Формулы площади круга вписанного и описанного в треугольник и квадрат.
Площадь круга. Площадь круга вписанного в треугольник и квадрат (описанного около).
Скачайте удобный калькулятор — любые вычисления,
проценты, расчет по формулам, запись и печать результатов
Обозначения:
A, B, C — углы,
a, b, c — стороны,
h — высота,
R — радиус,
S — площадь.
p — полупериметр.
Скачайте удобный калькулятор — любые вычисления,
проценты, расчет по формулам, запись и печать результатов
1. Площадь круга
Где S — площадь круга, R — радиус круга.
2. Площадь круга вписанного в квадрат.
Где a/2 — радиус круга, a — длина стороны квадрата.
3. Площадь круга описанного около квадрата.
Где a — длина стороны квадрата.
В этом случае радиус круга равен 0.5*a*√‾2, используя формулу 1, получаем формулу 3.
4. Площадь круга вписанного в треугольник.
Используя формулу радиуса вписанной окружности
R = (p-a)*tg(A/2)
Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно, p — полупериметр.
Можем записать формулу площади круга вписанного в треугольник:
S = пи * ((p-a)*tg(A/2))²
5. Площадь круга описанного около треугольника.
Используя формулу радиуса описанной окружности
R = a/(2*sin(A))
Где a, A — сторона и противолежащий угол соответственно.
Можем записать формулу площади круга описанного около треугольника:
S = пи * (a/(2*sin(A)))²
6. Формулы полезные в жизни
Часто возникают задачи пересчета объема в площадь или в длину и обратная задача — пересчет площади в объем. Например, доски продаются кубами (кубометрами), а нам требуется рассчитать какую площадь стены можно обшить досками содержащимися в определенном объеме, см. расчет досок, сколько досок в кубе . Или, известны размеры стены, надо рассчитать число кирпичей, см. расчет кирпича.
Как найти площадь вписанной окружности
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
- Треугольник
- Выпуклый, правильный многоугольник
- Квадрат
- Равнобедренная трапеция
- Ромб
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
- В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
- Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
- Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
- Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
окружность и любая из сторон треугольника.
перпендикуляры к любой точке касания.
треугольника на 3 пары равных отрезков.
Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
- Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
- Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито). - Центр вписанной окружности и середины двух
диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона). - Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
- Точка касания — это точка, в которой соприкасается
окружность и любая из сторон четырехугольника. - Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:
[ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]
p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.
равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
- Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение. - Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
- В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
- В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
- Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
- Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
- Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение. - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение. - Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
- Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
Содержание:
В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.
Особенности явления
Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.
Из вышесказанного следуют свойства:
- В треугольник вписывается лишь один круг.
- Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
- Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.
Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .
a, где:
- a – длина стороны геометрической фигуры;
- r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.
После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:
.
В задачах могут давать длину сторон, тогда
Выражение для равностороннего треугольника можно записать в виде так как 3-угольник равносторонний. С иной стороны – это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.
Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.
Задачи
В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.
Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.
Для вычислений необходимо найти радиус r.
Известно, что он определяется по формуле:
После преобразований выражение упрощается до .
– полупериметр.
Начинаем проводить вычисления.
P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.
Формулы площадей всех основных фигур
1. Формула площади круга через радиус или диаметр
Зная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.
r — радиус круга
D — диаметр
Формула площади круга, (S):
2. Формула расчета площади треугольника
h — высота треугольника
a — основание
Площадь треугольника (S):
3. Площадь треугольника, формула Герона
a , b , c , — стороны треугольника
p— полупериметр, p=( a + b + c )/2
Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):
4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам
Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь.
a , b — катеты треугольника
Формула площади прямоугольного треугольника, (S):
5. Как вычислить площадь равнобедренного треугольника ?
b — основание треугольника
a — равные стороны
h — высота
Формула площади треугольника через высоту h и основание b , ( S ):
Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):
6. Площадь равностороннего треугольника равна:
Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.
a — сторона треугольника
h — высота
Площадь треугольника только через сторону a , (S):
Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):
Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):
7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны
Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь.
