Как найти плотность тока в проволоке

Условие задачи:

Определить плотность тока, текущего по медной проволоке длиной 10 м, на которую подано напряжение 17 мВ.

Задача №7.1.7 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(L=10) м, (U=17) мВ, (j-?)

Решение задачи:

Плотность тока (j) по определению равна отношению силы тока (I) на площадь поперечного сечения проводника (S), то есть:

[j = frac{I}{S};;;;(1)]

Согласно закону Ома для участка цепи сила тока (I) прямо пропорциональна напряжению на участке (U) и обратно пропорциональна сопротивлению этого участка (R), поэтому:

[I = frac{U}{R};;;;(2)]

Сопротивление медной проволоки (R) легко определить по такой известной формуле (здесь (rho) – удельное электрическое сопротивление меди, равное 17 нОм·м):

[R = rho frac{L}{S};;;;(3)]

Сначала подставим (3) в (2), тогда:

[I = frac{{US}}{{rho L}}]

Полученное выражение подставим в (1):

[j = frac{{US}}{{rho LS}}]

[j = frac{U}{{rho L}}]

Задача решена в общем виде, теперь необходимо лишь подставить данные задачи в полученную формулу и посчитать ответ:

[j = frac{{17 cdot {{10}^{ – 3}}}}{{17 cdot {{10}^{ – 9}} cdot 10}} = {10^5};А/м^2 = 100;кА/м^2]

Ответ: 100 кА/м².

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

7.1.6 Проволока имеет сопротивление 36 Ом. Когда ее разрезали на несколько равных частей
7.1.8 Определить плотность тока, если за 0,4 с через проводник сечением 1,2 мм2 прошло
7.1.9 Найти плотность тока в стальном проводнике длиной 10 м, на который подано напряжение

Рассмотрим
однородный проводник, к концам которого
приложено напряжение U.
За время dt
через сечение проводника переносится
заряд dq
=Idt
. Так как ток представляет собой
перемещение заряда dq
под действием электрического поля, то,
по работа тока равна

dA=Udq
=IU
dt
(13.28)

Если сопротивление
проводника R,
то, используя закон Ома, получим

(13.29)

Мощность тока

(13.30)

Если ток проходит
по неподвижному металлическому
проводнику, то вся работа тока идёт на
его нагревание, и, по закону сохранения
энергии,

(13.31)

Таким образом,
используя выражение (13.28) и (13.31) , получим

(13.32)

Выражение
представляет собой закон
Джоуля-Ленца,
экспериментально установленный
независимо друг от друга Джоулем и
Ленцом.

§ 13.7 Законы Ома и Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Подставив
выражение для сопротивления в закон
Ома, получим

(13.33)

где величина ,
обратная удельному сопротивлению,
называется удельной
электрической проводимостью
вещества проводника. Её единица – сименс
на метр (См/м).

Учитывая, что

— напряжённость электрического поля в
проводнике, —
плотность тока, формулу можно записать
в виде

j
= γE
(13.34)

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальноё форме

Выделим в
проводнике элементарный цилиндрический
объём dV=dSdℓ
(ось цилиндра совпадает с направлением
тока(рис.13.9)), сопротивление которого
. По закону Джоуля-Ленца, за время в этом
объёме выделится теплота

(13.35)

Количество
теплоты, выделившееся за единицу времени
в единице объёма, называется удельной
тепловой мощностью тока.
Она равна

ω=
ρ∙j²
(13.36)

Используя
дифференциальную форму закона Ома (j
= γE)
и соотношение ,
получим ω= j∙E=γ∙E²

(13.37)

Примеры решения задач

Пример . Сила
тока в проводнике равномерно растёт от
I₀=0
до I_max=3А
за время τ=6с. Определите заряд Q,
прошедший по проводнику.

Дано: I₀=0;
I_max=3А;
τ=6с.

Найти:
Q.

Решение. Заряд dQ,
проходящий через поперечное сечение
проводника за время dt,

dQ=I
dt

По условию задачи
сила тока растёт равномерно, т.е. I=kt
, где коэффициент пропорциональности

.

Тогда можно записать

dQ=ktdt
(1)

Проинтегрировав
(1) и подставив выражение для k,
найдём искомый заряд, прошедший по
проводнику:

.

Ответ:
Q=9
Кл.

Пример . По
железному проводнику (ρ=7,87
г/см³,
М=56∙10^-3
кг/моль) сечением S=0,5
мм²
течёт ток I=0,1
А. определите среднюю скорость
упорядоченного (направленного) движения
электронов, считая, что число свободных
электронов в единице объёма проводника
равно числу атомов n‘
в единице объёма проводника

Дано: ρ=7,87
г/см³,=
7,87∙10³ кг/м³;
М=56∙10^-3
кг/моль; I=0,1A;
S=0,5
мм²=0,5
10^-6 м².

Найти:
.

Решение.
Плотность тока в проводнике

j=ne,

где
— средняя скорость упорядоченного
движения электронов в проводнике;n
— концентрация электронов (число
электронов в единице объёма); e=1,6∙10^-19
Кл – заряд электрона.

Согласно условию
задачи,

(2)

(учли, что
,
где – масса проводника; М – его молярная
масса;N_A=
6,02∙10²³
моль^-1
– постоянная Авогадро;
— плотность железа).

Учитывая формулу
(2) и то, что плотность тока
,
выражение (1) можно записать в виде

,

Откуда искомая
скорость упорядоченного движения
электронов

Ответ:
=14,8
мкм/с.

Пример .
Сопротивление
однородной проволоки R=36
Ом. Определите, на сколько равных отрезков
разрезали проволоку, если после их
параллельного соединения сопротивление
оказалось равным R₁=1Ом.

Дано
R=36
Ом; R₁=1
Ом.

Найти:
N.

Решение.
Неразрезанную
проволоку можно представить как N
последовательно соединённых сопротивлений.
Тогда

R=Nr,
(1)

где r
– сопротивление каждого отрезка.

В случае параллельного
соединения N
отрезков проволок

или
(2)

Из выражений (1) и
(2) найдём искомое число отрезков

Ответ:
N=6

Пример .
Определите
плотность тока в медной проволоке длиной
ℓ=100 м, если разность потенциалов на её
концах φ₁-φ₂=10В.
Удельное сопротивление меди ρ =17 нОм∙м.

Дано
ℓ=100 м; φ₁-φ₂=10В;
ρ =17 нОм∙м=1,7∙10^-8
Ом∙м.

Найти:
j.

Решение.
Согласно закону Ома в дифференциальной
форме,

j=γE,
(1)

где
—
удельная электрическая проводимость
проводника;— напряжённость электрического поля
внутри однородного проводника, выраженная
через разность потенциалов на концах
проводника и его длину.

Подставив записанные
формулы в выражение (1), найдём искомую
плотность тока

Ответ:
j=5,88
МА/м².

Пример . Через
лампу накаливания течёт ток I=1А,
Температура вольфрамовой нити диаметром
d₁=0,2
мм равна 2000ºС. Ток подводится медными
проводами сечением S₂=5мм².
Определите напряжённость электростатического
поля: 1) в вольфраме; 2) в меди. Удельное
сопротивление вольфрама при 0ºС ρ₀=55
нОм∙ м, его температурный коэффициент
сопротивления α₁=0,0045
град^-1,
удельное сопротивление меди ρ₂=17нОм∙
м.

Дано: I=1А;
d₁=0,2
мм=2∙10^-4м;
Т= 2000ºС; S₂=5мм²=5∙10^-6
м²;
ρ₀=55
нОм∙ м= 5,5∙10^-8Ом∙м:
α₁=0,0045ºС^-1;
ρ₂=17нОм∙
м=1,7∙10^-8
Ом∙м.

Найти:
Е₁;
Е₂.

Решение.
Согласно закону Ома в дифференциальной
форме, плотность тока

(1)

где
—
удельная электрическая проводимость
проводника; Е – напряжённость
электрического поля.

