Как найти плотность кривой

Приложения криволинейных интегралов

Краткая теория

---

Длина дуги

Длину дуги

 плоской или пространственной линии

 определяют по формуле:

Масса дуги

Если

 – линейная плотность вещества в точках дуги,
то массу

 дуги

 определяют по формуле:

Статистические моменты

Статистические
моменты

 и

 плоской дуги

 относительно координатных осей

 и

 определяют по формулам:

Моменты инерции

Моменты
инерции

,

 плоской дуги

 относительно координатных осей

 и

 определяют по формулам:

Полярный момент инерции

Полярный
момент инерции

 плоской дуги

 относительно начала координат определяют по
формуле:

Площадь фигуры

Площадь

фигуры, расположенной в плоскости

 и ограниченной замкнутой линией

, вычисляют по формуле:

Работа, приложенная к точке, при перемещении по дуге

Работу, совершаемую силой

 приложенной в точке

 при перемещении ее по дуге

, вычисляют по формуле:

Примеры решения задач

---

Задача 1

Найти
момент инерции относительно оси

 четверти однородной окружности

, расположенной в первом
квадранте.

Решение

Окружность
однородна, следовательно

, следовательно искомый
момент инерции:

Для
удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности

Тогда:

Ответ:

---

Задача 2

Найти
массу дуги кривой

 от точки

 до

, если плотность в каждой точке
ее равна абсциссе точки;

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Плотность
дуги: 

Искомая масса будет выражаться
криволинейным интегралом 1-го рода:

Производная:

Искомая масса:

Ответ:

.

---

Задача 3

Найти
массу дуги окружности

, лежащей в первой
четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

Решение

Плотность:

Искомая масса будет
выражаться криволинейным интегралом 1-го рода:

Параметрическое
уравнение окружности:

Окружность лежит в
первой четверти, поэтому

Ответ:

.

---

Задача 4

Вычислить
работу силы

 при обходе точки ее приложения по границе

 области

 в положительном направлении, начиная от точки

.

Решение

Искомая
работа будет равна криволинейному интегралу 2-го рода:

Для
вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина:

Ответ:

.

---

Задача 5

Вычислить
работу силового поля

 при перемещении материальной точки вдоль пути

.

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Параметр

:

Перейдем к
определенному интегралу:

Искомая работа:

Ответ: 

---

Задача 6

Вычислить
работу силы

 при перемещении материальной точки вдоль линии

 от точки

 до точки

.

Решение

Искомая работа будет
выражаться криволинейным интегралом 2-го рода:

Криволинейный
интеграл 2-го рода можно свести к определенному интегралу по следующей формуле:

Получаем:

Ответ:

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные; приложения в математике и механике.

Длина кривой

Длина кривой плоской или пространственной линии вычисляется по формуле .

Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси (см. рис. 235), то площадь поверхности, задаваемой функцией находится по формуле .

Масса кривой

Масса материальной кривой (провод, цепь, трос,…) определяется формулой , где — плотность кривой в точке .

Разобьем кривую на элементарных дуг . Пусть — произвольная точка дуги . Считая приближенно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой точке дуги такая же, как и в точке , найдем приближенное значение массы дуги :

Суммируя, находим приближенное значение массы :

За массу кривой примем предел суммы (55.7) при условии, что , т. е.

или, согласно формуле (55.2),

(Заметим, что предел существует, если кривая гладкая, а плотность задана непрерывной в каждой точке функцией.)

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей и и координаты центра тяжести материальной кривой определяются по формулам

Моменты инерции

Для материальной кривой моменты инерции относительно осей , и начала координат соответственно равны:

Пример №55.3.

Найти центр тяжести полуокружности , лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в каждой точке кривой ().

Решение:

Из соображений симметрии ясно, что центр тяжести находится на оси (см. рис. 236). Поэтому . Ордината центра тяжести

Знаменатель дроби — длина полуокружности. Поэтому .

