Как найти площадь вписанного четырехугольника по периметру - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab


Параллелограмм


Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2


Ромб




Трапеция
	S = m h


Дельтоид		S = ab sin φ



Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник



Параллелограмм



Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2


Ромб





Трапеция




Дельтоид

	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b .


Произвольный выпуклый четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	диагональ и угол между ними
2	стороны и углы между этими сторонами
3	стороны (по Формуле Брахмагупты)
4	стороны и радиус вписанной окружности
5	стороны и углы между ними

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

источники:

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm

http://doza.pro/art/math/geometry/area-tetragon

Источник

Площадь вписанного четырехугольника по периметру Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	2D геометрия ↺
2D геометрия	Циклический четырехугольник ↺
Циклический четырехугольник	Площадь циклического четырехугольника ↺

✖Периметр циклического четырехугольника — это общее расстояние вокруг ребра циклического четырехугольника.ⓘ Периметр циклического четырехугольника [P]			+10% -10%
✖Сторона А циклического четырехугольника является одной из четырех сторон циклического четырехугольника.ⓘ Сторона A циклического четырехугольника [S_a]			+10% -10%
✖Сторона В циклического четырехугольника является одной из четырех сторон циклического четырехугольника.ⓘ Сторона B циклического четырехугольника [S_b]			+10% -10%
✖Сторона C циклического четырехугольника является одной из четырех сторон циклического четырехугольника.ⓘ Сторона C циклического четырехугольника [S_c]			+10% -10%
✖Сторона D циклического четырехугольника является одной из четырех сторон циклического четырехугольника.ⓘ Сторона D циклического четырехугольника [S_d]			+10% -10%

✖Площадь циклического четырехугольника — это количество двумерного пространства, занимаемого циклическим четырехугольником.ⓘ Площадь вписанного четырехугольника по периметру [A]

⎘ копия

Площадь вписанного четырехугольника по периметру Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Периметр циклического четырехугольника: 32 метр —> 32 метр Конверсия не требуется
Сторона A циклического четырехугольника: 10 метр —> 10 метр Конверсия не требуется
Сторона B циклического четырехугольника: 9 метр —> 9 метр Конверсия не требуется
Сторона C циклического четырехугольника: 8 метр —> 8 метр Конверсия не требуется
Сторона D циклического четырехугольника: 5 метр —> 5 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

60.7947366142827 Квадратный метр —> Конверсия не требуется

9 Площадь циклического четырехугольника Калькуляторы

Площадь вписанного четырехугольника по периметру формула

Площадь вписанного четырехугольника = sqrt((Периметр циклического четырехугольника/2-Сторона A циклического четырехугольника)*(Периметр циклического четырехугольника/2-Сторона B циклического четырехугольника)*(Периметр циклического четырехугольника/2-Сторона C циклического четырехугольника)*(Периметр циклического четырехугольника/2-Сторона D циклического четырехугольника))

A = sqrt((P/2-S_a)*(P/2-S_b)*(P/2-S_c)*(P/2-S_d))

Что такое циклический четырехугольник?

Циклический четырехугольник — это четырехугольник, который можно вписать в окружность, а это означает, что существует окружность, проходящая через все четыре вершины четырехугольника. Циклические четырехугольники полезны в различных типах геометрических задач, особенно в тех, в которых требуется отслеживание углов.

Источник

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

$[p = frac{{a + b + c + d}}{2}.]$

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

II способ.

Площадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

$[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 cdot AB cdot BC cdot cos angle ABC.]$

Аналогично, из треугольника ADC

$[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ADC.]$

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

$[angle ABC + angle ADC = {180^o}]$

Так как cos(180º-α)= — cosα

$[cos angle ADC = cos ({180^o} - angle ABC) = - cos angle ADC]$

Отсюда,

$[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} + 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ABC.]$

Приравниваем правы части равенств для AC²

$[A{D^2} + D{C^2} + 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ABC = ]$

$[ = A{B^2} + B{C^2} - 2 cdot AB cdot BC cdot cos angle ABC.]$

Отсюда,

$[ - A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2},]$

$[ = A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}]$

$[cos angle ABC = frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB cdot BC + AD cdot DC)}}.]$

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

$[{sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1]$

(для 0º<α<180º sinα>0)

$[sin angle ABC = sqrt {1 - {{(cos angle ABC)}^2}} ]$

и по формуле

$[S = frac{1}{2}a cdot b cdot sin alpha ]$

найдём

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin angle ABC.]$

Аналогично,

$[{S_{Delta ADC}} = frac{1}{2} cdot AD cdot DC cdot sin angle ADC,]$

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

$[{S_{ABCD}} = {S_{Delta ABC}} + {S_{Delta ADC}}.]$

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

$[S = frac{1}{2}{d_1} cdot {d_2} cdot sin varphi ]$

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Источник

В этой статье мы рассмотрим все основные свойства и признаки четырехугольника.

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три точки не лежат на одной прямой.

Четырехугольники бывают выпуклые, если они расположены в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит одну из его сторон (ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Если любые две противолежащие точки выпуклого четырёхугольника соединить между собой отрезком, то весь отрезок будет лежать внутри многоугольника. Для невыпуклого четырёхугольника это не выполняется (рисунок ниже).

Диагонали выпуклого четырёхугольника лежат внутри него и пересекаются. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника лежит снаружи, а другая внутри него, и эти диагонали не пересекаются.

Определения для четырехугольника

Данный четырёхугольник обозначается ABCD.
Точки A, B, C, D называются его вершинами, а отрезки AB, BC, CD, DA – его сторонами.
Смежные стороны – соседние стороны, имеющие общую вершину. Пары смежных сторон: AB и AD, AB и BC, BC и CD, CD и AD.
Противолежащие стороны – несмежные стороны, не имеющие общих вершин. Пары противолежащих сторон: AB и CD, BC и AD.
Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины. AC и BD – диагонали четырехугольника ABCD.

Виды четырехугольников:

Если рассмотреть схему, то каждый следующий четырехугольник обладает всеми свойствами предыдущего. Поэтому запоминать надо совсем немного.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеции бывают: произвольная, равносторонняя, прямоугольная.

Параллелограмм — это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны. В параллелограмме:
— противоположные стороны и противоположные углы равны.
— диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Соответственно, если четырехугольник обладает этими свойствами, то он является параллелограммом.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб является частным случаем параллелограмма, поэтому обладает всеми его свойствами. В ромбе:
— противоположные углы равны,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является частным случаем прямоугольника и частным случаем ромба, поэтому обладает всеми их свойствами. В квадрате:
— все углы равны 90 градусов,
— диагонали точкой пересечения делятся пополам,
— диагонали взаимно перпендикулярны,
— диагонали являются биссектрисами углов,
— диагонали равны.

Свойства углов четырехугольника

Сумма углов четырёхугольника равна 360°
Сумма внешних углов четырехугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.
Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов.

Свойства сторон четырехугольника

Каждая сторона четырехугольника меньше суммы всех его других сторон.
Сумма диагоналей меньше его периметра.

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник вокруг окружности.

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.
В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его противолежащих сторон равны (AB+CD=AD+BC).
Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Четырехугольник внутри окружности.

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной.
Вокруг четырёхугольника можно описать окружность, если сумма двух его противоположных углов равна 180°.
Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (AC*BD=AB*CD+AD*BC).

Частные случаи:

Параллелограмм, вписанный в окружность – это прямоугольник, центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.
Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Диагонали четырехугольника

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются в одной точке.
Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.

Периметр и площадь четырехугольника

Периметр четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле: где d1 и d2— диагонали четырёхугольника, a — угол между диагоналями.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть вычислена по формуле: где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p=(a+b+c+d)/2 – его полупериметр.

Площадь описанного четырёхугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:

Источник

Как рассчитать площадь четырехугольника

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними
Через стороны и противолежащие углы
Площадь вписанного четырехугольника в окружность
Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
Площадь описанного четырехугольника около окружности через стороны и противолежащие углы

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

d1, d2 — диагонали; α — угол между диагоналями.

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

p — полупериметр четырехугольника; a, b, c, d — стороны четырехугольника; α, β — противолежащие углы.

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

p — полупериметр четырехугольника; a, b, c, d — стороны четырехугольника.

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

p — полупериметр четырехугольника; r — радиус вписанной окружности; a, b, c, d — стороны четырехугольника.

Площадь описанного четырехугольника около окружности через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через стороны и противолежащие углы:

p — полупериметр четырехугольника; a, b, c, d — стороны четырехугольника; α, β — противолежащие углы.

Источник