Как найти плотность системы

На практике очень
часто приходится рассматривать системы
более чем двух случайных величин. Функция
распределения системы нескольких (более
двух) случайных величин вводится как
обобщение функции распределения системы
двух случайных величин. Так, функцией
распределения системы

случайных величин

называется функция

аргументов
,
равная вероятности совместного выполнения


неравенств
,
то есть:

.

Эта функция является
неубывающей функцией каждой переменной
при фиксированных значениях других
переменных. Если хотя бы одна из переменных
стремится к
,
то функция распределения стремится к
нулю. Если все переменные стремятся к
,
то функция распределения стремится к
единице. Функция распределения каждой
из величин, входящих в систему, получится,
если в функции распределения системы
все остальные аргументы положить равными
,
например,
.

Аналогично
одномерному случаю можно вывести
формулу, связывающую функцию распределения


и плотность вероятности
:

,

или, что то же
самое,

.

Плотность
распределения системы не может быть
отрицательной:

.

Вероятность
попадания случайной точки с координатами

в

– мерную область
выражается
интегралом

.

Используя свойства
функции распределения, получаем

.

Плотность
распределения каждой из величин, входящих
в систему, получится, если плотность
распределения системы проинтегрировать
в бесконечных пределах по всем остальным
аргументам. Например,

.

10. Числовые характеристики произвольного числа случайных величин

Основными числовыми
характеристиками, с помощью которых
может быть охарактеризована система

случайных величин
,
являются следующие:

  1. математические
    ожидания

    случайных величин, входящих в систему

,

которые в совокупности
определяют математическое ожидание
–мерного
случайного вектора;

  1. дисперсии

случайных величин,
входящих в систему;

  1. корреляционные
    моменты

    каждой пары из

    случайных величин

,

характеризующие
попарно корреляцию всех случайных
величин, входящих в систему.

Зная корреляционные
моменты, можно найти коэффициенты
корреляции

,

которые характеризуют
степень связи между каждой парой
случайных величин.

Так как дисперсия
каждой из случайных величин системы

есть не что иное, как частный случай
корреляционного момента, а именно:
корреляционный момент величины

и той же величины

,

то все корреляционные
моменты и дисперсии располагают в виде
прямоугольной таблицы (матрицы)

,

которая называется
корреляционной
матрицей

системы

случайных величин.

Из определения
корреляционного момента следует, что
.
Это означает, что элементы корреляционной
матрицы, расположенные симметрично по
отношению к главной диагонали, равны.
В этой связи часто для простоты в
корреляционной матрице заполняют только
её половину (правый верхний треугольник):

.

Если случайные
величины системы некоррелированы, имеем


при
.
Следовательно, корреляционная матрица
системы некоррелированных случайных
величин имеет вид:

.

Такая матрица,
как вам известно, называется диагональной.
Вместо корреляционной матрицы часто
используют нормированную корреляционную
матрицу. Матрица, элементами которой
являются коэффициенты корреляции,
называется
нормированной корреляционной матрицей
.
Все элементы главной диагонали
нормированной корреляционной матрицы
равны единице. Нормированная корреляционная
матрица имеет вид:

.

ЗАДАЧИ

(рассмотреть
самостоятельно)

Задача 1.
Закон распределения двумерной дискретной
случайной величины

задан таблицей

Y

X

– 4

– 2

0

0

0,1

0,1

0,2

1

0,1

0,2

0,1

4

0

0,1

0,1

Найти:

  • собственные законы
    распределения случайных величин

    и
    ;

  • математические
    ожидания
    ;

  • дисперсии
    ;

  • корреляционный
    момент
    ;

  • коэффициент
    корреляции
    ;

  • закон распределения
    случайной величины

    при условии, что случайная величина

    принимает своё наименьшее значение.

Решение.
Складывая вероятности по строкам,
получим закон распределения случайной
величины

в виде ряда распределения

0

1

4

0,4

0,4

0,2

Складывая
вероятности по столбцам, получим закон
распределения случайной величины

в виде ряда распределения

– 4

– 2

0

0,2

0,4

0,4

Найдём математические
ожидания и дисперсии составляющих:

Найдём корреляционный
момент

и коэффициент корреляции
:

Найдём закон
распределения случайной величины

при условии, что случайная величина

принимает своё наименьшее значение, то
есть при условии, что
.
Искомый закон распределения, как ранее
отмечалось, определяется совокупностью
условных вероятностей
,
где

Следовательно,
искомый закон распределения имеет вид:

0

1

4

0,5

0,5

0

Задача 2.
Вне области

плотность распределения двумерной
случайной величины

равна 0; в области

плотность распределения
.

Найти:

  • коэффициент
    ;

  • вероятность
    ,
    где
    ;

  • одномерные
    плотности распределения
    ;

  • математические
    ожидания
    ;

  • дисперсии
    ;

  • корреляционный
    момент
    ;

  • коэффициент
    корреляции
    .

Решение.
Для нахождения параметра А
воспользуемся
формулой

.

Тогда

Получим:

Найдём теперь вероятность

попадания двумерной случайной величины

в плоскую область G:

Далее, найдём
одномерные плотности распределения:

Итак:

Найдём математические
ожидания и дисперсии составляющих
1:

Далее

Тогда

Так как
,
то нетрудно вычислить

.

1
Предлагаем все дальнейшие вычисления
сделать самостоятельно.

11

Соседние файлы в папке Теор.вер. (лекции)

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Двумерная непрерывная случайная величина

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач

Краткая теория


Двумерной называют случайную величину

, возможные значения
которой есть пары чисел

. Составляющие

 и

, рассматриваемые
одновременно, образуют систему двух случайных величин. Двумерную величину
геометрически можно истолковать как случайную точку

 на плоскости

 либо как случайный вектор

.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие
между возможными значениями и их вероятностями.

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины

 называют функцию

, определяющую для каждой
пары чисел

 вероятность того, что

 примет значение, меньшее

, и при этом

 примет значение, меньшее

.

Свойство 1.

Значения
функции распределения удовлетворяют двойному неравенству:

Свойство 2.

 есть неубывающая функция по каждому аргументу,
то есть:

 если

  если

Свойство 3.

Имеют место предельные соотношения:

1)

2)

3)

4)

Свойство 4.

При

 функция распределения системы становится
функцией распределения составляющей

:

При

 функция распределения системы становится
функцией распределения составляющей

:

Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Плотностью совместного распределения вероятностей

 двумерной непрерывной случайной величины

 называют вторую смешанную частную производную
от функции распределения:

Зная
плотность совместного распределения

 можно найти функцию распределения

 по формуле:

Свойство 1.

Двумерная
плотность вероятности неотрицательна:

Свойство 2.

Двойной
несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности равен единице:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Безусловные и условные законы распределения составляющих

Пусть
известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух
случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих.

Аналогично
находится плотность распределения составляющей

:

Итак,
плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с
бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем
переменная интегрирования соответствует другой составляющей.

Пусть

  — непрерывная двумерная случайная величина.

Условной
вероятностью

 распределения составляющих

 при данном значении

 называют отношение плотности совместного
распределения

 системы

 к плотности распределения

 составляющей

:

Аналогично
определяется условная плотность составляющей

 при данном значении

:

Если
известна плотность совместного распределения

, то условные плотности
составляющих могут быть найдены по формулам:

Эти
формулы можно записать в виде:

Аналогично
определяется условная плотность составляющей

 при данном значении

:

То есть
умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон
распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных
величин.

Смежные темы решебника:

  • Двумерная дискретная случайная величина
  • Линейный выборочный коэффициент корреляции
  • Парная линейная регрессия и метод наименьших квадратов

Примеры решения задач


Пример 1

Найти
плотность совместного распределения f(x,y) системы случайных величин (X,Y) по
известной функции распределения:

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

По определению плотности совместно
распределения:

Искомая плотность совместного распределения:


Пример 2

Найти
функцию распределения системы случайных величин F(x,y) по известной плотности
совместного распределения f(x,y):

Решение

Воспользуемся
формулой:

В нашем
случае:

Ответ:


Пример 3

Двумерная
случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в
треугольнике ABC.  Определить функции плотности распределения
компонент этой случайной величины f(x), f(y), их математические
ожидания M(X), M(Y), дисперсии D(X), D(Y),
коэффициент корреляции rxy. Выяснить, являются ли
случайные величины X и Y независимыми?

A(0;0),B(-1;1),C(1;1)

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

где

 – площадь треугольника

Разделим
область

 на две равные части вдоль оси

, тогда из условия:

или

Тогда
плотность двумерной случайной величины

:

Вычислим
плотность составляющей

:

при

:

Откуда
плотность составляющей

:

Вычислим
плотность составляющей

:

при

Плотность
составляющей

:

Найдем
условную плотность составляющей

:

при 

Следовательно,
случайные величины

 и

 зависимы

Найдем
математическое ожидание случайной величины

:

Найдем
дисперсию случайной величины

:

Найдем
математическое ожидание случайной величины

:

Найдем
дисперсию случайной величины

:

Найдем
математическое ожидание двумерной случайной величины

:

Тогда
ковариация:

Значит
коэффициент корреляции:

Следовательно,
случайные величины

 и

 – зависимые, но некоррелированные


Пример 4

Двумерная
случайная величина (X,Y) имеет плотность
распределения:

Найти
вероятность попадания значения (X,Y) в область x1≤x≤x2,
y1≤y≤y2, вероятность попадания значения X в
интервал x1≤x≤x2, математическое ожидание M[X] и
условное математическое ожидание M[Y⁄X=x].

a=8, b=2, x1=6, x2=9, y1=0, y2=4

Решение

Найдем
вероятность попадания в область

 по формуле:

При
вычислении интеграла учитывается та часть области

, где

, т.е.

Плотность
вероятности для составляющей

 имеет вид:

Если

 или

, то

 и

.   При 

 находим:

Таким
образом, плотность имеет вид:

Тогда:

Условное математическое ожидание

 определяется с
помощью условной плотности распределения

 составляющей

Получаем:

Искомое
математическое ожидание:

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач

Двумерная непрерывная случайная величина

Ранее мы разобрали примеры решений задач для одномерной непрерывной случайной величины. Перейдем к более сложному случаю — двумерной непрерывной случайной величине $(X,Y)$ (или двумерному вектору). Кратко выпишем основы теории.

Понравилось? Добавьте в закладки

Система непрерывных случайных величин: теория

Двумерная непрерывная СВ задается своей функцией распределения $F(x,y)=P(Xlt x, Ylt y)$, свойства которой аналогичны свойствам одномерной ФР. Эта функция должна быть непрерывна, дифференцируема и иметь вторую смешанную производную, которая будет как раз плотностью распределения вероятностей системы непрерывных случайных величин:

$$
f(x,y)= frac{partial ^2}{partial x partial y} F(x,y)
$$

Зная плотность совместного распределения, можно найти одномерные плотности для $X$ и $Y$:

$$
f(x)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dy, quad f(y)= int_{-infty}^{infty} f(x,y) dx.
$$

Вероятность попадания случайного вектора в прямоугольную область можно вычислить как двойной интеграл от плотности (по этой области) или через функцию распределения:

$$P(x_1 le X le x_2, y_1 le Y le y_2) = F(x_2, y_2)-F(x_1, y_2)-F(x_2, y_1)+F(x_1, y_1).$$

Как и для случая дискретных двумерных СВ вводится понятие условного закона распределения, плотности которых можно найти так:

$$
f(x|y)=f_y(x)= frac{f(x,y)}{f(y)}, quad f(y|x)=f_x(y)= frac{f(x,y)}{f(x)} $$

Если для всех значений $(x,y)$ выполняется равенство

$$f(x,y) =f(x)cdot f(y),$$

то случайные величины $X, Y$ называются независимыми (их условные плотности распределения совпадают с безусловными). Для независимых случайных величин выполняется аналогичное равенство для функций распределений:

$$F(x,y) =F(x)cdot F(y).$$

Для случайных величин $X,Y$, входящих в состав случайного вектора, можно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции по формулам:

$$
cov (X,Y)=M(XY)-M(X)M(Y)= int_{-infty}^{infty}int_{-infty}^{infty} (x-M(X))(y-M(Y)) f(x,y) dxdy, \
r_{XY} = frac{cov(X,Y)}{sqrt{D(X)D(Y)}}.
$$

В этом разделе мы приведем примеры задач с полным решением, где используются непрерывные двумерные случайные величины (системы случайных величин).

Примеры решений

Задача 1. Дана плотность распределения вероятностей системы
$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
C, mbox{ в треугольнике} O(0,0), A(4,0), B(4,1)\
0, mbox{ в остальных точках} \
end{array}
right.
$$
Найти:
$C, rho_1(x), rho_2(y), m_x, m_y, D_x, D_y, cov(X,Y), r_{xy}, F(2,10), M[X|Y=1/2]$.

Задача 2. Дана плотность распределения $f(x,y)$ системы $X,Y$ двух непрерывных случайных величин в треугольнике АВС.
1.1. Найдите константу с.
1.2. Найдите $f_X(x), f_Y(y)$ — плотности распределения с.в. Х и с.в. Y.
Выясните, зависимы или нет с.в. Х и Y. Сформулируйте критерий независимости системы непрерывных случайных величин.
1.3. Найдите математическое ожидание и дисперсию с.в. Х и с.в. Y. Поясните смысл найденных характеристик.
1.4. Найдите коэффициент корреляции с.в. Х и Y. Являются ли случайные величины коррелированными? Сформулируйте свойства коэффициента корреляции.
1.5. Запишите уравнение регрессии с.в. Y на Х и постройте линию регрессии в треугольнике АВС.
1.6. Запишите уравнение линейной среднеквадратичной регрессии с.в. Y на Х и постройте эту прямую в треугольнике АВС. $$ f(x,y)=csqrt{xy}, quad A(0;0), B(-1;-1), C(-1;0) $$

Задача 3. Интегральная функция распределения случайного вектора (X,Y):
$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, mbox{ при } x le 0 mbox{ или } yle 0\
(1-e^{-2x})(1-e^{-3y}), mbox{ при } x gt 0 mbox{ и } ygt 0\
end{array}
right.
$$
Найти центр рассеивания случайного вектора.

Задача 4. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (Х, У)
$$f(x,y)=C e^{-x^2-2xy-4y^2}$$
Найти:
а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих;
в) условные плотности распределения составляющих.

Задача 5. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: $f(x,y)=1/2 sin(x+y)$ в квадрате $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, вне квадрата $f(x,y)=0$. Найти функцию распределения системы (X,Y).

Задача 6. Определить плотность вероятности, математические ожидания и корреляционную матрицу системы случайных величин $(X,Y)$, заданных в интервалах $0 le x le pi/2$, $0 le y le pi/2$, если функция распределения системы $F(x,y)=sin x sin y$.

Задача 7. Плотность вероятности системы случайных величин равна
$$f(x,y) = c(R-sqrt{x^2+y^2}), quad x^2+y^2 lt R^2.$$
Определить:
А) постоянную $c$;
Б) вероятность попадания в круг радиуса $alt R$, если центры обоих кругов совпадают с началом координат.

Задача 8. Совместная плотность вероятности системы двух случайных величин X и Y
$$f(x,y)=frac{c}{36+9x^2+4y^2+x^2y^2}.$$
Найти величину $с$; определить законы распределения $F_1(x)$, $F_2(y)$, $f_1(x)$, $f_2(y)$, $f(x/y)$; построить графики $F_1(x)$, $F_2(y)$; вычислить моменты $m_x$, $m_y$, $D_x$, $D_y$, $K_{xy}$.

Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Привет, Вы узнаете про плотность распределения системы двух случайных величин, Разберем основные ее виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
плотность распределения системы двух случайных величин , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ .

Введенная в предыдущем 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин характеристика системы — функция распределения — существует для систем любых случайных величин, как прерывных, так и непрерывных. Основное практическое значение имеют системы непрерывных случайных величин. Распределение системы непрерывных величин обычно характеризуют  не функцией распределения, а плотностью распределения.

Вводя в рассмотрение плотность распределения для одной случайной величины, мы определяли ее как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при ее неограниченном уменьшении. Аналогично определим плотность распределения системы двух величин.

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, которая интерпретируется  случайной точкой на плоскости 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Рассмотрим на этой плоскости малый прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин со сторонами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, примыкающий к точке с координатами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник по формуле (8.2.2) равна

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.1

Разделим вероятность попадания в прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин       (8.3.1)

Предположим, что функция 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин не только непрерывна, но и дифференцируема; тогда правая часть формулы (8.3.1) представляет собой вторую смешанную частную производную функции 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин по 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Обозначим эту производную 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин                                          (8.3.2)

Функция 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин называется плотностью распределения системы.

Таким образом, плотность распределения системы представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю; она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам.

Если воспользоваться «механической» интерпретацией распределения системы как распределения единичной массы по плоскости 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, функция 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин представляет собой плотность распределения массы в точке 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.2

Геометрически функцию 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин можно изобразить некоторой поверхностью (рис. 8.3.2). Эта поверхность аналогична кривой распределении для одной случайной величины и называется поверхностью распределения.

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.3

Если пересечь поверхность распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин плоскостью, параллельной плоскости 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, и спроектировать полученное сечение на плоскость 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, получится кривая, в каждой точке которой плотность распределения постоянна . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Такие кривые называются кривыми равной плотности. Кривые равной плотности, очевидно, представляют собой горизонтали поверхности распределения. Часто бывает удобно задавать распределение семейством кривых равной плотности.

Рассматривая плотность распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности» 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Это есть вероятность попадания случайной величины 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величинна элементарный участок 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, прилегающий к точке 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для системы двух величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания  в элементарный прямоугольник со сторонами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, примыкающий к точке 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.3).

Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и опирающегося на элементарный прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.4).

Пользуясь понятием элемента вероятности, выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Эта вероятность, очевидно, может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин                                                       (8.3.3)

Геометрически вероятность попадания в область 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин изображается объемом цилиндрического тела 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.5).

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.4                                                              Рис. 8.3.5

Из общей формулы (8.3.3) вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, ограниченный абсциссами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и ординатами 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин  (рис. 8.3.5);

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.                                       (8.3.4)

Воспользуемся формулой (8.3.4) для того, чтобы выразить функцию распределения системы 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин через плотность распределение 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Функция распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин есть вероятность попадания в бесконечный квадрант; последний можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами — 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и ординатами — 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин и 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. По формуле (8.3.4) имеем:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.                                 (8.3.5)

Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы:

1. Плотность распределения системы есть функция неотрицательная:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника — и, следовательно, отрицательной быть не может.

2. Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин                                                     (8.3.6)

Это видно из того, что интеграл (8.3.6) есть не что иное, как вероятность попадания во всю плоскость 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, т.е. вероятность достоверного события.

Геометрически это свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, равен единице.

Пример 1. Система двух случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин подчинена закону распределения с плотностью

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Найти функцию распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин. Определить вероятность попадания случайной точки 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величинв квадрат 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.6).

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.6

Решение. Функцию распределения 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величиннаходим по формуле (8.3.5).

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Вероятность попадания в прямоугольник 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин находим по формуле (8.3.4):

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Пример 2. Поверхность распределения системы 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин представляет собой прямой круговой конус, основанием которого служит круг радиуса 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин с центром в начале координат. Написать выражение плотности распределения. Определить вероятность того, что случайная точка 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин попадет в круг 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин радиуса 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин (рис. 8.3.7), причем 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин

Рис. 8.3.7                                                              Рис. 8.3.8

Решение. Выражение плотности распределения внутри круга 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин находим из рис. 8.3.8:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин,

где 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин — высота конуса. Величину 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин определяем так, чтобы объем конуса был равен единице: 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин, откуда

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин,

и

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Вероятность попадания в круг 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин определяем по формуле (8.3.4):

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.           (8.3.7)

Для вычисления интеграла (8.3.7) удобно перейти к полярной системе координат 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин:

8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.

Надеюсь, эта статья про плотность распределения системы двух случайных величин, была вам полезна,счастья и удачи в ваших начинаниях! Надеюсь, что теперь ты понял что такое плотность распределения системы двух случайных величин
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Теория вероятностей. Математическая статистика и Стохастический анализ

В практических применениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой — и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. Аналогично точка разрыва дистанционного снаряда определяется комплексом трех случайных величин. При стрельбе группой из n выстрелов совокупность точек попадания на плоскости может рассматриваться как комплекс или система 2n случайных величин: n абсцисс и n ординат точек попадания. Осколок, образовавшийся при разрыве снаряда, характеризуется рядом случайных величин: весом, размерами, начальной скоростью, направлением полета и т. д. Условимся систему нескольких случайных величин X, Y ,…,W обозначать (X, Y,…, W).

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных величин, её составляющих: помимо этого, они включают также взаимные связи (зависимости) между случайными величинами.

При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Например, систему двух случайных величин (X, Y) можно изображать случайной точкой на плоскости с координатами X и Y (рис. 8.1.1), Аналогично система трёх случайных величин может быть изображена случайной точкой в трёхмерном пространстве. Часто бывает удобно говорить о системе n случайных величин как о «случайной точке в пространстве n измерений». Несмотря на то, что последняя интерпретация не обладает непосредственной наглядностью, пользование ею даёт некоторый выигрыш в смысле общности терминологии и упрощения записей.

Часто вместо образа случайной точки для геометрической интерпретации системы случайных величин пользуются образом случайного вектора. Систему двух случайных величин при этом рассматривают как случайный вектор на плоскости хОу, составляющие которого по осям представляют собой случайные величины X, Y (рис. 8.1.2). Система трёх случайных величин изображается случайным вектором в трёхмерном пространстве, система n случайных величин —

Системы случайных величин

случайным вектором в пространстве п измерений. При этом теория систем случайных величин рассматривается как теория случайных векторов.

В данном курсе мы будем в зависимости от удобства изложения пользоваться как одной, так и другой интерпретацией.

Занимаясь системами случайных величин, мы будем рассматривать как полные, исчерпывающие вероятностные характеристики — законы распределения, так и неполные — числовые характеристики.

Изложение начнем с наиболее простого случая системы двух случайных величин.

Функция распределения системы двух случайных величин

Функцией распределения системы двух случайных величин (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств Х<х и У<у: Системы случайных величин(8.2.1)

Если пользоваться для геометрической интерпретации системы образом случайной точки, то функция распределения F(x, у) есть не что иное, как вероятность попадании случайной точки (X, Y) в бесконечный квадрант с вершиной в точке (х, у), лежащий левее и ниже ее (рис. 8.2.1). В аналогичной интерпретации функция распределения одной случайной величины X — обозначим её Системы случайных величин— представляет собой вероятность попадания случайной точки в полуплоскость, ограниченную справа абсциссой х (рис. 8.2.2); функция распределения одной величины Y Системы случайных величин— вероятность попадания в полуплоскость, ограниченную сверху ординатой у (рис. 8.2.3). Системы случайных величин

В п°5.2 мы привели основные свойства функции распределения F(х) для одной случайной величины. Сформулируем аналогичные свойства для функции распределения системы случайных величин и снова воспользуемся геометрической интерпретацией для наглядной иллюстрации этих свойств.

Функция распределения F(x, у) есть неубывающая функция обоих своих аргументов, т. е.

Системы случайных величин

В этом свойстве функции F (х) можно наглядно убедиться, пользуясь геометрической интерпретацией. функции распределения как вероятности попадания в квадрант с вершиной (х, у) (рис. 8.2.1). Действительно, увеличивая х (смещая правую границу квадранта вправо) или увеличивая у (смещая верхнюю границу вверх), мы, очевидно, не можем уменьшить вероятность попадания в этот квадрант.

Системы случайных величинСистемы случайных величин

Повсюду на Системы случайных величин функция распределения равна нулю: Системы случайных величин

В этом свойстве мы наглядно убеждаемся, неограниченно отодвигая влево правую границу квадранта Системы случайных величин или вниз его верхнюю границу Системы случайных величин или делая это одновременно с обеими границами; при этом вероятность попадания в квадрант стремится к нулю.

3.При одном из аргументов, равном Системы случайных величин функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

Системы случайных величин

где Системы случайных величин,Системы случайных величин — соответственно функции распределения случайных величин X и Y.

В этом свойстве функции распределения можно наглядно убедиться, смещая ту или иную из границ квадранта на Системы случайных величин при этом в пределе квадрант превращается в полуплоскость, вероятность попадания в которую есть функция распределения одной из величин, входящих в систему.

4.Если оба аргумента равны Системы случайных величин функция распределения системы равна единице:

Системы случайных величин

Действительно, при Системы случайных величин квадрант с вершиной (х, у) в пределе обращается во всю плоскость хОу, попадание в которую есть достоверное событие. При рассмотрении законов распределения отдельных случайных величин (глава 5) мы вывели выражение для вероятности попадания случайной величины в пределы заданного участка. Эту вероятность мы выразили как через функцию распределения, так и через плотность распределения.

Аналогичным вопросом для системы двух случайных величин является вопрос о вероятности попадания случайной точки (X.Y) в пределы заданной области D на плоскости хОу (рис. 8.2.4). Системы случайных величин

Условимся событие, состоящее в попадании случайной точки (Х, Y) в область D, обозначать символом Системы случайных величин

Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражается наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

Вероятность попадания случайной точки в заданную область выражается наиболее просто в том случае, когда эта область представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

Выразим через функцию распределения системы вероятность по- попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R, ограничен- ограниченный абсциссами а иСистемы случайных величин и ординатами Системы случайных величин и Системы случайных величин (рис. 8.2.5).

При этом следует условиться, куда мы будем относить границы прямоугольника. Аналогично тому, как мы делали для одной случайной величины, условимся включать в прямоугольник R его нижнюю и левую границы и не включать верхнюю и правую Системы случайных величин Тогда событие Системы случайных величин будет равносильно произведению двух событий: Системы случайных величин и Системы случайных величинВыразим вероятность этого события через

Системы случайных величин

функцию распределения системы. Для этого рассмотрим на плоскости хОу четыре бесконечных квадранта с вершинами в точках Системы случайных величинСистемы случайных величин и Системы случайных величин(Рис- 8.2.6).

Очевидно, вероятность попадания в прямоугольник R равна вероятности попадания в квадрант Системы случайных величин минус вероятность попадания в квадрант Системы случайных величин минус вероятность попадания в квадрант Системы случайных величин плюс вероятность попадания в квадрант Системы случайных величин (так как мы дважды вычли вероятность попадания в этот квадрант). Отсюда получаем формулу, выражающую вероятность попадания в прямоугольник через функцию распределения системы: Системы случайных величин

В дальнейшем, когда будет введено понятие плотности распределения системы, мы выведем формулу для вероятности попадания случайной точки в область произвольной формы.

Системы случайных величинНа рис. 8.2.5 границы, включенные в прямоугольник, даны жирными линиями.

Плотность распределения системы двух случайных величин

Введенная в предыдущем п° характеристика системы — функция распределения — существует для систем любых случайных величин, как прерывных, так я непрерывных. Основное практическое значение имеют системы непрерывных случайных величин. Распределение системы непрерывных величин обычно характеризуют не функцией распределения, а плотностью распределения.

Вводя в рассмотрение плотность распределения для одной случайной величины, мы определяли её как предел отношения вероятности попадания на малый участок к длине этого участка при её неограниченном уменьшении. Аналогично определим плотность распределения системы двух величин.

Системы случайных величин

Пусть имеется система двух непрерывных случайных величин (X, Y), которая интерпретируется случайной точкой на плоскости хОу. Рассмотрим на этой плоскости малый прямоугольник Системы случайных величин со сторонами Системы случайных величин и Системы случайных величин, примыкающий к точке с координатами (х, у) (рис. 8.3.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник по формуле (8.2.2) равна

Системы случайных величин

Разделим вероятность попадания в прямоугольник Системы случайных величин на площадь этого прямоугольника и перейдем к пределу при Системы случайных величин и Системы случайных величин Системы случайных величин

Предположим, что функция F(x, у) не только непрерывна, но и дифференцируема; тогда правая часть формулы (8.3.1) представляет собой вторую смешанную частную производную функции F (х, у) по х и у. Обозначим эту производную f(.г. у):

Системы случайных величин

Функция f (х, у) называется плотностью распределения системы.

Таким образом, плотность распределения системы представляет собой предел отношения вероятности попадания в малый прямоугольник к площади этого прямоугольника, когда оба его размера стремятся к нулю; она может быть выражена как вторая смешанная частная производная функции распределения системы по обоим аргументам.

Если воспользоваться «механической» интерпретацией распределения системы как распределения единичной массы по плоскости хОу, функция f(x, у) представляет собой плотность распределения массы в точке (х, у).

Геометрически функцию f(x, у) можно изобразить некоторой поверхностью (рис. 8.3.2). Эта поверхность аналогична кривой рас- распределения для одной случайной величины и называется поверхностью распределения.

Системы случайных величин

Если пересечь поверхность распределения f(x, у) плоскостью, параллельной плоскости хОу, и спроектировать полученное сечение на плоскость хОу, получится кривая, в каждой точке которой плотность распределения постоянна. Такие кривые называются кривыми равной плотности. Кривые равной плотности, очевидно, представляют собой горизонтали поверхности распределения Часто бывает удобно задавать распределение семейством кривых равной плотности.

Рассматривая плотность распределения f (х) для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности» f(x)dx. Это есть вероятность попадания случайной величины X на элементарный участок dx, прилежащий к точке х. Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для системы двух случайных величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение

f(x, y)dx dy.

Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами dx,dy примыкающий к точке (х, у) (рис. 8.3.3). Эта вероятность равна объему элементарного параллелепипеда, ограниченного сверху поверхностью f(x, у) и опирающегося на элементарный прямоугольник dx dy (рис. 8.3.4).

Системы случайных величин

Пользуясь понятием элемента вероятности, выведем выражение для вероятности попадания случайной точки в произвольную область D. Эта вероятность, очевидно, может быть получена суммированием (интегрированием) элементов вероятности по всей области D:

Системы случайных величин(8.3.3)

Геометрически вероятность попадания в область D изображается объемом цилиндрического тела С, ограниченного сверху поверхностью распределения и опирающегося на область D (рис. 8.3.5).

Системы случайных величин

Из общей формулы (8.3.3) вытекает формула для вероятности попадания в прямоугольник R, ограниченный абсциссами а и Системы случайных величин и ординатами Системы случайных величин и Системы случайных величин (рис. 8.2.5):

Системы случайных величин(8.3.4)

Воспользуемся формулой (8.3.4) для того, чтобы выразить функцию распределения системы F(x, у) через плотность распределения f(x, у). Функция распределения F(x, у) есть вероятность попадания в бесконечный квадрант; последний можно рассматривать как прямоугольник, ограниченный абсциссами Системы случайных величин и х и ординатами Системы случайных величин и у. По формуле (8.3.4) имеем:

Системы случайных величин

Легко убедиться в следующих свойствах плотности распределения системы:

1.Плотность распределения системы есть функция неотрицательная:

Системы случайных величин

Это ясно из того, что плотность распределения есть предел отношения двух неотрицательных величин: вероятности попадания в прямоугольник и площади прямоугольника — и, следовательно, отрицательной быть не может.

2.Двойной интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения системы равен единице:

Системы случайных величин(8.3.6)

Это видно из того, что интеграл (8.3.6) есть не что иное, как вероятность попадания во всю плоскость хОу, т. е. вероятность достоверного события.

Геометрически это свойство означает, что полный объем тела, ограниченного поверхностью распределения и плоскостью хОу, равен единице.

Пример:

Система двух случайных величин (X, У) подчинена закону распределения с плотностью

Системы случайных величин

Найти функцию распределения F (х, у). Определить вероятность попадания случайной точки (X, У) в квадрат R (рис. 8.3.6). Системы случайных величин

Решение:

Функцию распределения F (х, у) находим по формуле (8.3.5). Системы случайных величин

Вероятность попадания в прямоугольник R находим по формуле (8.3.4): Системы случайных величин

Пример:

Поверхность распределения системы (X, У) представляет собой прямой круговой конус, основанием которого служит круг радиуса R

Системы случайных величин

с центром в начале координат. Написать выражение плотности распределения. Определить вероятность того, что случайная точка (х, у) попадет в круг К радиуса а (рис. 8.3.7), причем а < R.

Решение:

Выражение плотности распределения внутри круга К находим из рис. 8.3.8:

Системы случайных величин

где h — высота конуса. Величину h определяем так, чтобы объем конуса был равен единице:

Системы случайных величин

откуда

Системы случайных величин

Вероятность попадания в круг К определяем по формуле (8.3.4): Системы случайных величин(8.3.7)

Для вычисления интеграла (8.3.7) удобно перейти к полярной системе координат Системы случайных величин

Системы случайных величин

Законы распределения отдельных величии, входящих в систему. Условные законы распределения

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. В п° 8.2 мы уже вывели выражения для функций распределения отдельных величин, входящих в систему, через функцию распределения системы, а именно, мы показали, что Системы случайных величин(8.4.1)

Выразим теперь плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, через плотность распределения системы. Пользуясь формулой (8.3.5), выражающей функцию распределения через плотность распределения, напишем:

Системы случайных величин

откуда, дифференцируя по х, получим выражение для плотности распределения величины X:

Системы случайных величин(8.4.2)

Аналогично

Системы случайных величин(8.4.3)

Таким образом, для того чтобы получить плотность распределения одной из величин, входящих в систему, нужно плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по аргументу, соответствующему другой случайной величине.

Формулы (8.4.1), (8.4.2) и (8.4.3) дают возможность, зная закон распределения системы (заданный в виде функции распределения или плотности распределения), найти законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Естественно, возникает вопрос об обратной задаче: нельзя ли по законам распределения отдельных величин, входящих в систему, восстановить закон распределения системы? Оказывается, что в общем случае этого сделать нельзя: зная только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, не всегда можно найти закон распределения системы. Дли того чтобы исчерпывающим образом охарактеризовать систему, недостаточно знать распределение каждой из величин, входящих в систему; нужно еще знать зависимость между величинами, входящими в систему. Эта зависимость может быть охарактеризована с помощью так на- называемых условных законов распределения.

Условным законом распределения величины X, входящей в систему (X, Y), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Y приняла определенное значение у.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения, так и плотностью. Условная функция распределения обозначается Системы случайных величин, условная плотность распределения Системы случайных величин Так как системы непрерывных величин имеют основное практическое значение, мы в данном курсе ограничимся рассмотрением условных законов, заданных плотностью распределения.

Чтобы нагляднее пояснить понятие условного закона распределения, рассмотрим пример. Система случайных величин L и Q представляет собой длину и вес осколка снаряда. Пусть нас интересует длина осколка L безотносительно к его весу; это есть случайная величина, подчиненная закону распределения с плотностью Системы случайных величин. Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все без исключения осколки и оценивая их только по длине; Системы случайных величин есть безусловный закон распределения длины осколка. Однако нас может интересовать и закон распределения длины осколка вполне определенного веса, например 10 г. Для того чтобы его определить, мы будем исследовать не все осколки, а только определенную весовую группу, в которой вес приблизительно равен 10 г, и получим условный закон распределения длины осколка при весе 10 г с плотностьюСистемы случайных величин при q=10. Этот условный закон распределения вообще отличается от безусловного Системы случайных величин; очевидно, более тяжелые осколки должны в среднем обладать и большей длиной; следовательно, условный закон распределения длины осколка существенно зависит от веса q.

Зная закон распределения одной из величин, входящих в систему, и условный закон распределения второй, можно составить закон распределения системы. Выведем формулу, выражающую это соотношение, для непрерывных случайных величин. Для этого воспользуемся понятием об элементе вероятности. Рассмотрим прилежащий к точке (х, у) элементарный прямоугольник Системы случайных величин со сторонами dx, dy (рис. 8.4.1). Вероятность попадания в этот прямоугольник— элемент вероятности f(x, у) dx dy — равна вероятности одновременного попадания случайной точки (X, Y) в элементарную полосу /, опирающуюся на отрезок dx, и в полосу //, опирающуюся на отрезок dy:

Системы случайных величин

Системы случайных величин

Вероятность произведения этих двух событий, по теореме умножения вероятностей, равна вероятности попадания в элементарную полосу /, умноженной на условную вероятность попадания в элементарную полосу //, вычисленную при условии, что первое событие имело место. Это условие в пределе равносильно условию Х = х; следовательно,

Системы случайных величин

откуда

Системы случайных величин(8.4.4)

т. е. плотность распределения системы двух величин равна плотности распределения одной из величин, входящих в систему, умноженной на условную плотность распределения другой величины, вычисленную при условии, что первая величина приняла заданное значение.

Формулу (8.4.4) часто называют теоремой умножения законов распределения. Эта теорема в схеме случайных величин аналогична теореме умножения вероятностей в схеме событий.

Очевидно, формуле (8.4.4) можно придать другой вид, если за- задать значение не величины X, а величины Y:

Системы случайных величин(8.4.5)

Разрешая формулы (8.4.4) и (8.4.5) относительно f(yx) и f(xy), получим выражения условных законов распределения через безусловные:

Системы случайных величин(8.4.6)

или, применяя формулы (8.4.2) и (8.4.3),

Системы случайных величин(8.4.7)

Зависимые и независимые случайные величины

При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Эта зависимость может быть более или менее ярко выраженной, более или менее тесной. В некоторых случаях зависимость между случайными величинами может быть настолько тесной, что, зная значение одной случайной величины, можно в точности указать значение другой. В другом крайнем случае зависимость между случайными величинами является настолько слабой и отдаленной, что их можно практически считать независимыми.

Понятие о независимых случайных величинах — одно из важных понятий теории вероятностей.

Случайная величина Y называется независимой от случайной величины X, если закон распределения величины Y не зависит от того, какое значение приняла величина X.

Для непрерывных случайных величин условие независимости К от X может быть записано в виде:

Системы случайных величин

при любом у. Напротив, в случае, если Y зависит от Х, то

Системы случайных величин

Докажем, что зависимость или независимость случайных величин всегда взаимны: если величина Y не зависит от X, то и величина X не зависит от Y.

Действительно, пусть Y не зависит от X:

Системы случайных величин(8.5.1)

Из формул (8.4.4) и (8.4.5) имеем:

Системы случайных величин

откуда, принимая во внимание (8.5.1), получим:

Системы случайных величин

что и требовалось доказать.

Так как зависимость и независимость случайных величин всегда взаимны, можно дать новое определение независимых случайных величин.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид: Системы случайных величин(8.5.2)

т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Условие (8.5.2) может рассматриваться как необходимое и достаточное условие независимости случайных величин.

Часто по самому виду функции f(x, у) можно заключить, что случайные величины X, Y являются независимыми, а именно, если плотность распределения f(x, у) распадается на произведение двух функций, из которых одна зависит только от х, другая — только от у, то случайные величины независимы.

Пример. Плотность распределения системы (X, Y) имеет вид: Системы случайных величин

Определить: зависимы или независимы случайные величины X и Y. Решение. Разлагая знаменатель на множители, имеем: Системы случайных величин

Из того, что функция f(х, у) распалась на произведение двух функций из которых одна зависит только от х, а другая — только от у, заключаем, что величины X и К должны быть независимы. Действительно, применяя формулы (8.4.2) и (8.4.3), имеем: Системы случайных величин

аналогично

Системы случайных величин

откуда убеждаемся, что

Системы случайных величин

и, следовательно, величины X и Y независимы.

Вышеизложенный критерий суждения о зависимости или независимости случайных величин исходит из предположения, что закон распределения системы нам известен. На практике чаще бывает наоборот: закон распределения системы (Х, У) не известен; известны только законы распределения отдельных величин, входящих в систему, и имеются основания считать, что величины Х и У независимы. Тогда можно написать плотность распределения системы как произведение плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Остановимся несколько подробнее на важных понятиях о «зависимости» и «независимости» случайных величин.

Понятие «зависимости» случайных величин, которым мы пользуемся в теории вероятностей, несколько отличается от обычного понятия «зависимости» величин, которым мы оперируем в математике. Действительно, обычно под «зависимостью» величин подразумевают только один тип зависимости — полную, жесткую, так называемую функциональную зависимость. Две величины X и Y называются функционально зависимыми, если, зная значение одной из них, можно точно указать значение другой.

В теории вероятностей мы встречаемся с другим, более общим, типом зависимости — с вероятностной или «стохастической» зависимостью. Если величина Y связана с величиной X вероятностной зависимостью, то, зная значение X, нельзя указать точно значение Y, а можно указать только ее закон распределения, зависящий от того, какое значение приняла величина X.

Вероятностная зависимость может быть более или менее тесной; по мере увеличения тесноты вероятностной зависимости она все более приближается к функциональной. Таким образом, функциональную зависимость можно рассматривать как крайний, предельный случай наиболее тесной вероятностной зависимости. Другой крайний случай — полная независимость случайных величин. Между этими двумя крайними случаями лежат все градации вероятностной зависимости — от самой сильной до самой слабой. Те физические величины, которые на практике мы считаем функционально зависимыми, в действительности связаны весьма тесной вероятностной зависимостью: при заданном значении одной из этих величин другая колеблется в столь узких пределах, что ее практически можно считать вполне определенной. С другой стороны, те величины, которые мы на практике считаем независимыми, в действительности часто находятся в некоторой взаимной зависимости, но эта зависимость настолько слаба, что ею для практических целей можно пренебречь.

Вероятностная зависимость между случайными величинами очень часто встречается на практике. Если случайные величины X и Y находятся в вероятностной зависимости, это не означает, что с изменением величины X величина Y изменяется вполне определенным образом; это лишь означает, что с изменением величины X величина Y имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании X). Эта тенденция соблюдается лишь «в среднем», в общих чертах, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступления.

Рассмотрим, например, две такие случайные величины: X — рост наугад взятого человека, Y — его вес. Очевидно, величины X и У находятся в определенной вероятностной зависимости; она выражается в том, что в общем люди с большим ростом имеют больший вес. Можно даже составить эмпирическую формулу, приближенно заменяющую эту вероятностную зависимость функциональной. Такова, например, общеизвестная формула, приближенно выражающая зависимость между ростом и весом:

Y (кг) = Х (см)—100.

Формулы подобного типа, очевидно, не являются точными и выражают лишь некоторую среднюю, массовую закономерность, тенденцию, от которой в каждом отдельном случае возможны отступления.

В вышеприведенном примере мы имели дело со случаем явно выраженной зависимости. Рассмотрим теперь такие две случайные величины: X — рост наугад взятого человека; Z — его возраст. Очевидно, для взрослого человека величины X и Z можно считать практически независимыми; напротив, для ребенка величины X и Z являются зависимыми.

Приведем еще несколько примеров случайных величин, находящихся в различных степенях зависимости.

1.Из камней, составляющих кучу щебня, выбирается наугад один камень. Случайная величина Q — вес камня; случайная величина L — наибольшая длина камня. Величины Q и L находятся в явно выраженной вероятностной зависимости.

2. Производится стрельба ракетой в заданный район океана. Величина Системы случайных величин — продольная ошибка точки попадания (недолет, перелет); случайная величина Системы случайных величин— ошибка в скорости ракеты в конце активного участка движения. Величины Системы случайных величин и Системы случайных величин явно зависимы, так как ошибка Системы случайных величин является одной из главных причин, порождающих продольную ошибку Системы случайных величин.

3.Летательный аппарат, находясь в полете, измеряет высоту над поверхностью Земли с помощью барометрического прибора. Рассматриваются две случайные величины: Системы случайных величин— ошибка измерения высоты и G — вес топлива, сохранившегося в топливных баках к моменту измерения. Величины Системы случайных величин и G практически можно считать независимыми.

В следующем п° мы познакомимся с некоторыми числовыми характеристиками системы случайных величин, которые дадут нам возможность оценивать степень зависимости этих величин.

Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции

В главе 5 мы ввели в рассмотрение числовые характеристики одной случайной величины X— начальные и центральные моменты различных порядков. Из этих характеристик важнейшими являются две: математическое ожидание Системы случайных величин и дисперсия Системы случайных величин.

Аналогичные числовые характеристики — начальные и центральные моменты различных порядков — можно ввести и для системы двух случайных величин.

Начальным моментом порядка k, s системы (Х, Y) называется математическое ожидание произведения Системы случайных величин на Системы случайных величин Системы случайных величин(8.6.1)

Центральным моментом порядка k, s системы (X, Y) называется математическое ожидание произведения k-й и s-й степени соответствующих центрированных величин: Системы случайных величин(8.6.2)

где Системы случайных величин

Выпишем формулы, служащие для непосредственного подсчета моментов. Для прерывных случайных величин

Системы случайных величин

где Системы случайных величин — вероятность того, что система (X, Y) примет значения Системы случайных величин а суммирование распространяется по всем возможным значениям случайных величин X, Y.

Для непрерывных случайных величин:

Системы случайных величин

где f(x, у) — плотность распределения системы. Помимо чисел k и s, характеризующих порядок момента по от- отношению к отдельным величинам, рассматривается ещё суммарный порядок момента k—s, равный сумме показателей степеней при Х и У. Соответственно суммарному порядку моменты классифицируются на первые, вторые и т. д. На практике обычно применяются только первые и вторые моменты.

Первые начальные моменты представляют собой уже известные нам математические ожидания величин X и У, входящих в систему:

Системы случайных величин

Совокупность математических ожиданий Системы случайных величин, Системы случайных величин представляет собой характеристику положения системы. Геометрически это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание точки (X, У).

Кроме первых начальных моментов, на практике широко при- применяются ещё вторые центральные моменты системы. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии величин X и У:

Системы случайных величин

характеризующие рассеивание случайной точки в направлении осей Ох и Оу. Особую роль как характеристика системы играет второй смешанный центральный момент:

Системы случайных величин

т. е. математическое ожидание произведения центрированных величин. Ввиду того, что этот момент играет важную роль в теории систем случайных величин, введем для него особое обозначение: Системы случайных величин(8.6.7)

Характеристика Системы случайных величин называется корреляционным моментом (иначе — «моментом связи») случайных величин X, У.

Для прерывных случайных величин корреляционный момент выражается формулой

Системы случайных величин(8.6.8)

а для непрерывных — формулой

Системы случайных величин(8.6.9)

Выясним смысл и назначение этой характеристики. Корреляционный момент есть характеристика системы случайных величин, описывающая, помимо рассеивания величин X и Y, ещё и связь между ними. Для того чтобы убедиться в этом, докажем, что для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю.

Доказательство проведем для непрерывных случайных величин Системы случайных величин. Пусть Х, У — независимые непрерывные величины с плотностью распределения f(x, у). В п° 8.5 мы доказали, что для независимых величин

Системы случайных величин(8.6.10)

гдеСистемы случайных величин — плотности распределения соответственно величин X и Y. Подставляя выражение (8.6.10) в формулу (8.6.9), видим, что интеграл (8.6.9) превращается в произведение двух интегралов: Системы случайных величин

Интеграл

Системы случайных величин

представляет собой не что иное, как первый центральный момент величины X, и, следовательно, равен нулю; по той же причине равен пулю и второй сомножитель; следовательно, для независимых случайных величин Системы случайных величин = 0.

Таким образом, если корреляционный момент двух случайных величин отличен от нуля, это есть признак наличия зависимости между ними.

Из формулы (8.6.7) видно, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Действительно, если, например, одна из величин (X, Y) весьма мало отклоняется от своего математического ожидания (почти не случайна),

Системы случайных величин Для прерывных оно может быть выполнено аналогичным способом.

то корреляционный момент будет мал, какой бы тесной зависимостью ни были связаны величины (X,Y ). Поэтому для характеристики связи между величинами (X, Y) в чистом виде переходят от момента Системы случайных величин к безразмерной характеристике Системы случайных величин(8.6.11)

где Системы случайных величин—средние квадратические отклонения величин X, Y. Эта характеристика называется коэффициентом корреляции величин X и Y. Очевидно, коэффициент корреляции обращается в нуль одновременно с корреляционным моментом; следовательно, для независимых случайных величин коэффициент корреляции равен нулю.

Случайные величины, для которых корреляционный момент (а значит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными (иногда — «несвязанными»).

Выясним, эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Выше мы доказали, что две независимые случайные величины всегда являются некоррелированными. Остаётся выяснить: справедливо ли обратное положение, вытекает ли из некоррелированности величин их независимость? Оказывается — нет. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми. Равенство нулю коэффициента корреляции — необходимое, но не достаточное условие независимости случайных величин. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелированность; напротив, из некоррелированности величин ещё не следует их независимость. Условие независимости случайных величин — более жёсткое, чем условие некоррелированности.

Убедимся с этом на примере. Рассмотрим систему случайных величин (X, Y), распределённую с равномерной плотностью внутри круга С радиуса г с центром в начале координат (рис. 8.6.1). Системы случайных величин

Плотность распределения величин (X, Y) выражается формулой Системы случайных величин

Из условия Системы случайных величин находим Системы случайных величин

Нетрудно убедиться, что в данном примере величины являются зависимыми. Действительно, непосредственно ясно, что если величина X приняла, например, значение 0, то величина Y может с равной вероятностью принимать все значения от — r до +r; если же величина X приняла значение r, то величина Y может при- принять только одно-единственное значение, в точности равное нулю; вообще, диапазон возможных значений Y зависит от того, какое значение приняла X.

Посмотрим, являются ли эти величины коррелированными. Вычислим корреляционный момент. Имея в виду, что по cображениям симметрииСистемы случайных величинполучим,

Системы случайных величин

Для вычисления интеграла разобьём область интегрирования (круг С) на четыре сектора Системы случайных величин соответствующие четырём координатным углам. В секторах Системы случайных величини Системы случайных величинподынтегральная функция положительна, в секторах Системы случайных величини Системы случайных величин— отрицательна; по абсолютной же величине интегралы по этим секторам равны; следовательно, интеграл (8.6.12) равен нулю, и величины (Х,Y)

Таким образом, мы видим, что из некоррелированности случайных величин не всегда следует их независимость.

Коэффициент корреляции характеризует не всякую зависимость, а только так называемую линейную зависимость. Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. Эта тенденция к линейной зависимости может быть более или менее ярко выраженной, более или менее приближаться к функциональной, т. е. самой тесной линейной зависимости. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Если случайные величины X и У связаны точной линейной функциональной зависимостью:

Системы случайных величин

то Системы случайных величин причём знак «плюс» или «минус» берётся в зависимости от того, положителен или отрицателен коэффициент а. В общем случае, когда величины X и К связаны произвольной вероятностной зависимостью, коэффициент корреляции может иметь значение в пределах:

Системы случайных величин

Системы случайных величинДоказательство этих положений будет дано ниже, в п° 10.3, после того как мы познакомимся с некоторыми теоремами теории вероятностей, которые позволят провести его очень просто.

В случае Системы случайных величинговорят о положительной корреляции вели- величин Х и Y, в случае Системы случайных величин— об отрицательной корреляции. Положительная корреляция между случайными величинами означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать; отрицательная корреляция означает, что при возрастании одной из случайных величин- другая имеет тенденцию в среднем убывать.

В рассмотренном примере двух случайных величин (X, У), распределённых внутри круга с равномерной плотностью, несмотря на наличие зависимости между X и К, линейная зависимость отсутствует; при возрастании X меняется только диапазон изменения Y, Системы случайных величин

а его среднее значение не меняется; естественно, величины (X, Y) оказываются некоррелированными.

Приведем несколько примеров случайных величин с положительной и отрицательной корреляцией.

  1. Вес и рост человека связаны положительной корреляцией.
  2. Время,. потраченное на регулировку прибора при подготовке его к работе, и время его безотказной работы связаны положительной корреляцией (если, разумеется, время потрачено разумно). Наоборот, время, потраченное на подготовку, и количество неисправностей, обнаруженное при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией.
  3. При стрельбе залпом координаты точек попадания отдельных снарядов- связаны положительной корреляцией (так как имеются общие для всех выстрелов ошибки прицеливания, одинаково отклоняющие от цели каждый из них).
  4. Производится два выстрела по цели; точка попадания первого выстрела регистрируется, и в прицел вводится поправка, пропорциональная ошибке первого выстрела с обратным знаком. Координаты точек попадания первого и второго выстрелов будут связаны отрицательной корреляцией.

Если в нашем распоряжении имеются результаты ряда опытов над системой двух случайных величин (X, У), то о наличии или отсутствии существенной корреляции между ними легко судить в первом приближении по графику, на котором изображены в виде точек все полученные из опыта пары значений случайных величин. Например, если наблюдённые пары значений величин расположились так, как показано на рис. 8.6.2, то это указывает на ‘наличие явно выраженной положительной корреляции между величинами. Ещё более ярко выраженную положительную корреляцию, близкую к линейной функциональной зависимости, наблюдаем на рис. 8.6.3. На рис. 8.6.4 показан случай сравнительно слабой отрицательной корреляции.

Системы случайных величин

Наконец, на рис. 8.6.5 иллюстрируется случай практически некоррелированных случайных величин. На практике, перед тем как исследовать корреляцию случайных величин, всегда полезно предварительно построить наблюдённые пары значений на графике для первого качественного суждения о типе корреляции.

Системы случайных величин

Способы определения характеристик системы случайных величин из опыта будут освещены в гл. 14.

Система произвольного числа случайных величин

На практике часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Эти системы интерпретируются как случайные точки или случайные векторы в пространстве того или иного числа измерений.

Приведем примеры.

  1. Точка разрыва дистанционного снаряда в пространстве характеризуется тремя декартовыми координатами (X, У, Z) или тремя сферическими координатами Системы случайных величин
  2. Совокупность п последовательных измерений изменяющейся величины X — система п случайных величин Системы случайных величин
  3. Производится стрельба очередью из п снарядов. Совокупность координат п точек попадания на плоскости — система 2n случайных величин (абсцисс и ординат точек попадания):Системы случайных величин
  4. Начальная скорость осколка — случайный вектор, характеризуемый тремя случайными величинами: величиной скорости Системы случайных величин и двумя углами Ф и Системы случайных величин, определяющими направление полёта осколка в сферической системе координат.