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравнениями окружности . Имеем:

Следовательно, . Итак, .

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Приложения криволинейного интеграла первого рода

1. Если подынтегральная функция равна единиц, то криволинейный интеграл

равен длине S кривой L, т.е. 

2. Пусть в плоскости Оху задана гладкая кривая L, на которой определена и непрерывна функция двух переменных z=f(x,y)≥0. Тогда можно построить цилиндрическую поверхность с направляющей L и образующей, параллельной оси Оz и заключенной между L и поверхностью z=f(x,y). Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

3. Если L=AB – материальная кривая с плотностью, равной ρ=ρ(х,у), то масса этой кривой вычисляется по формуле

(физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

4. Статистические моменты материальной кривой L относительно координатных осей Ох и Оу соответственно равны

 

где ρ(х,у) – плотность распределения кривой L а   — координаты центра тяжести (центра масс) кривой L.
5. Интегралы

  

выражают моменты инерции кривой L с линейной плотностью ρ(х,у) относительно осей Ох, Оу и начала координат соответственно.

ПРИМЕРЫ:1. Вычислить криволинейный интеграл

где L – дуга параболы у² = 2х, заключенная между точками (2, 2) и (8, 4).
Найдем дифференциал дуги dl для кривой . Имеем

 

Следовательно, данный интеграл равен

Ответ: 

2. Вычислить криволинейный интеграл

где L – контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), О(0,0)
Поскольку

то остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА :

1) (АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид у=1 – х, то . Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим
2) (ВО): рассуждая аналогично, находим х=0, 0 ≤ у ≤ 1,  откуда

3) (ОА):  .

4) Окончательно

Ответ:  
3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – окружность 
Введем полярные координаты   Тогда, поскольку  уравнение окружности примет вид  т.е.  а дифференциал дуги

При этом  Следовательно,

Ответ:  
4. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными

где L – дуга кривой, заданной параметрически    
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:

Теперь выразим через t дифференциал dl:

Таким образом,

Ответ:  

5. Вычислить площадь части боковой поверхности кругового цилиндра  , ограниченной снизу плоскостью О_ху, а сверху поверхностью 
Искомая площадь вычисляется по формуле

где L – окружность x²+y²=R². Поверхность цилиндра и поверхность  симметричны относительно координатных плоскостей О_xz и O_yz, поэтому можно ограничиться вычислением интеграла при условиях у≥0, х≥0, т.е. вычислить четверть искомой площади и результат умножить на 4. Имеем

 

Следовательно,

Получили определенный интеграл, который берем подстановкой  откуда

  

Ответ:  

6. Найти массу четверти эллипса

расположенной в первой четверти, если линейная плотность в каждой точке пропорциональна ординате этой точки с коэффициентом k.
Поскольку р(х, у)=ky, имеем

L – четверть эллипса

 х≥0, у≥0.

Переходим к параметрическим координатам эллипса  Напомним, что — фокусное расстояние эллипса, а  — эксцентриситет эллипса. Находим 

Переходим к вычислению массы

Воспользуемся формулой

где  Получаем

Учитывая, что  получим окончательно

Ответ:  

7. Найти координаты центра тяжести дуги окружности x²+y²=R²(0≤ x ≤R, 0≤ y ≤R).
Так как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина  В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью симметрии, имеем . Теперь находим

Ответ: 
Приложения криволинейного интеграла второго рода

Интеграл 

можно представить в виде скалярного произведения векторов F=Pi+Qi и ds=idx+jdy:

В таком случае

Выражает работу переменной силы F=Pi+Qj при перемещении материальной точки М=М(х,у) вдоль кривой L=AB от точки А до точки В.
При А=В кривая L замкнута, а соответствующий криволинейный интеграл по замкнутой кривой обозначается так:

В этом случае направление обхода контура иногда поясняется стрелкой на кружке, расположенном на знаке интеграла.
Предположим, что в плоскости Оху имеется односвязная область D (это значит, что в ней нет «дыр»), ограниченная кривой , ( — обозначение границы области D), а в области D и на ее границе  функции Р(х,у) и Q(х,у) непрерывны вместе со своими частными производными.
Теорема: Пусть А и В – произвольные точки области D, AmB и AnB – два произвольных пути (гладкие кривые), соединяющие эти точки (рис. 2).
Тогда следующие условия равносильны:
1.  (условие Грина).
2.  (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).
3.  (интеграл по любому замкнутому пути равен нулю).
4.  (выражение  представляет собой полный дифференциал некоторой функции ).

В случае выполнения любого из равносильных условий предыдущей теоремы криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей точки (х_о, у_о) и (х₁, у₁) из области D, можно вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница

где U(x, y) – некоторая первообразная для P dx + Q dy. 
С другой стороны, первообразная U(x, y) выражения P dx + Q dy может быть найдена при помощи криволинейного интеграла

В этих же условиях на функции Р(х,у) и Q(х,у), а также на область D, имеет место формула Грина, позволяющая свести криволинейный интеграл по замкнутому контуру к двойному интегралу

Здесь предполагается, что обход границы области D в криволинейном интеграле

совершается в положительном направлении, т.е. при таком обходе границы область D остается слева; для односвязной области это направление совпадает с направлением против часовой стрелки.
Заметим, что площадь S=S(D) области D может быть вычислена при помощи криволинейного интеграла второговрода:

(эта формула получается из формулы Грина с ).

ПРИМЕРЫ:1. Даны функции Р(х ,у) = 8х+4у+2, Q(х ,у) = 8у+2 и точки А(3, 6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

где:
1) L – отрезок ОА;
2) L – ломаная ОВА;
3) L – ломаная ОСА;
4) L – парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;
5) проверить выполнимость условия Грина.

1) Отрезок ОА может быть записан в виде: у=2х, . Тогда dy=2dx и

2) Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОВ и ВА. Тогда:
а) ОВ: здесь у=0, 0≤х≤3, т.е. dy=0, откуда

б) ВА: х=3, 0≤у≤6, т.е. dx=0, и

Таким образом,

3) Этот интеграл вычислим аналогично предыдущему.
а) ОС: х=0, (т.е. dx=0), 0≤y≤6, откуда

б) СА: 0≤х≤3 , у=6, dy=0, следовательно,

Окончательно

4) Подставив координаты точки А(3;6) в равенство у=ах² найдем уравнение данной параболы . При этом 0≤х≤3 и  откуда (путь ОА по параболе обозначим )

5) Имеем

т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1) – 4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
2. Вычислить интеграл

где L – верхняя половина эллипса  пробегаемая по ходу часовой стрелки.
Воспользуемся параметрическими уравнениями эллипса: х=a cost, y=b sin t,  т.е. dx = – a sin t dt, dy = b cos t dt. Подставляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда следует, что t меняется от π до 0), получаем
Ответ:  

3. Вычислить криволинейный интеграл

где L – отрезок, соединяющий точку С(2, 3, -1) с точкой D(3, -2, 0).
Составим параметрические уравнения отрезка СD, используя уравнения прямой, проходящей через две точки:

Отсюда . Далее, находим  подставляем все нужные выражения в данный интеграл, обозначенный через J, и вычисляем определенный интеграл:

Ответ: 

4. Вычислить  где К – отрезок прямой от А(0 ;0) до В (4; 3).
Уравнение прямой АВ имеет вид у=(3; 4)х. Находим у^/= ¾ и, следовательно,

Ответ: 

5. Вычислить  если 
Найдем  Тогда

Ответ: 

6. Найти массу М дуги кривой x=t, y=t²/2, z=t³/3 (0≤ t ≤1), линейная плотность которой меняется по закону 

Ответ: 

7. Вычислить криволинейный интеграл  от точки А(1, 0) до точки В(0, 2) (рис. 3):
1) по прямой 2х+у=2;
2) по дуге параболы 4х+у²=4;
3) по дуге эллипса x=cost, y=2sint.
1) Пользуясь данным уравнением линии интегрирования, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный определенный интеграл с переменной х, затем вычисляем его:

у=2-2х, dy=-2dx,

2) Здесь удобно преобразовать криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной у:

3) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем его: x=cost, dx=-sintdt; y=2sint; dy=2costdt:

Ответ: I₁=1, I₂=-1/5, I₃=4/3. 

8. Вычислить криволинейный интеграл  между точками Е 
(-1, 0) и Н (0, 1):
1) по прямой ЕН;
2) по дуге астроиды х=cos³t, y=sin³t.
1) Вначале составляем уравнение линии интегрирования – прямой ЕН, как уравнение прямой, проходящей через две известные точки: у-х=1.
Пользуясь этим уравнением и известной формулой для дифференциала дуги плоской кривой преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной х и вычисляем его:

2) Преобразуем данный интеграл в обыкновенный с переменной t, затем вычисляем:

 ибо π/2≤ t ≤π;

Ответ: 

9. Даны точки А(3, -6, 0) и В(-2, 4, 5). Вычислить криволинейный интеграл 
1) по прямолинейному отрезку ОВ;
2) по дуге АВ окружности, заданной уравнениями x²+y²+z²=45, 2x+y=0.
1) Вначале составляем уравнения линии интегрирования – прямой ОВ.
Пользуясь общими уравнениями прямой, проходящей через две точки  получим  Приравнивая эти равные отношения параметру t, преобразуем полученные канонические уравнения прямой ОВ к параметрическому виду: x=-2t, y=4t, z=5t.
Далее, пользуясь этими уравнениями, преобразуем данный криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t, затем вычисляем его

2) Преобразуем данные уравнения окружности к параметрическому виду. Полагая х=t, получим у=-2t (из второго данного уравнения),  (из первого уравнения). Отсюда  и

Ответ:  

10. Вычислить криволинейные интегралы:
1) 

2) вдоль периметра треугольника с 

вершинами А(-1,0), В (0,2) и С (2,0)
Составив уравнение прямой АВ, у-2х=2, и исходя из этого уравнения, преобразуем криволинейный интеграл на отрезке АВ в обыкновенный интеграл с переменной х:

у=2х+2, dy=2dx, 

Аналогичным путем вычисляя криволинейный интеграл на отрезках ВС и СА, получим

х=2-у, dx=-dy,

Следовательно,

2) Здесь подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции двух переменных, ибо (уcosx)^’_y =(sinx)^’_x =cosx. Вследствии этого данный криволинейный интеграл, взятый по периметру данного треугольника равен нулю. Он будет равен нулю и по любому другому замкнутому контуру.

Ответ: 

11. Найти длину кардиоиды x=2acost-acos2t, y=2asint-asin2t.
Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений кардиоиды и формулы для дифференциала дуги плоской кривой, преобразуем криволинейный интеграл формулы в обыкновенный интеграл с переменной t.

Ответ: L=16a. 
12. Найти площадь, ограниченную замкнутой кривой:
1) эллипсом x=a cost, y=b sint;
2) петлей декартова листа х³+у³-3аху=0.
1) Применяем формулу , исходя из данных параметрических уравнений эллипса, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный интеграл с переменной t и вычисляем его:

2) Вначале преобразуем данное уравнение к параметрическому виду. Полагая у=хt, получим 
Геометрический параметр t=y/x есть угловой коэффициент полярного радиуса ОМ (рис. 6), точка М(х, у) опишет всю петлю кривой при изменении t от 0 до +∞.
Преобразуя криволинейный интеграл формулы  в обыкновенный интеграл с переменной t , получим

Ответ: S=3a²/2. 

13. Найти массу дуги АВ кривой у=lnx, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки: х_А=1, х_В=3.
Применяем формулу , исходя из данного уравнения кривой, преобразуем криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной х

Ответ: 

14. Найти координаты центра тяжести дуги АВ винтовой линии х=аcost, y=asint, z=bt, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна аппликате этой точки: t_A=0, t_B=π.
Применяя формулы  вычислим криволинейные интегралы, преобразуя их в обыкновенные интегралы с переменной t:

Следовательно, 
Ответ: 

15. Вычислить работу, совершаемую силой тяжести при перемещении точки массы m по дуге АВ некоторой кривой.
Если выбрать прямоугольную систему координат так, чтобы направление оси О_z совпало с направлением силы тяжести, то действующая на точку сила  а ее проекции на оси координат F_x=P=O, F_y=Q=0, F_z=R=mg.
Искомая работа согласно формуле 

Она зависит только от разности аппликат начала и конца пути, но не зависит от формы пути.

16. Найти работу силового поля, в каждой точке (х,у) которого напряжение (сила, действующая на единицу массы) , когда точка массы m описывает окружность x=accost, y=asint, двигаясь по ходу часовой стрелки.
Подставляя в формулу  проекции силы  действующей на точку: F_x=m(x+y), F_y= – mx, и преобразуя криволинейный интеграл в обыкновенный с переменной t, получим

Ответ: Е=2πma².

Библиографический список

1. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 7-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2008.
2. Лунгу К.Н.  Сборник задач по высшей математике. 2 курс – 5-е изд., – М.: Айрис-пресс, 2007.
3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – 7-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2008.

---

Все статьи автора «Рабчук Александр Викторович»

Криволинейный
интеграл I
рода имеет разнообразные приложения
в математике и механике.

Длина
кривой

Длинаl
кривой AB
плоской или пространственной линии
вычисляется по формуле
.

Площадь
цилиндрической поверхности

Если
направляющей цилиндрической поверхности
служит кривая AB,
лежащая в плоскости Oxy,
а образующая параллельна оси Oz
(см. рис.3), то площадь поверхности
задаваемой функцией z
= f(x;y),
находится по формуле
.

Масса
кривой

Рис.
3.

Масса
материальной кривой AB
(провод,
цепь, трос, …) определяется формулой
,плоскость кривой в точкеM.

Разобьем
кривую AB
на n
элементарных дуг M_i-1M_i
(i
=
).
Пусть
– произвольная точка дуги M_i-1M_i.
Считая приближенно участок дуги
однородным, т.е. считая, что плотность
в каждой точке дуги такая же, как и в
точке,
найдем приближенное значение массы m_i
дуги M_i-1M_i:

.

Суммируя,
находим приближенное значение массы
m:

,
(9.7)

За
массу кривой AB
примем предел суммы (9.7) при условии,
что
,
т.е.

или,
согласно формуле (9.2),

(Заметим,
что предел существует, если кривая AB
гладкая, а плотность задана непрерывной
в каждой точке AB
функцией).

Статические
моменты, цент тяжести

Статические
моменты относительно осей Ox
и Oy
и координаты центра тяжести материальной
кривой AB
определяются по формулам

.

Момент
инерции

Для
материальной кривой AB
моменты I_x,
I_y,
I_O
инерции относительно осей Ox,
Oy
и начала координат соответственно
равны:

,
,

Пример
9.3. Найти
центр тяжести полуокружности x²
+ y²
= R²,
лежащей в верхней полуплоскости.
Плотность считать равной единице в
каждой точке кривой
.

Решение:
Из соображения симметрии ясно, что
центр тяжести находится на оси Oy
(см. рис. 4). Поэтому x_c
= 0.
Ордината центра тяжести

Знаменатель
дроби – длинна полуокружности. Поэтому

Для
вычисления числителя воспользуемся
параметрическими уравнениями
Рис. 4.

окружности
Имеем:

.

Следовательно,
.
Итак,x_c
= 0,
.

§10. Криволинейный интеграл II рода

10.1. Основные понятия

Решение
задач о вычислении работы переменной
силы при перемещении материальной
точки вдоль некоторой кривой (и других)
приводит к понятию криволинейного
интеграла II
рода.

Криволинейный
интеграл II
рода определяется почти также как и
интеграл I
рода.

Пусть
в плоскости Oxy
задана непрерывная кривая AB
(или L)
и функция P(x;y),
определенная в каждой точке кривой.
Разобьем кривую AB
точками M₀
= A,
M₁,
… M_n
= B
в направлении от точки A
к точке B
на n
дуг M_i-1M_i
с длинами Δl_i
(i
= 1,
2,
…, n).

На
каждой «элементарной дуге» M_i-1M_i
возьмем точку
и составим сумму вида

,
(10.1)

где
Δx_i
= x_i
– x_i-1
– проекция дуги M_i-1M_i
на ось Ox.
(см. рис. 5).

Сумму
(9.1) называют интегральной
суммой для функции P(x;y)
по переменной x.Таких
сумм можно составить бесконечное
множество. (Отличие сумм (9.1) и (10.1)
очевидно).

Если
при
интегральная
сумма (10.1) имеет конечный предел, не
зависящий ни от способа разбиения
кривойAB,
ни от выбора точек ,
то его называют криволинейным
интегралом по координате x
(или
II
рода) от
функции P(x;y)
по кривой AB
и
обозначают
или.
Рис. 5.

Итак,.

Аналогично
вводиться криволинейный интеграл от
функции Q(x;y)
по координате y:

,

где
Δy_i
– проекция дуги M_i-1M_i
на
ось Oy.

Криволинейный
интеграл II
рода общего вида
определяется
равенством
.

Криволинейный
интеграл
по пространственной кривойL
определяется аналогично.

Терема 10.1.
Если кривая AB
гладкая, а функции P(x;y)
и
Q(x;y)
непрерывные на кривой
AB,
то криволинейный интеграл II
рода существует.

Отметим
лишь некоторые свойства криволинейного
интеграла II
рода.

1.
При изменении направления пути
интегрирования интеграл II
Рода изменяет свой знак на противоположный,
т.е.

(проекция
дуги M_i-1M_i
на оси Ox
и Oy
меняют знак с изменением направления).

2.
Если кривая АВ
с точкой С
разбита на две части АС
и СВ,
то интеграл по все кривой равен сумме
интегралов по частям, т.е.

.

3.
Если кривая АВ
лежит
в плоскости, перпендикулярной оси Ox,
то

(все
);

аналогично
для кривой, лежащей в плоскости,
перпендикулярной оси Oy:

(все
).

4.
Криволинейный интеграл по замкнутой
кривой (обозначается
)
не зависит от выбора начальной точки
(зависит только от направления обхода
кривой).

Действительно,(см.
рис. 6).

С
другой стороны,
.
Таким образом,

.

10.2.
Вычисление криволинейного интеграла
II
рода Рис.
6.

Вычисление
криволинейного интеграла II
рода, как и I
первого рода, может быть сведено к
вычислению определенного интеграла.

Параметрическое
представление кривой интегрирования

Пусть
кривая АВ
задана параметрическими уравнениями
x
= x(t)
и y
= y(t),
где функции x(t)
и y(t)
непрерывны вместе мо своими производными
x’(t)
и y’(t)
на отрезке [α;β],
причем начальной точке А
– кривой соответствует значение
параметра t
= α,
а конечной точке В
– значение t
= β.
И пусть функция P(x;y)
непрерывна на кривой АВ.
Тогда по определению,

.

Преобразуем
интегральную сумму к переменной t.
Так как
,
то по формуле Лангража имеем:,
где,

Выберем
точку
так,
чтобы
Тогда
преобразованная интегральная суммабудет
интегральной суммой для функции одной
переменнойна
промежутке [α;β].
Поэтому

(10.2)

Аналогично
получаем:

(10.3)

Складывая
почленно полученные равенства (10.2) и
(10.3), получаем

(10.4)

Явное
представление кривой интегрирования

Если
кривая АВ
задана уравнением y
= φ(x),
,
где функцияφ(x)
и ее производная φ’(x)
непрерывна на отрезке [a;b],
то из формулы (10.4), приняв x
за параметр, имеем параметрические
уравнения кривой АВ:
x
= x,
y
= φ(x),
,
откуда получим:

.
(10.5)

В
частности,
(10.6)

Если
АВ
– гладкая пространственная кривая,
которая описывается непрерывными на
отрезке [α;β]
функциями x
= x(t),
y
= y(t)
и z
= z(t),
то криволинейный интеграл

вычисляется
по формуле

(10.7)

Замечание:Криволинейные
интегралы I
и II
рода связаны соотношением
,
гдеα
и
β –
углы, образованные касательной к кривой
АВ
в точке M(x;y)
с осями Ox
и Oy
соответственно.

Пример
10.1.
Вычислить
—
ломанная криваяОАВ,
где О(0;0),
А(2;0),
В(4;2).

Решение:
Так как L
= OAB
= OA
+ AB
(см. рис. 7), то

Уравнение
отрезка ОА
есть y
= 0,
;
уравнение отрезкаАВ:
y
= x-2,
.
Согласно формуле (10.5), имеем:

Рис.7.

Пример10.2.
Вычислить
— отрезок прямой в пространстве от точкиА(1;0;2)
до точки В(3;1;4).

Решение:
Составим уравнение прямой проходящей
через точки А
и В:
или
в параметрической формеx
= 2t
+ 1, y
= t,
z
= 2t
+
2.
При перемещении от точки А
к точке В
параметр t
меняется от 0 до 1. По формуле (10.7) находим,
что

Соседние файлы в папке Матан_2

• #
• #
• #
• #
• #

Функция плотности распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F (х), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от

т. е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка,- т. е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать к нулю.

В пределе получим производную от функции распределения:

• Функция f (х) — производная функции распределения — характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.

Эта функция называется плотностъю распределения (иначе «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f (х) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «диффе-ренциальным законом распределения величины X.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности»

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными Рис. 5.4.1. при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция f (х) буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»).

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения и элементарный участок dx, примыкающий к точке х (рис. 5.4.2). Вероят ность попадания случайной величины X

на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(x)dx. Величина f(x)dx называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx (рис. 5.4.2).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от а до 0 (рис. 5.4.3) через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу:

Геометрически вероятность попадания величины X на участок равна площади кривой распределения, опирающсйся на этот участок (рис. 5.4.3).

Формула (5.4.2) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению

откуда по формуле (5.4.3) имеем:

Геометрически F (х) есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки х (рис. 5.4.4).

Укажем основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F (х) есть неубывающая функция.

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:

1. вся Кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Выясним размерности основных характеристик случайной величины — функции распределения и плотности распределения. Функция распределения F (х), как всякая вероятность, есть величина безразмерная. Размерность плотности распределения /(х), как видно из Формулы (5.4.1), обратна размерности случайной величины.

Примеры с решением

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины X задана выоажением

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения f (х).

в) Найти вероятность попадания величины X на участок от 0,25 до 0,5.

а) Так как функция распределения величины X непрерывна, то при

б) Плотность распределения величины X выражается формулой

в) По формуле (5.3.1) имеем:

Пример 2. Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью:

а) Найти коэффициент а,

б) Построить график плотности распределения /(х).

в) Найти функцию распределения F (х) и построить ее график,

г) Найти вероятность попадания величины X на участок от

а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

б) График плотности f (х) представлен на рис. 5.4.5.

в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения:

График функции F (х) изображен на рис. 5.4.6.

Тот же результат, но несколько более сложным путем можно получить по формуле (.5.4.3).

Пример 3. Плотность распределения случайной величины X задана формулой:

а) Построить график плотности

б) Найти вероятность того, что величина X попадет на участок (—1,+1).

а) График плотности дан на рис. 5.4.7.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник

Плотность распределения

Плотность распределения

Плотность распределения

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Опр Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины $X$ называют функцию $f( x )-$ первую производную от функции распределения $F( x )$ begin label < eq2 > < F >‘( x )=f( x ) end

Следовательно, функция распределения $F( x )$ является первообразной для функции плотности распределения вероятностей $f( x )$.

Теорема Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение принадлежащее интервалу $( < a,b >)$ равна определенному интегралу от плотности. begin label < eq3 >P( < aleqslant X Пример. Найти функцию распределения по данной плотности и построить график. $ f( x )=left< < < begin < c > < 0,при,x=1 >\ < frac < 1 > < 2 >,при,1 3 > \ end > >right. $

Решение. Построим график функции плотности распределения вероятностей.

• при $xleqslant 1$ из условия $f( x )=0,Rightarrow F( x )=0 $
• при $,1 3$, тогда $ F( x )=intlimits_ < -infty >^x < f( x )dx >=intlimits_ < -infty >^1 < 0dx >+intlimits_1^3 < frac < 1 >< 2 >dx > +intlimits_3^x < 0dx >=frac < x >< 2 >left| < _ < _1 >^ < ^3 >>right.=1. $

Построим график функции распределения

Свойства плотности распределения

1). Плотность распределения неотрицательная функция $f( x )geqslant 0$.

Доказательство Известно, что функция распределения $F( x )-$ неубывающая, следовательно, ее производная $ < F >‘( x )=f( x )$ неотрицательная функция.

Геометрически это означает, что график $f( x )$ расположен выше оси OX или на оси OX.

График $f( x )$плотности распределения называется кривой распределения.

2). Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от $( < -infty ,infty >)$ равен 1. begin label < eq5 >intlimits_ < -infty >^infty < f( x ) >dx=1 end

Если $X$ задана на $( < a,b >)$, то $intlimits_a^b < f( x )dx=1 >$

Геометрически это означает, что площадь под кривой распределения равна 1.

Далее:

Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$

Криволинейный интеграл первого рода

СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице

Замена переменных в тройном интеграле

Вычисление тройного интеграла. Теорема о переходе от тройного интеграла к повторному

Свойства тройного интеграла

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о несамодвойственной функции

Решение задач с помощью алгебры высказываний

Соленоидальное векторное поле

Упрощение логических функций

Огравление $Rightarrow $

Источник

Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей

Определение . Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.

Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:

F(х) = P(X x ,

то F(x ) ≥ F(x ).

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(a ≤ X Определение . Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:

Часто вместо термина «плотность распределения вероятностей» используют термин «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».

Свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна в любой точке оси Ох:

f(x)≥0 при х (– ∞; +∞).

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), определяется равенством:

P(a Определение. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

М(Х)= ,

где f(x) – плотность распределения случайной величины Х.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (a;b), то

М(Х)= .

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

2. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

4. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

.

Определение . Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

D(x)=

Как и в случае с дискретной случайной величиной, можно показать, что

D(x)=

В частности, если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a;b), то

D(X)=

D(X)= .

Дисперсия обладает следующими свойствами:

1. Дисперсия постоянной равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D(CХ)=C D(Х).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

.

4. Дисперсия произведения независимых случайных величин равна произведению дисперсий сомножителей:

.

5. Дисперсия суммы постоянной и независимой случайной величины равна квадрату постоянной на дисперсию независимой случайной величины:

.

Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х

Источник