Как найти плоскость в которой лежит прямая

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве допускает три случая. Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Они могут быть параллельны. Наконец, прямая может лежать в плоскости. Выяснение конкретной ситуации для прямой и плоскости зависит от способа их описания.

Предположим, что плоскость π задана общим уравнением π: Ax + By + Cz + D = 0, а прямая
L — каноническими уравнениями (x — x₀)/l = (y — y₀)/m = (z — z₀)/n. Уравнения прямой дают координаты точки M₀(x₀; у₀; z₀) на прямой и координаты направляющего вектора s = {l; m; n} этой прямой, а уравнение плоскости — координаты ее нормального вектора n = {A; B; C}.

Если прямая L и плоскость π пересекаются, то направляющий вектор s прямой не параллелен плоскости π. Значит, нормальный вектор n плоскости не ортогонален вектору s, т.е. их скалярное произведение не равно нулю. Через коэффициенты уравнений прямой и плоскости это условие записывается в виде неравенства A1 + Bm + Cn ≠ 0.

Если прямая и плоскость параллельны или прямая лежит в плоскости, то выполняется условие s ⊥ n, которое в координатах сводится к равенству Al + Bm + Cn = 0. Чтобы разделить случаи «параллельны» и «прямая принадлежит плоскости «, нужно проверить, принадлежит ли точка прямой данной плоскости.

Таким образом, все три случая взаимного расположения прямой и плоскости разделяются путем проверки соответствующих условий:

Если прямая L задана своими общими уравнениями:

то проанализировать взаимное расположение прямой и плоскости π можно следующим образом. Из общих уравнений прямой и общего уравнения плоскости составим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Если эта система не имеет решений, то прямая параллельна плоскости. Если она имеет единственное решение, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке. Последнее равносильно тому, что определитель системы (6.6)

отличен от нуля. Наконец, если система (6.6) имеет бесконечно много решений, то прямая принадлежит плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Угол φ между прямой L: (x — x₀)/l = (y — y₀)/m = (z — z₀)/n и плоскостью π: Ax + By + Cz + D = 0 находится в пределах от 0° (в случае параллельности) до 90° (в случае перпендикулярности прямой и плоскости). Синус этого угла равен |cosψ|, где ψ — угол между направляющим вектором прямой s и нормальным вектором n плоскости (рис. 6.4). Вычислив косинус угла между двумя векторами через их координаты (см. (2.16)), получим

Условие перпендикулярности прямой и плоскости эквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой коллинеарны. Через координаты векторов это условие записывается в виде двойного равенства

A/l = B/m = C/n. (6.8)

3.1. Основные сведения из теории

Пусть прямая задана каноническими
уравнениями

:,

а плоскость –
общим уравнением

:.

1. Угол между прямой и плоскостью равен
углу между направляющим вектором
прямой и нормальным векторомплоскости и вычисляется по формуле

.
(3.1)

2. Условие параллельности прямой и
плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию ортогональности
векторов
и

3. Условие перпендикулярности прямой и
плоскости имеет вид

.

Оно равносильно условию коллинеарности
векторов
и
.

4. Условие принадлежности прямой
плоскостизаписывается в виде

(3.2)

где
координаты точки,
принадлежащей прямой.

3.2. Решение типовых задач

Задача 3.1. Найти острый угол между
прямойи плоскостью.

Решение. Направляющий вектор прямой
равен.
Нормальный вектор плоскости равен.
По формуле (3.1)

,.

Ответ:

Задача 3.2. При
каком значении
прямая:параллельна плоскости:?

Решение. Согласно
условию задачи прямая
задана как линия пересечения двух
плоскостей. Нормальный вектор первой
плоскости равен,
нормальный вектор второй плоскости
равен.
Направляющий вектор прямой равен(см. формулу (2.6)):

.

Условие параллельности
прямой
и плоскостиэто условие ортогональности направляющего
вектора прямойи нормального вектора плоскости,
т. е..
Умножая, получаем

.

Таким образом, уравнение плоскости
будет
.

Ответ:

Задача 3.3. При каких значенияхипрямаялежит в плоскости?

Решение. Прямая
будет параллельна плоскости, если ее
направляющий вектор
будет ортогонален нормальному вектору
плоскости,
т. е..
Запишем это условие:

Прямая будет принадлежать плоскости,
если координаты точки
,
через которую проходит прямая,
удовлетворяют уравнению плоскости:.
Отсюда получаем, что

При решении задачи мы воспользовались
формулой (3.2).

Ответ:

Задача 3.4. Найти точку пересечения
прямой:и плоскости:

Решение. Запишем уравнения прямой
в параметрическом виде

Подставляя выражения для
в уравнение плоскости,
получим

Теперь следует подставить значение
параметра
в параметрические уравнения прямой.
Находим.

Ответ:

Полезная
формула. Если прямаяпересекается с плоскостью,
то точке пересечения
отвечает значение параметра

.
(3.3)

Задача 3.5. Найти уравнение плоскости,
проходящей через прямую:перпендикулярно плоскости:

Решение.Плоскость
имеет два направляющих вектораии проходит через точку(рис. 3.1). Согласно формуле (1.9) ее уравнение
будет иметь вид

,

или

.

Окончательно:
.

Ответ:.

Задача
3.6.Известны
координаты вершин тетраэдра:

Найти уравнение и длину его высоты.

Р

ешение.Данный тетраэдр мы
рассматривали в задаче 1.10. Уравнение
основанияимеет вид.
В качестве направляющего векторавысотыможно выбрать нормальный вектор грани,
т. е.(рис. 3.2). Кроме того, нам известны
координаты точки,
через которую проходит высота.
Воспользуемся каноническими уравнениями
прямой (2.3). Тогда получим

:.

Высоту
можно найти по формуле (1.5), определяющей
расстояние от точкидо грани:.

.

(Напомним, что

– это коэффициенты в общем уравнении
плоскости,
и они равны,,
,.)

Ответ: :;.

Задача 3.7. Даны прямые:
и:
.
Найти уравнение плоскостипроходящей через прямуюпараллельно прямой

Решение. Векторы

и
являются направляющими векторами
плоскости(рис. 3.3). Точкапринадлежит плоскости.
Решаем задачу, используя формулу (1.9):

,

или

.

Окончательно:
.

Ответ: .

Задача 3.8. Составить уравнение
плоскости, проходящей через прямую:
и точку.

Решение.Прямаяпроходит через точкуи ее направляющий вектор равен.
Произвольная точкабудет принадлежать искомой плоскости,
если векторы
икомпланарны:
(рис. 3.4), т. е.

.

Это и есть уравнение плоскости
.
Подставляем координаты:

,

или

.

Окончательно:
.

Ответ: .

Полезная
формула. Уравнение
плоскости, проходящей через прямую
:

и точку
,
не лежащую на этой прямой, имеет вид

(3.4)

Задача 3.9. Доказать,
что прямые

:

:

лежат в одной плоскости и найти уравнение
этой плоскости.

Решение.
Первая прямая проходит через точку
и ее направляющий вектор.
Вторая прямая проходит через точкуи ее направляющим вектором является.
Очевидно, что прямые лежат в одной
плоскости, если векторы,икомпланарны:(рис. 3.5), т. е.

.

Подставим заданные координаты:

.

Это означает, что прямые
илежат в одной плоскости. Векторыине коллинеарны. Следовательно, эти
прямые пересекаются.

Найдем уравнение
плоскости
,
в которой лежат прямыеи.
Очевидно,
что произвольная точкабудет принадлежать плоскости, если
векторы,,компланарны:
(рис. 3.6), т. е.

.

Это и есть уравнение искомой плоскости.
Подставляем координаты и вычисляем
определитель разложением по элементам
первой строки. Получаем

,

или

.

Окончательно:
.

Ответ: .

Полезные
формулы. Две прямые

:
:

лежат в одной плоскости, если

.
(3.5)

Если прямые пересекаются, то уравнением
этой плоскости будет

.
(3.6)

Замечание.
Прямые скрещиваются (т. е. не лежат в
одной плоскости) тогда и только тогда,
когда
и равенство (3.5) несправедливо.

Задача
3.10.Найти уравнение плоскости,
проходящей через две параллельные
прямые:

:

:
.

Р

ешение.Ясно, что направляющие
векторы этих прямых равны.
Первая прямая проходит через точку,
вторая
через точку.
Произвольная точкапринадлежит искомой плоскости,
если векторы,икомпланарны:(рис. 3.7), т. е.

.

Подставляя заданные координаты, находим
уравнение плоскости

,

или

.

Окончательно:
.

Ответ: .

Полезная
формула. Уравнение плоскости, проходящей
через две параллельные прямые (,)

:

:
,

имеет вид

.
(3.7)

Замечание. В задачах 1.3, 1.9, 3.5, 3.8–3.10
без труда можно указать два направляющих
вектора искомых плоскостей. Поэтому
решение этих задач аналогично решению
задачи 1.2. Если эти направляющие векторы
явно не обозначены в ходе решения, то
найдите их самостоятельно. Подумайте,
что общего в формулах (1.7)–(1.9), (3.4)–(3.7).

Задача
3.11.Найти координаты проекцииточкина плоскость:.

Решение.Находим параметрические
уравнения прямой,
проходящей через точкуперпендикулярно плоскости.
В качестве направляющего векторапрямойможно выбрать нормальный векторплоскости,
т. е. положить(рис. 3.8). Параметрические уравнения
прямойбудут (см. формулу (2.2)):

По формуле (3.3) находим значение параметра
,
при котором прямая пересекает плоскость.
Получим.
Подставим это значение в параметрические
уравнения прямой и вычислим координаты
точки

Ответ:

Задача 3.12.
Найти координаты
точки
,
симметричной точкеотносительно плоскости:.

Решение.Воспользуемся
результатом решения предыдущей задачи.
Точка

– проекция
точки
на плоскость. Координаты точкиможно найти, используя соотношения:

(рис. 3.9). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.13. Найти
координаты проекции
точкина прямую:.

Решение.
Найдем уравнение плоскости
,
перпендикулярной прямойи проходящей через точку.
В качестве нормального вектораплоскостиможно выбрать направляющий векторпрямой,
т. е. положить(рис. 3.10). Тогда уравнение плоскости

:

или

Параметрические уравнения прямой
имеют вид

Далее решаем аналогично задаче 3.11.
Координаты точки
находим с помощью формулы (3.3). Получаем,

Ответ:

Задача
3.14.Найти координаты точки,
симметричной точкеотносительно прямой

:

Решение.
Воспользуемся результатом задачи 3.13.
Точка

проекция точкина прямую.

Координаты точки
можно найти, используя соотношения:

(рис. 3.11). Следовательно,

Ответ:

Задача 3.15. Найти расстояние между
параллельными прямыми

.

Решение.Нужно вычислить
длину перпендикуляра ,
опущенного из точки
,
через которую проходит прямая,
на прямую.
Для этого построим параллелограмм со
сторонамии(рис. 3.12). Здесь– точка, через которую проходит прямая,
анаправляющий вектор прямых (так как
прямые параллельны, то).
Площадьпараллелограмма вычисляется с помощью
векторного произведения векторови:

.

Расстояние
получим, разделив площадь параллелограммана длину его стороны:

Ответ:

Полезная
формула. Если заданы две параллельные
прямые

;,

то расстояние
между
ними вычисляется по формуле

,

где
иточки, через которые проходят прямыеисоответственно,их направляющий вектор.

Задача 3.16. Найти расстояние между
скрещивающимися прямыми:

Решение.
Прямая
проходит через точкуи ее направляющий вектор.
Прямаяпроходит через точкуи ее направляющий вектор.
Известно, что если прямые скрещиваются,
то существуют две параллельные плоскостиитакие, что прямаялежит в плоскости,
а прямая
в плоскости
.
Направляющие векторыибудут направляющими векторами этих
плоскостей.

