Как найти плотность распределения случайного вектора

39

3.1. Понятие случайного вектора. Ряд распределения двумерного дискретного случайного вектора

На практике часто встречаются задачи,
в которых результат опыта описывается
не одним, а двумя или более числовыми
значениями, заранее неизвестными.
Примеры: точка попадания в мишень при
выстреле характеризуется полярными
координатами

или декартовыми координатами

;
осколок, образовавшийся при разрыве
снаряда, характеризуется весом, размером,
начальной скоростью и т.д.; результаты
последовательных измерений меняющейся
величины выражаются n числами.
Подобные примеры приводят к понятию
случайного
вектора.оро0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Случайным вектором (или системой
случайных величин) называется упорядоченный
набор случайных величин

,
заданных на одном и том же вероятностном
пространстве

.
Случайный вектор

называется дискретным (непрерывным),
если соответствующие СВ

являются дискретными (непрерывными).
Свойства случайного вектора не
ограничиваются свойствами отдельных
величин: они включают также взаимные
связи (зависимости) между СВ.

Рассмотрим дискретный случайный вектор

.
Пусть

и

– упорядоченные по возрастанию возможные
значения СВ Х и Y соответственно,
а

,

,

.
Поскольку события

,

,

попарно несовместны и образуют полную
группу, то

.
Тогда под рядом распределения вектора

понимается следующая таблица:

Вероятности отдельных значений СВ Х
и Y определяются равенствами:

и

.

Из этих равенств видно, что зная ряд
распределения дискретного случайного
вектора

,
можно найти ряд распределения каждой
из СВ Х и Y.

3.2. Функция и плотность распределения случайного вектора

Пусть

– двумерный случайный вектор. Тогда
функция

называется функцией распределения
этого вектора. Она обладает следующими
свойствами:

1⁰.

.

2⁰.

– неубывающая функция по каждому из
аргументов.

3⁰.

,

.

Функции распределения

и

СВ Х и Y выражаются через

следующим образом:

Из приведённых формул видно, что зная
функцию распределения вектора

,
можно найти функцию распределения
каждой из СВ Х и Y.

Пусть, далее,

– непрерывный случайный вектор, а

– его функция распределения. Тогда
функция

называется плотностью распределения
(или плотностью вероятности) вектора

.
Она обладает следующими свойствами:

1⁰.

.

2⁰.

.

3⁰.

.

4⁰. Вероятность попадания

в двумерную область D произвольного
вида вычисляется по формуле

(предполагается, что интеграл в правой
части равенства существует).

Пусть

и

– плотности распределения непрерывных
СВ Х и Y соответственно. Если
известна функция распределения

случайного вектора

,
то

,

,

откуда

,

.

Из приведённых формул видно, что зная
плотность распределения вектора

,
можно найти плотность распределения
каждой из СВ Х и Y.

Понятия функции и плотности распределения
легко обобщаются на случай вектора

:

,

.

Задача. Плотность распределения
непрерывного случайного вектора

задана формулой

.
Найти вероятность попадания

в прямоугольник D,
заданный неравенствами

,

,
и функцию распределения

.

Решение.

,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы $$ f(x)= left< begin C, mbox < в треугольнике>O(0,0), A(4,0), B(4,1)\ 0, mbox < в остальных точках>\ end right. $$ Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y): $$ F(x)= left< begin 0, mbox < при >x le 0 mbox < или >yle 0\ (1-e^<-2x>)(1-e^<-3y>), mbox < при >x gt 0 mbox < и >ygt 0\ end right. $$ Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) $$f(x,y)=C e^<-x^2-2xy-4y^2>$$ Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна $$f(x,y) = c(R-sqrt), quad x^2+y^2 lt R^2.$$ Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y $$f(x,y)=frac<36+9x^2+4y^2+x^2y^2>.$$ Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Распределение случайного вектора

Распределения векторных случайных величин представляются теми же основными формами, что и распределения скалярных. В дальнейшем ограничимся рассмотрением этих форм применительно лишь к двумерному случайному вектору (системе двух случайных величин).

Функция вероятности используется только для случайных векторов с дискретными компонентами и обычно задается таблицей, где указываются возможные значения х. и у. компонент X и Y случайного вектора , а также вероятности р(х., у.) всех пар этих значений (табл. 2.3).

Очевидно, что при этом

Системы случайных величин — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Системы случайных величин или случайные векторы:

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать два, три и большее число случайных величин.

Например, 1) попадание снаряда в цель определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой точки попадания, 2) случайное отклонение точки разрыва снаряда при дистанционной стрельбе определяется комплексом трех случайных величин: тремя координатами этой точки.

Определение 57. Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин или к случайному вектору.

(X, Y) — двумерный случайный вектор или система двух СВ.

Изучать систему — значит изучать сами случайные величины, ее составляющие; связи и зависимости между ними.

Геометрическая интерпретация системы: 1) систему двух случайных величин (X, У) рассматривают как случайную точку на плоскости (Охх) или как случайный вектор с составляющими X, У; 2) систему трех случайных величин (X, У, Z) рассматривают как случайную точку на плоскости (Оxyz) или как случайный вектор с составляющими X, У; Z и т.д.

В зависимости от типа случайных величин, образующих систему, могут быть дискретные, непрерывные и смешанные системы.

Определение 58. Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений не более, чем счетно.

Определение 59. (первое определение) Двумерный случайный вектор (X, У) называется вектором непрерывного типа (СВНТ), если множество его возможных значений непрерывно заполняет некоторую область плоскости (Оху)-

Определение 60. Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Законы распределения СВДТ и СВНТ

Таблица распределения — закон распределения СВДТ:

Рассмотрим двумерный случайный вектор (X, У), где X и У — дискретные случайные величины с возможными значениями

Пример:

Из цифр 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 наудачу отбирают две цифры. Х — число четных цифр в выборке, Y — число нечетных. Описать закон распределения.

Решение.

X (четные) — 2, 4, 6, 8; Y ( нечетные) — 1, 3, 9. Следовательно, возможные значения X : (нет четных цифр), (одна цифра четная), (обе цифры четные); возможные значения Y : (нет нечетных цифр), (одна цифра нечетная), (обе цифры нечетные). Найдем вероятности.

(0 четных, 0 нечетных) = 0, не выбираем ни одной цифры, а по условию выбираем две цифры. Аналогично, (выбираем всего одну цифру либо нечетную, либо четную), (выбираем три цифры вместо двух по условию), (выбираем четыре цифры вместо двух по условию).

— (обе цифры нечетные),

— (одна четная, одна нечетная),

— (обе цифры четные).

Таблица распределения имеет вид:

Проверка:

Пример:

Дана таблица распределения случайного вектора (X, Y). Получить ряды распределения для Х и Y отдельно.

Решение.

, (складываем по строкам), следовательно,

Проверка:

, (складываем по столбцам), следовательно,

Проверка:

Функция распределения — закон распределения СВДТ и СВНТ

Функция распределения — универсальный закон распределения случайных векторов как дискретного, так и непрерывного типа.

Определение 61. Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов F(x,y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств: X

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

$$
f(x,y)= frac{partial ^2}{partial x partial y} F(x,y)
$$

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

$$
f(x)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dy, quad f(y)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dx.
$$

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

$$
f(x|y)=f_y(x)= frac{f(x,y)}{f(y)}, quad f(y|x)=f_x(y)= frac{f(x,y)}{f(x)} $$

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

$$f(x,y) =f(x)cdot f(y),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

$$F(x,y) =F(x)cdot F(y).$$

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

$$
cov (X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)= int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty} (x-M(X))(y-M(Y)) f(x,y) dxdy, \
r_{XY} = frac{cov(X,Y)}{sqrt{D(X)D(Y)}}.
$$

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы
$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
C, mbox{ в треугольнике} O(0,0), A(4,0), B(4,1)\
0, mbox{ в остальных точках} \
end{array}
right.
$$
Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_{xy}, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt{xy}, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y):
$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, mbox{ при } x le 0 mbox{ или } yle 0\
(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}), mbox{ при } x gt 0 mbox{ и } ygt 0\
end{array}
right.
$$
Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У)
$$f(x,y)=C e^{-x^2-2xy-4y^2}$$
Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна
$$f(x,y) = c(R-sqrt{x^2+y^2}), quad x^2+y^2 lt R^2.$$
Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y
$$f(x,y)=frac{c}{36+9x^2+4y^2+x^2y^2}.$$
Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_{xy}$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Содержание:

1. Случайные векторы
2. Свойства функции распределения случайного вектора
3. Двумерные дискретные случайные векторы
4. Двумерные абсолютно непрерывные случайные векторы
5. Сходимость случайных величин

Случайные векторы

Рассматриваем случайное явление и вероятностное пространство, которое отвечает этому случайному явлению. Пусть  – случайные величины, связанные с этим случайным явлением. Совместное распределение этих случайных величин будем называть случайным вектором и обозначать
Определение. Функцией распределения случайного вектора  называется функция n переменных

Свойства функции распределения случайного вектора

1. Функция распределения непрерывна слева и монотонно неубывающая по всем аргументам.
2. 
3. 
4. 
5. Функция распределения компоненты  является границей функции распределения случайного вектора для всех 
Определение. Случайный вектор  называется дискретным, если он приобретает конечное или счетное количество значений.
Очевидно, что каждая компонента этого случайного вектора является дискретной случайной величиной.
Дискретный случайный вектор определяется значениями, которые он приобретает, и вероятностями, с которыми приобретаются эти значения.
Далее будем считать, что компонента ξ₁ приобретает значения  компонента ξ₁ –  компонента ξ_n —  а

Определение. Случайный вектор  называется абсолютно непрерывным, если существует n-мерная действительная функция  которую мы будем называть плотностью абсолютно непрерывного случайного вектора  такая, для которой выполняется равенство

Определение. Компоненты случайного вектора  называются независимыми, если  выполняется равенство


Если случайный вектор является дискретным, то условие независимости конкретизируется так:


Для абсолютно непрерывного случайного вектора условие независимости является таким:

Пусть  – некоторая функция. Математическое ожидание случайной величины  равно


Если случайный вектор является дискретным и

если вектор ξ – абсолютно непрерывный.
Определение. Ковариантной матрицей случайного вектора  называют числовую матрицу К размера  вида

где

и если  то величина  называется ковариацией.
Понятно, что на диагоналях стоят дисперсии соответствующих компонент.
Легко видеть, что

Доказательство.




Коэффициентом корреляции компонент  является число

корреляционной матрицей является матрица

Детальнее свойства случайных векторов рассмотрим для двумерного случая.

Двумерные дискретные случайные векторы

Рассматриваем двумерный случайный вектор  Предположим, что компонента ξ приобретает значения компонента η приобретает значения  и  Распределение двумерного дискретного вектора удобно представлять в виде таблицы:

Очевидно, что 
где 
Пример. Дано распределение двумерного случайного вектора 

Найти
Решение. Поскольку

то 




Пример. Дано распределение двумерного случайного вектора 

Найти 
Решение. Очевидно, что



Распределение компонент находится так:

Далее определяем  
Пример. Дано распределение двумерного случайного вектора 

Найти распределение компонент.
Решение. 






Для контроля целесообразно сделать проверку. Известно, что  Убедимся, что это действительно так.

Следовательно, распределение компоненты ξ является таким:

Переходим к компоненте η:








Проверка: 
Следовательно, распределение компоненты η является таким:

Заметим, что распределение компонент можно находить значительно проще.
Запишем еще раз распределение вектора, добавив одну строку снизу и один столбец справа. Далее находим суммы элементов по строкам и записываем эти суммы в последний столбец, а также находим суммы элементов по столбцах и значения найденных сумм записываем в нижнюю строку. Полученные суммы являются значениями вероятностей. Например, сумма верхней строки является вероятностью сумма второй строки является вероятностью соответственно сумма третьей строки — Для того, чтобы найти  нужно найти сумму элементов второго столбца и т. д.