Полной характеристикой системы произвольного числа случайных величин служит закон распределения системы, который может быть задан функцией распределения или плотностью распределения.

Функцией распределения системы п случайных величин Системы случайных величин называется вероятность совместного выполнения п неравенств вида Системы случайных величин

Системы случайных величин

Плотностью распределения системы п непрерывных случайных величин называется n-я смешанная частная производная функции Системы случайных величин, взятая один раз по каждому аргументу:

Зная закон распределения системы, можно определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Функция распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если в функции распределения системы положить все остальные аргументы равными Системы случайных величин

Системы случайных величин

Если выделить из системы величин Системы случайных величин частную систему Системы случайных величин то функция распределения этой системы определяется по формуле

Системы случайных величин

Плотность распределения каждой из величин, входящих в систему, получится, если плотность распределения системы проинтегрировать в бесконечных пределах по всем остальным аргументам:

Системы случайных величин

Плотность распределения частной системы Системы случайных величин выделенной из системы Системы случайных величин, равна:

Системы случайных величин

Условным законом распределения частной системы Системы случайных величин называется её закон распределения, вычисленный при условии, что остальные величины Системы случайных величин приняли значения Системы случайных величин

Условная плотность распределения может быть вычислена по формуле

Системы случайных величин

Случайные величины Системы случайных величин называются независимыми, если закон распределения каждой частной системы, выделенной из системы Системы случайных величин, не зависит от того, какие значения при- приняли остальные случайные величины.

Плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему:

Системы случайных величин

Вероятность попадания случайной точки Системы случайных величин в пределы n-мерной области D выражается n-кратным интегралом:

Системы случайных величин

Формула (8.7.9) по существу является основной формулой для вычисления вероятностей событий, не сводящихся к схеме случаев. Действительно, если интересующее нас событие А не сводится к схеме случаев, то его вероятность не может быть вычислена непосредственно. Если при этом нет возможности поставить достаточное число однородных опытов и приближённо определить вероятность события А по его частоте, то типичная схема вычисления вероятности события сводится к следующему. Переходят от схемы событий к схеме случайных величин (чаще всего — непрерывных) и сводят событие А к событию, состоящему в том, что система случайных величин Системы случайных величин окажется в пределах некоторой области D. Тогда вероятность события А может быть вычислена по формуле (8.7.9).

Пример:

Самолёт поражается дистанционным снарядом при условии, если разрыв снаряда произошёл не далее чем на расстоянии R от самолёта (точнее, от условной точки на оси самолёта, принимаемой за его центр). Закон распределения точек разрыва дистанционного снаряда в системе координат, связанной с целью, имеет плотность f (х, у, r). Определить вероятность поражения самолёта.

Решение:

Обозначая поражение самолёта буквой А, имеем: Системы случайных величин

где интегрирование распространяется по шару С радиуса R с центром в начале координат.

Пример:

Метеорит, встретившийся на пути искусственного спутника Земли, пробивает его оболочку, если: 1) угол в, под которым метеорит встречается с поверхностью спутника, заключён в определённых пределахСистемы случайных величин 2) метеорит имеет вес не менее Системы случайных величин(r) и 3) относительная скорость встречи метеорита со спутником не меньше Системы случайных величин (м/сек). Скорость встречи v, вес метеорита q и угол встречи Системы случайных величин представляют собой систему случайных величин с плотностью распределения Системы случайных величин. Найти вероятность р того, что отдельный метеорит, попавший в спутник, пробьёт его оболочку.

Решение:

Интегрируя плотность распределения Системы случайных величин по трёхмерной области, соответствующей пробиванию оболочки, Системы случайных величин

где Системы случайных величин — максимальный вес метеорита, Системы случайных величин — максимальная скорость встречи.

Числовые характеристики системы нескольких случайных величин

Закон распределения системы (заданный функцией распределения или плотностью распределения) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких случайных величин. Однако очень часто такая исчерпывающая характеристика не может быть применена. Иногда ограниченность экспериментального материала не даёт возможности построить закон распределения системы. В других случаях исследование вопроса с помощью сравнительно громоздкого аппарата законов распределения не оправдывает себя в связи с невысокими требованиями к точности результата. Наконец, в ряде задач примерный тип закона распределения (нормальный закон) известен заранее и требуется только найти его характеристики.

Во всех таких случаях вместо законов распределения применяют неполное, приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик.

Минимальное число характеристик, с помощью которых может быть охарактеризована система n случайных величин Системы случайных величин, сводится к следующему:

1) п математических ожиданий Системы случайных величин характеризующих средние значения величин; 2) п дисперсий Системы случайных величин характеризующих их рассеивание; 3) п(п — 1) корреляционных моментов

Системы случайных величин

где

Системы случайных величин

характеризующих попарную корреляцию всех величин, входящих в систему.

Заметим, что дисперсия каждой из случайных величин Системы случайных величин есть, по существу, не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно корреляционный момент величины Системы случайных величин и той же величины Системы случайных величин

Системы случайных величин

Все корреляционные моменты и дисперсии удобно расположить в виде прямоугольной таблицы (так называемой матрицы): Системы случайных величин

Эта таблица называется корреляционной матрицей системы случайных величин Системы случайных величин

Очевидно, что не все члены .корреляционной матрицы различны. Из определения корреляционного момента ясно, что Системы случайных величин т. е. элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны. В связи с этим часто заполняется не вся корреляционная матрица, а лишь её половина, считая от главной диагонали:

Системы случайных величин

Корреляционную матрицу, составленную из элементов Системы случайных величин часто сокращённо обозначают символом Системы случайных величин.

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин Системы случайных величин.

В случае, когда случайные величины Системы случайных величин не коррелированы, все элементы корреляционной матрицы кроме диагональных, равны нулю: Системы случайных величин

Такая матрица называется диагональной.

В целях наглядности суждения именно о коррелированности случайных величин безотносительно к их рассеиванию часто вместо корреляционной матрицы Системы случайных величин пользуются нормированной корреляционной матрицейСистемы случайных величин, составленной не из корреляционных моментов, а из коэффициентов корреляции: Системы случайных величин

где

Системы случайных величин

Все диагональные элементы этой матрицы, естественно, равны единице. Нормированная корреляционная матрица имеет вид:

Системы случайных величин

Введём понятие о некоррелированных системах случайных величин (иначе — о некоррелированных случайных векторах). Рассмотрим две системы случайных величин:

Системы случайных величин

или два случайных вектора в n-мерном пространстве: Системы случайных величин с составляю- составляющимиСистемы случайных величин и Системы случайных величин с составляющими Системы случайных величин Случайные векторы Системы случайных величин и Системы случайных величин называются некоррелированными, если каждая из составляющих вектора Системы случайных величин не коррелирована с каждой из составляющих вектора Системы случайных величин: Системы случайных величин

Решение заданий и задач по предметам:

  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

  1. Случайные события и их вероятности
  2. Случайные величины
  3. Функции случайных величин
  4. Числовые характеристики случайных величин
  5. Законы больших чисел
  6. Статистические оценки
  7. Статистическая проверка гипотез
  8. Статистическое исследование зависимостей
  9. Теории игр
  10. Вероятность события
  11. Теорема умножения вероятностей
  12. Формула полной вероятности
  13. Теорема о повторении опытов
  14. Нормальный закон распределения
  15. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
  16. Нормальный закон распределения для системы случайных величин
  17. Вероятностное пространство
  18. Классическое определение вероятности
  19. Геометрическая вероятность
  20. Условная вероятность
  21. Схема Бернулли
  22. Многомерные случайные величины
  23. Предельные теоремы теории вероятностей
  24. Оценки неизвестных параметров
  25. Генеральная совокупность

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти источники фото в интернете
  • Blzbntagt00000af0 как исправить
  • Как найти маме колготки
  • Как найти пилорамы в твери
  • Как найти фокус собирающей линзы построением