gcd(36,10) * lcm(36,10)

Выборки

commonest, mode, mean, median {1,2,3,3,3,4}

Функции

domain of f(x) = x/(x^2-1)
domain of sqrt(sin(x))
domain of f(x,y) = log(1-(x^2+y^2)) // для двух переменных

range of x^2 - x - 1
range of 1/sqrt(x^2+1) restricted to 1<x<4 // с ограничением по x
domain and range of (x^2+1)/(x^4-1) // и то и другое
domain and range of tan(x) restricted to x>0
domain and range of z = x^2 + y^2 // для двух переменных

discontinuities 1/(x-1)
discontinuities 1/((x-1)(x^2-9)) // есть кнопка Show limits

period y=sin(x)*cos(3x)

what is the parity of sin(x)  
is sin(x+pi/4)+cos(x+pi/4) an even function?
is f(x,y,z)=sin(xyz) an odd function?

maximize x(1-x)e^x
minimize x^4-x
minimize (4 - x^2 - 2y^2)^2 // функция двух переменных
extrema calculator // глобальные минимум и максимум

stationary points 3sin(x/3)  // производная равна 0, касательная || Ox

table[x/(x+1),{x,0,5,1}]

tangent line x^2, x=1
tangent line to y=sinx+lnx at x=3e

Пределы

Limit[Sin[x]/x, x -> 0] // Предел функции

Производная

D[x^3*E^x, {x,1}] // Первая производная по переменной x
D[x^3*E^x, {x,2}] // Вторая производная
d/dx (5x^7+4x^6-3)  
d^2/dx^2 x^2e^cosx // второго порядка
d/dx x^2e^cosx, x=pi // значение производной в точке

x^3-6 x^2+4 x+12 vs d/dx x^3-6 x^2+4 x+12 

table[d^n/dx^n cosx^5,{n,0,5,1}] // таблица производных до 5-го порядка
table d^n/dx^n (x^3+(-6 x^2+4 x+12)) for n = 1...4

Интеграл

integral, primitive, integrate
Integrate[f[x], {x, a, b}] 
Integrate f(x), x=a..b
Integrate Log[x^3+1]/x^5, x=1..Infinity // заодно и неопределенный 
int x^2/(x^2+1)^2 dx, x=-infinity..infinity // несобственный интеграл
integrate by parts x^2/(x^2+1) // по частям

Дифференциальные уравнения

Геометрия

5, 12, 13 triangle
triangle 5, 12, 13
triangle with vertices (0,0), (3,4), (4,3)
isosceles right triangle, area 1 // прямоугольный равнобедренный
nine point circle of triangle (1,1)(2,4)(3,3) // окружность 9 точек
incircle of triangle 13,14,15 // вписанная окружность
SAS 3 60deg 4 // треугольник по стороне-углу-стороне
area of an equilateral triangle with side length a // найти площадь 
area of triangle, sides a,b,b
law of cosines // калькулятор теоремы косинусов
law of sines a=6cm, b=8cm, alpha=40deg // теорема синусов

circle, diameter=10

annulus, inner radius=2, outer radius=5

find the reference angle for 300 degrees

hexagon, perimeter=100

area of rhombus, diagonals 10 and 16

19-gon
15-sided polygon // число диагоналей, углы, диаметр, площадь и прочее
regular 7-gon // 7-угольник
regular pentadecagon vs triangle // сравнение двух полигонов
polygon interior angle // внутренний угол

incircle of regular 7-gon

circumcircle of triangle a,  b, c  
circumradius // радиус описанной окружности

cone // конус
What is the radius of a cone with volume v and height 7
cone volume, radius=sqrt(3) // объем конуса
sphere, surface area=1 // шар
cylinder, radius=3, height=4 // цилиндр

Разное

 generate password
 password 10 chars

 QR code for knitting-club

 my ip

 5 inches in cm

Численные методы

using Newton's method solve x cos x = 0

find root of 2 with bisection method

using secant method solve x^3-2 at x1=-3 and x2=3

5 interval trapezoidal rule integrate sinx cosx on [0,4]

Комбинаторика

30 choose 18

permutations of {a, b, c, d}

integer partitions of 10

S1(8, 4)

Эксперименты по теории вероятностей

2 2-sided dice

5 2-sided dice 

1 6-sided dice

2 6-sided dice

1 9-sided dice

Последовательности

OEIS A000219

sequence of Fibonacci numbers  

limit (1+1/n)^n as n->infinity  

5, 14, 23, 32, 41, ... // выдает формулу
1, 4, 9, 16, 25, ...