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — углы
Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):
8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.
a , b , c — стороны треугольника
α , β , γ — противолежащие углы
Площадь треугольника через сторону и два угла (S):
9. Формула расчета площади прямоугольника
b — длина прямоугольника
a — ширина
Формула площади прямоугольника, (S):
10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону
a — сторона квадрата
c — диагональ
Формула площади квадрата через сторону a , (S):
Формула площади квадрата через диагональ c , (S):
11. Формулы площади параллелограмма
1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы
a, b — стороны параллелограмма
α , β — углы параллелограмма
Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):
2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту
a, b — стороны параллелограмма
H b — высота на сторону b
H a — высота на сторону a
Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):
3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними
D — большая диагональ
d — меньшая диагональ
α , β — углы между диагоналями
Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):
12. Площадь произвольной трапеции
1. Формула площади трапеции через основания и высоту
b — верхнее основание
a — нижнее основание
m — средняя линия
h — высота трапеции
Формула площади трапеции, (S):
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними
d 1, d 2 — диагонали трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади трапеции, (S):
3. Формула площади трапеции через четыре стороны
b — верхнее основание
a — нижнее основание
c, d — боковые стороны
Формула площади трапеции, (S):
13. Площадь равнобедренной трапеции
1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол
b — верхнее основание
a — нижнее основание
c — равные боковые стороны
α — угол при нижнем основании
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):
Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):
2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности
R — радиус вписанной окружности
D — диаметр вписанной окружности
O — центр вписанной окружности
H — высота трапеции
α , β — углы трапеции
Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):
СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:
3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними
d — диагональ трапеции
α , β — углы между диагоналями
Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):
4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
m — средняя линия трапеции
c — боковая сторона
α , β — углы при основании
Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):
5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту
b — верхнее основание
a — нижнее основание
h — высота трапеции
Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):
Площадь круга, вписанного в равносторонний треугольник: решение
Содержание:
В геометрии встречаются понятия описанной и вписанной геометрических фигур. Описанным будет треугольник, через вершины которого проходит окружность, вписанным – если его стороны соприкасаются с кругом. Такое построение в обоих случаях обладает рядом особенностей, которые применяются на практике и упрощают решение задач. Рассмотрим свойства и формулы для расчёта описанного 3-угольника.
Особенности явления
Окружность с центром O, проходящая через одну из точек: D, E либо F обязательно будет лежать и на двух остальных. Прямые, разделяющие углы пополам, или биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в общей точке – центре вписанной окружности, который находится на одинаковом удалении от сторон геометрической фигуры.
Из вышесказанного следуют свойства:
- В треугольник вписывается лишь один круг.
- Его центр находится на одинаковом расстоянии от ближайших точек на сторонах 3-угольника.
- Перпендикуляры, опущенные из центра O, и биссектрисы пересекаются в одной точке, называемой центром вписанной окружности.
Способ вычислить площадь круга, вписанного в треугольник
Для вычисления площади, если дан только размер стороны правильного треугольника, применяется ряд формул.
S=πr 2 .
a, где:
- a – длина стороны геометрической фигуры;
- r – радиус круга, расположенного внутри многоугольника с тремя равными сторонами.
После подстановки значения получается выражение для вычисления площади вписанной окружности:
.
В задачах могут давать длину сторон, тогда
Выражение для равностороннего треугольника можно записать в виде так как 3-угольник равносторонний. С иной стороны – это полупериметр рассматриваемой геометрической фигуры – p.
Зная это, формула записывается в виде: S = r * p.
Задачи
В формулу подставим длину сторон треугольника, после вычислений получим результат.
Вычислить занимаемое вписанным в 3-угольник кругом пространство, если его сторона равна 10 см.
Для вычислений необходимо найти радиус r.
Известно, что он определяется по формуле:
После преобразований выражение упрощается до .
– полупериметр.
Начинаем проводить вычисления.
P = a + a + a = 10 +10 +10 или 10 * 3 = 30 см.
http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-ploschad-vpisannoy-okruzhnosti
http://bingoschool.ru/manual/ploshhad-kruga-vpisannogo-v-ravnostoronnij-treugolnik-reshenie/
Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Учитесь решать простые и сложные задачи.
Содержание
- Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
- Формула нахождения площади круга через радиус:
- Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:
- Нахождение S круга, если известна длина окружности:
- Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
- Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.
- Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.
- Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
- Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
- Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей
Круг — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — это плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади просто. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат, и описанного около этих фигур.
Площадь круга: формула через радиус, диаметр, длину окружности, примеры решения задач
Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.
Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равными.
Диаметр D — это линия между двумя любыми точками окружности, которая проходит через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.
Число π — это неизменная величина, которая равна 3,1415926. В математике обычно это число округляется до 3,14.
Формула нахождения площади круга через радиус:
Примеры решения заданий по нахождению S-площади круга через R-радиус:
————————————————————————————————————————
Задача: Найдите площадь окружности, если ее радиус равен 7 см.
Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².
Ответ: Площадь окружности равна 153,86 см².
Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:
Примеры решения заданий по нахождению S, если известен D:
————————————————————————————————————————-
Задача: Найдите S круга, если его D равен 10 см.
Решение: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².
Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².
Нахождение S круга, если известна длина окружности:
Сначала находим, чему равен радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через R.
Рассмотрим решение на примере задачи:
———————————————————————————————————————-
Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.
Решение: Сначала находим радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.
Теперь находим площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².
Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².
Площадь круга, вписанного в квадрат: формула, примеры решения задач
Найти площадь круга, вписанного в квадрат просто. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно сторону разделить на 2.
Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:
Примеры решения задач по нахождению площади круга, вписанного в квадрат:
———————————————————————————————————————
Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.
Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².
Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².
————————————————————————————————————————
Задача №2: Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.
Решайте так: Сначала найдем R=a/2=4/2=2 см.
Теперь найдем площадь окружности S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².
Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².
Площадь круга, описанного около квадрата: формула, примеры решения задач
Немного сложнее находить площадь круглой фигуры, описанной около квадрата. Но, зная формулу, можно быстро подсчитать данное значение.
Формула нахождения S круга, описанного около квадратной фигуры:
Примеры решения заданий по нахождению площади окружности, описанной около квадратной фигуры:
Задача
Площадь круга, вписанного в прямоугольный и равнобедренный треугольник: формула, примеры решения задач
Окружность, которая вписана в треугольную фигуру — это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В любую треугольную фигуру можно вписать круг, но только один. Центром круга будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.
Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:
Когда будет известен радиус, площадь можно вычислить по формуле: S=πR².
Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:
Примеры решения заданий:
Задача №1
Если в этой задаче нужно найти еще и площадь круга с радиусом 4 см, то сделать это можно по формуле: S=πR²
Задача №2
Решение:
Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга через радиус. Формулу смотрите выше по тексту.
Задача №3
Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач
Все формулы по нахождению площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как было описано выше.
Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника находится по такой формуле:
Примеры решения задач:
Вот еще пример решения задачи с использованием формулы Герона.
Решать подобные задачи сложно, но их можно осилить, если знать все формулы. Такие задачи школьники решают в 9 классе.
Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач
У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задач.
Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.
Для решения этой задачи нужно использовать такие формулы:
Нахождение площади окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:
Если известна боковая сторона, то можно найти радиус через это значение. Высота боковой стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус — это половина диаметра. Соответственно, радиус равен R=d/2.
Примеры решения задач:
Площадь круга, описанного около прямоугольной и равнобедренной трапеции: формула, примеры решения задач
Трапецию можно вписать в окружность, когда сумма ее противолежащих углов равна 180º. Поэтому вписать можно только равнобокую трапецию. Радиус для вычисления площадь круга, описанного около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по таким формулам:
Примеры решения задач:
Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание АВ равно 12, тогда радиус R можно найти так: R=12/2=6.
Ответ: Радиус равен 6.
В геометрии важно знать формулы. Но все их невозможно запомнить, поэтому даже на многих экзаменах разрешается пользоваться специальным формуляром. Однако важно уметь находить правильную формулу для решения той или иной задачи. Тренируйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади окружности, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.
Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей
Как найти площадь вписанной окружности
Площадь окружности, вписанной в многоугольник, можно вычислить не только через параметры самой окружности, но через различные элементы описанной фигуры — стороны, высоту, диагонали, периметр.
Инструкция
Окружность называется вписанной в многоугольник, если имеет общую точку с каждой стороной описанной фигуры. Центр вписанной в многоугольник окружности всегда лежит в точке пересечения биссектрис его внутренних углов. Площадь, ограниченная окружностью, определяется формулой S=π*r²,
где r — радиус окружности,
π — число «Пи» — математическая постоянная, равная 3,14.
Для окружности, вписанной в геометрическую фигуру, радиус равен отрезку от центра до точки касания со стороной фигуры. Следовательно, можно определить зависимость между радиусом вписанной в многоугольник окружности и элементами данной фигуры и выразить площадь окружности через параметры описанного многоугольника.
В любой треугольник возможно вписать единственную окружность с радиусом, определяемым формулой: r=s∆/p∆,
где r — радиус вписанной окружности,
s∆ — площадь треугольника,
p∆ — полупериметр треугольника.
Подставьте полученное значение радиуса, выраженное через элементы описанного около окружности треугольника, в формулу площади окружности. Тогда площадь S окружности, вписанной в треугольник с площадью s∆ и полупериметром p∆ вычисляется по формуле:
S = π*(s∆/p∆)².
Окружность можно вписать в выпуклый четырехугольник при условии, что в нем равны суммы противолежащих сторон.
Площадь S окружности, вписанной в квадрат со стороной a, равна: S= π*a²/4.
В ромбе площадь S вписанной окружности равна: S= π*(d₁d₂/4a)². В этой формуле d₁ и d₂ — диагонали ромба, а — сторона ромба.
Для трапеции площадь S вписанной в нее окружности определяется по формуле: S= π*(h/2)², где h — высота трапеции.
Сторона а правильного шестиугольника равна радиусу вписанной в него окружности, площадь S окружности вычисляется по формуле: S = π*a².