Удельное сопротивление
вольфрама изменяется с температурой
по линейному закону:

ρ=ρ₀(1+αt).

(2)

Плотность тока в
вольфраме

(3)

Подставив выражение
(2) и (3) в формулу (1) , найдём искомую
напряжённость электростатического
поля в вольфраме

.

Напряжённость
электростатического поля в меди

(учли, что
).

Ответ: 1)
Е₁=17,5
В/м; 2) Е₂=3,4
мВ/м.

Пример . По
проводнику сопротивлением R=10Ом
течёт ток, сила тока возрастает при этом
линейно. Количество теплоты Q,
выделившееся в проводнике за время τ
=10с, равно 300 Дж. Определите заряд q,
прошедший за это время по проводнику,
если в начальный момент
времени сила тока в проводнике равна
нулю.

Дано: R=10
Ом; τ=10с; Q=300Дж;
I₀=0.

Найти:
q.

Решение.
Из условия равномерности возрастания
силы тока (при I₀=0)
следует, что I=kt,
где k
– коэффициент пропорциональности.
Учитывая, что
,
можем записать

dq=Idt=ktdt.
(1)

Проинтегрируем
выражение (1), тогда

(2)

Для нахождения
коэффициента k
запишем закон Джоуля-Ленца для бесконечного
малого промежутка времени dt:

dQ=I²Rdt.

Проинтегрировав
это выражение от0 до , получим количество
теплоты , заданное в условии задачи:

,

Откуда найдём k:

.
(3)

Подставив формулу
(3) в выражение (2), определим искомый
заряд

Ответ: q=15
Кл.

Пример .
Определите
плотность электрического тока в медном
проводе (удельное сопротивление
ρ=17нОм∙м), если удельная тепловая
мощность тока ω=1,7Дж/(м³∙с)..

Дано:
ρ=17нОм∙м=17∙10^-9Ом∙м;
ω=1,7Дж/(м³∙с).

Найти:
j.

Решение.
Согласно законам Джоуля-Ленца и Ома в
дифференциальной форме,

(1)

,
(2)

где γ и ρ –
соответственно удельные и сопротивление
проводника. Из закона (2) получим, что Е
= ρj.
Подставив это выражение в (1), найдём
искомую плотность тока:

.

Ответ:
j=10
кА/м³.

Пример .
Определите
внутреннее сопротивление источника
тока, если во внешней цепи при сила тока
I₁=4А
развивается мощность Р₁=10
Вт, а при силе тока I₂=6А
– мощность Р₂=12
Вт.

Дано: I₁=4А;
Р₁=10
Вт; I₂=6А
; Р₂=12
Вт.

Найти:
r.

Решение.
Мощность, развиваемая током,

и
(1)

где R₁
и R₂
– сопротивления внешней цепи.

Согласно закону
Ома для замкнутой цепи,

;

,

где ε- ЭДС источника.
Решив эти два уравнения относительно
r,
получим

(2)

Ответ:
r=0,25
Ом.

Пример.
В цепь, состоящую из источника ЭДС и
резистора сопротивлением R=10Ом,
включают вольтметр, сначала параллельно,
а затем последовательно резистору,
причём показания вольтметра одинаковы.
Определите внутреннее сопротивление
r
источника ЭДС, если сопротивление
вольтметра R_V=500
Ом.

Дано: R=10
Ом; R_V=500
Ом; U₁=U₂.

Найти:
r.

Решение.
Согласно условию задачи, вольтметр один
раз подключают к резистору параллельно
(рис.а), второй – последовательно (рис.
б), причём его показания одинаковы.

Силу тока найдём
согласно закону Ома для замкнутой цепи:

— при параллельном
соединении

— при последовательном
соединении

где ε – ЭДС
источника.

Падение напряжения
на вольтметре

— при параллельном
соединении

(1)

(—сопротивление
параллельно соединённых вольтметра и
резистора); — при последовательном
соединении

(2)

Приравняв выражение
(1) и (2), согласно условию U₁=U₂,
получим

или
,

Откуда после
элементарных преобразований искомое
внутреннее сопротивление

Ответ:
r
=0,2 Ом.

Пример.
Определите внутреннее сопротивление
и ЭДС батареи, образованной тремя
источниками ЭДС (см.рисунок), если ЭДС
источников ε₁=2В,
ε₂=4В
и ε₃=6В,
а их внутренние сопротивления одинаковы
и равны 0,2 Ом..

Дано: ε₁=2В;
ε₂=4В;
ε₃=6В;
r₁=r₂=r₃=r=0,2
Ом.

Найти:
r_б;
ε_б.

Решение.
Общее внутреннее сопротивление на
участке ВС (источники ε₁
и ε₂
соединены параллельно)

,

Откуда

(1)

Внутреннее
сопротивление батареи (она подключена
между точками А и D)

[учли (1)].

Для участка ВС
можем записать

,

откуда

[учли (1)].

Искомая ЭДС батареи

.

Из рисунка следует,
что если считать ЭДС ε₂
и ε₃
положительный, то ЭДС ε₁–
отрицательна.

Ответ:
r_б=0,3
Ом; ε_б=7
В.

Пример.
Два источника, ЭДС которых ε₁=2В
и ε₂=4В,
соединены как показано на рисунке а.
Внешнее сопротивление R=1Ом,а
внутреннее сопротивление источников
r₁=r₂=0,5
Ом. Определите силы токов, протекающих
через источники и внешнее сопротивление.

Дано: ε₁=2В;
ε₂=4В;
R=1
Ом; r₁=r₂=0,5
Ом.

Найти:
I₁;
I₂;
I_R.

Решение.
Выберем
направление токов, как указано на рис.
б. Согласно первому правилу Кирхгофа
для узла А:

I_R=
I₁+
I₂.
(1)

Второе правило
Кирхгофа для замкнутых контуров ε₁,
R
и ε₂,
R

I₁r+
I_RR=
ε₁.
(2)

I₂r+
I_RR=
ε₂.
(3)

Решая уравнения
(1)-(3), получим (учли, что r₁=r₂=r)

,

,.

Вычисляя, получаем
I_R=2,4А;
I₁=-0,8
А; I₂=3,2
А.

Знак «-» означает,
что ток I₁
течёт в
направлении, обратном выбранному на
рис.б.

Ответ:
I₁=-0,8
А; I₂=3,2
А; I_R=2,4А.

Электрическим током называют направленное движение свободно заряженных частиц под действием электрического поля.

Как правило движение зарядов происходит в некоторой среде (веществе или вакууме), являющейся проводником для электрического тока. Движущимися в среде заряженными частицами могут быть электроны (в металлах, полупроводниках) или ионы (в жидкостях и газах).

Для возникновения и протекания электрического тока в любой токопроводящей среде необходимо выполнение двух условий:

1. Наличие в среде свободных носителей заряда;
2. Наличие электрического поля.

Для поддержания электрического поля, например в проводнике, к его концам необходимо подключить какой-либо источник электрической энергии (батарейку или аккумулятор). Поле в проводнике создается зарядами, которые накопились на электродах источника тока под действием сил (химических, механических и т.д.).

За направление тока условно принято принимать направление движения положительных зарядов. Следовательно, условно принятое направление тока обратно направлению движения электронов – основных отрицательных электрических носителей заряда в металлах и полупроводниках.

Понять явление электрического тока достаточно сложно так как его невозможно увидеть глазами. Для лучшего понимания процессов в электронике проведем аналогию между электрическим током в проводнике и водой в тонкой трубочке. В трубочке есть вода (носители заряда в проводнике), но она неподвижна, если трубочка лежит на горизонтальной поверхности и уровень высот ее концов (значения потенциалов электрического поля) одинаковый. Если трубочку наклонить так, что один конец станет выше другого (появится разность потенциалов), вода потечет по трубочке (электроны придут в движение).

Способность вещества проводить электрический ток под действием электрического поля называется электропроводностью. Каждому веществу соответствует определенная степень электропроводности. Ее значение зависит от концентрации в веществе носителей заряда – чем она выше, тем больше электропроводность. В зависимости от электропроводности все вещества делятся на три большие группы: проводники, полупроводники и диэлектрики.

Электрический ток может менять направление и величину во времени (переменный ток) или оставаться неизменным (постоянный) (рисунок 2).

Количественной мерой электрического тока служит сила тока I, которая определяется числом электронов (зарядов) q, проходящих через импровизированное поперечное сечение проводника в единицу времени t (рисунок 3).

Для постоянного тока представленное выше выражение можно записать в виде

Ток в системе СИ измеряется в амперах, [А]. Току в 1 А соответствует ток, при котором через поперечное сечение за 1 секунду проходит электрический заряд, равный 1 Кл.

1 A = 1 Кл/1 сек.

Плотность электрического тока

Под плотностью тока j понимается физическая величина, равная отношению тока I к площади поперечного сечения S проводника. При равномерном распределении тока по поперечному сечению проводника.

J = I/S 

Плотность тока в системе СИ измеряется в амперах на миллиметр квадратный, [А/мм²].

Рассмотрим плотность тока в проводнике с разным поперечным сечением. Например, соединены два проводника с различными сечениями: первый толстый провод с большим поперечным сечением S1 второй тонкий провод с сечением S2. К концам которых приложено постоянное напряжение (рисунок 5) в следствии чего через них протекает постоянный ток с одинаковой силой тока.

Предположим, что сила тока через поперечное сечение толстого проводника S1 и тонкого провода S2 различная. Из этого предположения вытекает, что за каждую единицу времени через сечения S1 и S2 протекают различные значения электрического заряда. Следовательно, в объёме провода, расположенного между двумя указанными сечениям происходит непрерывное скапливание зарядов, и напряженность электрического поля изменялась бы, чего не может быть, так как при изменении электрического поля ток был бы непостоянен. В проводах с различным сечением при одном и том же токе плотность тока обратно пропорциональна площади поперечного сечения.

I = J₁S₁ = J₂S₂

Плотность тока — векторная величина.

Направление вектора  совпадает с направлением положительно заряженных зарядов и, следовательно, с направлением самого тока I.

Если концентрация носителей тока равна n, каждый носитель имеет заряд e и скорость его движения в проводнике равна v (рисунок 3), то за время dt через поперечное сечение S проводника переносится заряд

В этом случае величину силы тока I можно представить в виде зависимости

а плотность тока

Сила тока через произвольную поверхность определяется через поток вектора плотности тока, как интеграл по произвольной (в общем случае) поверхности S (рисунок 6)

От величины плотности тока зависит важный показатель – качество электропередачи. Фактически этот показатель зависит от степени нагрузки проводника (хотя и не только от нее). В зависимости от значения плотности тока принято выбирать сечение проводов – это связано с наличием у проводников сопротивления, в результате которого происходит нагрев жил проводника вплоть до его расплавления и выхода из строя.

Current is defined as the flow of the electron in a wire under a voltage difference. Current is the most common type of energy used in our daily life it provides electrical energy which is responsible for the working of all the electrical appliances which we used in our daily life.

Current density is defined as the amount of current flowing through the per unit area of the wire. It is measured in ampere/m². Before learning more about current density we have to learn about current. 

In this article, we will learn about current, its types, and current density in detail.

Current Definition

The flow of electrons or holes in the conductor is defined as the electric current. Electric current flows because of the electro-potential force generated at the end of the conductor by battery or AC sources. The current is defined by the symbol “I “and is measured in the Ampere. 

The following image shows current flowing through the circuit which lights up the bulb.

Current is the fundamental quantity and its dimensional symbol is [I].

