Как найти площадь закрашеной фигуры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам

1. На клетчатой бумаге с размером клетки изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.$

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна ${90}^{circ}.$ Тогда $angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.$

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на $frac{sqrt{5}}{2}.$

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

${sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}.$ Осталось умножить найденное значение синуса на $frac{sqrt{5}}{2}.$

$frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1$

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

, где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим:

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: 12,5 .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: 10,5 .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна $frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.$

Площадь каждого из маленьких треугольников равна $frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.$

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как R=1 . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как R=1 ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще $frac{1}{8}$ круга, то есть $frac{3}{8}$ круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на $frac{3}{8}$ . Получим:

$frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05$

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2 , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в ${frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9}$ раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Как найти площадь закрашенной фигуры формула?

Для того, чтобы найти площадь, надо ширину умножить на длину, т. е. у квадрата 4м*4м=16 метров квадратных, а у прямоугольника 7м*5м=35 метров квадратных. Выходит, что площадь закрашенной фигуры метров квадратных).

Что такое площадь фигуры в математике?

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Что такое площадь прямоугольника 4 класс?

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. S = · b, где S — площадь, — длина, b — ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. P = ( + b) · 2, где P — периметр, — длина, b — ширина прямоугольника.

Как можно вычислить площадь квадрата?

Формулы для вычисления площади квадрата

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. S = a2
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали. S = d2

Чему равна площадь квадрата?

Формула вычисления площади е. S = a*a = a2. Соотношение стороны и диагонали квадрата: d=a√2.

Как найти площадь квадрата зная все стороны?

Если известна длина стороны Умножаем ее на то же число или возводим в квадрат. S = a * a = a2 , где где S — площадь, a — сторона.

Как найти диагональ квадрата если нам известны его стороны?

Диагональ квадрата равна стороне квадрата, умноженной на корень из двух.

Как найти площадь квадрата если его диагональ равна 1?

Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1. Ответ: 0,5.

Как найти площадь квадрата если известно его диагональ?

Диагонали квадрата равны между собой и используются в формуле площади квадрата через диагональ. То есть площадь квадрата равна квадрату длины диагонали поделенному на два.

Источник

Я позволю себе также нетривиальный метод решения без использования теоремы Пифагора.

Дострою прямоугольник жёлтым цветом ABCD. Как мы видим на моём эскизе его площадь равна произведению клеток длинной стороны на клетки короткой стороны, точнее 4 х 3 = 12 клеток.

Далее я дострою голубой прямоугольник fBgh недостающего треугольника Bgh он занимает площадь 2 клетки или 1 х 2 = 2, но следует заметить, что недостающий треугольник занимает ровно половину от прямоугольника, а точнее 1 клетку или 2 : 2 = 1.

Осталось ещё немного. Я дострою малиновый прямоугольник CDeg недостающего треугольника Deg он занимает площадь в 6 клеток или 3 х 2 = 6, но следует заметить, что недостающий треугольник занимает ровно половину от прямоугольника а точнее 3 клетки или 6 : 2 = 3.

А теперь завершим расчёт:

Я отниму от площади большого прямоугольника ABCD 2 треугольника Bgh и Deg. Решаем:

12 — 1 — 3 = 8.

Мой ответ 8 клеток

Задача решена нетривиальным эксклюзивным методом с использованием не только логического, но и абстрактного мышления. Без квадратов катетов и квадрата гипотенузы.

Источник

Решение:

Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a; b] равна разности первообразных:

S = F(b) — F(a)

Нам необходимо найти площадь закрашенной фигуры на отрезке [-8; -6], то есть a = -8; b = -6. Значит S = F(-6) — F(-8).

Найдем F(-8):

F(-8) = (-8)³ + 21⋅(-8)² +151⋅(-8) — 1

F(-8) = — 512 + 21⋅64 — 151⋅8 — 1

F(-8) = — 512 + 1344 — 1208 — 1

F(-8) = — 513 + 136

F(-8) = -377

Найдем F(-6):

F(-6) = (-6)³ + 21⋅(-6)² +151⋅(-6) — 1

F(-6) = — 216 + 21⋅36 — 151⋅6 — 1

F(-6) = — 216 + 756 — 906 — 1

F(-6) = — 217 — 150

F(-6) = -367

Тогда площадь закрашенной фигуры равна:

S = F(-6) — F(-8) = -367 — (-377) = -367 + 377 = 10

Ответ: 10

Источник

Найди площадь закрашенных фигур:

reshalka.com

ГДЗ учебник по математике 3 класс Петерсон. Часть 3. Урок 4. Номер №8

Решение а

1) 6 − 4 = 2 (м) − ширина маленького прямоугольника;
2) 4 * 2 = 8

(

)

− площадь маленького прямоугольника;
3) 12 * 6 = 72

(

)

− площадь большого прямоугольника;
4) 8 + 72 = 80

(

)

− площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 80

Решение б

1) 96 * 80 = 7680

(

)

− площадь всей фигуры;
2) 28 * 40 = 1120

(

)

− площадь не закрашенной фигуры;
3) 7680 − 1120 = 6560

(

)

− площадь закрашенной фигуры.
Ответ: 6560

Вычисления:

7680

1120

—

7680

1120

6560

Источник