Окружность можно вписать в правильный многоугольник с любым количеством сторон. Общая формула для определения радиуса r окружности, вписанной в многоугольник со стороной а и числом сторон n: r=a/2tg(360°/2n). Площадь S вписанной в такой многоугольник окружности: S=π*(a/2tg(360°/2n)²/2.
Видео по теме
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как найти площадь круга вписанного в квадрат
Вообще мы в прошлый раз определяли площадь круга м², сегодня займёмся площадью круга, который вписан в квадрат! Определим сколько же площадь вписанного круга!
Если мы посмотрим на наш круг вписанный в квадрат, то сразу, наверняка ответили свой вопрос – сколько площадь вписанного круга!?
Если нет, то продолжим…
Формула площади круга вписанного в квадрат
Нам понадобится формула площади круга.
S = πR²
Где S – площадь круга.
π – число Пи (равно 3.14)
R² — квадрат радиуса круга.
Кроме площади круга у нас есть сторона квадрата, которая обозначена буквой «а». И если посмотреть внимательно на нашу картинку. То мы увидим, что сторона квадрата – это диагональ нашего круга, а мы помним, что диагональ в два раза больше радиуса!
В данном случае
R = а/2
И теперь нам нужно данное равенство занести в формулу и мы получим новую формулу- площадь круга вписанного в квадрат…
S = π(а/2)²
Написать что-нибудь…
площадь круга вписанного в квадрат ,
найти площадь круга вписанного в квадрат ,
площадь квадрата вписанного в круг равна ,
площадь квадрата вписанного в круг ,
площадь квадрата вписанного в круг равна ,
формула площади круга вписанного в квадрат ,
Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).
Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).
Свойства вписанной окружности
1. Окружность можно вписать в любой треугольник.
2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.
Например, на рисунке 8.106 .
Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.
Свойства описанной окружности
1. Окружность можно описать около любого треугольника.
2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.
Например, на рисунке 8.107 .
Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:
а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);
б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);
3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);
4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).
Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:
1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);
2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;
3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.
Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей
Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :
1) для равностороннего треугольника со стороной :
, (8.34)
; (8.35)
2) для произвольного треугольника со сторонами и площадью :
, (8.36)
; (8.37)
3) для прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой :
, (8.38)
; (8.39)
4) для квадрата со стороной и диагональю :
, (8.40)
; (8.41)
5) для прямоугольника с диагональю :
; (8.42)
6) для ромба с высотой :
; (8.43)
7) для трапеции с высотой , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:
. (8.44)
Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами и площадью , по формуле найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);
для правильного шестиугольника со стороной :
, (8.45)
. (8.46)
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.
Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна .
Решение. Так как площадь круга радиуса находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной находят по формуле , то согласно условию задачи запишем: , .
А так как , то , , , , .
Ответ: .
Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами и находят по формуле .
Пусть , тогда (рис. 8.118).
Получим: , , откуда , следовательно, , .
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: , . Согласно формуле 8.42 .
Ответ: .
Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.
Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):
, , .
По формуле найдем площадь ромба: .
Но площадь ромба можно найти и по формуле , а так как , то . Тогда , а .
Ответ: 2,4.
Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна .
Решение. Площадь правильного треугольника со стороной находят по формуле: .
Зная площадь треугольника, найдем его сторону: , , .
По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: .
По формуле 8.30 найдем длину окружности: .
Ответ: .
Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой находят по формуле 8.38. Тогда .
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты и раны и по теореме Пифагора , откуда , .
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае , .
Ответ: .
Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Точка является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат со стороной 3. Если катет , а сторона квадрата , то .
Пусть отрезок . По свойству касательных и .
Тогда по теореме Пифагора или , откуда , .
Найдем катет : .
Найдем площадь треугольника: , .
Ответ: 60.
Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).
Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: , откуда .
Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.
В свою очередь по формуле Герона найдем площадь треугольника. Так как , то .
Тогда .
Ответ: .
Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции.
Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: , .
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: , , .
Согласно формуле найдем площадь трапеции: .
Ответ: 45.
Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как , а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.
Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции .
Радиус окружности, описанной около треугольника , найдем по формуле 8.36:
, .
Зная, что и вводя коэффициент пропорциональности , получим , .
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то , откуда . Тогда , .
Поскольку четырехугольник является прямоугольником, то , тогда .
Согласно теореме Пифагора запишем:
, ;
, .
По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника , а, следовательно, и около трапеции :
.
Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: .
Ответ: .
Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна .
Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: .
По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как , то .
Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда , а .
Найдем площадь кольца: , .
Ответ: .
1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.
2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.
3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции.
5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.
Длину окружности радиуса находят по формуле:
. (8.30)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
. (8.32)