Определение. Условным распределением компоненты ξ при условии, что  называют совокупность значений

Аналогично, условным распределением компоненты η при условии, что называют совокупность значений

Условным математическим ожиданием компоненты ξ при условии, что  называют число

Аналогично, условным математическим ожиданием компоненты η при условии, что называют число

Пример. Дано распределение дискретного случайного вектора 

Найти условное распределение компоненты ξ при условии, что условное распределение компоненты η при условии, что  условное математическое ожидание компоненты ξ при условии, что условное математическое ожидание компоненты η при условии, что 
Решение. 
Значение вероятности  находим как сумму элементов второго справа столбца.

Далее



Следовательно, условное распределение компоненты ξ при условии, что  будет таким:

Сразу находим условное математическое ожидание компоненты ξ при условии, что 


Переходим к нахождения условного распределения компоненты η при условии, что 


Запишем это условное распределение в виде таблицы

Далее найдем условное математическое ожидание.


Условие независимости для двумерного дискретного случайного вектора является такой:

для произвольных 
Пример. Дано распределение двумерного случайного вектора 

Проверить, являются ли независимыми компоненты этого вектора.
Решение.   

Очевидно, условие  не выполняется. ■
Функция распределения для двумерного случайного вектора находится так. По определению имеем

Очевидно, что функция распределения является кусочно-постоянной на отрезках  Поэтому ее можно представить в виде таблицы, которая содержит на одну строку больше чем таблица распределения этого случайного вектора и на один столбец больше чем таблица распределения этого случайного вектора.
Поскольку случайный вектор  не содержит значений меньших, чем и , то элементы в крайнем левом столбце и верхней строке будут нулевыми. Далее алгоритм заполнения таблицы будет таким: в строке и столбце будет записана сумма вероятностей, которые отвечают
Пример. Дано распределение двумерного случайного вектора .

Найти функцию распределения.
Решение. Поскольку наименьшим значением среди  является 2, а среди является — 1, то вероятность того, что случайный вектор будет приобретать меньшие значения, равно 0. Поэтому слева и сверху мы проставляем нули.
Осталось заполнить 4 строки и 3 столбца. Обозначим значения незаполненных клеточек через  Очевидно, что


Пусть — некоторая кусочно-непрерывная функция. Математическое ожидание случайной функции находится так:

В частности ковариация находится по формуле

де



Коэффициент корреляции

Пример. Найти ковариацию и коэффициент корреляции случайного вектора 

Решение. Сначала найдем распределение компонент.


Далее находим   





И, наконец, находим


Переходим к коэффициенту корреляции.






Запишем ковариационную и корреляционную матрицы

Заметим, что если компоненты случайного вектора является независимыми, то ковариация, а следовательно, и коэффициент корреляции равняются нулю. Наоборот не всегда правильно.
Пример случайного вектора, у которого ковариация равна нулю и коэффициенты зависимы.

Сначала покажем, что ковариация равно нулю.





Далее проверяем компоненты на независимость


Следовательно,  а поэтому компоненты являются зависимыми. ■
Заметим, что если ковариация является ненулевой, то компоненты зависимы.

Двумерные абсолютно непрерывные случайные векторы

Рассматриваем двумерный абсолютно непрерывный вектор  с плотностью Плотность компонент находят так:

Пример. Плотность двумерного случайного вектора равна

где область D ограничена линиями    Найти плотность компонент.
Решение. Сначала изобразим область D.







Вероятность попадания в область  находится из формулы

Очевидно, что 
Пример. Дана плотность абсолютно непрерывного случайного вектора 

Найти      если область D ограничена линиями   
Решение. Сначала найдем неизвестную константу Для этого графически изобразим область D









Сначала найдем  Снова графически изобразим область






Далее находим вероятность  Изобразим графически область







Переходим к нахождению вероятности  Как и в предыдущих случаях сначала изображаем графически область интегрирования






И, наконец находим вероятность Изображаем графически область интегрирования

Как видно из рисунка, сначала нужно найти точку пересечения прямых  









Условие независимости компонент проверяется так:

Пример. Дана плотность случайного вектора 

где область D ограничена линиями     Найти и проверить, являются ли компоненты независимыми.
Решение. Прежде всего изобразим область D.







Следовательно,

Проверяем независимость компонент. Для этого находим их плотности



Следовательно,

Переходим к нахождению плотности η




Находим произведение  в области D и проверяем, равно ли оно


В области D имеем
Следовательно, условие независимости не выполняется. ■
Пример. Известно, что компоненты случайного вектора является независимыми. Их плотности равняются:
 
Найти совместную плотность случайного вектора .
Решение. Из условия независимости 
Поэтому

где область D ограничена линиями    
Функция распределения находится по определению

Пример. Дана плотность абсолютно непрерывного случайного вектора

Найти функцию распределения, если область D ограничена линиями    
Решение. Прежде всего находим неизвестную константу.





По определению имеем

Аналитический вид функции распределения зависит от того, где находится точка
В частности:
1. Пусть  или 
 
Тогда, как видно из рисунка

2.

Тогда





3. Далее рассмотрим точки для которых выполняются условия  

Очевидно аналитический вид функции распределения в этом случае будет таким:


4. Далее рассматриваем множество точек для которых выполняются условия  



5. Наконец, если   тогда



Условная плотность  находится по формуле

соответственно, условная плотность 

Пример. Дана плотность абсолютно непрерывного случайного вектора 

Найти неизвестную константу  условные плотности   если область D ограничена линиями   
Решение. Сначала изображаем область D и находим неизвестную постоянную.









Далее находим распределение составляющих











Следовательно, условия плотности будут такими:


Математическое ожидание от функции компонент вектора  равно

Пример. Дана плотность абсолютно непрерывного случайного вектора

Найти ковариацию, коэффициент корреляции, ковариационную матрицу, корреляционную матрицу, если область D ограничена линиями    
Решение. Сначала находим неизвестную константу 






Переходим к ковариации













Следовательно,


Далее находим дисперсии











Ковариационная матрица является такой:

Корреляционная матрица имеет вид

Сходимость случайных величин

Определение. Рассматриваем последовательность случайных величин Эта последовательность совпадает со случайной величиной ξ, если 

или

и это обозначают 
Определение. Последовательность случайных величин сходится к случайной величине ξ в среднеквадратичном, если   и

Это обозначают 
Теорема. Если  и  — непрерывная функция, то 

Закон больших чисел
Рассматриваем последовательность случайных величин  Для нее выполняется закон больших чисел (ЗБЧ) или эта последовательность удовлетворяет закон больших чисел, если

Сходимость по вероятности всегда проверять нет смысла, потому что есть теоремы, которые являются достаточными условиями для выполнения закона больших чисел.

Теорема Чебышева. Пусть дана последовательность независимых случайных величин  для которых существуют Если существует константа С такая, что   то для этой последовательности выполняется закон больших чисел.

Теорема Хинчина. Пусть дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин  для которых существует математическое ожидание тогда для этой последовательности выполняется закон больших чисел.

Теорема Маркова. Пусть дана последовательность произвольных случайных величин  для которых существуют  и выполняется равенство

Тогда для этой последовательности выполняется закон больших чисел.

Теорема Бернулли. В схеме независимых испытаний Тут μ — относительная частота появления события, р — вероятность появления события в одном испытании.

Пример. Дана последовательность независимых случайных величин 

Проверить, выполняется ли для этой последовательности закон больших чисел.
Решение. Для проверки используем теорему Чебышева. Независимость дана в условии.



Очевидно, что

Поэтому для данной последовательности выполняются условия теоремы Чебышева, а следовательно, выполняется закон больших чисел. ■
Пример. Дана последовательность независимых случайных величин, которые имеют распределение Коши. Проверить, выполняется ли для этой последовательности закон больших чисел .
Решение. Поскольку для распределения Коши не существует математического ожидания, то речь не идет о выполнении закона больших чисел. ■

Примеры решения задач

• Краткая теория
• Примеры решения задач