Как найти плотность вероятности нсв - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Непрерывная случайная величина

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция
распределения

непрерывно дифференцируема. В этом случае

имеет производную, которую обозначим через

– плотность распределения вероятностей.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной
величины

называются функцию

– первую производную от функции распределения

Из этого определения следует, что функция распределения является
первообразной для плотности распределения.

Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной
случайной величины плотность распределения неприменима.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина

примет значение, принадлежащее интервалу

равна определенному интегралу от плотности
распределения, взятому в пределах от

до

Зная плотность распределения

,
можно найти функцию распределения

по формуле:

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

,
возможные значения которой принадлежат всей оси

,
определяется равенством:

где

– плотность распределения случайной величины

.
Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу

,
то:

Все свойства математического ожидания, указанные для
дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины

,
возможные значения которой принадлежат всей оси

,
определяется равенством:

или равносильным равенством:

В частности, если все возможные значения

принадлежат интервалу

,
то

или

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных
величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.

Среднее квадратическое отклонение
непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной
величины:

При решении задач, которые выдвигает практика, приходится
сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин.

Основные законы распределения непрерывных случайных величин

Нормальный закон распределения СВ
Показательный закон распределения СВ
Равномерный закон распределения СВ

Примеры решения задач

Пример 1

Дана
функция распределения F(х) непрерывной случайной величины
Х.

Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и вероятность попадания X на отрезок [a,b]. Построить графики функций F(x) и f(x).

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Плотность
распределения вероятностей:

Математическое
ожидание:

Дисперсию
можно найти по формуле:

Вероятность
попадания на отрезок:

Построим графики функций F(x) и f(x).

График плотности
распределения

График функции
распределения

Пример 2

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу c, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины X, а также вероятность ее попадания в интервал [0;0,25].

Решение

Константу

определим,
используя свойство плотности вероятности:

В нашем случае:

Найдем математическое
ожидание:

Найдем дисперсию:

Искомая дисперсия:

Найдем функцию
распределения:

для

Искомая функция
распределения:

Вероятность попадания
в интервал

Пример 3

Плотность
распределения непрерывной случайной величины

имеет вид:

Найти:

а)
параметр

;

б)
функцию распределения

;

в)
вероятность попадания случайной величины

в интервал

г)
математическое ожидание

и дисперсию

д)
построить графики функций

Решение

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

а)
Постоянный параметр

найдем из
свойства плотности вероятности:

В нашем
случае эта формула имеет вид:

б)
Функцию распределения

найдем из
формулы:

Учитывая
свойства

, сразу можем отметить,
что:

Остается
найти выражение для

, когда

принадлежит
интервалу

Получаем:

в)
Вероятность
попадания случайной величины

в интервал

г)
Математическое ожидание находим по формуле:

Для
нашего примера:

Дисперсию
можно найти по формуле:

Среднее
квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:

д) Построим графики

График плотности вероятности f(x)

График функции распределения F(x)

Задачи контрольных и самостоятельных работ

Задача 1

НСВ на всей
числовой оси oX задана интегральной функцией:

Найти
вероятность, что в результате 2 испытаний случайная величина примет значение,
заключенное в интервале (0;4).

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 2

Дана
дифференциальная функция непрерывной СВ Х. Найти: постоянную С, интегральную
функцию F(x).

Задача 3

Случайная
величина Х задана функцией распределения F(x):

а) Найти
плотность вероятности СВ Х — f(x).

б) Построить графики
f(x), F(x).

в) Найти вероятность
попадания НСВ в интервал (0; 3).

Задача 4

Дифференциальная
функция НСВ Х задана на всей числовой оси ОХ:

Найти:

а) постоянный
параметр С=const;

б) функцию
распределения F(x);

в) вероятность
попадания в интервал -4<X<4;

г) построить
графики f(x), F(X).

Задача 5

Случайная величина
Х задана функцией распределения F(x):

а) Найти
плотность вероятности СВ Х — f(x).

б) Построить
графики f(x), F(x).

в) Найти
вероятность попадания НСВ в интервал (0;π⁄2).

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Задача 6

НСВ X имеет
плотность вероятности (закон Коши)

а) постоянный
параметр С=const;

б) функцию
распределения F(x);

в) вероятность
попадания в интервал -1<X<1;

г) построить
графики f(x), F(X).

Задача 7

Случайная
величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x)
функцией. Требуется:

а) найти
параметр C;

б) при
заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную
функцию f(x), а при заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную
функцию F(x);

в)
построить графики функций F(x) и f(x);

г) найти
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(X);

д)
вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b);

е)
определить, квантилем какого порядка является точка xp;

ж)
вычислить квантиль порядка p

Задание 8

Дана
интегральная функция распределения случайной величины X. Найти дифференциальную
функцию распределения, математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение.

Задача 9

Случайная
величина X задана интегральной функцией распределения

Найти
дифференциальную функцию, математическое ожидание и дисперсию X.

Задача 10

СВ Х
задана функцией распределения F(x). Найдите вероятность
того, что в результате испытаний НСВ Х попадет в заданный интервал (0;0,5).
Постройте график функции распределения. Найдите плотность вероятности НСВ Х и
постройте ее график. Найдите числовые
характеристики НСВ Х, если

Краткая теория
Примеры решения задач
Задачи контрольных и самостоятельных работ

Источник

Законы распределения непрерывных случайных величин.

Содержание

I. Равномерное распределение
Практический материал
II. Показательное распределение
Практический материал
III. Нормальное распределение
Практический материал

I. Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если ее плотность вероятности f (x) постоянна на этом отрезке, а вне его равна нулю:

$begin{displaymath} f(x) = left{ begin{array}{ll} frac{1}{b-a}, & xin [a,b]\ 0, & xnotin [a,b] end{array} right. end{displaymath}$

Тот факт, что СВ Х распределена равномерно, записывают коротко так:

К случайным величинам, имеющим равномерное распределение, относятся те СВ, о которых известно, что все их значения лежат внутри некоторого промежутка [a;b] и при этом одинаково возможны. Например, время ожидания транспорта, ошибка, получающаяся от округления результата измерения до ближайшего целого числа, и т.д.

Функция распределения F (x) для равномерно распределенной СВ Х имеет вид

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 0, & xle a\ frac{x-a}{b-a}, & a< x le b,\ 1, & b<x. end{array} right. end{displaymath}$

Если СВ Х распределена равномерно на отрезке [a;b], то вероятность попадания СВ Х на отрезок , целиком содержащийся внутри отрезка [a;b] находится по формуле:

$[P{Xin [alpha, beta]}=frac{beta-alpha}{b-a}.]$

Числовые характеристики равномерного распределения:

$[M(X)=frac{a+b}{2}]$

$[D(X)=frac{{(b-a)}^2}{12}]$

Практический материал

1.1. Плотность вероятности НСВ Х имеет вид

$begin{displaymath} f(x) = left{ begin{array}{ll} 0,5 cdot B, & xin [0,2]\ 0, & xnotin [0,2] end{array} right. end{displaymath}$

Найти:

Решение.

Коэффициент В найдем, используя следующее свойство плотности вероятности:

$[int_{-infty}^{+infty} f(x) dx=1]$

$[int_{-infty}^{+infty} f(x) dx=int_{-infty}^{0} 0 dx + int_{0}^{2} 0,5cdot B dx +int_{2}^{+infty} 0 dx=1]$

$[0+int_{0}^{2} 0,5cdot B dx+0=1]$

$[0,5cdot B int_{0}^{2} dx=1]$

Используя формулу Бинома-Ньютона, получаем

Следовательно

Итак, плотность распределения СВ Х имеет вид:

$begin{displaymath} f(x) = left{ begin{array}{ll} 0,5, & xin [0,2]\ 0, & xnotin [0,2] end{array} right. end{displaymath}$

Следовательно, СВ Х распределена на отрезке [0;2]. Функция распределения для СВ имеет вид:

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 0, & xle0;\ frac{x}{2}, & 0<xle2;\ 1, & x>2. end{array} right. end{displaymath}$

Числовые характеристики этого распределения таковы:

$[M(X)=frac{a+b}{2}=frac{0+2}{2}=1]$

$[D(X)=frac{{(b-a)}^2}{12}=frac{4}{12}=frac13]$

$[sigma (X)=sqrt {D(X)}=frac{1}{sqrt{3}}]$

Вероятность попадания СВ Х в промежуток [0; 1,2] находим, используя формулу

$[P{Xin [alpha, beta]}=frac{beta-alpha}{b-a}=frac{1,2-0}{2}=0,6.]$

1.2. Некто ожидает телефонный звонок между 19.00 и 20.00. Время ожидания звонка есть непрерывная СВ Х, имеющая равномерное распределение на отрезке [19, 20]. Найти вероятность того, что звонок поступит в промежутке от 19 часов 22 минут до 19 часов 46 минут.

Решение.

При переводе минут в часы необходимо помнить, что в одном часе 60 минут, поэтому 19 часов 22 минуты равно $19frac{22}{60}=19frac{11}{30}$ , 19 часов 46 минуты равно $19frac{46}{60}=19frac{23}{30}$ .

Вероятность попадания СВ Х в промежуток

$[left[19frac{11}{30}, 19frac{23}{30}right]]$

находим, используя формулу

$[P{Xin [19frac{11}{30}, 19frac{23}{30}]}=frac{19frac{23}{30} - 19frac{11}{30}}{20-19}=frac{frac{12}{30}}{1}=0,4.]$

1.3. Случайная величина Х, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики . Найти .

Решение.

$[M(X)=frac{a+b}{2}; D(X)=frac{{(b-a)}^2}{12}]$

Тогда получаем

$begin{displaymath} left{ begin{array}{ll} frac{a+b}{2}=2; \ frac{{(b-a)}^2}{12}=3; end{array} right. end{displaymath}$

$begin{displaymath} left{ begin{array}{ll} a+b=4; \ {(b-a)}^2=36; end{array} right. end{displaymath}$

$begin{displaymath} left{ begin{array}{ll} a=4-b; \ {(b-4+b)}^2=36. end{array} right. end{displaymath}$

Таким образом, функция распределения имеет вид:

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 0, & xle -1\ frac{x+1}{6}, & -1< x le 5,\ 1, & 5<x. end{array} right. end{displaymath}$

II. Показательное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет показательное (или экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет вид

$begin{displaymath} f(x) = left{ begin{array}{ll} lambdacdot e^{-lambdacdot x}, & xge 0\ 0, & x<0, end{array} right. end{displaymath}$

где — параметр данного распределения.

Функция распределения СВ Х, распределенной по показательному закону, находится по формуле

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 1- e^{-lambdacdot x}, & xge 0;\ 0, & x<0. end{array} right. end{displaymath}$

Числовые характеристики этого распределения определяются равенствами:

$[M(X)=frac{1}{lambda}, qquad D(X)=frac{1}{{lambda}^2}, qquad sigma (X)=frac{1}{lambda}]$

Вероятность попадания СВ Х в заданный промежуток [a,b] будем вычислять по формуле:

$[P{ale X le b} = int_a^b f(x) dx]$

Практический материал

2.1. Время T выхода из строя радиостанции подчинено показательному закону распределения с плотностью

$begin{displaymath} f(t) = left{ begin{array}{ll} 0,2cdot e^{-0,2cdot t}, & tge 0;\ 0, & t<0. end{array} right. end{displaymath}$

Найти:

1. Функцию распределения ;

2. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины T;

3. Вероятность того, что радиостанция сохранит работоспособность от 1 до 5 часов работы.

Решение.

Из плотности распределения видно, что параметр , тогда

$begin{displaymath} f(t) = left{ begin{array}{ll} 1-e^{-0,2cdot t}, & tge 0;\ 0, & t<0. end{array} right. end{displaymath}$

$[M(T)=frac{1}{lambda}=frac{1}{0,2}=5;]$

$[D(T)=frac{1}{{lambda}^2}=frac{1}{{0,2}^2}=25;]$

$[sigma (X)=frac{1}{lambda}=5;]$

$P{ale T le b} =P{1le T le 5}= int_1^5 0,2cdot e^{-0,2cdot t}dt= \ =0,2cdot left(frac{1}{-0,2}right)cdot e^{-0,2cdot t}|_1^5=-e^{-0,2cdot 5}-left(-e^{-0,2cdot 1}right)=-e^{-1}+e^{-0,2}approx 0,451.$

2.1. СВ Х распределена по показательному закону с параметром . Найти дифференциальную и интегральную функции распределения (т. е. ), , а также вероятность попадания значений СВ Х в интервал (0,25; 5).

Решение.

$begin{displaymath} f(x) = left{ begin{array}{ll} 0,4 cdot e^{-0,4 cdot x, & xge 0;\ 0, & x<0. end{array} right. end{displaymath}$

$begin{displaymath} F(x) = left{ begin{array}{ll} 1- e^{-0,4cdot x}, & xge 0;\ 0, & x<0. end{array} right. end{displaymath}$

$[P{0,25le X le 5} =int_{0,25}^5 0,4 cdot e^{-0,4 cdot x} dx=-e^{-0,4cdot x}|_{0,25}^5=]$

$[=-e^{-2}+e^{-0,1}=-frac{1}{7,29}+frac{1}{1,1}=-0,14+0,91=approx 0,77.]$

$[M(X)=frac{1}{lambda}=frac{1}{0,4}=2,5]$

$[D(X)=frac{1}{{lambda}^2}=frac{1}{{0,4}^2}=6,25]$

$[sigma(X)=frac{1}{lambda}=frac{1}{0,4}=2,5]$

III. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность имеет вид

$[f(x)=frac{1}{sigma cdot sqrt{2 pi}}cdot e^{-frac{{(x-a)}^2}{2{sigma}^2}}]$

График функции называется кривой Гаусса

Тот факт, что СВ Х распределена по нормальному закону, записывают коротко, так: .

Параметры и представляют собой соответственно математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение СВ Х, т.е.

Отсюда

$[D(X)={sigma}^2.]$

Функция распределения нормального закона выражается формулой

$[F(x)=0,5+Phileft(frac{x-a}{sigma}right)]$

где функция

$[Phi(x)=frac{1}{sqrt{2 pi}}cdot int_0^x e^{-frac{t^2}{2}}dt]$

— называется функцией Лапласа.

Свойства функции Лапласа:

1. , т. е. функция — нечетная. Отсюда, в частности, следует, что ;

2. .

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется формулой

$[P(alpha<X<beta)=Phileft(frac{beta - a}{sigma}right)-Phileft(frac{alpha - a}{sigma}right)]$

Вероятность попадания СВ в интервал , симметричный относительно центра рассеяния а, находится по формуле

$[P{a-epsilon<X<a+epsilon}=P{|X-a|<epsilon}=2Phileft(frac{epsilon}{sigma}right)]$

В частности, , т. е. практически достоверно, что СВ принимает свои значения в промежутке . Это утверждение называется «правилом трех сигм».

Практический материал

3.1. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид

$[f(x)=ccdot e^{-2x^2-frac43x+frac13}]$

Найти: $M(X), D(X), c, M(X^2), F(x), P{-frac13<X<frac23}.$

Решение.

Преобразуем заданную плотность, выделив полный квадрат в показателе степени:

$-2x^2-frac43x+frac13=-2left(x^2+frac23x-frac16right)=-2left(x^2+2cdotfrac13 cdot x+frac19-frac19-frac16right)=$

$=-2left({left(x+frac13right)}^2-frac{5}{18}right)=-2{left(x+frac13right)}^2+frac{5}{9};$

На этом наши преобразования не заканчиваются:

$[f(x)=ccdot e^{-2{left(x+frac13right)}^2+frac{5}{9}}=ccdot e^{frac59}cdot e^{-2{left(x+frac13right)}^2}=]$

$[=ccdot e^{frac59}cdot e^{frac{{left(x+frac13right)}^2}{-0,5}}=c cdot e^{frac59}cdot e^{-frac{{left(x+frac13right)}^2}{2cdot {0,5}^2}}]$

Сравнив данную плотность

$[f(x)=c cdot e^{frac59}cdot e^{-frac{{left(x+frac13right)}^2}{2cdot {0,5}^2}}]$

с плотностью

$[f(x)=frac{1}{sigma cdot sqrt{2 pi}}cdot e^{-frac{{(x-a)}^2}{2{sigma}^2}}]$

нормального распределения, заключаем, что СВ Х имеет нормальное распределение.