Построим параллелепипед,
сторонами которого являются векторы
(рис. 3.13). Найдем его объем. Для этого
вычислим смешанное произведение

Таким образом, объем

Теперь найдем площадь основания
параллелепипеда (см. решение задачи
3.15):

,

Расстояние
между
скрещивающимися прямыми будет равно

Ответ:

Полезная
формула. Если заданы две скрещивающиеся
прямые

,

то расстояние между ними вычисляется
по формуле

Здесь
и– точки, через
которые проходят прямые
исоответственно,и– их направляющие
векторы.

Замечание. Кратко опишем другой
способ решения задачи 3.16. Сначаланайдем
уравнение плоскости
(проделайте это самостоятельно). Оно
будет

.

Расстояние
равно расстоянию от точкидо плоскости.
Теперь все следует из формулы (1.5):

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



5.6.1. Взаимное расположение прямой и плоскости

Рассмотрим плоскость  и прямую , заданную точкой  и направляющим вектором .

Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:

1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке ;

2) прямая параллельна плоскости: ;

3) прямая лежит в плоскости: . Да, так вот нагло взяла, и лежит.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости?

Это заметно проще, чем выяснить взаимное расположение двух прямых.Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос.

Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость:

1) Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор  
не ортогонален нормальному вектору  плоскости. Из этого следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: .

В координатах это условие запишется следующим образом:

Если же данные векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю: , и прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Разграничим эти  случаи:

2) Если прямая параллельна плоскости (рисунок внизу слева), то любая точка  прямой не удовлетворяет уравнению плоскости: . Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается системой:

3) Если прямая лежит в плоскости (рис. справа) то любая точка  прямой удовлетворяет уравнению плоскости: , и аналитические условия данного случая запишутся системой:

Алгоритм выяснения взаимного расположения прямой и плоскости достаточно примитивен – всего в два шага. Кроме того, оформляя задачи, можно обойтись вообще без составления системы:

Задача 160

Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой  и направляющим вектором , и плоскости .

Решение: вытащим нормальный вектор плоскости: .

Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, данные векторы ортогональны и прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Подставим координаты точки  в уравнение плоскости:

Получено верное равенство, следовательно, точка  лежит в данной плоскости, и вообще все точки прямой лежат в ней.

Ответ: прямая лежит в плоскости

Самостоятельно:

Задача 161

Выяснить взаимное расположение плоскости  и прямой .

Решение и ответ в конце книги.

И после небольшой разминки начинаем накидывать «блины» на штангу:

5.6.2. Как найти точку пересечения прямой и плоскости?

5.5.10. Параллельные прямые в пространстве

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Содержание:

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости

Определение: Уравнение вида

Определение: Порядок поверхности определяется по высшему показателю степени переменных х, у и z или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Определение: Уравнение вида Ax+By+Cz+D=O называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим частные случаи приведенного уравнения:

1. D = 0; Ах + By + Сz = 0. Из этого уравнения видно, что точка О(0; 0; 0) удов- летворяет этому уравнению, следовательно, это уравнение описывает плоскость, проходящую через начало координат (Рис. 36).

Рис. 36. Плоскость, проходящая через начало координат.

2. С = 0; Ах + Ву + D = 0. Этому уравнению удовлетворяет любое значение переменной z, поэтому данное уравнение описывает плоскость, которая параллельна оси аппликат (Oz) (Рис. 37).

Рис. 37. Плоскость, проходящая параллельно оси аппликат.

Замечание: При отсутствии в уравнении плоскости одной из переменных величин говорит о том, что плоскость параллельна соответствующей координатной оси.

3. С=0; D=0; Ах+ By=0 — плоскость проходит через начало отсчета параллельно оси аппликат (Рис. 38).

Рис. 38. Плоскость, проходящая через начало координат параллельно оси аппликат.

4. — плоскость проходит через точку параллельно плоскости (Pис. 39).

Рис. 39. Плоскость, проходящая параллельно координатной плоскости

5. В = С = D = 0; Ах = 0=>х = 0 — уравнение описывает плоскость (Рис. 40).

Рис. 40. Координатная плоскость .

Другие уравнения плоскости

1. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть в уравнении коэффициент тогда выполним следующие преобразования

Введем следующие обозначения тогда уравнение примет вид которое называется уравнением плоскости в отрезках. Найдем точки пересечения плоскости с координатными осями:

Откладывая на координатных осях точки М, N и Р, соединяя их прямыми лучим изображение данной плоскости (для определенности принято, что параметры а, b, с положительные) (Рис. 41):

Рис. 41. Отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

Из рисунка видно, что числа а, b, с показывают отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях, считая от начала координат.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору. Пусть задана точка через которую проходит плоскость перпендикулярно к заданному вектору ОЗ. Вектор называется нормальным вектором плоскости, если он перпендикулярен любой паре неколлинеарных векторов, лежащих на плоскости.

Возьмем на плоскости произвольную точку и образуем вектор соединяющий точку с точкой М (Рис. 42). Тогда

Рис. 42. Плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору.

В силу того, вектор лежит в плоскости, то он перпендикулярен нормальному вектору Используя условие перпендикулярности векторов в проекциях перемножаемых векторов, получим уравнение плоскости, проходящая через заданную точку перпендикулярно к нормальному вектору:

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через т. параллельно плоскости

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна плоскости (Q), то нормальный вектор этой плоскости (см. коэффициенты при переменных величинах х, у и z в уравнении плоскости ) перпендикулярен к искомой плоскости и может быть взят в качестве нормального вектора этой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к данному вектору, получаем:

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(—1; 1 ;2) и В(0; —1; —1) параллельно вектору = (0; 0; -2):

Решение:

Построим на искомой плоскости вектор и вычислим нормальный вектор как векторное произведение векторов

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданному вектору имеет вид:

Отметим, что при выборе точки, через которую проходит искомая плоскость из точек брать как точку, через которую проходит искомая плоскость.

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Пусть плоскость проходит через 3 известные точки Возьмем произвольную точку плоскости М(х; у; z) и образуем векторы

Рис. 43. Плоскость, проходящая через три заданные точки.

Вектора компланарные, используя условие компланарности векторов получим уравнение плоскости, проходящей через 3 известные точки:

Замечание: Полученный определитель третьего порядка раскрывается по элементам первой строки.

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Решение:

Составим определитель третьего порядка Раскроем определитель по элементам первой строки Вычислим определители второго порядка: -7(x-l) + 5y + 4(z + 2) = 0. Умножив уравнение на (-1) и раскрыв скобки, получим окончательный ответ:

Основные задачи о плоскости в пространстве

1. Угол между пересекающимися плоскостями. Пусть даны две пересекающиеся плоскости которые имеют нормальные векторы

Пусть линия пересечения плоскостей определяется прямой (l). Из одной точки этой прямой проведем два перпендикулярных к прямой вектора Меньший угол между этими векторами определяет угол между плоскостями (Рис.44):

Рис.44. Угол между плоскостями.

В силу того, что то угол между нормальными векторами равен углу между векторами Из векторной алгебры известно, что угол между векторами определяется формулой:

Следствие: Если плоскости перпендикулярны (), то условием перпендикулярности плоскостей является равенство: .

Следствие: Если плоскости параллельны, то нормальные вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности плоскостей:

2. Расстояние от данной точки до заданной плоскости. Расстояние от данной точки до заданной плоскости определяется по формуле:

Пример:

На каком расстоянии от плоскости находится точка

Решение:

Воспользуемся приведенной формулой:

Прямая в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямая в пространстве может быть задана как пересечение двух плоскостей:

Определение: Геометрическое место точек пространства, удовлетворяющих системе уравнений (1), называется прямой в пространстве, а система уравнений (1) называется общим уравнением прямой.

Замечание: Для того чтобы система уравнений (1) определяла прямую в пространстве необходимо и достаточно, чтобы нормальные вектора плоскостей, определяющих прямую, были неколлинеарными, т.е. выполняется одно из неравенств:

Пусть прямая проходит через точку параллельно вектору который называется направляющим вектором прямой (см. Лекцию Ле 7), тогда ее уравнение называется каноническим и имеет вид:

Замечание: Если в уравнении (2) одна из проекций направляющего вектора равна 0, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Пример:

Как расположена прямая относительно координатных осей.

Решение:

Согласно замечанию эта прямая будет перпендикулярна осям абсцисс и ординат (параллельна оси аппликат) и будет проходить через точку Приравняв каждую дробь уравнения (2) параметру t, получим параметрическое уравнение прямой:

Пример:

Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Решение:

Приравняем каждую дробь к параметру t: Если прямая проходит через две известные точки то ее уравнение имеет вид: и называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямых, проходящих через точки А (— 1; 1; 2 ), В (0; -1; -1) И С (1; 0; -1), D (l; 0; 1 ).

Решение:

Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки

Перейдём к параметрическому уравнению или Составим каноническое уравнение прямой линии, проходящей через точки

Перейдём к параметрическому уравнению прямой

Основные задачи о прямой в пространстве

1. Переход от общего уравнения прямой к каноническому. Пусть прямая задана общим уравнением Для того, чтобы перейти от этого уравнения прямой к каноническому, поступают следующим образом:

Пример:

Записать уравнение прямой в каноническом и параметрическом виде.

Решение:

Положив х = 0, получим СЛАУ Складывая уравнения, найдем у = -4. Подставив это значение переменной у во второе уравнение системы, получим z = —5. Таким образом, прямая проходит через точку Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормальных векторов заданных плоскостей:

Запишем каноническое и параметрическое уравнения прямой:

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между двумя пересекающимися прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Если прямые имеют направляющие вектора

соответственно, то угол между прямыми определяется по формуле:

Следствие: Если прямые перпендикулярны (), то условием перпендикулярности прямых является равенство:

Следствие: Если прямые параллельны, то направляющие вектора коллинеарны, следовательно, условие параллельности прямых:

Координаты точки пересечения прямой и плоскости

Пусть прямая (L) задана общим уравнением а плоскость (Q) уравнением Ax+By+Cz+D=0. Так как точка пересечения прямой и плоскости принадлежит одновременно обоим этим объектам, то ее координаты находят из системы уравнений: Если прямая (L) задана каноническим уравнением а плоскость (Q)

Рассмотрим возможные случаи:

1. если выполняются условия , то прямая не пересекает плоскость (прямая параллельна плоскости);
2. при условиях прямая лежит на плоскости;
3. если , прямая пересекает плоскость в одной точке.

Пример:

Найти координаты точки пересечения прямой (L), заданной уравнением и плоскости (Q): 2x-y+3z-4=0.

Решение:

Перепишем уравнение прямой (L) в параметрическом виде Подставим найденные величины в уравнение плоскости (Q)? получим

Найденное значение параметра подставим в параметрическое уравнение прямой Таким образом, прямая пересекает заданную плоскость в точке

• Заказать решение задач по высшей математике

Угол между прямой и плоскостью

Пусть дана плоскость (Q) с нормальным вектором и пересекающая ее прямая (L) с направляющим вектором (Рис.45).

Рис. 45. Угол между прямой и плоскостью.

Угол является углом между прямой (L) и плоскостью (Q). Угол между нормальным вектором плоскости и прямой обозначим через Из рисунка видно, что Следовательно,

Следствие: Если прямая перпендикулярна плоскости (), то условие перпендикулярности прямой и плоскости имеет вид:

Следствие: Если прямая параллельна плоскости (), то направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны (), следовательно, условие параллельности прямой и плоскости: .

Плоскость и прямая в пространстве

Всякое уравнение первой степени относительно координат задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты А, В, С одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ах + By + Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.
2. С = 0, Ах + By + D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.
3. С = D = 0, Ах + By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.
4. С = В = 0, Ах + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей:

Прямая в пространстве может быть задана:

1. как линия пересечения двух плоскостей, т.е. системой уравнений:
2. двумя своими точками тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
3. точкой ей принадлежащей, и вектором ей коллинеарным.

Тогда прямая определяется уравнениями:

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t: Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных х и у, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой.

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система равносильна системе такая прямая перпендикулярна к оси Ох. Система равносильна системе прямая параллельна оси Oz.

Пример:

Составьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение:

По условию задачи вектор является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: Итак,

Пример:

Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и образующей с плоскостью

Решение:

Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнениемодновременно не обращаются в нуль. Пусть В не равно 0, По формуле косинуса угла В между двумя плоскостями

Решая квадратное уравнение находим его корни откуда получаем две плоскости

Пример:

Составьте канонические уравнения прямой:

Решение:

Канонические уравнения прямой имеют вид:

где — координаты направляющего вектора прямой, — координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, х = 0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть х = 0, тогда у + z = 0, Зу-2z + 5 = 0 , откуда у = -l, z = l. Координаты точки принадлежащей данной прямой, мы нашли: М(0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид:

Пример:

В пучке, определяемом плоскостями найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М (1,0,1).

Решение:

Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид где не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

Тогда уравнение плоскости, содержащей М, найдем, подставив в уравнение пучка:

Т.к. и (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид: или

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Содержание:

• Понятие плоскости и ее обозначения
  • Понятие плоскости
  • Обозначение плоскости
• Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости
  • Прямая пересекает плоскость
  • Прямая принадлежит плоскости
  • Прямая параллельна плоскости
• Различные способы задания прямой на плоскости
• Как найти угол между прямой и плоскостью

Понятие плоскости и ее обозначения

Понятие плоскости

Плоскости окружают нас со всех сторон. Примеры плоских поверхностей: стол, стены, пол и потолок, школьная доска, скамейка, экран, грани карандаша. Плоскость — одно из важнейших понятий геометрии и стереометрии, математики давно пытаются дать ее точное определение.

Евклид (III век до н. э.): «Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину», «плоская поверхность есть та, которая одинаково расположена относительно прямых линий, на ней лежащих».

Фурье (1768-1830): «Плоскость есть геометрическое место всех прямых, перпендикулярных к данной прямой в данной на ней точке».

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Лежандр (1752-1833): «Плоскость — это поверхность, с которой прямая, имея с ней две общие точки, совмещается всеми своими точками, где бы на плоскости ни были взяты эти точки».

Плоскость — это такая поверхность, в которой целиком лежит всякая прямая, соединяющая две любые точки этой поверхности. 

Обозначение плоскости

Невозможно изобразить объект, бесконечно простирающийся в длину и ширину. Поэтому для плоскости приняты условные обозначения. На рисунке вместо плоскости изображают ее часть: параллелограмм или «облако» — овал, область с неровными краями.

Плоскость обозначают строчными буквами греческого алфавита: α (альфа), β (бета), γ (гамма) и т.д.

Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости

 Есть три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

1. Прямая и плоскость пересекаются. 
2. Прямая принадлежит плоскости (лежит в ней).
3. Прямая и плоскость параллельны. 

 Рассмотрим каждый вариант подробней.

Прямая пересекает плоскость

Прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку.

Прямая принадлежит плоскости

Прямая принадлежит плоскости (лежит в плоскости), если все точки прямой лежат в плоскости. При этом достаточно, чтобы две любые точки данной прямой лежали в данной плоскости. 

Аксиома 1

Все точки прямой лежат в плоскости, если хотя бы две точки данной прямой лежат в данной плоскости.

Прямая параллельна плоскости

Прямая, не лежащая в плоскости, пересекается с плоскостью или параллельна ей. Прямая и плоскость параллельны, если они не имеют общих точек. Отсутствие общих точек — признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема 1

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в плоскости. 

Различные способы задания прямой на плоскости

Положение прямой определяют:

1. Две заданные точки. Через две точки можно провести только одну прямую. Поэтому координаты точек в прямоугольной системе координат задают отрезок или прямую.

2. Точка, через которую она проходит, и параллельная прямая.
3. Точка и направляющий вектор.

4. Точка и перпендикулярная прямая.

Как найти угол между прямой и плоскостью

Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно знать, каков угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

На изображении прямая АВ пересекает плоскость γ, и является наклонной к этой плоскости. Проведем перпендикуляр АС. ВС — проекция наклонной АВ. Угол между АВ и γ будет равен ∠АВС прямоугольного ΔАСВ.

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так