Как найти площадь заштрихованного кольца

3 октября 2013

Сегодня мы разберем нестандартную задачу B5 на площади из ЕГЭ по математике. В этой задаче требуется найти площадь закрашенного кольца, которое представляет собой две концентрические окружности разных радиусов:

Задача. Найдите площадь S закрашенного кольца, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см. В ответе укажите величину S/π.

Как и во всех задачах, для решения нам потребуется формула площади круга:

S = πR²

где R — радиус круга. Это стандартная формула, и ее обязательно надо знать. Но поскольку в задаче фигурируют два круга, то и радиусов будет два. Обозначим внутренний радиус (меньшей окружности) буквой R₁, а внешний радиус — R₂. Внутренний радиус очень легко считается, он равен двум клеточкам:

R₁ = 2 ⇒ R₁² = 4

Со вторым радиусом все сложнее. Окружность не проходит через «классические» точки горизонтальной и вертикальной осей, по которым обычно измеряется радиус. Однако на этой окружности есть другие точки, которые лежат в узлах исходной сетки. Отметим эти точки красным:

Что дают нам эти точки? Как минимум — визуальное представление того, как выглядит радиус. Для того, чтобы его вычислить, давайте отдельную сетку, на которой отметим центр окружности O и ту точку A на нашей окружности, в которую мы провели радиус. Затем достроим полученный отрезок до прямоугольного треугольника, двигаясь вдоль линий сетки. Получим треугольник OAC с прямым углом C:

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) получаем:

R² = OA² = OC² + AC² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8

Итого мы получили:

R₂² = 8

Теперь осталось найти площади внешнего и внутреннего кругов, образующих кольцо:

S₁ = πR₁² = π · 4 = 4π;
S₂ = πR₂² = π · 8 = 8π.

Поскольку закрашенное кольцо лежит между границами кругов, для нахождения его площади надо из площади большего круга S₂ вычесть площадь меньшего круга S₁. Получаем:

S = S₂ − S₁ = 8π − 4π = 4π

Но это еще не ответ! В задаче требуется найти величину S/π. Давайте сосчитаем:

S/π = 4π/π = 4

Вот мы и получили ответ! Как видите, ничего сверхъестественного в этой задаче нет. Достаточно помнить формулу площади круга, а также находить эту площадь через радиус, даже если этот радиус приходится считать через теорему Пифагора.

Надеюсь, этот урок сильно поможет тем, кто всерьез готовится к ЕГЭ по математике. Тем, кто не рассчитывает на то, что им попадутся легкие задачи (в частности, задача B5), а готовится решать в том числе и нестандартные примеры. В общем тренируйтесь — и обязательно сдадите экзамен на отличный балл.:)

Смотрите также:

1. Нестандартная задача B5 на площадь круга
2. Задача B5: площадь закрашенного сектора
3. Десятичные дроби
4. Специфика работы с логарифмами в задаче B15
5. Семинар: ЕГЭ по математике, задачи B3 на площади
6. Решение задач на движение по воде

Решение:

#799

Всем известно, что площадь круга высчитывают по формуле S=πR²

То есть всегда необходимо знать радиус, чтобы найти площадь.

Судя по условию задания и по рисунку,

радиус большого круга — 2 см, а радиус внутреннего — 1 см, а постоянное число π = 3,14.

Высчитываем площадь большого круга

S = 3,14 х 2 х 2 = 12,56.

Площадь внутреннего круга

S = 3,14 х 1 х 1 = 3, 14.

Площадь кольца можно найти вычитанием и площади большого круга площадь внутреннего.

12,56 — 3,14 = 9,42.

Если выяснять, сколько это частей π, непонятно только, зачем?

9,42 : 3, 14 = 3.

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

26 мая

Как за­ра­бо­тать +20–30 бал­лов на ЕГЭ бла­го­да­ря раз­бо­рам ЕГЭ с Даль­не­го Вос­то­ка

Новости

28 мая

Что сроч­но пов­то­рить к зав­траш­не­му ЕГЭ рус­ско­му язы­ку

24 мая

Обновлённая панель инструментов

22 мая

Беседы Решу ЕГЭ по подготовке к ЕГЭ

11 мая

Решение досрочных ЕГЭ по всем предметам

5 мая

Обновленный поиск заданий по ключевым словам

1 мая

Новый сервис: можно исправить ошибки!

29 апреля

Разместили актуальные шкалы ЕГЭ  — 2023

24 апреля

Учителю: обновленный классный журнал

7 апреля

Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю

30 марта

Решения досрочных ЕГЭ по математике

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа