Как найти площадь вписанной окружности прямоугольного треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

квадратный миллиметр (мм 2 );
квадратный сантиметр (см 2 );
квадратный дециметр (дм 2 );
квадратный метр (м 2 );
квадратный километр (км 2 );
гектар (га).

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Если в задаче дана окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, то ее решение может быть связано со свойством отрезков касательных, проведенных из одной точки, и теоремой Пифагора.

Кроме того, следует учесть, что радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 4 см и 6 см. Найти периметр и площадь треугольника и радиус окружности.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

3) По теореме Пифагора:

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

источники:

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolrost.htm

Источник

Как известно, площадь круга вычисляется по формуле:

C = πR².

То есть нам в любом случае нужно знать радиус.

Существует специальная формула нахождения радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности:

Здесь a и b — это катеты, а c — это гипотенуза.

В условии задачи даны только катеты, а для нахождения гипотенузы можно использовать теорему Пифагоа:

a² + b² = c². => c = √(a² + b²)

Таким образом:

r = (a + b — √(a² + b²)) / 2.

C = π * (a + b — √(a² + b²))² / 4.

Например, катеты равны 3 и 4 см.

Найдём гипотенузу: √(3² + 4²) = √25 = 5 см.

Найдём радиус: r = (3 + 4 — 5) / 2 = 1 см.

Площадь круга будет равна:

C = πR² = 3,14 * 1 = 3,14 см².

Источник

Расчёт площади круга вписанного в прямоугольный треугольник, по катетам треугольника

Калькулятор рассчитывает площадь круга вписанного в прямоугольный треугольник, по катетам треугольника.

Введите катет a

Введите катет b

Формула площади круга вписанного в прямоугольный треугольник, по катетам треугольника

Где a, b — катеты прямоугольного треугольника,
π=3.14

Вывод формулы площади круга вписанного в прямоугольный треугольник, по катетам треугольника

Т.к. отрезки касательных к окружности проведённые из одной точки равны

AN=AK=R

NB=BM=a-R

KC=CM=b-R

BC=c=BM+CM=a-R+b-R

c=a-R+b-R

Выведем радиус R

2R=a+b-c

По теореме пифагора выведем гипотенузу c

Подставим в выведенную ранее формулу радиуса гипотенузу

Подставим полученный радиус в формулу площади окружности

Похожие калькуляторы

Источник

$[r = frac{{a + b - c}}{2},]$

где a и b — длины катетов, c — гипотенузы.

Рассмотрим две задачи на вписанную в прямоугольный треугольник окружность.

Задача 1.

Дано: ∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

BM=4 см, AM=6 см.

Найти:

$[{P_{Delta ABC,}}{S_{Delta ABC}},r.]$

Решение:

1) По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки,

AK=AM=6 см,

BF=BM=4 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+4=10 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(4+x) см.

3) По теореме Пифагора:

$[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}]$

$[{(6 + x)^2} + {(4 + x)^2} = {10^2}]$

$[36 + 12x + {x^2} + 16 + 8x + {x^2} = 100]$

$[2{x^2} + 20x - 48 = 0]$

$[{x^2} + 10x - 24 = 0]$

По теореме Виета,

$[{x_1} = 2,{x_2} = - 12.]$

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CK+CF=2 см, AC=8 см, BC=6 см.

$[{P_{Delta ABC}} = AB + AC + BC,]$

$[{P_{Delta ABC}} = 10 + 8 + 6 = 24(cm),]$

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot BC,]$

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot 8 cdot 6 = 24(c{m^2}),]$

$[r = frac{{AC + BC - AB}}{2},]$

$[r = frac{{8 + 6 - 10}}{2} = 2(cm).]$

Ответ: 24 см, 24 см², 2 см.

Задача 2.

Дано:∆ ABC, ∠C=90º,

окружность (O, r) — вписанная,

K, M, F — точки касания со сторонами AC, AB, BC,

AB=26 см, r=4 см.

Найти:

$[{S_{Delta ABC}}]$

Решение:

1) Проведем отрезки OK и OF.

(как радиусы, проведенные в точки касания).

Четырехугольник OKCF — прямоугольник (так как у него все углы — прямые).

А так как OK=OF (как радиусы), то OKCF — квадрат.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AM=AK=x см,

BF=BM=(26-x) см,

CF=CK=r=4 см.

3) AC=AK+KC=(x+4) см, BC=BF+CF=26-x+4=(30-x) см.

По теореме Пифагора,

$[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}]$

$[{(x + 4)^2} + {(30 - x)^2} = {26^2}]$

$[{x^2} + 8x + 16 + 900 - 60x + {x^2} = 676]$

$[2{x^2} - 52x + 240 = 0]$

$[{x^2} - 26x + 120 = 0]$

$[{x_1} = 20,{x_2} = 6.]$

Если AM=20 см, то AC=24 см, BC=10 см.

Если AM=6 см, то AC=10 см, BC=24 см.

$[4){S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AC cdot BC,]$

$[{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2} cdot 24 cdot 10 = 120(c{m^2}).]$

Ответ: 120 см².

Источник

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Рассмотрим важные теоремы, которые помогут нам при решении задач.

Теорема 1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Ее центр – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Иногда говорят, что окружность описана около треугольника. Это означает то же самое – все вершины треугольника лежат на окружности.

Доказательство этой теоремы здесь: Свойство серединных перпендикуляров.

Теорема 2. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Ее центром является точка пересечения биссектрис треугольника.

Доказательство теоремы здесь: Свойства биссектрис треугольника.

Теорема 3. Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус этой окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство:

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, по свойству медианы прямоугольного треугольника.
Его доказательство можно найти здесь: Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Поэтому середина гипотенузы – это точка, равноудаленная от вершины прямого угла и от концов гипотенузы, то есть от всех вершин прямоугольного треугольника.

Теорема 4.

Центр окружности, описанной вокруг остроугольного треугольника, лежит внутри этого треугольника.

Центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

Центр окружности, описанной вокруг тупоугольного треугольника, лежит вне этого треугольника.

Теорема 5. Радиус окружности , вписанной в прямоугольный треугольник с катетами и и гипотенузой , вычисляется по формуле: $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Доказательство теоремы здесь: Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Напомним определение правильного многоугольника:

Правильным называется многоугольник, все стороны и все углы которого равны. Центры вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника находятся в одной точке.

Из этого определения, понятно, что правильный треугольник – равносторонний. Для решения такого треугольника полезно уметь выводить формулы радиусов вписанной и описанной окружностей.

Теорема 6.

Для правильного треугольника со стороной а радиус описанной окружности равен $displaystyle R=frac{asqrt{3}}{3}.$

А радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Докажем эту теорему.

У равностороннего треугольника медианы, биссектрисы, высоты и серединные перпендикуляры совпадают, и точка их пересечения является центром как вписанной, так и описанной окружностей.

Пусть в правильном треугольнике ABC стороны , точка О – центр вписанной и описанной окружностей, — медианы и высоты. По свойству медиан треугольника, отрезки в точке О делятся в отношении 2 : 1, считая от вершин. Тогда

Получаем, что $displaystyle R=OB=frac{2}{3}BH, r=OH=frac{1}{3}BH.$

Из треугольника АВН получаем, что длина стороны $displaystyle BH=frac{asqrt{3}}{2}.$

Тогда $displaystyle R=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3}, r=frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=afrac{sqrt{3}}{6}.$

Значит, формула радиуса окружности, описанной около правильного треугольника — $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{3}.$

Формула радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник $displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}.$

Как видим, часто геометрическая задача решается с помощью несложных формул, и помогает в этом алгебра.

Разберем задачи ОГЭ и ЕГЭ по теме: Вписанные и описанные треугольники.

Задача 1, тренировочная. Периметр правильного треугольника АВС равен 15. Найдите радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

Длина стороны равностороннего треугольника ABC равна

Радиусы – вписанной и – описанной окружностей можно найти по формулам:

$displaystyle r=frac{asqrt{3}}{6}, R=frac{asqrt{3}}{3},$ где — сторона треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Ответ: $displaystyle r=frac{5sqrt{3}}{6}, R=frac{5sqrt{3}}{3}.$

Решая задачи по теме «Вписанные и описанные треугольники», мы часто пользуемся формулами площади треугольника, а также теоремой синусов.

Вот две полезные формулы для площади треугольника.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

где $p=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} left( a+b+c right)$ — полупериметр,

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R},$

где a, b, c — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Теорема синусов:

$displaystylefrac{a}{sinangle A}=frac{b}{sinangle B}=frac{c}{sinangle C}=2R,$

R — радиус описанной окружности

Задача 2, ЕГЭ. Найдите диаметр окружности, вписанной в треугольник со сторонами 13, 14 и 15.

Решение:

Выразим площадь треугольника двумя разными способами:

где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр треугольника, a a, b, c – его стороны.

$displaystyle p=frac{13+14+15}{2}=21,$

Тогда $displaystyle r=frac{S}{p}=frac{84}{21}=4$ , а диаметр окружности равен

Ответ: 8.

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Решение:

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} a^2.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}left( 2a + asqrt{2}right)r.$

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку r=2 , получаем, что .

Тогда .

В ответ запишем .

Ответ: 4.

Задача 4, ЕГЭ. В треугольнике ABC сторона равна , а угол равен $120^{circ}$ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

По теореме синусов $displaystyle frac{AC}{sin B}=2R.$

Тогда $displaystyle R=frac{7sqrt{3}}{2}:frac{sqrt{3}}{2}=7.$

Ответ: 7.

Задача 5, ЕГЭ. В треугольнике ABC угол А равен $57^{circ}$ , а угол В – $93^{circ}$ . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если сторона равна 10.

Решение:

Зная, что сумма углов треугольника равна $180^{circ}$ , найдем угол С.

$displaystyle angle C = 180^{circ }-(angle A+angle B)=180^{circ }-(53^{circ }+97^{circ })=30^{circ }.$

По теореме синусов $displaystyle frac{AB}{sinC}=frac{BC}{sinA}=frac{AC}{sinB}=2R.$

Значит, $displaystyle R=frac{AB}{2sinC}=10.$

Ответ: 10.

Задача 6, ЕГЭ. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

$genfrac{}{}{}{0}{AC}{sin B}=2R.$

Получаем, что $sin B=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}$ . Угол — тупой. Значит, он равен $150^{circ}$ .

Ответ: 150.

Задача 7, ЕГЭ. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

$S=genfrac{}{}{}{0}{abc}{4R}.$

$S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2} ah$ , где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем h=32 .

Тогда R=25 .

Ответ: 25.

Задача 8, ОГЭ. В равнобедренном треугольнике ABC основание равно 10 см, а высота, проведенная к основанию, 12 см. Найдите периметр треугольника и радиус вписанной окружности.

Решение:

Высота , проведенная к основанию , является медианой. Значит, .

находится по теореме Пифагора из треугольника ABH :

$displaystyle AB=sqrt{AH^{2}+BH^{2}}=sqrt{5^{2}+12^{2}}=13.$

Периметр треугольника ABC – это сумма длин сторон, т.е.

Площадь треугольника $displaystyle S=frac{1}{2}ACcdot BH=frac{1}{2}cdot 10cdot 12=60.$

Радиус вписанной окружности r найдем по формуле

$displaystyle r=frac{S}{p}=frac{60}{18}=frac{10}{3}.$

Ответ: $displaystyle 30; frac{10}{3}.$

Задача 9, ОГЭ. Стороны и треугольника ABC равны 6 и соответственно, угол $B- 45^{circ }$ . Найдите диаметр окружности, описанной около треугольника ABC .

Решение:

Найдем длину стороны по теореме косинусов, используя длины сторон , и косинус угла В, противолежащего стороне :

$displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2cdot ABcdot BCcdot cosB=6^{2}+(3sqrt{2})^{2}-2cdot 6cdot 3sqrt{2}cdot frac{sqrt{2}}{2}=18,AC=3sqrt{2}.$

Теперь воспользуемся теоремой синусов:

$displaystyle frac{AC}{sin45^{circ }}=2R,$

$displaystyle 2R=3sqrt{2}:frac{sqrt{2}}{2}=6.$

Значит, диаметр окружности, описанной около треугольника ABC , равен 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус описанной окружности равен 5, а вписанной 1.

Решение:

Пусть длина радиуса описанной окружности R = 5 , а длина радиуса вписанной окружности r = 1.

Мы знаем, что $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}, R=frac{c}{2}, S=pcdot r$ , где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=$

Отсюда

Тогда

Ответ: 11.

Задача 11. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 2, а гипотенуза 10.

Решение:

Пусть радиус вписанной окружности r = 2 , а гипотенуза c = 10.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}.$

Значит, $displaystyle r=frac{a+b-c}{2}=frac{a+b+c-2c}{2}=frac{a+b+c}{2}-frac{2c}{2}=p-c,$ отсюда p =r+c.

Площадь находится по формуле S =pr, где $displaystyle p=frac{a+b+c}{2}$ – полупериметр, a, b, c – стороны треугольника.

Ответ: 24.

Рассмотрим также задачу из 2 части ЕГЭ по математике.

Задача 12. Точка О – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая вторично пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке Р.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника APO , если радиус окружности, описанной около треугольника ABC равен 10, $displaystyle angle BAC=75^{circ }, angle ABC=60^{circ }.$

Решение:

а) Пусть О – центр вписанной окружности, значит, и – биссектрисы углов ABC и BAC соответственно, и

как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу PC.
Тогда

– внешний угол треугольника AOB , поэтому он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, т.е.

Значит, Что и требовалось доказать.

б) , следовательно, треугольник POA – равнобедренный, – основание,

Угол ABC равен $60^{circ }$ , значит, $displaystyle angle ABO=angle OBC=30^{circ }.$

По теореме синусов для треугольника ABP :

$displaystyle frac{AP}{sinB}=2R, AP=2cdot 10cdot sin30^{circ }=10.$

Тогда отрезок равен отрезку , т.е. OP = 10 .

Найдем угол С из треугольника ABC : $displaystyle angle C= 180^{circ }-60^{circ }-75^{circ }=45^{circ }.$

$displaystyle angle APO=angle ACB=45^{circ }$ как вписанные углы, опирающиеся на дугу .

Площадь треугольника AOP находится по формуле: $displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sinalpha.$

$displaystyle S_{APO}=frac{1}{2}cdot APcdot POcdot sinAPO=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot sin45^{circ }=frac{1}{2}cdot 10cdot 10cdot frac{sqrt{2}}{2}=$

Ответ:

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник