Геометрия. Применение формул. Задача 5 Базового ЕГЭ по математике
Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.
Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.
Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.
Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.
В этой статье — основные типы заданий №5 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам
1. На клетчатой бумаге с размером клетки 
изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований:
2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда
3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на
Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:
Осталось умножить найденное значение синуса на
4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:
, где и — диагонали.
Получим: 
5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции
Нахождение площадей многоугольников сложной формы
А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.
6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.
Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .
7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.
Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .
Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.
Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1
где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.
Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.
Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:
Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.
Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.
Выбирайте — какой способ вам больше нравится.
8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 
Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.
Площадь каждого из больших треугольников равна
Площадь каждого из маленьких треугольников равна
Тогда площадь четырехугольника
9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки
На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Площадь вырезанного квадрата равна 4.
Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.
Площадь круга, длина окружности, площадь части круга
Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.
10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .
На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.
11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.
На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.
Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:
12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.
Задачи на координатной плоскости
13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).
Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда
14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты
На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.
Решение №867 Найдите площадь закрашенного четырехугольника.
Найдите площадь закрашенного четырехугольника.
Данный четырёхугольник – параллелограмм.
S = a · h
a = -1 – (-3) = 2
h = 3 – 1 = 2
S = a · h = 2 · 2 = 4
Ответ: 4.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время
В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.
Как рассчитать площадь четырехугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь четырехугольника онлайн. Для расчета задайте длину сторон, длины диагоналей и угол между ними, противолежащие углы, радиус окружности.
Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Через диагонали и угол между ними
Формула для нахождения площади четырехугольников через диагонали и угол между ними:
Через стороны и противолежащие углы
Формула для нахождения площади четырехугольников через стороны и противолежащие углы:
Площадь вписанного четырехугольника в окружность
Формула Брахмагупты для нахождения площади вписанного четырехугольника в окружность:
Площадь описанного четырехугольника около окружности через радиус
Формула для нахождения площади описанного четырехугольника около окружности через радиус:
http://www.mozgan.ru/Geometry/ArearQuadrangle
Воспользуюсь чертежом Ладлена и попытаюсь доказать, что площадь четырехугольника С С1 D В равна площади четырехугольника С D2 D D1. Учитываем, что точка D является центром меньшего четырехугольника.
Треугольник D1 D В равен треугольнику C1 D2 D, так как это прямоугольные треугольники, катет D D1 одного треугольника равен катету D D2 другого треугольника.
Углы при вершине D у этих треугольников равны, так как:
Угол D1 D В = общий угол D2 D B — 90 градусов (площадь закрашенного треугольника).
Угол D2 D C1 = общий угол D2 D B — 90 градусов (площадь не закрашенного треугольника).
Следовательно, эти треугольники равны.
От площади четырехугольника С D2 D B отнимаем площадь закрашенного треугольника и получаем площадь четырехугольник с не закрашенным треугольником С D2 D D1.
Площадь четырехугольника С D2 D D1 = 3 х 3= 9 (см в квадрате), так как сторона четырехугольника С D2 D D1= 6 : 2 = 3.
Следовательно площадь закрашенного четырехугольника равна 9 сантиметров в квадрате.
Найдите площадь закрашенного четырехугольника.
Решение:
Данный четырёхугольник – параллелограмм.
S = a·h
a = –1 – (–3) = 2
h = 3 – 1 = 2
S = a·h = 2·2 = 4
Ответ: 4.
Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!
Насколько понятно решение?
Средняя оценка: 5 / 5. Количество оценок: 1
Оценок пока нет. Поставь оценку первым.
Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️
Вступай в группу vk.com 😉
Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время!
В отзыве оставь любой контакт для связи, если хочешь, что бы я тебе ответил.
- Запись опубликована:03.10.2020
- Рубрика записиЗадания ЕГЭ из вариантов А. Ларина
- Автор записи:Andrei Maniakin
Этому не учат в школе
Надо найти площадь заштрихованной красным фигуры.
Известны стороны большого и маленького квадратов — 6 и 4 соответственно. надо найти площадь красного 4-угольника.
