Как найти площадь вогнутого четырехугольника

Площадь четырёхугольника на клетчатой бумаге. В статье «Нахождение площади треугольника» я обещал рассмотреть задачи на вычисление площади четырёхугольника, построенного на листе в клетку. Как вы знаете, к четырёхугольникам относятся: прямоугольник, квадрат, параллелограмм, трапеция, ромб, а также произвольный четырёхугольник (выпуклый или вогнутый).

Мы с вами  рассмотрим единый подход к решению всех типов таких заданий. Вот примеры рисунков из интересующих нас задач:

Фигуры построенные на листе в клетку (1×1 см)

Фигуры построенные на координатной плоскости

Запомните! Вокруг любого выпуклого четырёхугольника мы можем описать прямоугольник. А далее для решения необходимо воспользоваться всего двумя формулами: площади прямоугольника и  площади треугольника.

Рассмотрим примеры:

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Около данного четырёхугольника описываем прямоугольник:

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх прямоугольных треугольников:

Ответ: 51

Рассмотрим пример вогнутого четырёхугольника:

Найдите площадь четырёхугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Также описываем прямоугольник, но здесь ещё строим дополнительный отрезок, соединяющий левый верхний угол прямоугольника  с вогнутым углом данного четырёхугольника:

Из площади построенного прямоугольника вычтем площади четырёх треугольников:

Ответ: 31

Если четырёхугольник задан на координатной плоскости, то его легко можно построить на листе в клетку по заданным координатам вершин и применить изложенный выше подход к решению.

Конечно, данный способ нерационален абсолютно для всех задач. Но в вашем арсенале он быть должен, и им владеть необходимо, его удобно использовать во многих задачах

Например, для нахождения представленного четырёхугольника 

целесообразно воспользоваться формулой площади параллелограмма, где основание будет равно 2, а высота 7. Но и представленным способом её также решать можно. 

Напомню формулы площадей фигур, которые необходимо знать:

На этом всё. Надеюсь, информация была полезной. В будущем рассмотрим с вами задачи на нахождение площади круга, площади части круга и другие, где используются формулы площади круга и окружности. Также есть ещё один интересный приём, который целесообразно использовать для  нахождение площади четырёхугольников вида (взяты из прототипов задач):

Мы его тоже рассмотрим, не пропустите!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	диагональ и угол между ними
2	стороны и углы между этими сторонами
3	стороны (по Формуле Брахмагупты)
4	стороны и радиус вписанной окружности
5	стороны и углы между ними

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Площадь неправильного четырехугольника

Узнайте чему равна площадь неправильного четырехугольника с помощью онлайн-калькулятора или по формулам — расчет по сторонам, диагоналям, углам.

С помощью данного калькулятора вы можете легко и быстро рассчитать площадь неправильного четырехугольника в условных единицах. Инструмент позволяет определить площадь выпуклой фигуры тремя разными способами: по сторонам, сторонам и углам, диагоналям и углам (первые два вычисления выполняются с ограничениями). Теоретическое обоснование расчета и формулы представлены ниже. Чтобы получить результат — выберите наиболее подходящий метод расчета, заполните поля калькулятора и нажмите кнопку «Рассчитать».

Как найти площадь неправильного четырехугольника?

Первый способ расчета основан на формуле Брахмагупты (рис. 1), которая выражает площадь вписанного в окружность четырёхугольника как функцию длин его сторон. Эта формула является обобщением формулы Герона для площади треугольника.

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Вторая формула также основывается на формуле Брахмагупты, но на ее расширенной версии (рис. 2), когда необходимо найти площадь произвольного четырехугольника.

где P — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон, θ — полусумма противоположных углов четырёхугольника.

В формулах Брахмагупты есть одно ограничение — любая из сторон не может превышать полупериметр. В противном случае стороны четырехугольника не замкнутся. Математически, в формуле появится отрицательное значение.

Последняя формула позволяет найти площадь не самопересекающейся фигуры по проведенным диагоналям и синусу угла между ними (рис. 3). По сути, формула основывается на сумме площадей треугольников, которые образуются диагоналями четырехугольника.

где d₁, d₂ — диагонали четырехугольника, α — острый угол между диагоналями .

Площади четырехугольников

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
	S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

I was asked a question by an engineering friend recently and was not certain of how to solve the problem. I know there are (somewhat complicated) formulae that compute the area of a quadrilateral (convex or concave) in terms of the sides and a diagonal or an angle, but is there a formula for the area of a concave quadrilateral in terms of just the side lengths?

My intuition is that the side lengths do not uniquely determine the quadrilateral, but I cannot prove this either. If the sides were specified by points on a coordinate system, I feel like the lengths would produce slopes, hence, angles, but I am not even certain this is true.

I have two questions: are the lengths of the sides enough to specify the quadrilateral? What is the area of the resulting figure? Any insight helps.

Площадь вогнутого четырехугольника Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	2D геометрия ↺
2D геометрия	Вогнутый четырехугольник ↺

Площадь вогнутого четырехугольника Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Первая внешняя сторона вогнутого четырехугольника: 10 метр —> 10 метр Конверсия не требуется
Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника: 4 метр —> 4 метр Конверсия не требуется
Первая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника: 7 метр —> 7 метр Конверсия не требуется
Вторая внешняя сторона вогнутого четырехугольника: 5 метр —> 5 метр Конверсия не требуется
Вторая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника: 2 метр —> 2 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

14.7284175355899 Квадратный метр —> Конверсия не требуется

7 Вогнутый четырехугольник Калькуляторы

Площадь вогнутого четырехугольника формула

Площадь вогнутого четырехугольника = sqrt(((Первая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Первая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)*
(((Первая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Первая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)-Первая внешняя сторона вогнутого четырехугольника)*(((Первая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Первая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)-Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника)*(((Первая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Первая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)-Первая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника))+
sqrt(((Вторая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Вторая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)*(((Вторая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Вторая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)-Вторая внешняя сторона вогнутого четырехугольника)*(((Вторая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Вторая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)-Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника)*(((Вторая внешняя сторона вогнутого четырехугольника+Внутренняя диагональ вогнутого четырехугольника+Вторая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника)/2)-Вторая внутренняя сторона вогнутого четырехугольника))

A = sqrt(((S_{First Outer}+d_Inner+S_{First Inner})/2)*
(((S_{First Outer}+d_Inner+S_{First Inner})/2)-S_{First Outer})*(((S_{First Outer}+d_Inner+S_{First Inner})/2)-d_Inner)*(((S_{First Outer}+d_Inner+S_{First Inner})/2)-S_{First Inner}))+
sqrt(((S_{Second Outer}+d_Inner+S_{Second Inner})/2)*(((S_{Second Outer}+d_Inner+S_{Second Inner})/2)-S_{Second Outer})*(((S_{Second Outer}+d_Inner+S_{Second Inner})/2)-d_Inner)*(((S_{Second Outer}+d_Inner+S_{Second Inner})/2)-S_{Second Inner}))

Что такое вогнутый четырехугольник?

Четырехугольник называется вогнутым четырехугольником, если хотя бы один отрезок, соединяющий вершины, не является частью одной и той же области четырехугольника. То есть любой отрезок, соединяющий две внутренние точки, выходит за пределы фигуры.

Содержание

• Найти площадь четырехугольников — формулы площади
• Найти площадь четырехугольников — Примеры

Знание того, как найти площадь четырехугольников, является фундаментальным знанием, необходимым для математических измерений. Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами. Иногда его называют четырехугольником или четырехугольником. Обычно считается, что четыре вершины лежат на одной плоскости. Однако, когда они не лежат на одной плоскости, это называется косоугольным четырехугольником.

Четырехугольники делятся на три категории в зависимости от положения вершин и сторон. Если все внешние углы четырехугольника являются рефлекторными углами, он называется выпуклым четырехугольником. Если какой-либо из внешних углов четырехугольника не является рефлекторным, этот четырехугольник является вогнутым четырехугольником. Если стороны четырехугольника пересекаются при назначении, это называется перекрестным четырехугольником.

Некоторые четырехугольники с правильными формами перечислены ниже.

Площадь каждой фигуры можно найти с помощью формул в следующем разделе.

Квадрат, прямоугольник, ромб и ромбоид — все это параллелограммы. Поэтому их противоположные стороны параллельны и равны. Квадрат имеет все равные стороны и все внутренние углы как прямые углы, а прямоугольник имеет неравные смежные стороны, но все внутренние углы являются прямыми углами. Ромб имеет равные стороны с косыми внутренними углами. В случае ромбоида не только смежные стороны различны, а внутренние углы наклонны.

Трапеция не является параллелограммом, и только две стороны параллельны. Параллельные стороны имеют неодинаковую длину, и расстояние между параллельными сторонами рассматривается как высота трапеции.

Найти площадь четырехугольников — формулы площади

Для нахождения площади квадрата требуется только длина стороны, а для прямоугольника — длины обеих сторон.

Площадь площади — Формула

Площадь квадрата = ²  где а — длина сторон

Площадь прямоугольника — формула

Площадь прямоугольника =  × б где а также б длина прямоугольников

Площадь ромба — Формула

Как для ромба, так и для ромбоида требуется длина стороны и перпендикулярная высота от этой стороны.

Площадь ромба = × час где а также час длина стороны и высота ромба соответственно

Площадь ромбоида = × час где и час длина стороны и высота ромбоида соответственно

Площадь Трапеции — Формула

Для трапеции необходима длина обеих параллельных сторон и перпендикулярной высоты.

Площадь Трапеции = ½ ( + б) × часгде а также б длина обеих параллельных сторон и час перпендикулярная высота

Найти площадь четырехугольников — Примеры

• Сторона квадрата 10см. Найдите площадь квадрата.

Используя квадрат, формула,

_{Площадь}= ² = 10² = 100 см²

• Участок земли имеет длину 700 м и ширину 120 м, какова общая площадь земли?

Используя формулу прямоугольника,

_{Прямоугольник}= ×б= 700 × 120 = 84000 м²

• У ромба есть стороны длиной 5 см, а две соседние стороны составляют угол 30 градусов. Какова площадь ромба?

Используя формулу площади ромба,

_Ромб= ×час = 5 × 5sin 30⁰ = 12,5 м²

• Ромбоид имеет бока, длина которых в два раза больше ширины. Если периметр фигуры составляет 24 см, и это делает пару из 120⁰ Внутренние углы, найти площадь ромбоида.

Длина сторон не указана, но дана связь между длиной и шириной и периметром. Таким образом, мы можем определить длину сторон.

Если ширина Икстогда длина равна 2Икс, Тогда периметр Икс+ 2Икс+ Икс+ 2Икс= 24, и решение дает Икс= 4 см.

Так как ромбоид составляет угол 120⁰ в вершине, площадь

Используя формулу ромбовидной области,

_{ромбовидный} = ×час = 4 × 4 син (180⁰-120⁰ ) = 4 × 4 × √3 / 2〗 = 8√3 = 8 × 1,73 = 13,85 см²