§2. Площадь треугольника. Метод площадей
В школьном курсе геометрии доказано несколько формул площади треугольника. Напомним их.
Пусть `A`, `B` и `C` — углы треугольника`ABC`; `a`, `b` и `c` — противолежащие этим углам стороны; `h_a`, `h_b` и `h_c` — высоты к этим сторонам; `r` — радиус вписанной окружности;`R` — радиус описанной окружности; `2p=(a+b+c)` — периметр треугольника; `S` — площадь треугольника
| `S=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c`, | (1) |
| `S=1/2 ab sinC=1/2acsinB=1/2bcsinA`, | (2) |
| `S=pr`, | (3) |
| ``S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))` — формула Герона, | (4) |
| `S=(abc)/(4R)`. | (5) |
При вычислении площади из этих формул следует выбрать ту, которая в условиях конкретной задачи приводит к более простому решению.
Для примера, рассмотрим два треугольника:
`DeltaABC:` `AB=13`, `BC=14`, `AC=15`;
`DeltaKML:` `KL=sqrt(13)`, `LM=sqrt(14)`, `KM=sqrt(15)`;
Надо найти площадь и радиус описанной окружности.
Для треугольника `ABC` удобен ход решения такой:
`p=1/2(AB+BC+AC)=21`, по формуле Герона
`S_(ABC)=sqrt(21*6*7*8)= ul(84)` и по формуле (5)
`R=(abc)/(4S)=(13*14*15)/(4*84)=65/8=ul(8,125)`.
Для треугольника `KLM` вычисленная по формуле Герона затруднительны, более простой путь — найти косинус, например, угла `M`. По теореме косинусов
`13=14+15-2sqrt(14)*sqrt(15)cosM iffcosM=8/(sqrt(14)*sqrt(15))`,
тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):
`S_(KML)=1/2KM*LMsinM=1/2*(sqrt(14)*sqrt(15)*sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))=(sqrt(146))/2`,
тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).
Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:
$$ 2.{1}^{○}$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то
`(S_(DBC))/(S_(ABC))=(DC)/(AC)`.
$$ 2.{2}^{○}$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):
`(S_(KBL))/(S_(ABC))=(BK*BL)/(BA*BC)`.
$$ 2.{3}^{○}$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их
сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC~DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.
Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).
Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.
Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.
Известно, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении `2:1`, считая от вершины. Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `DeltaABC` площади `S` (рис. 7а). Надо доказать, что площади всех шести треугольников с верш иной в точке `O`, составляющих треугольник `ABC`, равны между собой, т. е. равны `1/6S`.
Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.
Точка `M` — середина стороны `BC` (рис. 7б), по утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ о сравнении площадей `S_(ABM)=1/2S`. Медиана `BN`, пересекая медиану `AM` в точке `O` (рис. 7в), делит её в отношении `AO:OM=2:1`, т. е. `OM=1/3AM`. По тому же утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ площадь треугольника `BOM` составляет `1//3` площади треугольника `ABM`, т. е.
`S_(BOM)=1/3(1/2S)=1/6S`.
Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.
1. Обозначим `S_(ABC)=S`, `S_(DBKO)=sigma` и `S_(ADO)=a`. По утверждению $$ 2.{1}^{○}$$ имеем `S_(ABK)=a+sigma=3/5S` (так как `BK:BC=3:5`). Площадь `a` треугольника `ADO` найдём как часть площади треугольника `ADC`, зная, что `S_(ADC)=1/3S` (так как `AD:AB=1:3`).
2. Через точку `D` проведём прямую `DL«||«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«||«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.
По той же теореме (`/_DCB`, `OK«||«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.
3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.
(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`
`(BK)/(KC)*(CO)/(OD)*(DA)/(AB)=1 iff 3/2*(CO)/(OD)*1/3=1 iff CO=2OD=>OD=1/3DC`).
Находим площадь: `sigma=3/5S-a=(3/5-1/9)S=22/45S`.
`22/45`.
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).
Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).
В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.
Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.
Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.
В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.
Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.
Пусть `O` — точка пересечения медиан треугольника `ABC` (рис. 10) и пусть `m_a=AM=3`, `m_b=BN=4` и `m_c=CP=5`.
По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.
Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:
`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.
Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.
Итак, `S=3`, `S_1=8`.
В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.
Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.
Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.
Из решения предыдущей задачи следует, что `S_(OCD)=S_1=1/3S` (здесь `S` — площадь треугольника `ABC`). Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон, поэтому `(S_1)/(S_0)=(2/3)^2`. Таким образом, имеем `S_0=9/4S_1=3/4S`, т. е.
`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.
Из рассуждений в решении Примера 9 следует, что всегда существует треугольник со сторонами, равными медианам данного треугольника, поскольку всегда существует подобный ему треугольник со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`. Кроме того, становится ясным план построения треугольника по трём отрезкам, равным его медианам: сначала строится треугольник `OCD` (см. рис. 10) со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`, затем точка `N` — середина отрезка `OD`, потом точка `A` (из `AN=NC`) и точка `B` (из `OB=OD`). Это построение осуществимо, если существует треугольник `OCD`, т. е. если существует треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c`. Итак, вывод: три отрезка могут быть медианами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда из них можно составить треугольник.
Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.
Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:
`S=pr=(14+1)*sqrt3=15sqrt3`.
Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.
Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.
В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.
Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:
`x=(2ab)/(a+b)cos varphi/2`.
называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.
Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.
Центр окружности `I_a` лежит на пересечении биссектрисы угла `A` и биссектрис внешних углов при вершинах `B` и `C`. Легко видеть, что если `D`, `F` и `E` — точки касания, то `I_aD=I_aF=I_aE=r_a`.
Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:
`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда
`S_(ABC)=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)-S_(BCI_a)=1/2 cr_a+1/2br_a-1/2ar_a=`
`=r_a (c+b-a)/2=r_a(2p-2a)/2=r_a(p-a)`.
Итак,
Треугольник — это геометрическая фигура, которая образуется в результате пересечения трех отрезков, концы которых не лежат на одной прямой. У любого треугольника есть три стороны, три вершины и три угла.
Онлайн-калькулятор площади треугольника
Треугольники бывают различных видов. Например, существует равносторонний треугольник (тот, у которого все стороны равны), равнобедренный (в нем равны две стороны) и прямоугольный (в котором один из углов прямой, т. е. равен 90 градусам).
Площадь треугольника можно найти различными способами в зависимости от того, какие элементы фигуры известны по условию задачи, будь то углы, длины, либо же вообще радиусы окружностей, связанных с треугольником. Рассмотрим каждый способ отдельно с примерами.
Формула площади треугольника по основанию и высоте
S=12⋅a⋅hS= frac{1}{2}cdot acdot h,
aa — основание треугольника;
hh — высота треугольника, проведенная к данному основанию a.
Найти площадь треугольника, если известна длина его основания, равная 10 (см.) и высота, проведенная к этому основанию, равная 5 (см.).
Решение
a=10a=10
h=5h=5
Подставляем в формулу для площади и получаем:
S=12⋅10⋅5=25S=frac{1}{2}cdot10cdot 5=25 (см. кв.)
Ответ: 25 (см. кв.)
Формула площади треугольника по длинам всех сторон
S=p⋅(p−a)⋅(p−b)⋅(p−c)S= sqrt{pcdot(p-a)cdot (p-b)cdot (p-c)},
a,b,ca, b, c — длины сторон треугольника;
pp — половина суммы всех сторон треугольника (то есть, половина периметра треугольника):
p=12(a+b+c)p=frac{1}{2}(a+b+c)
Эта формула называется формулой Герона.
Найти площадь треугольника, если известны длины трех его сторон, равные 3 (см.), 4 (см.), 5 (см.).
Решение
a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
Найдем половину периметра pp:
p=12(3+4+5)=12⋅12=6p=frac{1}{2}(3+4+5)=frac{1}{2}cdot 12=6
Тогда, по формуле Герона, площадь треугольника:
S=6⋅(6−3)⋅(6−4)⋅(6−5)=36=6S=sqrt{6cdot(6-3)cdot(6-4)cdot(6-5)}=sqrt{36}=6 (см. кв.)
Ответ: 6 (см. кв.)
Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам
S=a22⋅sinβsinγsin(β+γ)S=frac{a^2}{2}cdot frac{sin{beta}sin{gamma}}{sin(beta+gamma)},
aa — длина стороны треугольника;
β,γbeta, gamma — углы, прилежащие к стороне aa.
Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.
Решение
a=10a=10
β=30∘beta=30^{circ}
γ=30∘gamma=30^{circ}
По формуле:
S=1022⋅sin30∘sin30∘sin(30∘+30∘)=50⋅123≈14.4S=frac{10^2}{2}cdot frac{sin{30^{circ}}sin{30^{circ}}}{sin(30^{circ}+30^{circ})}=50cdotfrac{1}{2sqrt{3}}approx14.4 (см. кв.)
Ответ: 14.4 (см. кв.)
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
S=a⋅b⋅c4RS=frac{acdot bcdot c}{4R},
a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
RR — радиус описанной окружности вокруг треугольника.
Числа возьмем из второй нашей задачи и добавим к ним радиус RR окружности. Пусть он будет равен 10 (см.).
Решение
a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
R=10R=10
S=3⋅4⋅54⋅10=6040=1.5S=frac{3cdot 4cdot 5}{4cdot 10}=frac{60}{40}=1.5 (см. кв.)
Ответ: 1.5 (см.кв.)
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
S=p⋅rS=pcdot r,
pp — половина периметра треугольника:
p=a+b+c2p=frac{a+b+c}{2},
a,b,ca, b, c — стороны треугольника;
rr — радиус вписанной в треугольник окружности.
Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.
Решение
a=3a=3
b=4b=4
c=5c=5
r=2r=2
p=3+4+52=6p=frac{3+4+5}{2}=6
S=6⋅2=12S=6cdot 2=12 (см. кв.)
Ответ: 12 (см. кв.)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
S=12⋅b⋅c⋅sin(α)S=frac{1}{2}cdot bcdot ccdotsin(alpha),
b,cb, c — стороны треугольника;
αalpha — угол между сторонами bb и cc.
Стороны треугольника равны 5 (см.) и 6 (см.), угол между ними равен 30 градусов. Найти площадь треугольника.
Решение
b=5b=5
c=6c=6
α=30∘alpha=30^{circ}
S=12⋅5⋅6⋅sin(30∘)=7.5S=frac{1}{2}cdot 5cdot 6cdotsin(30^{circ})=7.5 (см. кв.)
Ответ: 7.5 (см. кв.)
Контрольная по геометрии недорого на сервисе Студворк от профильных экспертов!
Тест на тему “Плошадь треугольника”
Формулы площади треугольника
Через основание и высоту
$$S= frac{1}{2} ah $$
(S) — площадь треугольника
(a) — основание
(h) — высота
(a =)
(h =)
Через две стороны и угол
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(b) — сторона
( alpha ) — угол между сторонами (a) и (b)
(a =)
(b =)
( alpha =)
Формула Герона
$$S= sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(b) — сторона
(c) — сторона
(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})
(a =)
(b =)
(c =)
Через радиус вписанной окружности
$$S= rp $$
(S) — площадь треугольника
(r) — радиус вписанной окружности
(a) — сторона
(b) — сторона
(c) — сторона
(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})
(r =)
(p =)
Через радиус описанной окружности
(S= frac{abc}{4R} )
(S) — площадь треугольника
(R) — радиус описанной окружности
(a) — сторона
(b) — сторона
(c) — сторона
(a =)
(b =)
(c =)
(R =)
Площадь прямоугольного треугольника
$$S= frac{1}{2} ab $$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(b) — сторона
(a =)
(b =)
Площадь прямоугольного треугольника
$$S= de $$
(S) — площадь треугольника
(d =)
(e =)
Формула Герона для прямоугольного треугольника
$$ S= (p-a)(p-b) $$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(b) — сторона
(p) — полупериметр, (p= frac{a+b+c}{2})
(a =)
(b =)
(p =)
Площадь равнобедренного треугольника
$$S= frac{1}{2} a^2 sin alpha$$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(alpha) — угол между боковыми сторонами
(a =)
( alpha =)
Площадь равнобедренного треугольника
<
$$S= frac{1}{2} ab sin alpha $$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(b) — сторона
(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием
(a =)
(b =)
( alpha =)
Площадь равнобедренного треугольника
$$S= frac{b^2}{4tg frac{ alpha }{2}} $$
(S) — площадь треугольника
(b) — сторона
(alpha) — угол между боковыми сторонами и основанием
(b =)
(alpha =)
Формула Герона для равнобедренного треугольника
a =
b =
Площадь равностороннего треугольника
$$S= frac{ sqrt{3}a^2}{4} $$
(S) — площадь треугольника
(a) — сторона
(a =)
Площадь равностороннего треугольника
$$S= frac{3 sqrt{3}R^2}{4}$$
(S) — площадь треугольника
(R) — радиус описанной окружности
(R =)
Площадь равностороннего треугольника
$$S= 3 sqrt{3}r^2 $$
(S) — площадь треугольника
(r) — радиус вписанной окружности
(r =)
Площадь равностороннего треугольника
$$S= frac{h^2}{sqrt{3}}$$
(S) — площадь треугольника
(h) — высота
(h =)
Что такое треугольник
Это весьма узнаваемая, классическая фигура в геометрии, известная даже детишкам дошкольного возраста. Треугольник фактически состоит из трёх точек на плоскости и трёх соединяющих их отрезков. Что важно — точки не могут лежать на одной прямой линии и именуются они вершинами данной фигуры.
