Как найти площадь закрашенных фигур прямоугольника

Найди площадь закрашенных фигур:

Для начала добавим точки G и H на чертёж, чтобы потом было проще объяснить процесс решения:

Теперь площадь закрашенной фигуры AGCE можно найти, как разность площади целого прямоугольника ABCD и площадей трёх фигур, которые остались не закрашенными, а именно прямоугольной трапеции ABHG, прямоугольного треугольника CGH и прямоугольного треугольника CDE ( впрочем, возможны и другие варианты трапеций и треугольников ).

Площадь прямоугольника ABCD равна произведению длин его сторон:

S(ABCD) = AB * AD = ( AF + BF ) * ( AE + DE ) =

= ( 3 + 2 ) * ( 2 + 2 ) = 5 * 4 = 20 см²

Площадь прямоугольной трапеции ABHG равна половине произведения суммы длин её оснований и её же высоты:

S(ABHG) = ( AB + GH ) * BH / 2 =

= ( AF + FB + FB ) * AE / 2 =

= ( 3 + 2 + 2 ) * 2 / 2 = 7 см²

Площадь прямоугольного треугольника CGH равна половине произведения его катетов CH и GH:

S(CGH) = CH * GH / 2 =

= ED * FB / 2 = 2 * 2 / 2 = 2 см²

Площадь прямоугольного треугольника CDE равна половине произведения его катетов ED и CD:

S(CDE) = ED * DC / 2 =

= ED * ( AF + FB ) / 2 =

= 2 * ( 3 + 2 ) / 2 = 5 см²

Ну, и наконец можно найти площадь закрашенной фигуры AGCE:

S(AGCE) = S(ABCD) — S(ABHG) -S(CGH) — S(CDE) =

= 20 — 7 — 2 — 5 = 6 см²

Ответ: площадь закрашенной фигуры равна В) 6 см²

Нам нужно найти площадь закрашенных фигур, но мы умеем находить площадь только прямоугольника.
Поэтому, надо что-то придумать, т.е. как-то упростить это задание.
Как же поступить? На самом деле – все просто!

А) даны 2 прямоугольника: один большой — голубой, другой маленький – белый.
Причем маленький наложили на большой.
Если представим – на что похоже – на стену с окошком.
Надо найти площадь стены без окошка.

Итак:
1) сначала найдем площадь большого (голубого) прямоугольника, который был сначала, т.е. площадь стены:
8 х 5 = 40 (см²)
2) найдем площадь «окошка»:
3 х 2 = 6 (см²)
3) теперь из стены «вырежем» окошко:
40 – 6 = 36 (см²)
Т.о. площадь стены без окошка – это и есть площадь закрашенной фигуры.
Ответ: площадь закрашенной фигуры 36 см².

Б) дан шестиугольник, его площадь мы найти сразу не можем.
Это задание можно выполнить разными способами.

1 способ.
1) Дорисуем наш шестиугольник до прямоугольника.

Найдем площадь полученного прямоугольника:
4 х 7 = 28 (м²)
2) теперь найдем площадь дорисованного прямоугольника:
Длина дорисованного – 2 см, ширину можем найти:
а) 4 – 3 = 1 (м)
б) находим площадь:
2 х 1 = 2 (м²)
3) чтобы найти первоначальную фигуру, надо от нового отрезать пририсованный, значит:
28 – 2 = 26 (м²) площадь шестиугольника.

2 способ.
Мы умеем находить площадь прямоугольника, поэтому разделим наш шестиугольник на прямоугольники – их будет два: левый и правый.

1) найдем площадь левого прямоугольника:
5 х 4 = 20 (м²)
2) находим площадь правого прямоугольника:
2 х 3 = 6 (м²)
3) находим площадь шестиугольника:
20 + 6 = 26 (м²)

3 способ.
Разделим наш шестиугольник на прямоугольники по-другому – их будет два: верхний и нижний.

1) найдем площадь верхнего прямоугольника:
3 х 7 = 21 (м²)
2) находим площадь нижнего прямоугольника:
а) чтобы найти площадь, надо узнать ширину:
4 – 3 = 1 (м)
б) находим площадь:
5 х 1 = 5 (м²)
3) находим площадь шестиугольника:
21 + 5 = 26 (м²)

Ответ: 26 м² площадь шестиугольника.

3 октября 2013

В этом коротком уроке мы научимся считать площади фигур без координатной сетки. Здесь не будет никаких клеточек, никаких пересечений и узлов. Будет только система координат и несколько отмеченных чисел.

Как решать такие задачи? В первую очередь, следует отметить, что у нас все-таки есть линии разметки, а точнее проекции точек на оси координат. И именно они потребуются нам для решения задачи. Причем схема будет даже чуть проще, чем при вычислении площадей методом обводки на координатной сетке. Взгляните на задачу:

Задача B5. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке.

Итак, первый шаг: чертим описанный прямоугольник. Для этого продолжаем линии разметки таким образом, чтобы получилась замкнутая фигура. Это и будет искомый описанный прямоугольник, причем вершины искомой фигуры будут высекать на сторонах этого прямоугольника отдельные отрезки. А значит нам снова нужна формула площади треугольника:

S = 0,5ab

где a и b — катеты (разумеется, речь идет только о прямоугольном треугольнике). А так же пригодится площадь прямоугольника:

S = ab

где a и b — смежные стороны.

В нашем случае таких треугольников получилось три. Обозначим их S₁, S₂ и S₃. Чтобы сосчитать их площади, нужно сначала найти длину каждого катета. Например, наибольший катер в треугольнике S₁ равен a = 8 − 1 = 7, а меньший катет b = 3 − 2 = 1.

Обратите внимание: мы всегда вычитаем из большей абсциссы меньшую, а также из большей ординаты меньшую. Для треугольника S₂ верхний катет будет равен a = 5 − 3 = 2, а боковой катет равен b = 8 − 2 = 6. Наконец, для треугольника S₃ больший катет будет равен a = 5 − 2 = 3, а меньший катет равен b = 2 − 1 = 1.

Находим площади полученных треугольников:

S₁ = 0,5 · 1 · 7 = 3,5;
S₂ = 0,5 · 2 · 6 = 6;
S₃ = 0,5 · 1 · 3 = 1,5.

Кроме того, нам нужно найти общую площадь описанного прямоугольника. Его стороны равны 7 и 3, а значит площадь равна:

S₀ = 7 · 3 = 21.

Осталось выполнить последний шаг. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из общей площади вычесть площадь дополнительных треугольников, которые мы получили, когда описывали прямоугольник. Получим:

S = S₀ − (S₁ + S₂ + S₃) = 21 − (3,5 + 6 + 1,5) = 21 − 11 = 10

Это и является ответом. Площадь закрашенного треугольника равна 10. Как видите, общая схема решения и объем вычислений ничем не отличается от стандартных задач B5 из ЕГЭ по математике, в которых присутствует координатная сетка. Достаточно небольшой тренировки — и вы будете решать эти задачи почти устно.

Смотрите также:

1. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат
2. Опасные ошибки в задачах на площади
3. Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
5. Упрощаем решение задач с помощью замены переменной
6. Задача B4: расчет времени в пути

Вопрос Узнай площадь закрашенной части прямоугольника?, расположенный на этой странице сайта, относится к
категории Математика и соответствует программе для 1 — 4 классов. Если
ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска
похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему.
Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку,
расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей,
оставившими комментарии под вопросом.