Как найти плотность распределения двумерной случайной величины

Примеры решения задач

• Краткая теория
• Примеры решения задач

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

$$
f(x,y)= frac{partial ^2}{partial x partial y} F(x,y)
$$

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

$$
f(x)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dy, quad f(y)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dx.
$$

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

$$
f(x|y)=f_y(x)= frac{f(x,y)}{f(y)}, quad f(y|x)=f_x(y)= frac{f(x,y)}{f(x)} $$

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

$$f(x,y) =f(x)cdot f(y),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

$$F(x,y) =F(x)cdot F(y).$$

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

$$
cov (X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)= int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty} (x-M(X))(y-M(Y)) f(x,y) dxdy, \
r_{XY} = frac{cov(X,Y)}{sqrt{D(X)D(Y)}}.
$$

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы
$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
C, mbox{ в треугольнике} O(0,0), A(4,0), B(4,1)\
0, mbox{ в остальных точках} \
end{array}
right.
$$
Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_{xy}, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt{xy}, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y):
$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, mbox{ при } x le 0 mbox{ или } yle 0\
(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}), mbox{ при } x gt 0 mbox{ и } ygt 0\
end{array}
right.
$$
Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У)
$$f(x,y)=C e^{-x^2-2xy-4y^2}$$
Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна
$$f(x,y) = c(R-sqrt{x^2+y^2}), quad x^2+y^2 lt R^2.$$
Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y
$$f(x,y)=frac{c}{36+9x^2+4y^2+x^2y^2}.$$
Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_{xy}$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Функцией
распределения
n-мерной
случайной величины
называется
функция,
выражающая вероятность совместного
выполненияn
неравенств
,
т.е.

Геометрически
функция распределения двухмерной
случайной величины
означает
вероятность попадания случайной точки
(x;y)
в заштрихованную область, расположенную
левее и ниже точки M(x;y).

Квадрант

Правая и верхняя
границы не включаются в квадрант – это
означает, что функция распределения
непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной
двумерной случайной величины ее функция
распределения определяется по формуле:

,

где суммирование
вероятностей распространяется на все
i,
для которых
,
и всеj,
для которых

Свойства функции
распределения двумерной случайной
величины:

1. Функция распределения
   есть
   неотрицательная функция, заключенная
   между нулем и единицей, т.е.

1. Функция распределения
   есть
   неубывающая функция по каждому из
   аргументов, т.е.

при

при

1. Если хотя бы один
   из аргументов обращается в -∞, функция
   распределения F(x;y)
   равна нулю, т.е.

1. Если один из
   аргументов обращается в
   ,
   функция распределениястановится
   равной функции распределения случайной
   величины, соответствующей другому
   аргументу:

где
и—
функции распределения случайных величинX
и Y,
т.е.

,

5. Если оба аргумента
равны +,
то функция распределения равна единице:

Геометрически
функция распределения есть некоторая
поверхность, обладающая указанными
свойствами. Для дискретной случайной
величины (X,Y)
ее функция распределения представляет
собой некоторую ступенчатую поверхность,
ступени которой соответствуют скачкам
функции

Зная функцию
распределения можно найти вероятность
попадания случайной точки (X,Y)
в пределы прямоугольника ABCD,
т.е.
.

A(x₁;
y₂)
B(x₂;
y₂)

y₂

y₁

D(x₁;
y₁)
C(x₂;
y₁)

x₁
x₂

Плотность
вероятности двумерной случайной
величины.

Двумерная случайная
величина (X,Y)
называется непрерывной, если ее функция
распределения F(x;y)
– непрерывная функция, дифференцируемая
по каждому из аргументов, и существует
вторая смешанная производная
.

Плотностью
вероятности
непрерывной двумерной случайной величины
(X;Y)
называется вторая смешанная частная
производная ее функции распределения,
т.е.

Геометрически
плотность вероятности двумерной
случайной величины (X,Y)
представляет собой поверхность
распределения в пространстве Oxyz.

Плотность вероятности
обладает свойствами аналогичными
свойствам плотности вероятности
одномерной случайной величины.

Свойства плотности
вероятности:

1. Плотность вероятности
   двумерной случайной величины есть
   неотрицательная функция, т.е.
   

2. Вероятность
   попадания непрерывной двумерной
   случайной величины (X,Y)
   в область D
   равна

1. функция распределения
   непрерывной случайной величины может
   быть выражена через ее плотность
   вероятности
   по формуле:

1. Двойной несобственный
   интеграл в бесконечных пределах от
   плотности вероятности двумерной
   случайной величины равен единице.

Геометрически
последнее свойство означает, что полный
объем тела, ограниченного поверхностью
распределения и плоскостью Oxy,
равен 1.

Замечание: Если
имеется кривая распределения
одномерной случайной величины, то
конкретное значение ее плотности
вероятности в данной точкеX
определяется ординатой кривой

Если имеется
распределение поверхности
двухмерной
случайной величины, то конкретное
значение ее совместной плотности в
данной точке (x,y)
определяется геометрически аппликатой
поверхности
,
а конкретное значение плотности
вероятностиопределится
геометрически площадью сечения
поверхности.
Плоскость параллельна плоскостиOyz
и отсекает на оси OX
отрезок x.

Соседние файлы в предмете Теория вероятностей и математическая статистика

• #

  03.10.201339.94 Кб57Практикум по теор веру и мат стат.xls

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #