Как найти площадь зная три высоты

По формуле Герона

Формула Герона для нахождения площади треугольника:

— полупериметр треугольника; a,b,c — стороны треугольника.

Через основание и высоту

Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:

a — основание треугольника; h — высота треугольника.

Через две стороны и угол

Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:

a,b — стороны треугольника; α — угол между сторонами.

Через сторону и два прилежащих угла

Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
<

a— сторона треугольника; α и β — прилежащие углы.

Площадь прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.

Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:

a, b — катеты треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через стороны

Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:

a, b — стороны треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

a — основание равнобедренного треугольника; α — угол между сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через стороны

Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:

a — сторона равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:

h — высота равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

r — радиус вписанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

r — радиус описанной окружности равностороннего треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:

a, b, c — стороны треугольника; r — радиус описанной окружности треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны

Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:

p — полупериметр треугольника;a, b, c — стороны треугольника; r — радиус вписанной окружности треугольника.

Содержание

• R — радиус описанной окружности

• r — радиус вписанной окружности

• p — полупериметр, $p = frac{a+b+c}{2}$

• Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса угла между ними.

• Площадь треугольника равна произведению сторон, деленному на 4 радиуса описанной окружности.

• Площадь треугольника по трем высотам легко выводится из формулы Герона

• Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

$$ begin{align} mbox{По высоте: } ; & S = frac12 a cdot h_a \[10pt]
mbox{По произведению сторон: } ; & S = frac{abc}{4R} \[10pt]
mbox{По полупериметру: } ; & S = p cdot r \[10pt]
mbox{По двум сторонам: } ; & S = frac12 cdot a cdot b cdot sin{gamma} \[12pt]
mbox{Формула Герона: } ; & S = sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)} \[12pt]
mbox{По высотам: } ; & S = frac{1}{sqrt {(frac1{h_a}+frac1{h_b}+frac1{h_c})(-frac1{h_a}+frac1{h_b}+frac1{h_c})(frac1{h_a}-frac1{h_b}+frac1{h_c})(frac1{h_a}+frac1{h_b}-frac1{h_c})}} \[12pt]
mbox{По высотам и радиусу: } ; & S = frac{r}{sqrt3} (h_a+h_b+h_c) \[12pt]
mbox{По трем углам: } ; & S = 2R^2 sin{alpha} cdot sin{beta} cdot sin{gamma}
end{align} $$

$
$

Интерактивная модель и калькулятор

Формула Герона для треугольника — это частный случай формулы Брахмагупты для четырехугольника, вписанного в окружность (одну из сторон положить равной 0):

$S={sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$

где p — полупериметр четырехугольника

Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю.

Площадь треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге.

Если треугольник нарисован на клетчатой бумаге и все его вершины находятся в углах сетки, то площадь его можно вычислять по формуле Пика:
$$S = V+frac{G}{2}-1,$$
где $V$ — количество узлов сетки, находящихся внутри треугольника, $G$ — количество узлов сетки, находящихся на границе треугольника.

Подробнее — см. ниже Теорема Пика.

Вычислить площадь Бермудского треугольника.

Бермудский Треугольник — широко известная аномальная зона. Расположен он в границах между Бермудскими островами, Майями во Флориде и Пуэрто-Рико.

Расстояние между вершинами треугольника в милях

В расчетах игнорировать кривизну поверхности Земли.

http://e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem

Многоугольник без самопересечений называется решётчатым, если все его вершины находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат).

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через $S$; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через $I$; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через $B$.

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:
$$S = I -B/2 + 1$$

В частности, если известны значения $I$ и $B$ для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за $O(1)$, даже не зная координат его вершин.

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

• Единичный квадрат. В самом деле, для него S=1, B=4, I=0, и формула верна.

• Произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через $a$ и $b$ длины сторон прямоугольника. Тогда находим: $S=ab$, $I=(a-1)(b-1)$, $B=2(a+b)$. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.

• Прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через C число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения C.

• Произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

• Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника.

К сожалению, эта столь простая и красивая формула Пика плохо обобщается на высшие размерности.
(подробнее по ссылке на источник)

Как можно найти I и B на практике?

$B = gcd(abs(x_0-x_1),abs(y_0-y_1)) — 1$, где $gcd$ — наибольший общий делитель, $(x_0;y_0), (x_1;y_1)$ — точки, соединённые стороной многоугольника.

тут интересно находить не площадь, а количество точек внутри, потому что другого алгоритма я не видел для подсчета этого количества.

Литература:

Учебники:
Площадь треугольника по высоте, проведенной к стороне — Геометрия 8 класс
Геометрия 9 класс Мерзляк, параграф 1 — формула Герона, по произведению сторон, через радиус вписанной и описанной окружности