Как найти площадь вписанного правильного четырехугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как рассчитать площадь четырехугольника

На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Через диагонали и угол между ними

Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:

Через стороны и противолежащие углы

Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:

Площадь вписанного четырехугольника в окружность

Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:

Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус

Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:

Площадь вписанного четырехугольника

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

Площадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

Аналогично, из треугольника ADC

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

Приравниваем правы части равенств для AC²

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Четырехугольник, вписанный в окружность — основные свойства, признаки и формулы

Общие сведения

Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.

Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.

Основные правила

Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:

Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).

Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.

Свойства и утверждения

При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:

Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.

Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.

Формулы и соотношения

Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.

Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.

Периметр и полупериметр

Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.

Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a. Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b). Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.

Понятие площади

Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.

Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:

Определить базовую единицу: м и см.
Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .

Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2 .

Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.

Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур. Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2. В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.

Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S 2 . Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R 2 .

Диагонали и углы

Для вписанного четырехугольника ABCD существуют определенные соотношения, по которым можно найти его диагонали. Для фигуры со сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA диагонали (s = АС и t = DA) находятся таким образом: s = [((a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / (a * b + c * d)]^(½) и t = [((a * c + b * d) * (a * b + d * c)) / (a * d + c * b)]^(½). Если умножить диагональ s на t и привести подобные слагаемые, то в результате получится формула Птолемея: s * t = a * c + b * d.

При отношении двух диагоналей получается вторая теорема Птолемея: s / t = (a * d + b * c) / (a * b + d * c). Сумма диагоналей — есть неравенство такого вида: s + t >= 2 * [a * c + b * d]^(½). Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).

Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).

Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:

cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).

В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).

В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:

Стороны: a, b, c и d.
Диагонали: s и t.
Площадь: S.
Радиус описанной окружности: R.

В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:

a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).

Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.

Параметры для окружности

Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.

При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 .

Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).

Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.

источники:

Площадь вписанного четырехугольника

http://nauka.club/matematika/chetyrekhugolnik-vpisan-v-okruzhnost.html

Источник

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

$[p = frac{{a + b + c + d}}{2}.]$

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

II способ.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

$[A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 cdot AB cdot BC cdot cos angle ABC.]$

Аналогично, из треугольника ADC

$[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ADC.]$

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

$[angle ABC + angle ADC = {180^o}]$

Так как cos(180º-α)= — cosα

$[cos angle ADC = cos ({180^o} - angle ABC) = - cos angle ADC]$

Отсюда,

$[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} + 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ABC.]$

Приравниваем правы части равенств для AC²

$[A{D^2} + D{C^2} + 2 cdot AD cdot DC cdot cos angle ABC = ]$

$[ = A{B^2} + B{C^2} - 2 cdot AB cdot BC cdot cos angle ABC.]$

Отсюда,

$[ - A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2},]$

$[ = A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}]$

$[cos angle ABC = frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{D^2} - D{C^2}}}{{2(AB cdot BC + AD cdot DC)}}.]$

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

$[{sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha = 1]$

(для 0º<α<180º sinα>0)

$[sin angle ABC = sqrt {1 - {{(cos angle ABC)}^2}} ]$

и по формуле

$[S = frac{1}{2}a cdot b cdot sin alpha ]$

найдём

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot AB cdot BC cdot sin angle ABC.]$

Аналогично,

$[{S_{Delta ADC}} = frac{1}{2} cdot AD cdot DC cdot sin angle ADC,]$

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

$[{S_{ABCD}} = {S_{Delta ABC}} + {S_{Delta ADC}}.]$

$[S = frac{1}{2}{d_1} cdot {d_2} cdot sin varphi ]$

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Источник

Правильный многоугольник

формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
формулы правильного n-угольника
правильный треугольник
правильный четырехугольник
правильный шестиугольник
правильный восьмиугольник

Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника

Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.

Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Признаки правильного многоугольника

Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие: все стороны и углы одинаковы.

a1=a2=a3=…=an-1=an

α1=α2=α3=…=αn-1=αn

где a₁…a_n — длины сторон правильного многоугольника,
α₁…α_n — внутренние углы между стронами правильного многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

Все стороны равны:
a1=a2=a3=…=an-1=an
Все углы равны:
α1=α2=α3=…=αn-1=αn
Центр вписанной окружности O_в совпадает с центром описанной окружности O_о, что и образуют центр многоугольника O.
Сумма всех углов n-угольника равна:180°·n-2
Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°: β1+β2+β3+…+βn-1+βn=360°
Количество диагоналей (D_n) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины: Dn = n·n-32
В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг; при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника: S = π4·a2
Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O.

Формулы правильного n-угольника

Формулы длины стороны правильного n-угольника

Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·tg180°n

(через градусы),

a = 2·r·tgπn

(через радианы)

Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности

a = 2·R·sin180°n

(через градусы),

a = 2·R·sinπn

(через радианы)

Формулы радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны

r = a:2·tg180°n

(через градусы),

r = a:2·tgπn

(через радианы)

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны

R = a:2·sin180°n

(через градусы),

R = a:2·sinπn

(через радианы)

Формулы площади правильного n-угольника

Формула площади n-угольника через длину стороны

S = n·a24·ctg180°n

Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности

S = n·r2·tg180°n

Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности

S = n·R22·sin360°n

Формула периметра правильного многоугольника

Формула периметра правильного n-угольника

Периметр правильного n-угольника равен произведению длины одной стороны правильного n-угольника на количество его сторон.

P = n·a

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника

Формула угла между сторонами правильного n-угольника

αn = n-2n·180°

Правильный треугольник

Правильный треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°.

Формулы правильного треугольника

Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного треугольника равна удвоенному произведению радиуса вписанной окружности на корень из трёх.

a = 2·r·3

Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного треугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из трёх.

a = R·3

r = a·36

R = a·33

Формула площади правильного треугольника через длину стороны

S = a2·34

Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·3·3

Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·34

Углы между сторонами правильного треугольника

α1=α2=α3=60°

Правильный четырехугольник

Правильный четырехугольник — это квадрат.

Формулы правильного четырехугольника

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна двум радиусам вписанной окружности.

a = 2·r

Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Сторона правильного четырехугольника равна произведению радиуса описанной окружности на корень из двух.

a = R·2

Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус вписанной окружности правильного четырехугольника равен половине стороны четырехугольника.

r = a2

Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны

Радиус описанной окружности правильного четырехугольника равен половине произведения стороны четырехугольника на корень из двух.

R = a·22

Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны

Площадь правильного четырехугольника равна квадрату стороны четырехугольника.

S = a2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна четырем радиусам вписанной окружности четырехугольника.

S = 4·r2

Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности

Площадь правильного четырехугольника равна двум квадратам радиуса описанной окружности.

S = 2·R2

Углы между сторонами правильного четырехугольника

α1=α2=α3=α4=90°

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного шестиугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 120°.

Формулы правильного шестиугольник

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·33

Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

Длина стороны правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

a = R

Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

r = a·32

Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны

R = a

Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны

S = a2·3·32

Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·2·3

Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·3·32

Углы между сторонами правильного шестиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=120°

Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами. Все стороны правильного восьмиугольник равны между собой, все углы также равны и составляют 135°.

Формулы правильного восьмиугольника

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

a = 2·r·2-1

Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

a = R·2-2

Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

r = a·2+12

Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны

R = a·4+222

Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны

S = a2·2·2+1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности

S = r2·8·2-1

Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности

S = R2·2·2

Углы между сторонами правильного восьмиугольника

α1=α2=α3=α4=α5=α6=α7=α8=135°

Коротко о важном
Таблицы
Формулы
Формулы по геометрии
Теория по математике

Источник

Свойства вписанных и описанных четыехугольников

Содержание:

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры
Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой
Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника
Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Вписанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Вписанный в окружность четырехугольник является таким четырехугольником, каждая из вершин которого принадлежит описанной около него окружности.

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке:

Вписанный в окружность четырехугольник изображен на рисунке

Источник: www.treugolniki.ru

Здесь около четырехугольника ABCD описана окружность, а сам этот четырехугольник можно назвать вписанным в данную окружность. Этот вывод можно сделать на основании определения, рассмотренного ранее, так как точки A, B, C, D являются одновременно и вершинами четырехугольника, и принадлежат описанной около него окружности.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Теорема 1

Какой-либо четырехугольник может быть вписан в некую окружность при условии, что его противолежащие углы в сумме дают 180°.

Теорема 2

В том случае, когда противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°, данный четырехугольник может быть вписан в окружность.

противолежащие углы некого четырехугольника в сумме составляют 180°

Источник: www.treugolniki.ru

На примере рисунка запишем смысл изложенной теоремы:

(left. begin{array}{l} angle A + angle C = {180^o}\ angle B + angle D = {180^o} end{array} right} Leftrightarrow ABCD) треугольник вписан в окружность.

Следствие 1

Не каждый параллелограмм допустимо вписывать в окружность, лишь прямоугольники — в том числе квадраты.

окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Если какой-то четырехугольник вписан в окружность, то ее центральная точка совпадет с точкой, в которой пересекаются диагонали вписанного четырехугольника. При этом радиус описанной около четырехугольника окружности составит половину от длины его диагонали, то есть:

(R = frac{1}{2}BD)

Радиус, окружности, описанной около некого четырехугольника с прямыми углами, можно вычислить с помощью следующей формулы, содержащей стороны прямоугольника:

(R = frac{1}{2}sqrt {A{B^2} + A{D^2}}.)

Представим, что прямоугольник имеет стороны, которые равны a и b. Тогда справедливо следующее соотношение:

(R = frac{1}{2}sqrt {{a^2} + {b^2}})

Следствие 2

Допустимо вписать в окружность лишь такую трапецию, которая является равнобедренной.

окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Выведем формулу для вычисления радиуса окружности, которая описана около равнобедренной трапеции. Искомая величина равна радиусу окружности, описанной около одного из треугольников, имеющего те же вершины, что и рассматриваемая трапеция:

ABC, ABD, ACD или BCD.

Описанный четырехугольник, особенности, основные свойства фигуры

Описанным четырехугольником называют такую геометрическую фигуру с четырьмя углами, каждая из сторон которой является касательной к окружности. Данная окружность считается вписанной в рассматриваемый четырехугольник.

Теорема 3

В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность при условии, что его противолежащие стороны в сумме равны.

В любой четырехугольник допустимо вписать какую-либо окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что в данном случае соблюдено условие:

AB+CD=BC+AD

На основе теоремы можно сформулировать обратное утверждение. В том случае, когда противоположные стороны четырехугольника в сумме равны, то есть AB+CD=BC+AD, в такой четырехугольник ABCD допустимо вписать какую-либо окружность.

Теорема 4

Центральная точка окружности, вписанной в четырехугольник, совпадает с точкой, в которой пересекаются биссектрисы данной геометрической фигуры.

Центральная точка окружности

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что на рисунке биссектрисами углов, которые имеет четырехугольник ABCD, являются следующие отрезки:

В результате:

(angle BAO = angle DAO)

(angle ABO = angle CBO) и так далее.

Теорема 5

Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника, расположены на сторонах с началом, совпадающим с одной вершиной, и находятся на одинаковом удалении от данной вершины.

Точки, в которых вписанная окружность касается описанного четырехугольника

Источник: www.treugolniki.ru

Рассмотрим рисунок. Заметим, что:

BM=BK;

CK=CF;

DF=DN.

Записанные равенства вытекают из того факта, что это отрезки касательных, которые проведены из одной точки.

Записанные равенства вытекают из того факта

Источник: www.treugolniki.ru

Запишем следующие соотношения:

(OM bot AB);

(OK bot BC);

(OF bot CD);

(ON bot AD).

Данные соотношения верны, так как включают в себя радиусы, которые проведены в точки касания окружности и описанного четырехугольника.

Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

В том случае, когда в четырехугольник вписана окружность, его площадь определяется по формуле:

(S = p cdot r)

Здесь p обозначает полупериметр четырехугольника.

Вспомним, что противолежащие стороны четырехугольника, в который вписана окружность, в сумме равны. Исходя из данного утверждения, можно сделать вывод: полупериметр такого четырехугольника равен какой-либо из пар сумм противолежащих сторон.

Если рассмотреть некий четырехугольник ABCD, то можно записать формулу для вычисления полупериметра этой геометрической фигуры:

p=AD+BC

p=AB+CD.

Тогда площадь четырехугольника, в который вписана окружность, будет вычислена таким образом:

({S_{ABCD}} = (AD + BC) cdot r;)

({S_{ABCD}} = (AB + CD) cdot r.)

В результате для определения радиуса окружности, которая вписана в некий четырехугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

(r = frac{S}{p}.)

В том случае, если рассматривается описанная около четырехугольника ABCD окружность, то формула для вычисления ее радиуса примет вид:

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AD + BC}};)

(r = frac{{{S_{ABCD}}}}{{AB + CD}}.)

Чему равна сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника

Теорема 6

Если четырехугольник вписан в некую окружность, то его противолежащие углы в сумме дают .

четырехугольник вписан в некую окружность

Источник: www.treugolniki.ru

Заметим, что на рисунке изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность (O; R). Требуется доказать, что:

(angle A+angle C=180^o;)

(angle B+angle D=180^o.)

Представим доказательства. По условию:

(angle A) — угол вписанного четырехугольника, опирается на дугу BCD;

(angle C) — угол, который опирается на дугу DAB.

Зная, что вписанный угол составляет ½ часть дуги, которая является его опорой, запишем:

(angle A = frac{1}{2} cup BCD,)

(angle C = frac{1}{2} cup DAB.)

В результате:

(angle A + angle C = frac{1}{2} cup BCD + frac{1}{2} cup DAB = frac{1}{2}( cup BCD + cup DAB) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Аналогичным образом запишем, что:

(angle B + angle D = frac{1}{2}( cup CDA + cup ABC) = frac{1}{2} cdot 360^o = 180^o.)

Теорема доказана.

Теорема 7

Если имеется такой четырехугольник, в котором противолежащие углы в сумме составляют (180^o), то около него можно описать окружность.

Представим, что имеется некий четырехугольник ABCD.

Сумма его противолежащих углов равна: (angle B+angle D=180^o).

Попробуем доказать, что около рассматриваемого четырехугольника можно описать окружность.

В первую очередь построим окружность около треугольника ABC таким образом, чтобы точка D принадлежала данной окружности. Построим доказательства, двигаясь «от обратного».

Допустим, что точка D не принадлежит окружности, которая описана около треугольника ABD. В таком случае точка D должна располагаться во внутренней области, ограниченной данной окружностью, или за пределами окружности.

В том случае, когда точка D расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, какой-то луч AD имеет точку пересечения с окружностью. Обозначим ее, как Е. Заметим, что если вокруг четырехугольника ABCE описана окружность, то его противолежащие углы в сумме составляют (180^o):

(angle B+angle E = 180^o.)

Согласно данным из условия задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Таким образом:

(angle D=angle E.)

С другой стороны, угол D является внешним углом треугольника DCE при его вершине D. Исходя из этого, запишем:

(angle ADC=angle DEC+angle DCE.)

В результате получается, что угол D не равен углу E. Это утверждение противоречиво. Таким образом, точка D не расположена во внутреннем пространстве, ограниченном окружностью, описанной около треугольника ABC.

угол D не равен углу E

Источник: www.treugolniki.ru

Луч AD имеет точку пересечения с окружностью, обозначенную буквой Е. В таком случае, ABCE представляет собой вписанный в окружность четырехугольник, а также:

(angle B+angle E=180^o)

Согласно условию задачи:

(angle B+angle D=180^o.)

Тогда:

(angle D=angle E.)

Однако угол Е является внешним углом треугольника ECD и расположен при вершине E.

Таким образом: (angle AEC=angle EDC+angle DCE.)

В результате недопустимо равенство углов D и E. В том случае, когда точка D расположена за пределами окружности, возникает противоречие. Таким образом, остается единственно верный вариант расположения этой точки, согласно которому она принадлежит окружности, описанной около четырехугольника. Теорема доказана.

Согласно свойству и признаку четырехугольника, вписанного в окружность, необходимым и достаточным условием вписанного четырехугольника является следующая теорема.

Теорема 7

Около четырехугольника допустимо описать окружность лишь в том случае, когда его противолежащие углы в сумме составляют 180 градусов.

Как найти радиус вписанного в окружность четырехугольника, формула

Допустим, что имеется некий четырехугольник, стороны которого обозначены, как a, b, c, d, а полупериметр равен p. В таком случае описанная около данного четырехугольника окружность имеет радиус, который можно рассчитать по формуле как отношение:

(R={frac {1}{4}}{sqrt {frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}.)

Примечание

Формулу радиуса окружности, которая описана около четырехугольника, ввел индийский математик Ватассери Парамешвара в XV веке.

Рассмотрим еще одну закономерность, которую называют формулой Брахмагупты. С ее помощью можно определить площадь S четырехугольника, который вписан в окружность и имеет стороны, равные a, b, c, d:

(S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.)

В данном случае p является полупериметром, то есть в два раза меньше, чем периметр, и определяется как:

(p={tfrac {1}{2}}(a+b+c+d).)

С помощью формулы Брахмагупты представляется возможным изменить форму записи формулы Парамешвары:

(4SR={sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.)

Здесь S определяется, как площадь четырехугольника, вписанного в окружность. Диаметр равен двум радиусам и проходит через центр окружности.

Источник

Общие сведения

Основные правила

Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).

Свойства и утверждения

Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.

Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.

Формулы и соотношения

Периметр и полупериметр

Понятие площади

Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см², м² и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.

Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м² в см². Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:

Определить базовую единицу: м и см.
Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м² = 100² см² = 10000 см².

Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м² и 1 гектар (га) = 10000 м².

Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a² — b² — c² + d²) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S <= 2 * R². Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R².

Диагонали и углы

cos (A) = (a² + d² — b² — c²) / (2 * (a * d + b + c)).
sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).

Стороны: a, b, c и d.
Диагонали: s и t.
Площадь: S.
Радиус описанной окружности: R.

a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
b = (1 — l²) * (m — k) * (1 + k * m).
c = k * (1 + l²) * (1 + m²).
d = (1 + m²) * (l — k) * (1 + k * l).
s = l * (1 + k²) * (1 + m²).
t = m * (1 + k²) * (1 + l²).
S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k²)] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k²)].
4 * R = (1 + l²) * (1 + m²) * (1 + k²).

Параметры для окружности

При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D² = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a² + c² = b² + d².

Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a² + c²] / 2 = [b² + d²] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a² + b² + c² + d². По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s² + t² + 4 * v²) / 8]^(½).

Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.

Источник