1+2+3+...+10
3+12+27+...+300
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
2 * 4 * 6 * ... * 36

g(0)=1, g(n+1)=n^2+g(n)
f(n)=f(n-1)+f(n-2), f(1)=1, f(2)=2

Аналитическая геометрия. Координаты

line through (-3,-1) and (3,5)
line through (1,2) and (2,1), line through (2,-1) and (3,5) // сразу две
x-intercept line through (-3,-1) and (3,5) // пересечение с осью Ox
line through (-3,-1) and (3,5) slope // угловой коэффициент
line x=2, line x+y=3

line, slope=-2, y-intercept=3 

line x=2, line y=3, line 3x+2y=6  

square s=5 diagonal  // диагональ квадрата со стороной 5

circle of radius 2 with center (0,-2)  
circle (3,4) r=5 // окружность по радиусу и центру
circle center (0,0) r=1 image // изображение единичной окружности
circle through (0,0), (1,0), (0,1) // по трем точкам
circle center (2,1) through (4,3) // по точке и центру
x^2+y^2-4x-6y-12=0 center, radius // определить центр и радиус

intersection circle (2,3) r=5, line (-3,-1) (4,6) // прямой и окружности
intersection circle center (2,3) r=5 and triangle (3,-3) (-4,3) (5,8)
// две прямые заданы точкой и угловым коэффициентом, точка их пересечения находится:
intersection line slope=-2, y-intercept=3, line slope=2, y-intercept=1

parabola (y-2)^2=4x
directrix of parabola x^2+3y=16
parabola with focus (3,4) and vertex (-4,5)

ellipse with semiaxes 2,5 centered at (3,0)
focal parameter of an ellipse with semiaxes 4,3

hyperbola with center (100, 200) and focus (110, 180)

tangent to x e^-x^2 at x=1/3
tangent to x^2-y^2=5 at (x,y)=(3,2)
tangent line to x^2 at x=1

vector {1,3} + {5,4} // рисует правило параллелограмма
{1,3} + {5,4} // просто складывает
vector {1,3,0} + {5,4,-1} // рисует параллелепипед

distance {1,3,0} to {5,4,-1} 

midpoint of (-3,-1) and (3,5)

Тригонометрия

cos(30degrees)
cos(30 deg) // воспринимает как градусы без уточнений

cos(30radians)
cos(30rad) // догадывается, что это тоже радианы
cos(30 r) // считает, что r - переменная
sin(pi/2) // наличие pi заставляет интерпретировать в радианах

sec(5x)

expand sin(x+y+z)

expand sin(4x)

sin x + cos x = 1

law of cosines

law of sines a=6cm, b=8cm, alpha=40deg

period y=sin(x)*cos(3x)

Графы

Логика

p and q xor r // выдает все об этом логическом выражении
venn diagram p and q
(a intersection b) union c

truth table p xor q xor r  

WolframAlpha

Задачи алгебры, решаемые WolframAlpha

Wolfram Alpha позволяет:

1. Решать уравнения
2. Решать системы уравнений
3. Решать уравнения с параметром
4. Вычислять свойства многочленов с несколькими переменными
5. Раскладывать многочлены на многочлены меньшего порядка
6. Упрощать выражения
7. Выделять квадрат из выражения
8. Раскладывать дроби на простейшие дроби
9. Вычислять свойства матриц
10. Складывать, вычитать и умножать матрицы
11. Вычислять след матрицы
12. Вычислять определитель матриц
13. Вычислять обратную матрицу
14. Вычислять собственный вектор матрицы
15. Приводить матрицу к ступенчатому виду
16. Приводить матрицу к диагональному виду

Задачи математического анализа, решаемые WolframAlpha

1. Вычислять пределы функций
2. Вычислять пределы последовательностей
3. Вычислять производные
4. Вычислять определенные и неопределенные интегралы
5. Решать дифференциальные уравнения
6. Решать системы дифференциальных уравнений

Задачи геометрии, решаемые WolframAlpha

1. Решение задач планиметрии
2. Решать задачи стереометрии
3. Решать задачи с координатами

Особенности, различные способы решения задач с помощью WolframAlpha

Wolfram Alpha позволяет решать задачи, как аналитическим методом, так и графическим.

Алгоритмы решения задач с помощью WolframAlpha

1. Определить, к какому разделу математики относится задача
2. Выбрать метод решения задачи
3. Составить математическую модель
4. Определить необходимые для решения задачи с помощью Wolfram Alpha функции
5. Ввести формулу и исходные данные
6. Получить результат
7. Провести анализ полученного результата

Особенности, достоинства и недостатки WolframAlpha

Главными достоинствами Wolfram Alpha являются:

1. Наличие бесплатного функционала
2. Возможность работы с любого устройства через браузер.

Главные недостатки Wolfram Alpha:

1. Необходимость постоянного подключения к интернету для работы
2. Наличие платного функционала

Задачи

Задачи из алгебры

1. Решить уравнение

2. Решить систему уравнений:

3. Доказать тождество

4. Упростить выражение

5. Вычислить определитель матицы:

Задачи из математического анализа

1. Найти производную функции

2. Найти производную второго порядка функции

3. Вычислить неопределённый интеграл

4. Вычислить определённый интеграл

5. Найти корни дифференциального уравнения

Задачи из геометрии

1. Найти периметр треугольника со сторонами 13, 12 и 5:

2. Найти пересечение первой прямой, проходящей через точки: (2.85,0.366) и (-0.223,3.89), и второй прямой, проходящей через точки: (0.796,0.215) и (3.256, 5.153):

3. Найти площадь четырёхугольника с координатами вершин; (1, -1), (5, 0), (6, 2), (-4, 4):

4. Определить углы и радиус вписанной окружности треугольника с вершинами (-4, 3), (5, 7) и (2, -3):

5. Найти диагонали четырёхугольника с вершинами в точках (2, -3) (5, 7) (-7, 9) (-4, 3):