Если вы ещё не успели подумать сами, то вот вам подсказка: как обычно, все решается через подобие треугольников.
*
Ну а теперь одно из решений. Давайте для начала введем дополнительные обозначения, Х и Y, как показано на рисунке.
Теперь вы, наверное, уже догадались. Искать площадь красного четырехугольника в лоб было бы безумием, поэтому будем искать её другим способом. Отнимем от площади маленького квадрата площади жёлтого и голубого треугольников. И как раз останется площадь искомого четырехугольника.
Но сначала надо найти площади этих треугольников. И тут нам, как я сказал выше, поможет подобие.
Рассматриваем сначала жёлтый и зеленый треугольники. Они подобны, поэтому можем записать, что X:4=(4-X):2. Отсюда 2Х=16-4Х, следовательно Х=8/3. Теперь несложно найти площадь жёлтого треугольника: Sж=1/2·4Х=1/2·4·8/3=16/3.
Дальше рассматриваем голубой и розовый треугольники. Они тоже подобны, поэтому запишем: Y:4=6:10. Отсюда Y=12/5. Площадь голубого треугольника Sг=1/2·4Y=1/2·4·12/5=24/5.
Площадь маленького квадрата равна 16. А значит искомая площадь красного четырехугольника Sк=16-Sж-Sг=16-16/3-24/5=7-(5+12)/15= 6-2/15=88/15 или Пять целых и тринадцать пятнадцатых. Всё, ответ готов. Надеюсь, что нигде не ошибся в подсчетах. Перепроверяйте моё решение, пишите, что получилось у вас и предлагайте свои варианты решений этой задачи.
Уроки геометрии в задачах 7—8 классы — М. А. Волчкевич 2016
Площади
Площадью фигуры называют число, показывающее, сколько раз единичный квадрат и его части укладываются в данной фигуре. Для площадей справедливы свойства (или аксиомы), аналогичные аксиомам отрезков2.
Аксиомы ПЛОЩАДИ
ъ
а
S = ab
S = ah
а
S = ah/2 а
Ь
S=(a + b)h/2
1. Площадь любой фигуры является неотрицательным числом.
2. Равные фигуры имеют равные площади.
3. Если фигура составлена из двух неперекры-вающихся частей, то ее площадь равна сумме площадей этих частей.
4. Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна 1.
Теорема о площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.
Теорема о площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Теорема о площади треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Теорема о площади трапеции. Площадь трапеции равна произведению ее высоты на среднюю линию.
1. В одном футе 12 дюймов. Сколько квадратных дюймов в квадратном футе?
2. Сколько клеток составляет площадь закрашенного треугольника на рисунках?
3. (Свойство медианы треугольника.) Докажите, что медиана делит площадь треугольника пополам.
4. В каком отношении делит площадь треугольника его средняя линия?
5. Площадь треугольника равна 1. Каждая его сторона отмеченными точками делится на равные части. Найдите площади закрашенных фигур на рисунках.
6. Площади закрашенных треугольников равны 1. Их стороны продолжили так, как показано на рисунках. Найдите площадь треугольника ЛВС.
7. Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих частей.
8. (Лемма о «крыльях бабочки».) Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Докажите, что площади двух треугольников, прилегающих к ее боковым сторонам, равны. Сформулируйте обратное утверждение и докажите его.
9. Отмеченные на рисунке точки — середины сторон трапеции. Докажите, что площади закрашенных фигур равны.
10. Вершину трапеции соединили с серединой другой боковой стороны. Известно, что полученный отрезок делит ее площадь в отношении 2:5. Найдите отношение оснований трапеции.
11. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что две стороны четырехугольника параллельны.
12. В пятиугольнике ABCDE стороны ВС и CD параллельны соответственно диагоналям AD и BE. Докажите, что треугольники АВС и CDE равновелики.
13. В пятиугольнике ABCDE стороны АВ, ВС и CD параллельны диагоналям СЕ, AD и BE соответственно. Верно ли, что треугольники АВЕ и CDE равновелики?
