Как найти площадь заштрихованной фигуры по графику



Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая  определяет ось , прямые  параллельны оси  и парабола  симметрична относительно оси , для неё находим несколько опорных точек:

Искомую фигуру желательно штриховать:

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке   график функции  расположен над осью , поэтому искомая площадь:

Ответ:

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и осью

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью :

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,  и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:

и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:

Если криволинейная трапеция расположена не выше оси , то её площадь можно найти по формуле: .
В данном случае:

Ответ:  – ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы  и прямой , поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования.  Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:

таким образом:

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой  всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
 – именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:

Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула: если на отрезке  некоторая непрерывная функция  больше либо равна непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке  парабола располагается выше прямой, а поэтому из  нужно вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке : , по соответствующей формуле:

Ответ:

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы . Поскольку ось  задаётся уравнением , то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу  либо

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) , .

б) , ,

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: выполним бесхитростный чертёж,

хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую  можно недочертить до оси , и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке  над осью  расположен график прямой ;
2) на отрезке  над осью  расположен график гиперболы .

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:

Ответ:

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс  зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой  и прямой , где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:

и находим его корни:
 – нижний предел интегрирования,  – верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция  (Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле , все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

1.9. Объём тела вращения

1.7. Геометрический смысл определённого интеграла

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Сайты, меню, вход, новости

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Площадь под графиком функции f(x) на отрезке [a; b] равна разности первообразных:

S = F(b) — F(a)

Нам необходимо найти площадь закрашенной фигуры на отрезке [-8; -6], то есть a = -8; b = -6. Значит S = F(-6) — F(-8).

Найдем F(-8):

F(-8) = (-8)³ + 21⋅(-8)² +151⋅(-8) — 1

F(-8) = — 512 + 21⋅64 — 151⋅8 — 1

F(-8) = — 512 + 1344 — 1208 — 1

F(-8) = — 513 + 136

F(-8) = -377

Найдем F(-6):

F(-6) = (-6)³ + 21⋅(-6)² +151⋅(-6) — 1

F(-6) = — 216 + 21⋅36 — 151⋅6 — 1

F(-6) = — 216 + 756 — 906 — 1

F(-6) = — 217 — 150

F(-6) = -367

Тогда площадь закрашенной фигуры равна:

S = F(-6) — F(-8) = -367 — (-377) = -367 + 377 = 10

Ответ: 10

Пример 1:

С помощью определённого интеграла вычислить площадь области D, ограниченной заданными линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертеж области.

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

построить схематический чертеж в декартовых координатах.

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Сделать чертеж области, ограниченной заданными линиями. Вычислить площадь полученной фигуры

Решение от преподавателя:

Построим область, площадь которой необходимо найти, заштрихуем искомую фигуру.

Затем найдём ординаты точек пересечения кривой и прямой.

Для этого приравняем правые части уравнений 

 и прямой 

и решим полученное квадратное уравнение

Корни этого уравнения  

Применим формулу:

Вычислим искомую площадь:

Ответ:

Пример 7:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

используя двойной интеграл.

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти площадь плоской фигуры с помощью двойного интеграла:

Решение от преподавателя:

Пример 9:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат играфиком функции

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции прямыми .

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями:

y=sinx, y = cosx, x = 0.

Решение от преподавателя:

Расмотрим два случая:

а) точка

Согласно критерию Лебега, функция интегрируема, если существует конечное число точек разрыва (в данном случае 1)

б) входит

Пример 15:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение от преподавателя:

Пример 17:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

построить схематический чертеж в декартовых координатах.

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции:

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  используя двойной интеграл.

Решение от преподавателя:

=0,5238 кв. ед.

Пример 23:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x²  =  y +2 и y =-x.

Решение от преподавателя:

y=x² — 2 и y =-x

Построим графики функций:

Пример 24:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

y=4x-x² ;  y=0

Решение от преподавателя:

Вначале построим фигуру, ограниченную данными линиями:

Искомая площадь находится по формуле

Ответ: Площадь искомой фигуры 32/3 (ед²).

Пример 25:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 

Решение от преподавателя:

Построим фигуру:

Находим точки пересечения:

Искомая площадь состоит из двух одинаковых частей, поэтому достаточно найти площадь одной из них и умножить на 2:

Ответ:

Пример 26:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и расположенной в первой четверти координатной плоскости. Сделать чертеж.

Решение от преподавателя:

Сначала сделаем схематичный чертёж. Построим график функции

Искомую площадь вычислим при помощи определённого интеграла.

Ответ:

Пример 27:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямой .

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение от преподавателя:

Пример 31:

Найти площадь фигуры, ограниченной линией:

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя:

Пример 33:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение от преподавателя: