The physical density of any object is simply its mass divided by its volume; density is measured in units such as pounds per cubic foot, grams per cubic centimeter or kilograms per cubic meter. When calculating the density of a planet, look up its mass and radius, the latter of which is the distance from the surface to the center. Because planets are roughly spherical, calculate the volume of a sphere using the radius. Then divide the mass by the volume of the sphere to get the density.
-
If you have the planet’s diameter instead of its radius, divide it by two to get the radius.
Find the planet’s mass and diameter. For example, Earth’s mass is about 6,000,000,000,000,000,000,000,000 kg and its radius measures 6,300 km.
Enter the radius in the calculator. Multiply by 1,000 to convert kilometers to meters. Cube this number by pressing the «x^3» key; alternatively, you can press the «x^y» key, enter the number three and then press «equals.» Multiply by the number pi — or 3.1416 — multiply by four and then divide by three. Store the result by pressing the «M+» or other memory key. The figure you see is the planet’s volume in cubic meters. To continue the example, 6,300 km times 1,000 meters/km = 6,300,000 meters. Cubing it gives 250,000,000,000,000,000,000. Multiplying by pi times 4/3 yields 1,047,400,000,000,000,000,000 cubic meters.
Key the planet’s mass into the calculator. Press the divide key, then recall the volume figure stored in the calculator’s memory. Press the equals key. This result is the planet’s density in units of kilograms per cubic meter. In our example, dividing 6,000,000,000,000,000,000,000,000 kg by 1,047,400,000,000,000,000,000 cubic meters results in a density of about 5,730 kg per cubic meter.
Tips
1. Плотность планеты
Рассмотрим, как выразить ускорение свободного падения на поверхности планеты и первую космическую скорость для этой планеты через ее радиус R и среднюю плотность ρ. (Средняя плотность планеты равна отношению массы планеты к ее объему.)
? 1. Выразите массу планеты M через ее радиус R и среднюю плотность ρ.
? 2. Чему равно ускорение свободного падения g на поверхности планеты радиусом R, имеющей среднюю плотность ρ?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8) из в § 14, заменив массу и радиус Земли на массу и радиус данной планеты.
? 3. Вблизи поверхности планеты-гиганта Юпитер (на рисунке 18.1 Юпитер изображен в одном масштабе с Землей) ускорение свободного падения в 2,6 раза больше, чем вблизи поверхности Земли. Радиус Юпитера примерно в 11 раз больше радиуса Земли. Какова средняя плотность Юпитера?
? 4. На планете радиусом 3400 км камень падает с обрыва высотой 200 м в течение 10 с. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что сопротивлением атмосферы планеты можно пренебречь.
? 5. Чему равна первая космическая скорость для планеты радиусом R со средней плотностью ρ?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (10) из § 14, заменив радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности Земли на массу данной планеты и ускорение свободного падения на ее поверхности.
А сейчас мы получим несколько неожиданный результат.
? 6. Чему равен период T обращения спутника по низкой круговой орбите вокруг планеты радиусом R со средней плотностью ρ? (В таком случае радиус орбиты можно считать равным радиусу планеты.)
Итак, период обращения спутника на низкой круговой орбите зависит только от средней плотности планеты!
? 7. Астронавты облетели три планеты А, Б и В на низких круговых орбитах с выключенным двигателем. Время облета каждой из планет составило: TА = 55 мин, TБ = 106 мин, TВ = 72 мин. У какой из этих планет наибольшая средняя плотность? У каких из этих планет средняя плотность больше средней плотности Земли? Напомним, что период обращения искусственного спутника Земли на низкой орбите 85 мин.
2. Учет вращения планеты вокруг своей оси
Геостационарная орбита
Телевизионные программы передают в разные точки Земли с помощью спутников связи (рис. 18.2), которые движутся по круговым орбитам.
Сигнал со спутника принимает укрепленная на стене или крыше дома спутниковая антенна. Она направлена постоянно на одну и ту же точку небосвода, поэтому спутник связи должен постоянно «висеть» над одной и той же точкой поверхности Земли.
? 8. Чему равен период одного оборота спутника связи?
Орбиту, по которой движется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой поверхности Земли, называют геостационарной. Она лежит в экваториальной плоскости Земли (так называют плоскость, в которой лежит экватор).
? 9. Выразите радиус rгс геостационарной орбиты через ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, радиус Земли и продолжительность суток T.
Подсказка. Запишите уравнение второго закона Ньютона для спутника связи, выразив в нем гравитационную постоянную G через g, MЗем, Rзем.
? 10. Чему равен радиус геостационарной орбиты? На какой высоте над поверхностью Земли находится эта орбита?
Выполнив это задание, вы оцените уровень современной техники: спутниковая антенна устойчиво принимает сигнал с расстояния в десятки тысяч километров!
Вес тела на полюсе и на экваторе
Вследствие вращения планеты вокруг своей оси (его называют суточным) вес одного и того же тела на экваторе планеты меньше, чем на ее полюсе. Выясним, от чего зависит разность значений веса на экваторе и на полюсе.
Пусть тело покоится на поверхности шарообразной планеты вблизи ее полюса. В этом случае вес тела
PП = mg, (1)
где g – ускорение свободного падения.
Чтобы найти вес тела на поверхности планеты вблизи экватора, надо учесть суточное вращение планеты.
Вследствие этого вращения находящееся на экваторе тело равномерно движется по окружности относительно инерциальной системы отсчета, связанной с удаленными звездами (рис. 18.3). Радиус окружности равен радиусу планеты R, а период обращения T равен продолжительности суток.
Вследствие суточного вращения планеты находящееся на ее экваторе тело движется относительно инерциальная центростремительным ускорением
Это ускорение направлено к центру планеты, то есть вниз. А если тело движется с ускорением 
, направленным вниз, вес этого тела выражается формулой (см. § 16):
PЭ = m(g – a).
? 11. Чему равно уменьшение веса тела массой m на экваторе шарообразной планеты радиусом R по сравнению с его весом на полюсе, если период обращения планеты равен T?
? 12. С помощью каких весов можно обнаружить уменьшение веса тела на экваторе – рычажных, в которых используются гири, или пружинных, когда вес тела измеряют по удлинению пружины?
? 13. Каково обусловленное суточным вращением Земли уменьшение веса корабля массой 40000 т при переходе его из приполярной области в экваториальные воды? Уменьшается ли при этом масса корабля?
? 14. На сколько процентов уменьшается вес тела вследствие суточного вращения Земли при перемещении его с полюса Земли на экватор?
Существует еще одна причина уменьшения веса тела на экваторе Земли по сравнению с весом на полюсе.
Дело в том, что Земля немного сплюснута у полюсов – расстояние между Северным и Южным полюсами (по прямой сквозь Землю) примерно на 43 км меньше, чем расстояние между диаметрально противоположными точками экватора Земли. Вследствие этого на полюсе находящаяся на уровне моря точка расположена примерно на 21,5 км ближе к центру Земли, чем точка на экваторе.
Общее уменьшение веса, обусловленное суточным вращением и сплюснутостью Земли, составляет примерно 0,5 %.
? 15. Каким должен быть период обращения шарообразной планеты массой M и радиусом r вокруг своей оси, чтобы находящиеся на ее экваторе тела находились в состоянии невесомости?
? 16. При какой продолжительности земных суток тела на земном экваторе были бы в состоянии невесомости?
Дополнительные вопросы и задания
17. Сорвавшийся с обрыва на некоторой планете камень падал с высоты h в течение времени t. Радиус планеты равен R. Чему равна масса планеты M?
18. Высадившийся на планету радиусом R астронавт бросает камешки с начальной скоростью v0 под разными углами к горизонту. Чему равна средняя плотность планеты, если все камешки упали на расстоянии от космонавта, не превышающем l?
19. Космонавты высадились на экваторе шарообразной малой планеты. Средняя плотность планеты ρ, радиус R, продолжительность суток T.
а) Чему равна скорость точек поверхности планеты на экваторе?
б) Чему равна первая космическая скорость для этой планеты?
в) С какой скоростью космонавты могут ехать на гусеничном вездеходе вдоль экватора по направлению суточного вращения планеты, не отрываясь от ее поверхности?
20. Над находящейся на экваторе Земли африканской деревней 2 раза в сутки – в полдень и в полночь – пролетают одновременно два искусственных спутника, А и Б. Орбиты спутников лежат в экваториальной плоскости, спутник А движется на восток, а Б – на запад.
а) Какой спутник движется в направлении суточного вращения Земли, а какой – в противоположном?
б) Чему равен период обращения каждого спутника?
в) Каковы радиусы орбит спутников?
21. Космический корабль массой 10 т должен постоянно находиться в точке, где силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешивают друг друга. Примите, что Землю можно считать неподвижной, а расстояние от Земли до Луны постоянным.
а) Как направлена сила тяги двигателя корабля?
б) Выразите расстояние r от Земли до корабля через массу Земли MЗем массу Луны MЛ и расстояние RЗЛ от Земли до Луны.
в) Чему равна сила тяги двигателя корабля?
Физическая плотность любого объекта — это просто его масса, деленная на его объем; плотность измеряется в таких единицах, как фунты на кубический фут, граммы на кубический сантиметр или килограммы на кубический метр. При расчете плотности планеты посмотрите ее массу и радиус, последний из которых является расстоянием от поверхности до центра. Поскольку планеты примерно сферические, рассчитайте объем сферы, используя радиус. Затем разделите массу на объем сферы, чтобы получить плотность.
-
Если у вас есть диаметр планеты вместо ее радиуса, разделите ее на два, чтобы получить радиус.
Найдите массу и диаметр планеты. Например, масса Земли составляет около 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, а ее радиус — 6 300 км.
Введите радиус в калькуляторе. Умножьте на 1000, чтобы преобразовать километры в метры. Куб это число, нажав клавишу «x ^ 3»; Кроме того, вы можете нажать клавишу «x ^ y», ввести число три, а затем нажать «равно». Умножьте на число пи — или 3, 1416 — умножьте на четыре, а затем разделите на три. Сохраните результат, нажав клавишу «M +» или другую клавишу памяти. Фигура, которую вы видите — это объем планеты в кубических метрах. Чтобы продолжить пример, 6300 км умножить на 1000 метров / км = 6300000 метров. Куб это дает 250 000 000 000 000 000 000. Умножение на число раз, равное 4/3, дает 1 047 400 000 000 000 000 000 кубических метров.
Введите массу планеты в калькулятор. Нажмите клавишу деления, затем вызовите значение объема, сохраненное в памяти калькулятора. Нажмите клавишу равенства. Этот результат — плотность планеты в единицах килограммов на кубический метр. В нашем примере деление 6 000 000 000 000 000 000 000 000 кг на 1 047 400 000 000 000 000 000 кубических метров дает плотность около 5730 кг на кубический метр.
подсказки
Ответ: Средняя плотность планеты Земля = 5482,9 кг/м³
Объяснение: Дано: R — радиус Земли = 6400км = 6400000 м
g — ускорение свободного падения = 9,8 м/с²
G — гравитационная постоянная = 6,67408 *10^-11 м³с^-2 кг^-1
Найти ρ -плотность планеты Земля
Среднюю плотность планеты Земля можно найти по формуле ρ = M/V. Здесь М — масса Земли; V — объем Земли. В первом приближении форму Земли можно считать шарообразной, тогда её объем можно найти по формуле V = 4*π*R³/3. Известно, что g определяется выражением: g = G*М/R². Из этого выражения М = g*R²/G. Подставив найденные выражения для массы и объема в формулу для нахождения плотности, будем иметь: ρ = 3*g*R²/4*G*π*R³ = 3*g/4*G*π*R = 3*9,8/4*6,67408 *10^-11*3,14*6400000 = 5482,9 кг/м³
Если исходить из определения плотности (p=m/V), то для определения плотности планеты нужно знать ее массу и объем. Но чаще всего объем планеты неизвестен. Поэтому поступают таким образом, принимают планету за шар (хотя для большинства планет это допущение не совсем подходит, они сжаты в полюсах) и вычисляют объем по формуле объема шара V = 4/3*pi*R^3, где pi=3,14156… , R — радиус планеты.
Вывод: чтобы вычислить плотность планеты нужно знать ее массу и радиус. Разумеется при этом мы получим среднюю плотность планеты (плотность планеты увеличивается от поверхности к центру).
Есть еще один вариант вычисления значения плотности планеты, через ускорение свободного падения на ней. Вот расчеты, сделанные из определения ускорения свободного падения g = G*M/(R^2) = G*M*R/(R^3), здесь G=6,67*10^(-11) Н*м2/кг2 гравитационная постоянная, M — масса планеты, R — радиус планеты. Преобразуем эту формулу с учетом объема шара и получи: g = G*R*3/4/pi*(M/(4/3*pi*R^3) =G*R*3/4/pi*p, p=(g*pi)/( G*R*3/4).
Значит плотность планеты можно определить и зная такие характеристики, как радиус и ускорение свободного падения. Ускорение свободного падения можно определить и экспериментально.