The formula for calculating the current is, 

i = q/t

where,
i is the current,
q is charge following in the conductor,
t is the time taken

One Ampere is defined as one Coulomb of the charge flowing through the conductor in one sec. I amp current is defined as 6.24×10¹⁸ electrons flowing through the conductor in one sec.

Types of Current

The current which we use is divided into two categories which are,

• Direct Current
• Alternating Current

Direct Current

A current that always flows in one direction is called a direct current (DC) and it is generated by electrochemical and batteries.

Alternating Current

A current which changes its direction repeatedly is called an alternating current (AC) and is generated by AC generators.

What is Current Density?

The rate of charge flow across the cross-section of a conductor is referred to as current density. 

A flow of electrons is what an electric current is commonly thought to be. Electrons flow out of one end of the battery, through the wire, and enter the other end of the battery when two ends of the battery are connected by metal wire. If the size and direction of the current are both constant, the current produced is usually considered steady.

The density of current flow in a conductor is defined as current density. The letter J is used to represent it. Current Density and its measurement are particularly essential in the study of electromagnetism. The charge per unit time per unit area of an electrical conductor is called the current Density and it is a vector quantity as it has both magnitude and direction.

Formula for Current density 

The current density formula is as follows:

J = I/A

where,
J is the Current Density (A/m²)
I is the flow of current through the conductor (A)
A is the Cross sectional area (m²)

Unit and Dimensional of Current Density

• The SI unit for measuring the current density is Ampere/m²
• The dimensional formula for density is [M⁰L^-2T⁰I¹]

Derivation of Current Density Formula

The current density formula is derived from the definition of the current density. We know that the current density is defined as the current flowing through the per unit area of the conductor then,

J = dI/dA

where,
dI/dA is the Current change with the unit area.

which implies,

dI = J × dA

dI = J × dAcosθ

when 
dA is perpendicular to J,   (if θ = 90^o so, cos θ = 1).

Therefore, 

dI = J × dA

integrating both sides

∫₀ ^J dI = J × ∫₀ ^A dA

I = J×A

J = I/A

Do Check,

• What is Alternating Current?
• Electric Current in Conductors
• Difference Between Electric Potential and Potential Difference

Solved Example on Current Density Formula

Example 1: What is the current density in a wire with a cross-section area of 23 mm² and a current of 8 mA running through it?

Solution:

Given,

A = 23 mm² 
   = 0.000023 m², 

I = 8 mA = 0.008 A

Since,

J = I/A

   = 0.008 / 0.000023

   = 347.82 A/m²

Example 2: A copper wire with a diameter of 3 mm² has a current of 9 mA flowing through it. Find the current density of the conductor.

Solution:

Given,

A = 3 mm² 
   = 0.000003 m², 

I = 9 mA 
  = 0.009 A

Since,

J = I/A

  = 0.009 / 0.000003

  = 3000 A/m²

Example 3: If 42 A of current flows through the battery in an 8 m² region, what is the current density of the conductor?

Solution:

Given,

A = 8 m², 

I = 42 A

Since,

J = I/A

  = 42 / 8

  = 5.25 A/m²

Example 4: If the current density is 4 A/m² and the current through the conductor is 24 A. Find the cross-sectional area.

Solution:

Given,

J = 4 A/m²

I = 24 A

Since,

J = I/A

A = I/J

   = 24/4

  = 6 m²

FAQs on Current Density

Q1: What is Current Density?

Answer:

The rate of charge flow across any cross-section of any conductor is referred to as current density of the conductor.

Q2: Is current density scalar or vector quantity?

Answer:

Current Density is a vector quantity as it has both magnitude and direction.

Q3: What is the current density formula?

Answer:

The current density of any material is measured with the formula, 

J = I/A

Q4: Why current density is a vector density?

Answer:

Current density has both magnitude and direction and thus it is a vector quantity as vector quantities have direction.

Q5: What is current?

Answer:

The rate of flow of electric charge through a conductor is defined as the electric current. It can be classified as,

• Direct Current
• Alternating Current

Last Updated :
18 Apr, 2023

Like Article

Save Article