14. Через данную точку на стороне треугольника проведите прямую так, чтобы она делила его площадь пополам. Сколько таких прямых можно провести?
15. Через точку О — середину диагонали BD четырехугольника ABCD параллельно его диагонали АС провели прямую. Она пересекла сторону AD в точке М. Докажите, что отрезок СМ делит площадь четырехугольника пополам.
16. Боковая сторона трапеции равна с, а расстояние до нее от середины другой боковой стороны h. Найдите площадь трапеции.
Задачи с параллелограммами
17. Вершина параллелограмма и середины противоположных от нее сторон образуют треугольник. Какую часть составляет его площадь от площади всего параллелограмма?
18. Как разрезать квадрат по двум прямым, проходящим через его вершину, на три равновеликие части?
19. Точку внутри параллелограмма соединили со всеми его вершинами. Полученные отрезки разбили его на четыре треугольника. Площади трех из них, взятые по порядку, равны 2, 4 и 5. Найдите площадь четвертого.
20. Два параллелограмма расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что их площади равны.
21. Две точки на сторонах параллелограмма соединили с тремя его вершинами так, как это показано на рисунке. Докажите, что площадь одной из закрашенных на рисунке частей равна сумме площадей других.
22. Параллелограмм разрезали на четыре меньших параллелограмма. Два из них, закрашенные на рисунке, имеют равные площади. Докажите, что их общая вершина лежит на диагонали большого параллелограмма.
23. Внутри параллелограмма ABCD взяли произвольную точку М. Прямая ВЫ пересекает AD в точке Е. Докажите, что площади треугольников AMD и СМЕ равны.
Отношение площадей треугольников с равным углом
24. (Лемма о «воздушном змее».) Диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника. Докажите, что произведение площадей двух треугольников, прилегающих к его противоположным сторонам, равно произведению площадей других двух треугольников.
25. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника. Площади двух из них, прилегающих к основаниям, равны 1 и 4. Найдите площадь трапеции.
26. В параллелограмме провели диагональ, а через не лежащую на ней вершину —прямую. Они разбили параллелограмм на три треугольника и четырехугольник. Площади двух треугольников на рисунке равны 1 и 3. Найдите площадь четырехугольника.
27. (Теорема об отношении площадей треугольников с равным углом.) Два треугольника имеют по равному углу. Докажите, что их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол.
28. Докажите утверждение, аналогичное предыдущей теореме, но для случая, когда углы дополняют друг друга до 180°.
29. На сторонах треугольника построили квадраты. Докажите, что закрашенные треугольники на рисунке равновелики.
30. Из вершины параллелограмма на две его противоположные стороны опустили высоты. Найдите площадь треугольника, образованного этими высотами, если стороны параллелограмма равны а и Ь, а его площадь равна S.
*31. Каждая диагональ пятиугольника отсекает от него треугольник единичной площади. Найдите площадь пятиугольника.
Расчет частей треугольника
32. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяли точки М и К так, что AM: МВ = ВК : КС = 1:2. Вершину В соединили отрезком с такой точкой О на стороне АС, чтобы площади закрашенных на рисунке треугольника и четырехугольника были равны. Найдите АО: ОС.
В
33. Точки М и К на сторонах треугольника соединили с противоположными вершинами. Оказалось, что закрашенные на рисунке треугольник и четырехугольник равновелики. Докажите, что точки М и К делят стороны в одинаковом отношении.
34. В треугольнике АВС найдите такую точку М, чтобы площади треугольников ABM, ВСМ и ACM были равны. Существуют ли такие точки вне треугольника?
35. («Лемма о бумажном самолетике».) На стороне АС треугольника АВС взяли произвольную точку М. На отрезке ВМ взяли произвольную точку К. Докажите, что площади треугольников АВК и СВК относятся как AM : МС.
В
36. Каждую сторону треугольника разделили на равные части. Какую часть его площади составляют закрашенные треугольники на рисунках?
37. Каждую сторону треугольника разделили на равные части. Какую часть его площади составляют закрашенные фигуры на рисунках?
38. Две прямые делят треугольник на три треугольника и один четырехугольник. На рисунке цифрами обозначены площади треугольников. Найдите площадь четырехугольника.
39. Две прямые делят треугольник на три треугольника и четырехугольник. Площади двух треугольников на рисунке равны 2 и 5. Найдите площадь четырехугольника, если он равновелик третьему треугольнику.
40. Буквы на рисунке обозначают площади треугольников. Докажите, что, если а = Ъ, то с = d.
*41. Через каждую вершину треугольника провели прямую. Эти прямые разбивают треугольник на четыре меньших треугольника и три четырехугольника. Площади каждого из указанных треугольников равны 1. Докажите, что площади всех четырехугольников равны и найдите площадь исходного треугольника.
Группировка площадей
42. Середины двух противоположных сторон четырехугольника соединили с двумя его вершинами так, как это показано на рисунке. Какую часть от площади исходного четырехугольника составляет закрашенная фигура?
43. В четырехугольнике отметили середины всех сторон. Докажите, что площадь параллелограмма с вершинами в этих точках составляет половину площади исходного четырехугольника.
44. Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделили на три равные части. Соответствующие точки соединили так, как это показано на рисунке. Какую часть исходного четырехугольника составляет закрашенная фигура?
45. Середины диагоналей выпуклого четырехугольника соединили с двумя его вершинами так, как это показано на рисунке. Какую часть от площади четырехугольника составляет закрашенная фигура?
46. Параллелограмм разбили на девять меньших параллелограммов так, как это показано на рисунке. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если площадь центрального параллелограмма равна 1, а площадь исходного —13.
47. Площадь закрашенного четырехугольника равна 1. Все его стороны продолжили на свою длину так, как это показано на рисунке. Найдите площадь получившегося большого четырехугольника.
48. Вершины четырехугольника соединили с серединами его сторон так, как показано на рисунке. Докажите, что площадь закрашенного четырехугольника равна сумме площадей закрашенных треугольников.
49. Середину стороны четырехугольника соединили с противоположными вершинами. Оказалось, что полученный треугольник составляет половину его площади. Докажите, что у четырехугольника две стороны параллельны.
50. Две противоположные стороны выпуклого четырехугольника разделили на три равные части. Соответствующие точки деления соединили так, как показано на рисунке. Докажите, что между получившимися отрезками находится ровно треть площади исходного четырехугольника.
51. Точки Е и К — середины сторон AD и CD четырехугольника ABCD. Отрезок ВК пересекает диагональ АС в точке О. Докажите, что площадь треугольника ОВЕ в два раза меньше площади треугольника АВС.
С
52. Вершины параллелограмма соединили с серединами его сторон так, как показано на рисунке. Какую часть площади параллелограмма составляет закрашенная фигура в центре?
53. Из медиан треугольника составили новый треугольник. Как относятся их площади?
54. Противоположные стороны шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что треугольники АСЕ и BDF равновелики.
Е D
55. Площадь треугольника равна 1. Из середины каждой стороны треугольника опустили перпендикуляры на другие его стороны. Найдите площадь образованного ими шестиугольника.
*56. Окружность с радиусом г вписана в треугольник. Она касается его сторон в точках М, Е, К. Найдите площадь треугольника МЕК, если площадь исходного треугольника равна S, а его стороны равны а, Ъ, с.
*57. Внутри равностороннего треугольника взяли точку. Ее соединили со всеми его вершинами, а также опустили перпендикуляры на все стороны. Получившиеся при этом шесть треугольников покрасили в черный и белый цвета так, как это показано на рисунке. Докажите, что сумма площадей черных треугольников равна сумме площадей белых.
*58. Середины диагоналей выпуклого четырехугольника соединили с точкой пересечения продолжений двух его противоположных сторон. Докажите, что площадь получившегося треугольника равна 1/4 площади четырехугольника.
