Разберем, как построить сечение пирамиды, на конкретных примерах. Поскольку в пирамиде нет параллельных плоскостей, построение линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью грани чаще всего предполагает проведение прямой через две точки, лежащие в плоскости этой грани.
В простейших задачах требуется построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки, уже лежащие в одной грани.
Пример.
Построить сечение плоскостью (MNP)
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Треугольник MNP — сечение пирамиды
Точки M и N лежат в одной плоскости ABS, следовательно, через них можем провести прямую. След этой прямой — отрезок MN. Он видимый, значит, соединяем M и N сплошной линией.
Точки M и P лежат в одной плоскости ACS, поэтому через них проведем прямую. След — отрезок MP. Мы его не видим, поэтому отрезок MP проводим штрихом. Аналогично строим след PN.
Треугольник MNP — искомое сечение.
Если точка, через которую требуется провести сечение, лежит не на ребре, а на грани, то она не будет концом следа-отрезка.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки B, M и N, где точки M и N принадлежат, соответственно, граням ABS и BCS.
Здесь точки B и M лежат в одной грани ABS, поэтому можем через них провести прямую.
Аналогично проводим прямую через точки B и P. Получили, соответственно, следы BK и BL.
Точки K и L лежат в одной грани ACS, поэтому через них можем провести прямую. Ее след — отрезок KL.
Треугольник BKL — искомое сечение.
Однако не всегда через данные в условии точки удается провести прямую. В этом случае нужно найти точку, лежащую на прямой пересечения плоскостей, содержащих грани.
Пример. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Точки M и N лежат в одной плоскость ABS, поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN. Аналогично — NP. Оба следа видимые, поэтому соединяем их сплошной линией.
Точки M и P лежат в разных плоскостях. Поэтому соединить их прямой не можем.
Продолжим прямую NP.
Она лежит в плоскости грани BCS. NP пересекается только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. Таких прямых у нас три: BS, CS и BC. С прямыми BS и CS уже есть точки пересечения — это как раз N и P. Значит, ищем пересечение NP с прямой BC.
Точку пересечения (назовем ее H), получаем, продолжая прямые NP и BC до пересечения.
Эта точка H принадлежит как плоскости (BCS), поскольку лежит на прямой NP, так и плоскости (ABC), поскольку лежит на прямой BC.
Таким образом мы получили еще одну точку секущей плоскости, лежащей в плоскости (ABC).
Через H и точку M, лежащую в этой же плоскости, можем провести прямую.
Получим след MT.
T — точка пересечения прямых MH и AC.
Так как T принадлежит прямой AC, то через нее и точку P можем провести прямую, так как они обе лежат в одной плоскости (ACS).
4-угольник MNPT — искомое сечение пирамиды плоскостью, проходящей через данные точки M,N,P.
Мы работали с прямой NP, продлевая ее для отыскания точки пересечения секущей плоскости с плоскостью (ABC). Если работать с прямой MN, приходим к тому же результату.
Рассуждаем так: прямая MN лежит в плоскости (ABS), поэтому пересекаться может только с прямыми, лежащими в этой же плоскости. У нас таких прямых три: AB, BS и AS. Но с прямыми AB и BS уже есть точки пересечения: M и N.
Значит, продлевая MN, ищем точку пересечения ее с прямой AS. Назовем эту точку R.
Точка R лежит на прямой AS, значит, она лежит и в плоскости (ACS), 
которой принадлежит прямая AS.
Поскольку точка P лежит в плоскости (ACS), через R и P можем провести прямую. Получаем след PT.
Точка T лежит в плоскости (ABC), поэтому через нее и точку M можем провести прямую.
Таким образом, получили все то же сечение MNPT.
Рассмотрим еще один пример такого рода.
Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
Через точки M и N, лежащие в одной плоскости (BCS), проводим прямую. Получаем след MN (видимый).
Через точки N и P, лежащие в одной плоскости (ACS), проводим прямую. Получаем след PN (невидимый).
Через точки M и P прямую провести не можем.
1) Прямая MN лежит в плоскости (BCS), где есть еще три прямые: BC, SC и SB. С прямыми SB и SC уже есть точки пересечения: M и N. Поэтому ищем точку пересечения MN с BC. Продолжив эти прямые, получаем точку L.
Точка L принадлежит прямой BC, а значит, она лежит в плоскости (ABC). Поэтому через L и P, которая также лежит в плоскости (ABC) можем провести прямую. Ее след — PF.
F лежит на прямой AB, а значит, и в плоскости (ABS). Поэтому через F и точку M, которая также лежит в плоскости (ABS), проводим прямую. Ее след — FM. Четырехугольник MNPF — искомое сечение.
2) Другой путь — продолжить прямую PN. Она лежит в плоскости (ACS) и пересекается с прямыми AC и CS, лежащими в этой плоскости, в точках P и N.
Значит, ищем точку пересечения PN с третьей прямой этой плоскости — с AS. Продолжаем AS и PN, на пересечении получаем точку E. Поскольку точка E лежит на прямой AS, принадлежащей плоскости (ABS), то через E и точку M, которая также лежит в (ABS), можем провести прямую. Ее след — FM. Точки P и F лежат водной плоскости (ABC), проводим через них прямую и получаем след PF (невидимый).
Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды
Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.
Задача 1.
Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды 
плоскостью, проходящей через точки .
Задача 1. Дано
Шаг 1. Через точки и , принадлежащие плоскости грани , проведем прямую . Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра и найдем точку его пересечения с прямой — точка .
Задача 1. Шаг 1.
Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим прямую , находим ее пересечение с продолжением ребра — точка .
Задача 1. Шаг 2.
Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки и принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра — точка , и продолжением ребра — точка . Значит, точки и — тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая лежит в плоскости грани , точка также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая принадлежит плоскости грани , то и точка — точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки и — как точки одной плоскости, и соединить точки и .
Задача 1. Шаг 3.
Шаг 4. Пересечение прямых и даст нам последнюю точку искомого сечения — точку .
Задача 1. Шаг 4.
Проводим отрезки , , завершая построение:
Многоугольник сечения
Окончательный вид сечения:
Окончательный вид
Задача 2.
Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки .
Задача 2. Дано
Шаг 1. Проводим прямую , она принадлежит грани , так как точки и принадлежат ей.
Задача 2. Шаг 1.
Шаг 2. Прямая пересечет прямую , и точка их пересечения благодаря принадлежности прямой будет лежать в плоскости основания.
Задача 2. Шаг 2.
Шаг 3. Точки и принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую , найдем точку пересечения этой прямой ребра — точку . Продлим прямую до пересечения с прямой , получим точку . Точка принадлежит плоскости , тк как этой плоскости принадлежит прямая .
Задача 2. Шаг 3.
Шаг 4. Соединим точки и . Найдем место пересечения данной прямой ребра — точку .
Задача 2. Шаг 4.
Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.
Задача 2. Шаг 5.
Окончательный вид с другого ракурса:
Окончательный вид сечения
Задача 3.
Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки .
Задача 3. Дано
Шаг 1. Соединим и , как точки одной плоскости.
Задача 3. Шаг 1.
Шаг 2. Прямая принадлежит плоскости грани , следовательно, пересечет прямую этой же грани . Найдем точку их пересечения , продлив ребро .
Задача 3. Шаг 2.
Шаг 3. Точки и — «одного поля ягоды» — обе принадлежат плоскости грани . Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром — .
Задача 3. Шаг 3.
Шаг 4. Точки и принадлежат плоскости основания, соединяем их. Прямая лежит в плоскости основания и пересечет прямую в точке .
Задача 3. Шаги 4-5.
Шаг 5. Точки и соединяем, так как обе они принадлежат плоскости , и получаем последнюю точку сечения — на ребре .
Шаг 6. Соединяем точки отрезками.
Задача 3. Шаг 6.
Окончательный вид сечения:
Окончательный вид сечения
Задача 4.
Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды плоскостью, проходящей через точки .
Задача 4. Дано.
Шаг 1-2. Точки и принадлежат грани , соединим их отрезком (прямой). Точки и принадлежат грани основания, также соединим их.
Задача 4. Шаги 1-2
Шаг 3. Прямая пересечет продолжение ребра в точке . Точка , таким образом, принадлежит плоскости грани .
Задача 4. Шаг 3.
Шаг 4. Соединяем точки и , проводя прямую . Она пересечет ребро в точке .
Задача 4. Шаг 4.
Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:
Задача 4. Шаг 5.
Окончательный вид с удобного ракурса:
Окончательный вид
4 комментария
Татьяна
✉️
16.07.2020 09:37:47
Пожалуйста, откройте чертежи построения сечения пирамиды.
Анна Валерьевна
✨
17.07.2020 06:13:02
Не поняла Вас, Татьяна: у меня нормально все отображается, все картинки видны.
PitrurlVef
✉️
06.04.2022 13:39:59
TritrurlVef
✉️
08.04.2022 05:52:57
Сечение пирамиды плоскостьюСечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости. Пирамида это многогранник — геометрическое тело боковой поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников. Линии пересечения граней (плоскостей) называются ребрами. В основании пирамиды находится плоский многоугольник число сторон которого соответствует количеству боковых граней. По количеству боковых граней пирамиду называют трех-, четырех-, пяти-, шестигранной и т. д. Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника.
Найти сечение пирамиды плоскостью означает построение линии пересечения поверхности пирамиды (многогранника) плоскостью и сводится к многократному определению:
Построить сечение пирамиды плоскостью будет значительно проще если секущая плоскость занимает проецирующее положение.
Сечение пирамиды плоскостью
На горизонтальной плоскости проекций находим точки пересечения αH с ребрами пирамиды: 1`, 2`, 3`. Построить сечение пирамиды плоскостью. Даны проекции пятигранной пирамиды SABCDE и секущая плоскость α(αH, αV), заданная следами.
Сечение пирамиды плоскостью
Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 1(…, 1″), 3(3`, …) и 5(…, 5″), принадлежащих ребрам SA, SC и SE соответственно.
Сечение пирамиды плоскостью
если известны проекции точек лежащих на ребрах пирамиды: 1(…, 1″), 3(3`, …) 5(…, 5″).
Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 7(7`, 7″), 8(8`, 8″), 9(9`, 9″) и 10(10`, 10″), являющихся вершинами ромба.
Сечение пирамиды плоскостью
Составляем план решения задачи:
Сечение пирамиды плоскостью, построенное здесь применено в статьях: + |
По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.
4.1. Краткие теоретические сведения
Многогранниками называются тела, ограниченные плоскими n-угольниками, которые называются гранями. Линии пересечения граней называются ребрами, точки пересечения ребер – вершинами. Для всех многогранников справедлива формула Эйлера: сумма граней и вершин за минусом числа ребер есть величина постоянная: Г + В – Р = 2.
Наиболее распространенными в технике многогранниками являются правильные и неправильные, прямые и наклонные призмы и пирамиды. Призмой называется многогранник, в основании которого находится плоский n-угольник, а остальные грани являются в общем случае параллелограммами. Пирамидой называется многогранник, в основании которого находится плоский n-угольник, а боковыми гранями являются треугольники с общей вершиной. На эпюре многогранники задаются проекциями ребер, так называемой сеткой ребер.
Типовой задачей для многогранников является задача о пересечении многогранников плоскостями частного и общего положения. Для построения фигуры сечения многогранника плоскостью используют следующие приемы:
-
- определение каждой вершины сечения, как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью (способ ребер);
- построение стороны сечения, как линии пересечения с секущей плоскостью граней многогранника (способ граней).
Чаще применяется первый из заданных приемов, второй же целесообразно применять в тех случаях, когда грани многогранника являются проецирующими плоскостями, линии пересечения которых с секущей плоскостью общего положения строятся очень просто.
а б
Рисунок 4.1 – Пересечение пирамиды плоскостью (а — задание, б — результат)
В методе ребер несколько раз (по числу пересекаемых ребер) решается задача о пересечении прямой (ребра) с плоскостью (секущей плоскостью). В этом случае находятся точки 1, 2, 3 (рис. 4.1). Найденные точки являются вершинами сечения пирамиды плоскостью.
В методе граней несколько раз решается типовая задача о пересечении двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости), в которой находят линии 1-2, 2-3, 3-1, являющиеся сторонами многоугольника (в данном примере, треугольника сечения). Если секущая плоскость является плоскостью частного положения, то задача решается упрощенно.
4.2. Способ перемены плоскостей проекций
Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение геометрических элементов (точек, прямых, фигур, тел) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций заменяется новой, по отношению к которой эти элементы занимают положение, наиболее удобное для решения той или иной задачи.
В ряде случаев для решения задачи бывает достаточно заменить новой плоскостью одну из основных плоскостей проекций – фронтальную или горизонтальную. В других же случаях замена лишь одной плоскости проекций вопроса не разрешает и бывает необходимо последовательно заменить новыми плоскостями обе основные плоскости проекций.
При замене основной плоскости проекций новой плоскостью эта последняя должна располагаться по отношению к остающейся основной плоскости проекций перпендикулярно.
Рассмотрим способ перемены плоскостей проекций на примерах.
Для того чтобы данная прямая общего положения m=АВ оказалась линией уровня, следует ввести новую плоскость проекций π4, которая была бы ей параллельна (рис. 4.2 и 4.3).
Рисунок 4.2 Рисунок 4.3
Н
На Рисунке 4.2 введена плоскость π4, параллельная прямой m и перпендикулярная к плоскости π1; по новым линиям связи от оси π1/π4 откладываем расстояния от точек А и В до плоскости π1 (отмеченное штрихом и D1). В новой системе плоскостей проекций π1/π4 прямая m является линией уровня.
На Рисунке 4.3 плоскость π4 параллельна прямой m=АВ и перпендикулярна к плоскости π2. Прямая m в системе π2/π4 является линией уровня.
Для того чтобы прямая линия была проецирующей прямой вводится плоскость проекций, перпендикулярная к ней. Для прямой общего положения требуется провести две замены плоскостей проекций. На Рисунке 4.4 прямая m=АВ спроецирована на параллельную ей плоскость π4. Затем вводится плоскость проекций π5, перпендикулярная m4. В системе плоскостей проекций π5/π4 прямая m проецируется в точку.
Рисунок 4.4 – Проецирование отрезка прямой в точку
Чтобы определить натуральную величину плоской фигуры общего положения (Рисунок 4.5), требуется сначала ввести такую плоскость проекций π4, чтобы образовалась система, в которой плоскость α, заданная треугольником АВС будет проецирующей. Данную подзадачу можно решить, введя дополнительную плоскость проекций π4 перпендикулярно либо горизонтальной проекции горизонтали, либо фронтальной проекции фронтали. Затем вводится дополнительная плоскость π5, перпендикулярная к плоскости π4 и параллельная плоскости α .
Рисунок 4.5 – Определение натуральной величины треугольника
4.3. Развертывание поверхностей
Разверткой называется плоская фигура, получаемая путем совмещения с плоскостью чертежа поверхности тела.
Построение разверток имеет большое значение в таких областях техники, как котлостроение, судостроение, кровельное и жестяночное дело, продукция которых изготовляется из листового материала.
Точные развертки могут быть построены лишь для линейчатых поверхностей, смежные положения образующих которых параллельны (цилиндрическая поверхность) или пересекаются (коническая поверхность).
Для нелинейчатых поверхностей, образующей которых является кривая линия (например, сферическая поверхность), можно построить развертки лишь приближенные. С этой целью такие поверхности разбиваются на небольшие элементы, и каждая такая часть кривой поверхности заменяется плоскостью. Это означает, что данная кривая поверхность заменяется вписанным в нее многогранником, развертка которого приближенно принимается за развертку кривой поверхности.
Развертка боковой поверхности пирамиды (Рисунок 4.7) состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.
Для построения развертки необходимо предварительно определить истинные длины боковых ребер пирамиды. Повернув эти ребра вокруг высоты пирамиды до положения параллельного плоскости ?2, на фронтальной плоскости проекций получим их истинные длины в виде отрезков S2A2, S2B2, S2C2 (Рисунок 4.6).
Построив по трем сторонам S2A2, S2B2 и A1B1 грань пирамиды ASB (Рисунок 4.7), пристраиваем к ней смежную грань – треугольник BSC, а к последнему – грань CSA. Полученная фигура представит собою развертку боковой поверхности данной пирамиды.
Для получения полной развертки к одной из сторон основания пристраиваем основание пирамиды – треугольник АВС.
Для построения на развертке линии, по которой поверхность пирамиды пересечется плоскостью α (Рисунок 4.7), следует нанести на ребра SA, SB и SC, соответственно, точки 1, 2 и 3, в которых эта плоскость пересекает ребра, определив истинные длины отрезков S1, S2 и S3.
Рисунок 4.6 – Определение истинных длин ребер
Рисунок 4.7 – Построение развертки
4.4. Задание 3. Построение натурального вида сечения пирамиды плоскостью
4.4.1. Условие задания
Задание следует выполнять в соответствии с алгоритмом:
-
- По координатам вершин (Таблицы 3.1- 3.3) построить: две проекции пирамиды 1234S;
-
- Выполнить две проекции сечения пирамиды плоскостью общего положения АВС (Таблица 3.4);
-
- Найти натуральный вид сечения способом перемены плоскостей проекций;
- Выполнить развертку верхней отсеченной части пирамиды.
4.4.2. Рекомендации по выполнению задания № 2
Порядок выполнения задачи следующий:
- Построить горизонтальные и фронтальные проекции пирамиды и 1234S и плоскости ∆АBC (Рисунок 4.8);
- Способом ребер или способом граней построить проекции сечения пирамиды 1234S плоскостью ∆АBC.
Способ ребер заключается в том, что ребро пирамиды (например, 1S) заключается во фронтально-проецирующую плоскость γ: γπ2≡12S2. Затем выполняется построение точки 8 пересечения ребра 1S с плоскостью γ:
Аналогично выполняется построение остальных точек искомого сечения.
Способом граней строятся линии пересечения с помощью плоскостей-посредников;
Рисунок 4.8 – Построение сечения
- Способом перемены плоскостей проекций найти натуральный вид сечения 56789.
Сущность способа перемены плоскостей проекций состоит в том, что положение геометрического образа (прямой, плоскости, поверхности) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций π1/π2 дополняется плоскостями, образующими с π1 или π2, либо между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Расположение новой плоскости проекций по отношению к геометрическим образам выбирается в зависимости от условия задачи.
В данной задаче необходимо дважды ввести новые плоскости проекций: в системе плоскостей π1/π4 сечение 56789 станет проецирующей плоскостью, а в системе плоскостей проекций π4/π5 – плоскостью уровня;
Рисунок 4.9 – Пересечение пирамиды плоскостью общего положения
- Выполнить развертку нижней отсеченной части пирамиды.
Видеопример выполнения задания №3
4.5. Варианты задания 3
| S | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 50 | 90 | 30 | 10 | 70 |
| Y | 50 | 50 | 5 | 70 | 80 |
| Z | 90 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| S | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 50 | 90 | 30 | 10 | 70 |
| Y | 50 | 50 | 5 | 70 | 80 |
| Z | 90 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| S | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|
| X | 50 | 100 | 25 | 5 | 80 |
| Y | 50 | 50 | 5 | 70 | 80 |
| Z | 100 | 10 | 10 | 10 | 10 |
| Вариант | Координаты (x, y, z) точек | Вариант | Координаты (x, y, z) точек | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| А | В | С | А | В | С | ||
| 1 | 100;15;30 | 35; 85; 90 | 10; 45; 30 | 16 | 90; 0; 0 | 100; 50; 70 | 5; 55; 40 |
| 2 | 65; 10; 0 | 100; 50; 80 | 20; 80; 80 | 17 | 95; 35; 40 | 50; 35; 0 | 5; 65; 50 |
| 3 | 100; 25;40 | 15; 90; 90 | 50; 15; 0 | 18 | 50; 50; 45 | 0; 55; 0 | 100; 20; 5 |
| 4 | 30; 80; 90 | 20; 25; 0 | 100; 25; 40 | 19 | 30; 90; 60 | 90; 30; 20 | 0; 35; 0 |
| 5 | 100; 15; 20 | 100; 60; 90 | 10; 45; 20 | 20 | 95; 15; 0 | 5; 60; 20 | 70; 85; 80 |
| 6 | 90; 0; 0 | 100; 50; 80 | 5; 55; 40 | 21 | 100;15;30 | 35; 85; 90 | 10; 45; 30 |
| 7 | 95; 35; 50 | 50; 35; 0 | 5; 65; 50 | 22 | 65; 10; 0 | 100; 50; 80 | 20; 80; 80 |
| 8 | 50; 50; 55 | 0; 55; 5 | 100; 20; 5 | 23 | 100; 25;40 | 15; 90; 90 | 50; 15; 0 |
| 9 | 30; 90; 70 | 90; 30; 30 | 0; 35; 0 | 24 | 30; 80; 90 | 20; 25; 0 | 100; 25; 40 |
| 10 | 95; 15; 10 | 5; 60; 30 | 70; 85; 80 | 25 | 100; 15; 20 | 100; 60; 90 | 10; 45; 20 |
| 11 | 100;15;20 | 35; 85; 80 | 10; 45; 30 | 26 | 90; 0; 0 | 100; 50; 80 | 5; 55; 40 |
| 12 | 65; 10; 0 | 100; 50; 70 | 20; 80; 80 | 27 | 95; 35; 50 | 50; 35; 0 | 5; 65; 50 |
| 13 | 100; 25;30 | 15; 90; 80 | 50; 15; 0 | 28 | 50; 50; 55 | 0; 55; 5 | 100; 20; 5 |
| 14 | 30; 80; 80 | 20; 25; 0 | 100; 25; 40 | 29 | 30; 90; 70 | 90; 30; 30 | 0; 35; 0 |
| 15 | 100; 15; 10 | 100; 60; 80 | 10; 45; 20 | 30 | 95; 15; 10 | 5; 60; 30 | 70; 85; 80 |
Рисунок 4.10 – Пример оформления задания 3
По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 169 человек из 49 регионов
- Сейчас обучается 50 человек из 26 регионов
- Сейчас обучается 26 человек из 17 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
-
2 слайд
Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основанием) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
ПИРАМИДА -
3 слайд
Общую вершину треугольных граней называют вершиной пирамиды, противоположную ей грань — основанием, а все остальные грани — боковыми гранями пирамиды.
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называют боковыми ребрами.
Перпендикуляр, опущенный с вершины пирамиды на плоскость ее основания, называют высотой пирамиды. Высотой также называют и длину этого перпендикуляра
S
A
B
C
M
Вершина
Основание
Боковые ребра
Высота
Боковые грани -
4 слайд
Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания, называется правильной пирамидой.
Боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.
Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром.
Все грани тетраэдра – равные равносторонние треугольники.
S
A
B
C
M
D
K
Апофема -
5 слайд
Количество ребер,
вершин и граней пирамиды -
6 слайд
Если в пирамиде все двугранные углы при основании равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание.
СВОЙСТВА
Следствия:
Все боковые ребра пирамиды равны
Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами
Вершина пирамиды равноудалена от вершин основания -
7 слайд
Если в некоторой пирамиде все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной вокруг основания окружности.
Следствия
Боковые грани одинаково наклонены к основанию пирамиды
Высоты боковых граней равны
Вершина пирамиды равноудалена от сторон основания
Высоты боковых граней одинаково наклонены к плоскости основания пирамиды. -
8 слайд
Если в пирамиде две смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания то высота пирамиды совпадает с общим ребром перпендикулярных к основанию граней
S
A
B
C
D -
9 слайд
Если в пирамиде одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит этой грани
S
A
B
D
C
O -
10 слайд
Построение сечения пирамиды сводится, как правило, к построению прямых, являющихся прямыми сечения заданной секущей плоскости с плоскостями граней пирамиды.
При построении сечений пирамиды секущей плоскостью используют метод следов и метод внутреннего проектирования.
СЕЧЕНИЯ ПИРАМИДЫ -
11 слайд
строится линия сечения (след) секущей плоскости с плоскостью грани;
находятся точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника;
строится сечение последовательным соединением полученных точек.
МЕТОД СЛЕДОВ -
12 слайд
Задана пирамида 𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫. Постройте сечение пирамиды плоскостью 𝑴𝑵𝑲,
𝚳∈𝑨𝑺, 𝑵∈𝑺𝑫, 𝚱∈𝑺𝑩
𝑴𝑲 — след (𝑴𝑵𝑲) на (SAB).
Найдем точку 𝑿 пересечения прямой 𝑴𝑲 и прямой 𝑨𝑩:
𝑴𝑵 — след (𝑴𝑵𝑲) на (𝑺𝑨𝑫).
Найдем точку 𝒀 пересечения прямой 𝑴𝑵 и прямой 𝑨𝑫:
𝑿𝒀 — след (𝑴𝑵𝑲) на (𝑨𝑩𝑪). Точки 𝑷 и L — точки пересечения 𝑿𝒀 з ребрами 𝑫𝑪 и 𝑪𝑩.