Соединяющие отрезки — это стороны, а пространство между ними — внутренность треугольника, площадь которой мы и собираемся вычислить. В зависимости от значений или соотношений сторон и углов выделяют равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и др.
Площадь прямоугольного треугольника
Частным будет случай, когда один из углов фигуры равен 90°, то есть является прямым. Двух прямых углов в треугольнике быть просто физически не может, иначе третий будет равен 0°, что невозможно: сумма углов всегда 180° — это закон.
Формула нахождения площади в этом случае чрезвычайно проста: перемножаем катеты и делим результат на два. По сути своей — это половина прямоугольника, что можно сложить из двух таких фигур. Наш онлайн-калькулятор моментально выполнит расчёт.
Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …
Площадь треугольника через сторону и прилежащие углы
Чтобы воспользоваться приведённой здесь формулой, необходимо знать длину одной из сторон треугольника и прилежащие к ней углы. На самом деле потребуются значения всех углов, но при наличии двух из них — найти третье не составит труда: сумма углов треугольника всегда равна 180°.
Известное нам значение длины возводится в квадрат, делится на 2 и умножается на следующую дробь: в числителе перемножены синусы прилежащих углов, в знаменателе — синус оставшегося третьего угла.
Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …
Площадь треугольника через две стороны и угол
Представленная формула позволит найти площадь любого произвольного треугольника, если мы имеем на руках значения двух его сторон и угла между ними. Для этого необходимо произведение этих сторон умножить на синус угла, и разделить итоговое значение на 2.
Сложно представить, при каких жизненных ситуациях нам может потребоваться производить подобные вычисления, тем не менее у школьников и людей специализированных профессий такая потребность возникает с завидной регулярностью. Для них и создан наш онлайн-калькулятор.
Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …
Площадь треугольника по формуле Герона
Герон — греческий математик, изобретатель и механик, живший в первом веке нашей эры. По его формуле площадь треугольника рассчитывается, как корень из произведения разностей полупериметра (p) и каждой из его сторон (a, b, c). Всё, что необходимо знать — значения длин всех сторон.
Формула Герона присутствует в так называемой «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.). Была названа конечно же его именем, хотя говорят её вывел ещё сам Архимед.
Наш онлайн-калькулятор всего за несколько секунд поможет вам найти площадь, достаточно ввести значения длин всех сторон.
Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …
Площадь треугольника через основание и высоту
Наш онлайн-калькулятор моментально вычислит для вас площадь треугольника. Существует множество научных способов как её найти.
В данном случае потребуются следующие данные: длина основания (мы обозначили её буквой «b») и опущенная к нему высота (обычно обозначается как «h»). Для вашего удобства мы добавили подробный чертёж с обозначениями.
Важно: если ваши единицы измерения — миллиметры, тогда площадь будет выражаться в мм²; если сантиметры — тогда в см² и так далее …
Ваша оценка?
[Оценок: 11 / Средняя: 4.8]
Площадь любого треугольника можно найти, зная основание и высоту. Вся простота схемы заключается в том, что высота делит основание a на две части a1 и a2, а сам треугольник – на два прямоугольных треугольника, площадь которых получается 
и 
. Тогда площадь всего треугольника будет суммой двух указанных площадей, и если мы вынесем одну вторую высоты за скобку, то в сумме мы получим обратно основание:
Более сложный для расчетов способ – это формула Герона, для которой необходимо знать все три стороны. Для этой формулы нужно вычислить сначала полупериметр треугольника:
Сама формула Герона подразумевает квадратный корень из полупериметра, умноженного поочередно на разность его с каждой из сторон.
Следующий способ, также актуальный для любого треугольника, позволяет найти площадь треугольника через две стороны и угол между ними. Доказательство этому проистекает из формулы с высотой – проводим высоту на любую из известных сторон и через синус угла α получаем, что h=a⋅sinα . Для вычисления площади умножим половину высоты на вторую сторону.
Другой способ – найти площадь треугольника, зная 2 угла и сторону между ними. Доказательство этой формулы достаточно простое, и наглядно видно из схемы.
Опускаем из вершины третьего угла высоту на известную сторону и называем полученные отрезки x соответственно. Из прямоугольных треугольников видно, что первый отрезок x равен произведению котангенса угла α на высоту, а второй отрезок y – произведению котангенса угла β на эту же высоту. Дальше соединяем это вместе:
