Как найти площадь восьмиугольника треугольника

Geometry is a field of study of shapes and structures. It gives a brief explanation of the different shapes and their properties. Geometry gives defined formulas for the calculation of parameters of these flat or solid shapes. These formulas are different for each shape and are derived according to their dimensions. 

In the given article we have studied an eight-sided polygon viz. octagon along with its properties. The content of the article also gives the formula for the determination of the area of an octagon. Some sample numerical problems are included along with their solutions for reference.

Octagon

Octagon is a geometrical figure with 8 sides and 8 angles. The word octagon itself means “eight-sided”. An octagon is one of the plane figures or a polygon having eight sides. The interior angle of regular polygon measures to be 135 degrees each. And the exterior angles measure 45 degrees. All the midpoints of the sides of an octagon meet at its center and all the diagonals have the same length.

Octagon is a two-dimensional flat shape with eight sides and eight angles. It is a polygon made up of the joining of line segments. It has 8 sides and the sides are denoted by the letter ‘a’.

Properties of an Octagon

• A regular polygon has eight sides.
• A polygon has eight equal angles.
• A regular polygon consists of 20 diagonals that meet at the center.
• Each interior angle measures to be 135°. And, the sum of all the interior angles equals 1080°.
• Each exterior angle measures to be 45°. And, the sum of all the exterior angles equals 360°.

Area of An Octagon

In geometry, there are set formulas for calculating the parameters of the shapes. The area of an octagon with its side length ‘a’ is given by the formula

 Area of an Octagon = 2a²(1 + √2)

Where,

a is the length of the side or edge

For Example:

If an octagon with a length of 8cm is given, its area can be calculated by

Area of an Octagon = 2a²(1 + √2)

A = 2(8)²(1 + √2)

A = 309.01cm²

The formula from the calculation of the area of an octagon can be derived by four different methods. These methods are briefly derived along with their diagrams.

• Method I

A regular octagon can be seen as a collection of eight small isosceles triangles sharing a common apex point. Hence, the area of a regular octagon can be calculated by determining the area of one of the triangles and multiplying it by 8.

Mathematically the area of the octagon is given by,

Area of octagon =  8 × Area of the triangle

We have been given an octagon with eight isosceles triangles. Consider one of the triangles from the octagon and draw a line perpendicular from its base to apex to form right angles.

Here, a is the length of the side of the octagon and OZ is the height of the triangle.

Now,

tan²θ = 1 – cos2θ/1 + cos2θ [SINCE, 2sin²θ = 1 – cos2θ and 2cos²θ = 1 + cos2θ]

tan²(45/2) = 1 – cos45°/1 + cos45°

tan²(45/2) = 1 – 1/√2/1 + 1/√2

tan(45/2) = √2 – 1

ZY/OZ = √2 – 1

OZ = a/2/√2 – 1

OZ = a/2 (1 + √2)

Area of triangle XOY =1 × XY × Oz

1/2 a × a/2 (1 + √2)

a²/4 (1 + √2)

Now, Area of octagon = 8 × area of triangle

Area of octagon = 8 × a²/4 (1 + √2)

Area of octagon = 2a²(1 + √2)

• Method II

When a regular octagon is divided into non-overlapping parts then, an octagon can be subdivided into a square, four rectangles, and four isosceles right-angled triangles.

Here, a is the length of the side of the octagon.

Now, the area of the square, A_sq = a²

Then, the area of the triangle = A_tr = 1/2 × x

Where,

x = √(a²/2)

Since, in a right-angled triangle, b² + h² = square of hypotenuse = side of octagon

Area of the rectangle, A_rec = x × a

Then the combined area of the given octagon will be,

Area of octagon = A_sq + 4 × A_rec + 4 × A_tr

• Method III

An octagon can be taken as a square with four triangles attached from each corner of the square.

hence, the side of the octagon ‘a’ with be the hypotenuse of the given triangle.

A² = 2x²

Let the length of the side of square will be 1 = a + 2x = a + 2√(a²/2)             

[Since, x = √(a²/2)]

The combined area of the octagon will be,

Area = (1 × 1) – 4 (1/2 x. x)

• Method IV

A regular octagon can also be conceptualized as a composition of 4 kites.

Let the diagonals of the kites be d and w and the area will be, 

Area of kite = d × w/2

Let us take the kite AHOB from the above diagram

∠HOB = 2π and HO = BO = r

And, HB = √2r

Since AO = r

Area of AHOB = AO × HB × 2

√(2r)²/2

Area of octagon = 4 × Area of kites

Area of octagon = 2 × √(2r)²

Irregular octagon

On contrary to a regular octagon an irregular octagon does not have sides and angles congruent to each other. Hence, an irregular octagon also has eight sides but is unequal with respect to each other.

The interior angles in an irregular octagon are always unequal but their sum always equals 1080° 

Area formula of an irregular octagon,

Like regular octagons, irregular octagons do not have the specific derived formula for the calculation of their area. So, to calculate the area of an irregular octagon it is divided into smaller figures like triangles, squares, and rectangles. and, later these all areas are added together.  

Sample Problems

Question 1: Find the area of a regular polygon with a side of 3cm.

Solution:

Given:

The side of the octagon is 3cm

Area of an Octagon = 2a²(1 + √2)

A = 2(3)²(1 + √2)

= 43.45cm²

Question 2: Find the area of a regular polygon with a side of 2.5cm. 

Solution:

Given:

The side of the octagon is 2.5cm 

Area of an Octagon = 2a²(1 + √2) 

A = 2(2.5)²(1 + √2) 

A = 30.17cm²

Question 3: Find the area of a regular polygon with a side of 7cm.

 Solution:

Given:

The side of the octagon is 7cm 

Area of an Octagon = 2a²(1 + √2)

 A = 2(7)²(1 + √2)

 A = 236.59cm²

Question 4: Find the area of a regular polygon with a side of 3.5cm. 

Solution:

Given, 

The side of the octagon is 3.5cm 

Area of an Octagon = 2a²(1 + √2) 

A = 2(3.5)²(1 + √2) 

A = 59.14cm²

Question 5: Find the area of a regular polygon with a side of 6cm.

Solution:

Given,

The side of the octagon is 6cm.

Area of an Octagon = 2a² (1 + √2)

A = 2(6)² (1 + √2) 

A = 173.82cm² 

Question 6: Find the area of a regular polygon with a side of 5cm.

Solution:

Given,

The side of the octagon is 6cm.

Area of an Octagon = 2a² (1 + √2)

A = 2(5)²(1 + √2)

A = 120.71cm² 

Question 7: Find the area of a regular polygon with a side of 10cm.

Solution:

Given,

The side of the octagon is 10cm.

Area of an Octagon = 2a² (1 + √2)

A = 2(10)² (1 + √2)

A = 482.84cm²

Восьмиугольник – это геометрическая фигура из мира многоугольников; восьмиугольник имеет 8 сторон и 8
углов или вершин. Правильный многоугольник представляет собой выпуклый многоугольник с равенством
всех сторон и всех углов при вершинах. Следовательно, правильный восьмиугольник – это выпуклый
восьмиугольник, с равенством 8 сторон и 8 углов при вершинах. Другое название фигуры – октагон, от
латинского octo», что означает «восемь». Иногда требуется узнать площадь геометрической фигуры по
некоторым ее известным размерам, например, с целью узнать расход материала на изготовление, заливку,
окраску; или же массу в отсутствие весов при известной толщине многоугольной плитки и плотности
материала.

Для вычисления площади октагона необходимо знать его периметр, который в данном случае равен сумме
длин его 8 сторон (восьмикратной длине одной стороны), и апофему. В планиметрии апофемой называется
длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон.

При известной апофеме площадь правильного многоугольника равна произведению периметра на апофему,
деленному на 2 (в пределе эта формула справедлива даже для круга, где «апофема» равна радиусу).
Поскольку периметр в рассматриваемом случае равен длине стороны, умноженной на 8, искомый параметр
найдется как произведение длины стороны на апофему, умноженный на 4.

Через длину стороны

Если апофема неизвестна, ее можно узнать по длине стороны a, исходя из тригонометрических
соотношений, и тогда искомая площадь определится как

S = 2 * a² * (1 + √2)

Пример вычисления: при длине стороны a=8 м площадь равна 4,828 * 8² = 309 кв.м.

Через радиус вписанной окружности

Поскольку апофема является радиусом вписанной окружности r, появляется возможность вычислить площадь
через радиус вписанной окружности:

S = 8 * r² * (√2 — 1)

Пример: при радиусе вписанной окружности 15 м площадь равна 3,314 * 15² = 746 кв.м.

Через радиус описанной окружности

При знании лишь радиуса описанной окружности R возможно вычисление площади по формуле:

S = 2 * √2 * R²

Пример: при радиусе описанной окружности 9 м площадь равна 2,828  92 = 229 кв.м.

Свойства правильного восьмиугольника

Сумма внутренних углов любого выпуклого восьмиугольника равна 1080°, отсюда угол при его вершине
равен 1080°/8=135°. В правильном восьмиугольнике всего 20 диагоналей; длина четырех самых длинных из
них равна двум радиусам описанной окружности.

В природе восьмиугольники встречаются не так часто, как шестиугольники (поскольку восьмиугольники, в
отличие от шестиугольников, не могут заполнить плоскость), но примеры можно найти.

Распространение правильного восьмиугольника в быту и окружающей жизни

Восьмиугольная форма – распространенный архитектурный элемент дизайна. Купол мусульманского святилища
Скала в Иерусалиме в плане октагон. Подобная форма также распространена в архитектуре, например, в
соборе Святого Георгия (Аддис-Абеба), базилике Сан-Витале (Равенна, Италия), Кастель дель Монте
(Апулия, Италия), баптистерии во Флоренции, церкви Цум Фридефюрстен (Германия) и ряде норвежских
церквей. Центральное помещение Ахенского собора, Каролингская Палатинская капелла, также имеет форму
октагона.

Мистики считали, что октагон объединяет «ограниченность земного и бесконечность небесного круга»,
объединяет Бога и человека, жизнь и смерть.

Восьмиугольная планировка пола использовалась в зданиях для разделения офисов и служб здания;
например, в штаб-квартире Intelsat в Вашингтоне, офисах Callam в Канберре и офисах Octagon в
Парраматте, Австралия.

Запрещающий дорожный знак «Движение без остановки запрещено» имеет форму красного правильного
восьмиугольника с надписью STOP в России и ряде многих других стран.

Как найти площадь восьмиугольника

Площадь восьмиугольника можно найти точно так же, как и площадь любого многоугольника. Для этого достаточно разделить его на восемь треугольников. Однако, в случае с восьмиугольником можно обойтись всего шестью треугольниками. А если восьмиугольник правильный, то найти его площадь становится намного проще.

Вам понадобится

• — линейка;
• — калькулятор.

Инструкция

Чтобы найти площадь произвольного восьмиугольника, выберите внутри него произвольную точку и проведите от нее отрезки к каждой вершине. Затем измерьте длины сторон каждого из восьми полученных треугольников. После чего, воспользовавшись формулой Герона, вычислите площадь каждого треугольника. И, наконец, сложите площади всех треугольников. Полученная сумма и будет площадью восьмиугольника.

Чтобы воспользоваться формулой Герона, посчитайте сначала полупериметр треугольника:p = (a + b + c) / 2, где a, b, c – длины сторон треугольника; р – обозначение полупериметра.Посчитав полупериметр треугольника, подставьте полученное значение в формулу:S = √(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)), где S – площадь треугольника.

Если восьмиугольник выпуклый (не имеет внутренних углов, больших 180º), то в качестве внутренней точки выберите любую из вершин восьмиугольника. В этом случае, получится всего шесть треугольников, что немного упростит нахождение площади восьмиугольника. Методика расчета площадей треугольников – такая же, как описана в предыдущем пункте.

Если восьмиугольник имеет равные стороны и углы, то это правильная геометрическая фигура – октагон. Для расчета площади такого восьмиугольника воспользуйтесь формулой:S = 2 * k * a², где а – длина стороны правильного восьмиугольника; k – коэффициент, равный (1+√2)≈2,4142135623731.

При решении школьных задач иногда задана не длина стороны правильного восьмиугольника, а длины его наибольшей и наименьшей диагоналей. В этом случае воспользуйтесь формулой:S = d * D, где d – длина меньшей диагонали; D – длина большей диагонали.Большей диагональю октагона является отрезок, соединяющий две противоположные вершины. Меньшей диагональю правильного восьмиугольника буде отрезок, соединяющий две вершины через одну.

Источники:

• как найти углы правильного восьмиугольника

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?