Как найти плотность распределения в статистике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Вопрос 11. Плотность
распределения (абсолютная и относительная).

Группировка — это расчленение
изучаемой статистической совокупности
на части по одному или нескольким
группировочным признакам. Правильно
проведенная группировка в значительной
мере обеспечивает достоверность всего
статистического исследования.

Вариация
— различие значений
признака у разных единиц одновременно
существующей совокупности.

Частоты – f – это
численности отдельных вариаций или
каждой группы вариационного ряда. Сумма
всех частот называется объемом
совокупности и определяет число элементов
всей совокупности.

Показатель численности групп представлен
либо частотой (абсолютные числа), либо
частостью (удельным весом каждой группы
— относительные), либо как те и другие
совместно (в двух параллельных столбцах).

Частость — относительное выражение
частоты, представляет собой отношение
частоты к сумме частот.

Вариационные ряды — ряды
распределения, построенные по
количественному признаку,
определение интервала группировки
должно соответствовать переходу от
одного качества к другому.

Если приходится иметь дело с вариационным
рядом с неравными интервалами, то для
сопоставимости нужно частоты или
частости привести к единице интервала.
Полученное отношение называется
плотностью распределения:

Отношения частот или частостей к
величинам интервала называются плотностью
распределения.

Абсолютной плотностью распределения

называется число, показывающее, сколько
единиц совокупности приходится на
единицу размера интервала в отдельных
группах ряда

Относительная плотность распределения

определяется как частное от деления
частности W отдельной группы ряда на
единицу размера интервала

Абсолютная плотность распределения	Относительная плотность распределение

Плотность распределения используется
как для расчета обобщающих показателей,
так и для графического изображения
вариационных рядов с неравными
интервалами.

Огива и кумулята
распределения по урожайности

Источник

Определение плотности распределения

Сергей Евгеньевич Грамотинский

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Как нам уже известно, случайную величину можно задавать с помощью таблицы или с помощью функции распределения вероятности. Предположим теперь, что случайная величина $X$ является непрерывной, а функция распределения вероятности $F(x)$ непрерывна и дифференцируема в своей области определения. Тогда для такой случайной величины существует еще один способ её задания — задания с помощью плотности распределения.

Определение 1

Плотностью распределения $varphi (x)$ непрерыной случайной величины называется первая производная от функции распределения вероятности $F(x)$.

Примечание 1

!!! Подчеркнем, что данное понятие не применимо к дискретной случайной величине.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Геометрически, плотность распределения связана с функцией распределения вероятностей следующим образом: площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком плотности распределения и находящейся по левую сторону от величины $x$ и есть функция распределения вероятности (рис. 1).

Рисунок 1. Связь функций $varphi (x)$ и $F(x)$.

То есть:

Геометрический смысл: вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$ равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции распределения $varphi left(xright)$ и прямыми $x=alpha ,$ $x=beta $ и $y=0$ (рис. 2).

Рисунок 2. Геометрическое изображение вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал $(alpha ,beta )$.

«Определение плотности распределения» 👇

Примеры задач на понятие плотности распределения

Пример 1

Пусть функция распределения $F(x)$ случайной величины $X$ имеет следующий вид:

Рисунок 3.

а) Найти значение $alpha $.

б) Найти плотность распределения $varphi left(xright)$.

в) Построить график плотности распределения.

г) Найти вероятность попадания случайной величины в интервал $left(1,2right)$

Решение:

а) Так как необходимо найти плотность распределения, то случайная величина $X$ является непрерывной.

Тогда, при $x=3$, получим, что $(alpha +1)x^2=1$, то есть

[9alpha +9=1,] [9alpha =-8,] [alpha =-frac{8}{9}.]

То есть:

Рисунок 4.

б) Так как $varphi (x)$ = $F'(x)$, то получим:

Рисунок 5.

в) Построим график функции $varphi left(xright)$.

Рисунок 6.

г) Воспользовавшись геометрическим смыслом функции плотности распределения получим, что нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией $y=frac{2}{9}x$ и прямыми $x=1,$ $x=2$ и $y=0$.

Таким образом, получим:

[Pleft(1

Пример 2

Найти функцию распределения непрерывной случайной величины и построить её график, если плотность распределения имеет вид:

Рисунок 7.

Решение.

При решении будем использовать следующую формулу: $Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)dx}$

begin{enumerate}
item При $xle 0$, по формуле, получим:

[Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)dx}=intlimits^x_{-infty }{0dx}=0]

item При $0
[Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)}=intlimits^0_{-infty }{0dx}+intlimits^x_0{frac{dx}{4}}=0+frac{x}{4}-0=frac{x}{4}]

item При $x>2$, по формуле, получим:

[Fleft(xright)=intlimits^x_{-infty }{varphi (x)}=intlimits^0_{-infty }{0dx}+intlimits^2_0{frac{dx}{4}}+intlimits^x_2{0dx}=0+frac{1}{2}-0+0=frac{1}{2}]

end{enumerate}

Таким образом, функция распределения имеет вид:

Рисунок 8.

Построим её график.

Рисунок 9.

Примечание 2

!!! Заметим, что, так как дана плотность распределения, то случайная величина является непрерывной. Следовательно, функция $F(x)$ также должна быть непрерывной (как и получилось в нашем примере). Это может служить косвенной проверкой правильности решения такого рода задач.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.02.2023

Источник

Как найти плотность распределения

Плотность распределения удобна тем, что с ее помощью окрестность больших (меньших) значений случайной величины СВ легко представить в графической форме. С общетеоретической точки зрения ее легко найти, исходя из определения. Поэтому имеет смысл сосредоточиться на построении плотности вероятности исходя из данных наблюдений, то есть с помощью методов математической статистики.

Инструкция

Начните работу с построения таблицы статистического ряда. Здесь придерживаются следующего порядка действий: 1. Весь диапазон значений имеющихся опытных данных (статистической совокупности, выборки) разбейте на интервалы (разряды), которых не должно быть как слишком много, так и слишком мало (в каждом должно произойти достаточное усреднение). В таблице укажите границы этих разрядов.2. Подсчитайте число наблюдений, приходящихся на каждый разряд (при попадании значения на границу разряда можно добавить 1 как к левому, так и к правому разряду или по 0,5 для каждого).3. Вычислите частоты разрядов в соответствии с p*i= ni/n, где n – общее число наблюдений, а ni – число наблюдений, приходящихся на i-й разряд

Графическое изображение статистического ряда называется гистограммой. Порядок ее построения состоит в том, что на оси абсцисс откладываются разряды и на них (как на основаниях) строятся прямоугольники, площади которых равны частотам данных разрядов. Очевидно, что высоты этих прямоугольников равны относительным плотностям, также внесенным в таблицу статистического ряда. Рассмотрите статистический ряд, составленный из n=100 ошибок измерения дальности с помощью дальномера (см. рис. 1).

Для данного примера гистограмма имеет вид (рис. 2).

Сумма частот всех разрядов очевидно равна единице. Поэтому и площадь под гистограммой – единица, что является аналогом условия нормировки плотности вероятности. Таким образом, если через верхние основания прямоугольников гистограммы провести непрерывную кривую («округлить» гистограмму), то она, в первом приближении, и будет предполагаемой плотностью вероятности наблюдаемой случайной величины. По виду этой кривой можно сделать предположение о законе распределения. В данном примере следует остановиться на распределении Гаусса.

Для завершения процесса работы, необходимо оценить параметры распределения. Так, для гауссовского распределения — это математическое ожидание и дисперсия. Их оценки на основе статистического ряда вычисляются следующим образом: пусть число выбранных разрядов (интервалов) r, а середины интервалов лежат в точках ai. Тогда (см. рис. 3).На рисунке 3 приведена и аналитическая запись искомой плотности вероятности (плотности распределения).

Источники:

Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. – М.: Радио и связь, 1982. – 624 с.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Известно распределение 20 однотипных торговых точек по величине ежедневной прибыли (тыс. руб.):

11,3; 10,2; 13,9; 10,7; 11,8; 8,2; 12,4; 9,6; 13,1; 10,6; 6,3; 11,3; 10,2; 15,1; 10,5; 11,0; 15,1; 11,6; 10,4; 11,7.

Составить интервальный ряд распределения.
Построить гистограмму распределения плотности относительных частот.

Запишем исходные данные в виде ранжированного ряда:

6,3; 8,2; 9,6; 10,2; 10,2; 10,4; 10,5; 10,6; 10,7; 11,0; 11,3; 11,3; 11,6; 11,7; 11,8; 12,4; 13,1; 13,9; 15,1; 15,1.

Диапазон изменения вариант в выборке составляет 6–16. Этот диапазон разобьем на несколько интервалов. Ширину (шаг) интервала рассчитаем по формуле:

$[h = frac{{Xmax - Xmin}}{n} = frac{{15.1 - 6.3}}{5} = 1.76 approx 2]$

Следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. В нашем случае принимаем размер интервала равным 2 единицам, то есть h=2. Зависимость между количеством групп (n) и численностью единиц совокупности (N) выражается формулой Стерджесса при условии, что данное распределение подчиняется закону нормального распределения (ЗНР) и применяются равные интервалы:

В практической работе можно использовать данные таблицы:

N	15-24	25-44	45-89	90-179	180-359	360-719	720-1439
n	5	6	7	8	9	10	11

Получаем пять интервалов: первый 6–8, второй 8–10, третий 10–12, четвертый 12–14, пятый 14–16.

Определим частоту попадания вариант выборки в каждый интервал.

В первый интервал попадает одно значение ряда: 6,3, поэтому f₁=1. Во второй интервал попадают два значения: 8,2 и 9,6, поэтому f₂=2. Аналогично находим f₃=12, f₄=3, f₅=2. Определим относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

в 1 интервал

$[{omega _1} = frac{{{f_1}}}{n} = frac{1}{{20}} = 0,05]$

во 2 интервал

$[{omega _2} = frac{{{f_2}}}{n} = frac{2}{{20}} = 0,10]$

в 3 интервал

$[{omega _3} = frac{{{f_3}}}{n} = frac{{12}}{{20}} = 0,60]$

в 4 интервал

$[{omega _4} = frac{{{f_4}}}{n} = frac{3}{{20}} = 0,15]$

в 5 интервал

$[{omega _5} = frac{{{f_5}}}{n} = frac{2}{{20}} = 0,10]$

Сумма относительных частот

$[sumlimits_{i = 1}^5 {{omega _i}} = 1]$

Следовательно, вычисления выполнены верно.

Определим плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты (ω_i) к ширине интервала (h):

для первого интервала

$[{varphi _1} = frac{{{omega _1}}}{h} = frac{{0,05}}{2} = 0,025]$

для второго интервала

$[{varphi _2} = frac{{{omega _2}}}{h} = frac{{0,10}}{2} = 0,050]$

для третьего интервала

$[{varphi _3} = frac{{{omega _3}}}{h} = frac{{0,60}}{2} = 0,300]$

для четвертого интервала

$[{varphi _4} = frac{{{omega _4}}}{h} = frac{{0,15}}{2} = 0,075]$

для пятого интервала

$[{varphi _5} = frac{{{omega _5}}}{h} = frac{{0,10}}{2} = 0,050]$

Результаты выполненных расчетов сводим в таблицу.

Интервальный ряд распределения прибыли предприятий

Интервал значений прибыли (h)	6 — 8	8 – 10	10 — 12	12 — 14	14 — 16
Частоты вариант (f_i)	1	2	12	3	2
Относительные частоты (ω_i)	0,05	0,10	0,60	0,15	0,10
Плотность относительных частот (φ_i)	0,025	0,050	0,300	0,075	0,050

Построим гистограмму, показывающую зависимость плотности относительных частот от значения вариант. По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по вертикальной оси – плотность относительных частот; величину относительной плотности считаем постоянной внутри соответствующего интервала. Получаем столбчатую диаграмму, называемую гистограммой распределения плотности относительных частот.

Источник