ОТВЕТ: 𝑳𝑲𝑴𝑵𝑷 — искомое сечение.ПРИМЕР
A
C
B
D
S
M
N
K
X
Y
P
L -
13 слайд
Диагональным сечением пирамиды называется сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
-
14 слайд
Задача 1
Сторона основы правильной треугольной пирамиды равно 𝑏 3 , а высота пирамиды – H. Найти боковое ребро пирамиды.
В основании правильной треугольной пирамиды 𝑺𝑨𝑩𝑪 лежит правильный треугольник 𝑨𝑩𝑪 со стороной 𝑏 3
Все ребра правильной пирамиды равны, 𝑶− центр описанной около основания окружности.
Обозначим:
𝑺𝑶 – высота пирамиды,
𝑨𝑶 – радиус описанной окружности;
𝑺𝑨 – боковое ребро пирамиды.
Так как высота 𝑺𝑶 пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то она перпендикулярна каждой прямой лежащей в этой плоскости, поэтому 𝑺𝑶⊥𝑨𝑶.
S
A
B
C
O
Радиус описанной окружности 𝑨𝑶=𝑹:
𝑨𝑶= 𝑨𝑩 𝟑 𝟑 = 𝒃 𝟑 ∙ 𝟑 𝟑 =𝒃
Рассмотрим прямоугольный треугольник 𝑨𝑶𝑺 (∠𝑨𝑶𝑺=𝟗𝟎), где 𝑨𝑶=𝒃, 𝑺𝑶=𝑯 – катеты.
Найдем гипотенузу (т. Пифагора) 𝑺𝑨
𝑺𝑨= 𝑨𝑶 𝟐 + 𝑺𝑶 𝟐 = 𝒃 𝟐 + 𝑯 𝟐
𝑺𝑨 −длина бокового ребра пирамиды.
Решение -
15 слайд
Найти апофему правильной шестиугольной пирамиды, если сторона шестиугольника равна 𝟕, а тангенс угла наклона бокового ребра к основанию равен 1 2 .
𝑺𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 – правильная шестиугольная пирамида, 𝑺𝑶 – высота, 𝑨𝑩𝑪𝑫𝑬𝑭 – правильный шестиугольник, ⊿𝑨𝑶𝑭 – равносторонний, то есть 𝑭𝑶=𝟕.
Рассмотрим треугольник 𝑺𝑶𝑭, 𝑺𝑶 – перпендикуляр, 𝑺𝑭 – наклонная к плоскости основания, 𝑶𝑭 − ее проекция. Из этого следует
𝒕𝒈∠𝑺𝑭𝑶= 𝟏 𝟐
𝑺𝑶=𝑭𝑶∙𝒕𝒈∠𝑺𝑭𝑶= 𝟕 𝟐
Рассмотрим ⊿𝑨𝑶𝑭, 𝑶𝑯 – высота
𝑶𝑯= 𝟑 𝟐 ∙𝑨𝑭;
𝑶𝑯= 𝟑 𝟐 ∙𝟕
Рассмотрим ⊿𝑺𝑶𝑯 — он прямоугольный, по теореме Пифагора
𝑺𝑯 𝟐 = 𝑺𝑶 𝟐 + 𝑶𝑯 𝟐
𝑺𝑯 𝟐 = 𝟕 𝟐 𝟐 + 𝟕 𝟑 𝟐 𝟐 =𝟒𝟗
𝑺𝑯=𝟕
Решение:
Задача 2
𝑹=𝒂;𝒓= 𝟑 𝟐 𝒂
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 268 729 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 13.02.2023
- 82
- 0
- 13.02.2023
- 349
- 54
- 12.02.2023
- 66
- 1
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»
-
Курс повышения квалификации «Правовое регулирование рекламной и PR-деятельности»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»
-
Курс повышения квалификации «Использование активных методов обучения в вузе в условиях реализации ФГОС»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Учебная деятельность по предметной области «Черчение»: основы предмета и реализация обучения в условиях ФГОС»
-
Курс профессиональной переподготовки «Корпоративная культура как фактор эффективности современной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление службой рекламы и PR»