1. Плотность планеты
Рассмотрим, как выразить ускорение свободного падения на поверхности планеты и первую космическую скорость для этой планеты через ее радиус R и среднюю плотность ρ. (Средняя плотность планеты равна отношению массы планеты к ее объему.)
? 1. Выразите массу планеты M через ее радиус R и среднюю плотность ρ.
? 2. Чему равно ускорение свободного падения g на поверхности планеты радиусом R, имеющей среднюю плотность ρ?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8) из в § 14, заменив массу и радиус Земли на массу и радиус данной планеты.
? 3. Вблизи поверхности планеты-гиганта Юпитер (на рисунке 18.1 Юпитер изображен в одном масштабе с Землей) ускорение свободного падения в 2,6 раза больше, чем вблизи поверхности Земли. Радиус Юпитера примерно в 11 раз больше радиуса Земли. Какова средняя плотность Юпитера?
? 4. На планете радиусом 3400 км камень падает с обрыва высотой 200 м в течение 10 с. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что сопротивлением атмосферы планеты можно пренебречь.
? 5. Чему равна первая космическая скорость для планеты радиусом R со средней плотностью ρ?
Подсказка. Воспользуйтесь формулой (10) из § 14, заменив радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности Земли на массу данной планеты и ускорение свободного падения на ее поверхности.
А сейчас мы получим несколько неожиданный результат.
? 6. Чему равен период T обращения спутника по низкой круговой орбите вокруг планеты радиусом R со средней плотностью ρ? (В таком случае радиус орбиты можно считать равным радиусу планеты.)
Итак, период обращения спутника на низкой круговой орбите зависит только от средней плотности планеты!
? 7. Астронавты облетели три планеты А, Б и В на низких круговых орбитах с выключенным двигателем. Время облета каждой из планет составило: TА = 55 мин, TБ = 106 мин, TВ = 72 мин. У какой из этих планет наибольшая средняя плотность? У каких из этих планет средняя плотность больше средней плотности Земли? Напомним, что период обращения искусственного спутника Земли на низкой орбите 85 мин.
2. Учет вращения планеты вокруг своей оси
Геостационарная орбита
Телевизионные программы передают в разные точки Земли с помощью спутников связи (рис. 18.2), которые движутся по круговым орбитам.
Сигнал со спутника принимает укрепленная на стене или крыше дома спутниковая антенна. Она направлена постоянно на одну и ту же точку небосвода, поэтому спутник связи должен постоянно «висеть» над одной и той же точкой поверхности Земли.
? 8. Чему равен период одного оборота спутника связи?
Орбиту, по которой движется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой поверхности Земли, называют геостационарной. Она лежит в экваториальной плоскости Земли (так называют плоскость, в которой лежит экватор).
? 9. Выразите радиус rгс геостационарной орбиты через ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, радиус Земли и продолжительность суток T.
Подсказка. Запишите уравнение второго закона Ньютона для спутника связи, выразив в нем гравитационную постоянную G через g, MЗем, Rзем.
? 10. Чему равен радиус геостационарной орбиты? На какой высоте над поверхностью Земли находится эта орбита?
Выполнив это задание, вы оцените уровень современной техники: спутниковая антенна устойчиво принимает сигнал с расстояния в десятки тысяч километров!
Вес тела на полюсе и на экваторе
Вследствие вращения планеты вокруг своей оси (его называют суточным) вес одного и того же тела на экваторе планеты меньше, чем на ее полюсе. Выясним, от чего зависит разность значений веса на экваторе и на полюсе.
Пусть тело покоится на поверхности шарообразной планеты вблизи ее полюса. В этом случае вес тела
PП = mg, (1)
где g – ускорение свободного падения.
Чтобы найти вес тела на поверхности планеты вблизи экватора, надо учесть суточное вращение планеты.
Вследствие этого вращения находящееся на экваторе тело равномерно движется по окружности относительно инерциальной системы отсчета, связанной с удаленными звездами (рис. 18.3). Радиус окружности равен радиусу планеты R, а период обращения T равен продолжительности суток.
Вследствие суточного вращения планеты находящееся на ее экваторе тело движется относительно инерциальная центростремительным ускорением
Это ускорение направлено к центру планеты, то есть вниз. А если тело движется с ускорением 
, направленным вниз, вес этого тела выражается формулой (см. § 16):
PЭ = m(g – a).
? 11. Чему равно уменьшение веса тела массой m на экваторе шарообразной планеты радиусом R по сравнению с его весом на полюсе, если период обращения планеты равен T?
? 12. С помощью каких весов можно обнаружить уменьшение веса тела на экваторе – рычажных, в которых используются гири, или пружинных, когда вес тела измеряют по удлинению пружины?
? 13. Каково обусловленное суточным вращением Земли уменьшение веса корабля массой 40000 т при переходе его из приполярной области в экваториальные воды? Уменьшается ли при этом масса корабля?
? 14. На сколько процентов уменьшается вес тела вследствие суточного вращения Земли при перемещении его с полюса Земли на экватор?
Существует еще одна причина уменьшения веса тела на экваторе Земли по сравнению с весом на полюсе.
Дело в том, что Земля немного сплюснута у полюсов – расстояние между Северным и Южным полюсами (по прямой сквозь Землю) примерно на 43 км меньше, чем расстояние между диаметрально противоположными точками экватора Земли. Вследствие этого на полюсе находящаяся на уровне моря точка расположена примерно на 21,5 км ближе к центру Земли, чем точка на экваторе.
Общее уменьшение веса, обусловленное суточным вращением и сплюснутостью Земли, составляет примерно 0,5 %.
? 15. Каким должен быть период обращения шарообразной планеты массой M и радиусом r вокруг своей оси, чтобы находящиеся на ее экваторе тела находились в состоянии невесомости?
? 16. При какой продолжительности земных суток тела на земном экваторе были бы в состоянии невесомости?
Дополнительные вопросы и задания
17. Сорвавшийся с обрыва на некоторой планете камень падал с высоты h в течение времени t. Радиус планеты равен R. Чему равна масса планеты M?
18. Высадившийся на планету радиусом R астронавт бросает камешки с начальной скоростью v0 под разными углами к горизонту. Чему равна средняя плотность планеты, если все камешки упали на расстоянии от космонавта, не превышающем l?
19. Космонавты высадились на экваторе шарообразной малой планеты. Средняя плотность планеты ρ, радиус R, продолжительность суток T.
а) Чему равна скорость точек поверхности планеты на экваторе?
б) Чему равна первая космическая скорость для этой планеты?
в) С какой скоростью космонавты могут ехать на гусеничном вездеходе вдоль экватора по направлению суточного вращения планеты, не отрываясь от ее поверхности?
20. Над находящейся на экваторе Земли африканской деревней 2 раза в сутки – в полдень и в полночь – пролетают одновременно два искусственных спутника, А и Б. Орбиты спутников лежат в экваториальной плоскости, спутник А движется на восток, а Б – на запад.
а) Какой спутник движется в направлении суточного вращения Земли, а какой – в противоположном?
б) Чему равен период обращения каждого спутника?
в) Каковы радиусы орбит спутников?
21. Космический корабль массой 10 т должен постоянно находиться в точке, где силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешивают друг друга. Примите, что Землю можно считать неподвижной, а расстояние от Земли до Луны постоянным.
а) Как направлена сила тяги двигателя корабля?
б) Выразите расстояние r от Земли до корабля через массу Земли MЗем массу Луны MЛ и расстояние RЗЛ от Земли до Луны.
в) Чему равна сила тяги двигателя корабля?
Условие задачи:
Определить плотность шарообразной планеты, если вес тела на полюсе в 2 раза больше, чем на экваторе. Период вращения планеты вокруг своей оси 2 ч 40 мин.
Задача №2.5.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Дано:
(P_п=2P_э), (T=2; ч; 40; мин), (rho-?)
Решение задачи:
Тело на экваторе вращается вместе с планетой по окружности радиуса (R) (радиус планеты). Применим второй закон Ньютона:
[mg – {N_э} = m{a_ц};;;;(1)]
Тело на полюсе лежит на оси вращения планеты, поэтому оно вращается лишь вокруг себя. Первый закон Ньютона для этого тела даст такое равенство:
[mg = {N_п};;;;(2)]
По третьему закону Ньютона сила реакции опоры ((N_э) и (N_п)) равна весу тела ((P_э) и (P_п) соответственно). Учтите, что эти силы хоть и равны по величине, но противоположны по направлению и приложены к разным телам. С учетом этого запишем равенства (1) и (2) в такой системе:
[left{ begin{gathered}
{P_э} = mg – m{a_ц} hfill \
{P_п} = mg hfill \
end{gathered} right.]
Поделим нижнее равенство на верхнее. Так как (P_п=2P_э), то получим:
[frac{g}{{g – {a_ц}}} = 2]
[2g – 2{a_ц} = g]
[g = 2{a_ц};;;;(3)]
Поскольку в задаче нужно узнать среднюю плотность планеты (rho), то запишем такие формулы: во-первых, формулу определения ускорения свободного падения (g) на поверхности планеты, во-вторых, формулу определения массы через плотность и объем, в-третьих, формулу определения объема шара.
[g = Gfrac{M}{{{R^2}}};;;;(4)]
[M = rho cdot V;;;;(5)]
[V = frac{4}{3}pi {R^3};;;;(6)]
Подставив (6) в (5), а полученное в (4), получим:
[g = frac{4}{3}pi Grho R;;;;(7)]
Чтобы выразить центростремительное ускорение (a_ц) через период вращения планеты (T) запишем такие формулы: формулу определения ускорения (a_ц) через угловую скорость (omega) и формулу связи последней с периодом вращения (T).
[{a_ц} = {omega ^2}R]
[omega = frac{{2pi }}{T}]
В итоге:
[{a_ц} = frac{{4{pi ^2}}}{{{T^2}}}R;;;;(8)]
Подставим выражения (7) и (8) в ранее полученное равенство (3):
[frac{4}{3}pi Grho R = frac{{8{pi ^2}}}{{{T^2}}}R]
[rho = frac{{6pi }}{{G{T^2}}}]
Переведем данный в условии период вращения (T) в систему СИ (в секунды):
[T = 2;ч;40;мин = 2 cdot 3600 + 40 cdot 60; с = 9600; с]
Посчитаем ответ:
[rho = frac{{6 cdot 3,14}}{{6,67 cdot {{10}^{ – 11}} cdot {{9600}^2}}} = 3065; кг/м^3 approx 3,07; г/см^3]
Ответ: 3,07 г/см3.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Смотрите также задачи:
2.5.14 Во сколько раз период обращения искусственного спутника, совершающего движение
2.5.16 На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность
2.5.17 На экваторе некоторой планеты тела весят втрое меньше, чем на полюсе. Период
The physical density of any object is simply its mass divided by its volume; density is measured in units such as pounds per cubic foot, grams per cubic centimeter or kilograms per cubic meter. When calculating the density of a planet, look up its mass and radius, the latter of which is the distance from the surface to the center. Because planets are roughly spherical, calculate the volume of a sphere using the radius. Then divide the mass by the volume of the sphere to get the density.
-
If you have the planet’s diameter instead of its radius, divide it by two to get the radius.
Find the planet’s mass and diameter. For example, Earth’s mass is about 6,000,000,000,000,000,000,000,000 kg and its radius measures 6,300 km.
Enter the radius in the calculator. Multiply by 1,000 to convert kilometers to meters. Cube this number by pressing the «x^3» key; alternatively, you can press the «x^y» key, enter the number three and then press «equals.» Multiply by the number pi — or 3.1416 — multiply by four and then divide by three. Store the result by pressing the «M+» or other memory key. The figure you see is the planet’s volume in cubic meters. To continue the example, 6,300 km times 1,000 meters/km = 6,300,000 meters. Cubing it gives 250,000,000,000,000,000,000. Multiplying by pi times 4/3 yields 1,047,400,000,000,000,000,000 cubic meters.
Key the planet’s mass into the calculator. Press the divide key, then recall the volume figure stored in the calculator’s memory. Press the equals key. This result is the planet’s density in units of kilograms per cubic meter. In our example, dividing 6,000,000,000,000,000,000,000,000 kg by 1,047,400,000,000,000,000,000 cubic meters results in a density of about 5,730 kg per cubic meter.
Tips
Ответ: Средняя плотность планеты Земля = 5482,9 кг/м³
Объяснение: Дано: R — радиус Земли = 6400км = 6400000 м
g — ускорение свободного падения = 9,8 м/с²
G — гравитационная постоянная = 6,67408 *10^-11 м³с^-2 кг^-1
Найти ρ -плотность планеты Земля
Среднюю плотность планеты Земля можно найти по формуле ρ = M/V. Здесь М — масса Земли; V — объем Земли. В первом приближении форму Земли можно считать шарообразной, тогда её объем можно найти по формуле V = 4*π*R³/3. Известно, что g определяется выражением: g = G*М/R². Из этого выражения М = g*R²/G. Подставив найденные выражения для массы и объема в формулу для нахождения плотности, будем иметь: ρ = 3*g*R²/4*G*π*R³ = 3*g/4*G*π*R = 3*9,8/4*6,67408 *10^-11*3,14*6400000 = 5482,9 кг/м³