Проанализировав плотность распределения для нашего случая можно заключить, что $M(X)=-frac13,qquad sigma(X)=frac12, qquad D(X)=frac14$ .

Значение коэффициента с найдем из равенства:

$[c cdot e^{frac59}=frac{1}{sigma sqrt{2pi}}]$

$[c =frac{1}{e^{frac59}cdot frac{sqrt{2pi}}{2}}]$

Следовательно, плотность распределения СВ Х имеет вид

$[f(x)=frac{1}{e^{frac59}cdot frac{sqrt{2pi}}{2}} cdot e^{frac59}cdot e^{-frac{{left(x+frac13right)}^2}{2cdot {0,5}^2}}=frac{1}{frac12cdot sqrt{2pi}}cdot e^{-frac{{left(x+frac13right)}^2}{2cdot {0,5}^2}}]$

найдем, используя формулу $D(X)=M(X^2)-{(M(X))}^2$ . В нашем случае $M(X)=-frac13, qquad D(X)={(sigma(X))}^2=frac14$ . Поэтому

$[M(X^2)=D(X)+{(M(X))}^2=frac14+frac19=frac{13}{36}.]$

Используя формулу

$[P(alpha<X<beta)=Phileft(frac{beta - a}{sigma}right)-Phileft(frac{alpha - a}{sigma}right)]$

находим, что

$P(-frac13<X<frac23)=Phileft(frac{frac23 + frac13}{frac12}right)-Phileft(frac{-frac13 +frac13}{frac12}right)=Phi(2)-Phi(0)approx 0,4773,$

воспользовавшись

$[F(x)=0,5+Phileft(frac{x-a}{sigma}right),]$

$[F(x)=0,5+Phileft(frac{x+frac13}{frac12}right)=0,5+Phileft(2x+frac23right).]$

3.2. Определить закон распределения СВ Х, если ее плотность вероятности имеет вид

$[f(x)=Acdot e^{-x^2+2x+1}]$

Найти:

а)

б)

в) значение коэффициента А;

г)

д)

3.3. Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с параметром мм. Найти вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 25 мм.

Решение.

Воспользуемся формулой

$[P{|X-a|<epsilon}=2Phileft(frac{epsilon}{sigma}right)]$

В нашем случае , поэтому

$[P{|X-a|<25}=2Phileft(frac{25}{20}right)=2Phi(1,25)=2cdot 0,3944=0,7888.]$

Источник

Будем рассматривать
пространство элементарных событий как
совокупность всех точек числовой оси.
Случайная величина X
называется непрерывно распределенной
(или непрерывной), если ее функция
распределения является непрерывной.
Для непрерывной случайной величины
примем сокращение НСВ.

Примеры.
X
– время безотказной работы телевизора
(см. пример 1.3). X
– рост взрослого человека.

Пусть X
– НСВ. Найдем вероятность того, что в
результате испытаний случайная величина
X
примет значение a

R.
Докажем, что P(X
= a)=0.

Так как
,
то.

Следовательно

Заметим, что в
случае ДСВ вероятность P(X
= a)
не всегда равна нулю.

Плотность
распределения вероятности НВС.

Ранее говорилось,
что функция распределения задает закон
распределения случайной величины. Для
НСВ удобнее закон распределения задавать
при помощи плотности распределения
вероятности. Плотностью
распределения вероятности
НСВ Х
называется предел (если он существует)

Таким
образом, плотность распределения
является первообразной для функции
распределения.

Свойства плотности вероятности.

Плотность
вероятности является неотрицательной
функцией.

Действительно,
производная неубывающей функции
неотрицательна.

.
Это следует из того, что плотность
распределения является первообразной
для функции распределения.
.
Это следует из формулы Ньютона-Лейбница:

.
Это свойство называется свойством
нормировки.

Действительно,.

Пример 3.4 Случайная
величина Х
называется равномерно
распределенной
на отрезке [a,
b],
если ее плотность распределения имеет
вид

В дальнейшем
равномерное распределение будем
обозначать R(a,
b).

Рисунок
3.3

График плотности
и функции распределения приведены на
следующих рисунке 3.2.

Пример 3.5
Экспоненциальное
(или показательное)
распределение имеет плотность
распределения вида

В дальнейшем
показательное распределение будем
обозначать E().

Из практики
известно, что время безотказной работы
телевизора распределено по показательному
закону. Смысл параметра 
в том, что число 1/
равно среднему времени безотказной
работы телевизора.

Рисунок
3.4

3.3 Числовые характеристики
случайных величин

Числовые
характеристики ДСВ.
Пусть дана ДСВ X
своим законом
распределения x_i
p_i.
Математическим
ожиданием ДВС X
называется число
.
М.о. – сокращение словосочетания
“математическое ожидание”.

Смысл математического
ожидания заключается в следующем: это
вероятностное среднее значение случайной
величины.

Дисперсией ДСВ
X называется
математическое ожидание квадрата
отклонения ДСВ от ее математического
ожидания:

Смысл дисперсии в том, что она является мерой рассеяния значений случайной величины от математического ожидания. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс значений от математического ожидания.

Сренеквадратическим
отклонением случайной
величины
Х
называется
число
.
С.к.о.
– сокращение
словосочетания “Сренеквадратическое
отклонение”.

Эта
величина
более
точно характеризует
степень
рассеяния
значений случайной величины от
математического ожидания, чем дисперсия.
Обоснуйте почему?

Числовые
характеристики непрерывных случайных
величин. Пусть
имеется НСВ X
с
плотностью распределения f(x).

Математическим
ожиданием НСВ X
называется число
.

Дисперсией НСВ
X называется
математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее
математического ожидания:

Сренеквадратическим
отклонением случайной
величины
Х
называется
число
.

Смыслы
м.о., дисперсии, с.к.о. для НСВ те же, что
и для ДСВ.

Лекция 4

4.1 Действия над случайными величинами

1. Сумма (разность)
случайных величин. Пусть Х,
Y
– случайные величины с функциями
распределения F_x(x)
и F_y(y)
соответственно. Суммой Z
= X ±
Y называется
с.в. Z с функцией
распределения F_z(z)=P(X±Y<z).

2. Произведением с.л.
Х,
Y называется
с.в. Z=
X Y
с функцией распределения F_z(z)=P(XY<z).

3. Произведением числа
С
на с.в. Х
называется с.в. Z
= СХ
с функцией распределения F_z(z)
= P(СХ<z).

4.2 Независимые случайные величины. Пусть
Х,
Y
– случайные величины с функциями
распределения F_x(x)
и F_y(y)
соответственно. Функцией совместного
распределения двух с.в. Х,
Y называется
функция от двух переменных

Здесь под {X<x,
Y<y}
понимается произведение событий {X<x}
и {Y<y}.

Плотностью совместного
распределения непрерывных с.в. Х,
Y называется
функция

С.в Х,
Y называются
независимыми,
если

.
(4.1)

Из этого равенства
следует, что
.
По определению условной вероятности

Смысл этого равенства
состоит в том, что независимость с.в. Х,
Y
означает, что закон распределения одной
из них не изменяется от того, какое
значение приняла другая в результате
проведения опыта.

Если с.в. Х,
Y –
НСВ с плотностями
соответственно, то их независимость
означает

(4.2)

Для ДСВ Х,
Y их
независимость означает

(4.3)

4.3 Свойства математического ожидания

Доказательства
свойств проведем для ДСВ.

1. M[C]=C,
где С=const.
Действительно, P(X=C)=1.
M[C]=C
P(X=C)=C.

2. M[CX]=C×M[X],
С
– константа.

Закон распределения
с.в. СХ имеет вид: С
x_i
®
р_i
. Тогда

3. M[X+Y]=M[X]+M[Y].
В
частности,
M[X+a]=M[X]+a,
a=const.

Обозначим
.Тогда

В
предпоследнем равенстве воспользовались
свойством
.

4. M[X]×M[Y]
= M[X]×M[Y],
если с.в. X,Y независимы.

Поскольку X,Y
независимы, то из (4.3) следует
.
Тогда

5. Пусть с.в. Y
является функцией j(X)
от с.в. X.
Тогда для верны формулы

для ДСВ,

для НСВ.

Действительно,
закон распределения с.в. Y имеет вид
.
Все равные значениязаменяются одним, а соответствующие
вероятности складываются. Тогда по
определению м.о..

Пример.
для
ДСВ идля НСВ.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник