Как найти плотность воздуха под давлением

Timur2022-10-31 12:27:09

Условие задачи:

Определить плотность воздуха при 27° C и давлении 0,1 МПа.

Задача №4.1.30 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(t=27^circ) C, (p=0,1) МПа, (rho-?)

Решение задачи:

Запишем уравнение Клапейрона-Менделеева:

[pV = frac{m}{M}RT]

Плотность (rho) – это масса единицы объема вещества, её находят как отношение массы вещества (m) к объему (V):

[rho  = frac{m}{V};;;;(1)]

Давайте разделим обе части уравнения Клапейрона-Менделеева на объем (V):

[p = frac{m}{{MV}}RT]

Учитывая (1), имеем:

[p = frac{rho }{M}RT]

Из полученной формулы выразим плотность (rho):

[rho  = frac{{pM}}{{RT}}]

Молярная масса воздуха (M) равна 0,029 кг/моль, универсальная газовая постоянная (R) – 8,31 Дж/(моль·К). Перед тем, как считать ответ, переведем температуру в шкалу абсолютных температур:

[27^circ;C  = 300;К]

[rho  = frac{{0,1 cdot {{10}^6} cdot 0,029}}{{8,31 cdot 300}} = 1,16;кг/м^3 = 1,16;мг/см^3]

Ответ: 1,16 мг/см³.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

4.1.29 Сколько молекул кислорода находится в сосуде объемом 1 л, если температура
4.1.31 Какое давление на стенки сосуда производят молекулы газа, если масса газа 3 г, объем
4.1.32 Какое давление производит углекислый газ при температуре 330 К, если его плотность

Введение

Задача измерения параметров газовой смеси широко распространена в промышленности и торговле. Проблема получения достоверной информации при измерении параметров состояния газовой среды и её характеристик с помощью технических средств разрешается принятыми в стандартах методиками выполнения измерений (МВИ), например, при измерении расхода и количества газов с помощью стандартных сужающих устройств [1], или с помощью турбинных, ротационных и вихревых расходомеров и счётчиков [2].

Периодический газовый анализ позволяет установить соответствие между реальной анализируемой смесью и её моделью, по которой в МВИ учитываются физико-химические параметры газа: состав газовой смеси и плотность газа при стандартных условиях.
Также в МВИ учитываются теплофизические характеристики газа: плотность при рабочих условиях (давление и температура газа, при которых выполняют измерение его расхода или объёма), вязкость, фактор и коэффициент сжимаемости.

К измеряемым в реальном режиме времени параметрам состояния газа относятся: давление (перепад давлений), температура, плотность. Для измерения этих параметров применяются соответственно средства измерительной техники: манометры (дифманометры), термометры, плотномеры. Измерение плотности газовой среды допускается измерять прямым или косвенным методами измерения. Результаты как прямых, так и косвенных методов измерения зависят от погрешности средств измерения и методической погрешности. В рабочих условиях, сигналы измерительной информации могут быть подвержены влиянию значительного шума, среднее квадратичное отклонение которого может превышать инструментальную погрешность. В этом случае, актуальной задачей является эффективная фильтрация сигналов измерительной информации.

В данной статье рассматривается методика косвенного измерения плотности газа при рабочих и стандартных условиях c применением фильтра Калмана.

Математическая модель определения плотности газа

Обратимся к классике и вспомним уравнение состояния идеального газа [3]. Имеем:

1. Уравнение Менделеева-Клапейрона:

(1),

где:

— давление газа;

— молярный объём;

R — универсальная газовая постоянная,

;

T — абсолютная температура, T=273.16 К.

2. Два измеряемых параметра:

p – давление газа, Па
t – температура газа, °С.

Известно, что молярный объём зависит от объёма газа V и количества молей газа в этом объёме:

(2)

Также известно, что

(3),

где: m – масса газа, M – молярная масса газа.

Учитывая (2) и (3) перепишем (1) в виде:

(4).

Как известно, плотность вещества

равна:

(5).

Из (4) и (5) выведем уравнение для плотности газа

:

(6)

и введём обозначение параметра

, который зависит от молярной массы газовой смеси:

(7).

Если состав газовой смеси не меняется, то параметр k является константой.
Итак, для расчёта плотности газа необходимо рассчитать молярную массу газовой смеси.

Молярную массу смеси веществ определяем, как среднее арифметическое взвешенное молярной массы массовых долей, входящих в смесь индивидуальных веществ.

Примем известным состав веществ в газовой смеси – в воздухе, который состоит из:

Молярные массы этих веществ воздуха будут соответственно равны:

, г/моль.

Вычисляем молярную массу воздуха, как среднее арифметическое взвешенное:

Теперь, зная значение константы

, мы можем вычислить плотность воздуха по формуле (7) с учетом измеряемых значений

и t:

Приведение плотности газа к нормальным, стандартным условиям

Практически, измерения свойств газов проводят в различных физических условиях, и для обеспечения сопоставления между различными наборами данных должны быть установлены стандартные наборы условий [4].

Стандартные условия для температуры и давления – это установленные стандартом физические условия, с которыми соотносят свойства веществ, зависящие от этих условий.

Различные организации устанавливают свои стандартные условия, например: Международный союз чистой и прикладной химии (IUPAC), установил в области химии определение стандартной температуры и давления (STP): температура 0 °C (273.15 K), абсолютное давление 1 бар ( Па); Национальный институт стандартов и технологий (NIST) устанавливает температуру 20 °C (293,15 K) и абсолютное давление 1 атм (101.325 кПа), и этот стандарт называют нормальной температурой и давлением (NTP); Международная организация по стандартизации (ISO) устанавливает стандартные условия для природного газа (ISO 13443: 1996, подтверждённый в 2013 году): температура 15.00 °С и абсолютное давление 101.325 кПа.

Поэтому, в промышленности и торговле необходимо указывать стандартные условия для температуры и давления, относительно которых и проводить необходимые расчёты.

Плотность воздуха мы рассчитываем по уравнению (8) в рабочих условиях температуры и давления. В соответствии с (6) запишем уравнение для плотности воздуха в стандартных условиях: температура и абсолютное давление :

(9).

Делаем расчёт плотности воздуха, приведенной к стандартным условиям. Разделим уравнение (9) на уравнение (6) и запишем это отношение для :

(10).

Подобным образом, получим уравнение для расчёта плотности воздуха, приведенной к нормальным условиям: температура и абсолютное давление

:

(11).

В уравнениях (10) и (11) используем значения параметров воздуха , T и P из уравнения (8), полученные в рабочих условиях.

Реализация измерительного канала давления и температуры

Для решения многих задач получения информации, в зависимости от их сложности, удобно создавать прототип будущей системы на базе одной из микроконтроллерных платформ типа Arduino, Nucleo, Teensy, и др.

Что может быть проще? Давайте сделаем микроконтроллерную платформу для решения конкретной задачи – создание системы измерения давления и температуры, затрачивая меньше, возможно, средств, и используя все преимущества разработки программного обеспечения в среде Arduino Software (IDE).

Для этого, на аппаратном уровне, нам понадобятся компоненты:

1. Arduino (Uno, …) – используем как программатор;
2. микроконтроллер ATmega328P-PU – микроконтроллер будущей платформы;
3. кварцевый резонатор на 16 МГц и пара керамических конденсаторов на 12-22 пФ каждый (по рекомендациям фирмы-изготовителя);
4. тактовая кнопка на перезагрузку микроконтроллера и подтягивающий плюс питания к выводу RESET микроконтроллера резистор на 1 кОм;
5. BMP180 — измерительный преобразователь температуры и давления с интерфейсом I2C;
6. преобразователь интерфейсов TTL/USB;
7. расходные материалы – провода, припой, монтажная плата, и др.

Принципиальная схема платформы, с учетом необходимых интерфейсов: стандартного последовательного интерфейса, I2C, и ничего более, представлена на рис. 1.

Рис. 1 — Принципиальная схема микроконтроллерной платформы для реализации системы измерения давления и температуры

Теперь рассмотрим этапы осуществления нашей задачи.

1. Прежде, нам нужен программатор. Подключаем Arduino (Uno, …) к компьютеру. В среде Arduno Software из меню по пути Файл->Примеры->11. ArdunoISP добираемся до программы программатора ArduinoISP, которую зашиваем в Arduino. Предварительно из меню Инструменты выбираем соответственно Плату, Процессор, Загрузчик, Порт. После Загрузки программы ArduinoISP в плату, наша Arduino превращается в программатор и готова к использованию по назначению. Для этого в среде Arduno Software в меню Инструменты выбираем пункт Программатор: “Arduino as ISP”.

2. Подключаем по интерфейсу SPI ведомый микроконтроллер ATmega328P к ведущему программатору Arduino (Uno, …), рис. 2. Следует заметить, что предварительно биты регистра Low Fuse Byte микроконтроллера ATmega328P были установлены в незапрограммированное состояние. Переходим в среду Arduno Software и из меню Инструменты выбираем пункт Записать Загрузчик. Прошиваем микроконтроллер ATmega328P.

Рис. 2 – Схема подключения микроконтроллера к программатору

3. После успешной прошивки, микроконтроллер ATmega328P готов к установке на разработанную микроконтроллерную платформу (рис. 3), которую программируем также, как и полноценную Arduino (Uno, …). Программа опроса измерительного преобразователя давления и температуры представлена на листинге 1.

Рис. 3 Система измерения давления и температуры

#include <SFE_BMP180.h>
SFE_BMP180 pressure;
double T,P;
void setup()

{

  Serial.begin(9600);

  pressure.begin();

}

 

void loop()

{

    P = getPressure();

    Serial.println(P+0.5, 2);

    Serial.println(T+0.54, 2);

    delay(1000);

}

 

double getPressure(){

    char status;

    status = pressure.startTemperature();

    if (status != 0){

        delay(status); // ожидание замера температуры

        status = pressure.getTemperature(T);

        if (status != 0){

            status = pressure.startPressure(3);

            if (status != 0){

                delay(status); // ожидание замера давления

                status = pressure.getPressure(P,T);

                if (status != 0){

                    return(P);

                }

            }

        }

    }

}

Программа Python для фильтрации по каналам температуры и давления, и получение результатов

Программа Python методики определения плотности газа по результатам измерений давления и температуры представлена на листинге 2. Информация из измерительной системы выводится в реальном режиме времени.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import serial

from drawnow import drawnow

import datetime, time

from pykalman import KalmanFilter

 

#вводим матрицу перехода и матрицу наблюдений

transition_matrix = [[1, 1, 0, 0],

                     [0, 1, 0, 0],

                     [0, 0, 1, 1],

                     [0, 0, 0, 1]]

observation_matrix = [[1, 0, 0, 0],

                      [0, 0, 1, 0]]

#вводим и инициируем матрицу измерений

initial_state_mean = [101000,

                      0,

                      28,

                      0]

#параметры уравнения состояния идеального газа:

#универсальная газовая постоянная R, [Дж/(моль*К)]

R = 8.314459848

#молярная масса воздуха M, [г/моль]

M = 29.04

#коэффициент k = M/R, [г/(Дж*К)]

k = M / R

#абсолютная температура, [K]

K = 273.16

#стандартное (нормальное) давление, [Па]

Pn = 101325

 
#определяем количество измерений

# общее количество измерений

str_m   = input("введите количество измерений: ")

m = eval(str_m)

# количество элементов выборки

mw  = 16

#настроить параметры последовательного порта

ser = serial.Serial()

ser.baudrate = 9600

port_num = input("введите номер последовательного порта: ")

ser.port = 'COM' + port_num

ser

#открыть последовательный порт

try:

    ser.open()

    ser.is_open

    print("соединились с: " + ser.portstr)

except serial.SerialException:

    print("нет соединения с портом: " + ser.portstr)

    raise SystemExit(1)

#определяем списки

l1  = [] # для значений 1-го параметра

l2  = [] # для значений 2-го параметра

t1  = [] # для моментов времени

lw1 = [] # для значений выборки 1-го параметра

lw2 = [] # для значений выборки 2-го параметра

n   = [] # для значений моментов времени

nw  = [] # для значений выборки моментов времени

l1K = [] # для фильтрованных значений 1-го параметра

l2K = [] # для фильтрованных значений 2-го параметра

ro  = [] # для плотности газовой среды

 

#подготовить файлы на диске для записи

filename = 'count.txt'

in_file = open(filename,"r")

count = in_file.read()

count_v = eval(count) + 1

in_file.close()

in_file = open(filename,"w")

count = str(count_v)

in_file.write(count)

in_file.close()

filename = count + '_' + filename

out_file = open(filename,"w")

#вывод информации для оператора на консоль

print("nпараметры:n")

print("n  - момент времени, с;")

print("P  - давление, Па;")

print("Pf - отфильтрованное значение P, Па;")

print("T  - температура, град. С;")

print("Tf - отфильтрованное значение T, град. С;")

print("ro - плотность воздуха, г/м^3;")

print("nизмеряемые значения величин параметровn")

print('{0}{1}{2}{3}{4}{5}n'.format('n'.rjust(3),'P'.rjust(10),'Pf'.rjust(10),

                                    'T'.rjust(10),'Tf'.rjust(10),'ro'.rjust(10)))

#считываение данных из последовательного порта

#накопление списков

#формирование текущей выборки

i = 0

while i < m:

    n.append(i)

    nw.append(n[i])

    if i >= mw:

        nw.pop(0)

    ser.flushInput() #flush input buffer, discarding all its contents

    line1 = ser.readline().decode('utf-8')[:-1]

    line2 = ser.readline().decode('utf-8')[:-1]

    t1.append(time.time())

    if line1:

        l = eval(line1)

        #l = np.random.normal(l,100.0)

        l1.append(l)

        lw1.append(l1[i])

        if i >= mw:

            lw1.pop(0)

    if line2:

        l = eval(line2)

        #l = np.random.normal(l,1.5)

        l2.append(l)

        lw2.append(l2[i])

        if i >= mw:

            lw2.pop(0)

    #-------------------------

    initial_state_mean = [l1[i],0,l2[i],0]

    kf1 = KalmanFilter(transition_matrices = transition_matrix,

                  observation_matrices = observation_matrix,

                  initial_state_mean = initial_state_mean)

    if i == 0:

        measurements = np.array( [ [l1[i], l2[i]],

                                   [initial_state_mean[0], initial_state_mean[2]] ] )

    measurements = np.array( [ [l1[i], l2[i]],

                               [l1[i-1], l2[i-1]] ] )

    kf1 = kf1.em(measurements, n_iter=2)

    (smoothed_state_means, smoothed_state_covariances) = kf1.smooth(measurements)

    l1K.append(smoothed_state_means[0, 0])

    l2K.append(smoothed_state_means[0, 2])

    #плотность воздуха в рабочих условиях

    #ro.append( k * l1K[i]/( l2K[i] + K) )

    #плотность воздуха, приведенная к стандартным условиям

    ro.append( (k * l1K[i]/( l2K[i] + K)) * (Pn*(l2K[i]+K)/K/l1K[i]) )

    #плотность воздуха, приведенная к нормальным условиям

    #ro.append( (k * l1K[i]/( l2K[i] + K)) * (Pn*(l2K[i]+K)/(K+20)/l1K[i]) )

    print('{0:3d} {1:10.3f} {2:10.3f} {3:10.3f} {4:10.3f} {5:10.3f}'.

          format(n[i],l1[i],l1K[i],l2[i],l2K[i],ro[i]))

    i += 1

 

ser.close()

time_tm = t1[m - 1] - t1[0]

print("nпродолжительность времени измерений: {0:.3f}, c".format(time_tm))

Ts = time_tm / (m - 1)

print("nпериод опроса датчика: {0:.6f}, c".format(Ts))

#запись таблицы в файл

print("nтаблица находится в файле {}n".format(filename))

for i in np.arange(0,len(n),1):

    out_file.write('{0:3d} {1:10.3f} {2:10.3f} {3:10.3f} {4:10.3f} {5:10.3f}n'.

                   format(n[i],l1[i],l1K[i],l2[i],l2K[i],ro[i]))

#закрыть файл с таблицей

out_file.close()

now = datetime.datetime.now() #получаем дату и время

#выводим графики

plt.figure('давление')

plt.plot( n, l1, "b-", n, l1K, "r-")

plt.ylabel(r'$давление, Па$')

plt.xlabel(r'$номер  измерения$' +

            '; (период опроса датчика: {:.6f}, c)'.format(Ts))

plt.title("BMP180n(" +

           now.strftime("%d-%m-%Y %H:%M") + ")")

plt.grid(True)

plt.figure('температура')

plt.plot( n, l2, "b-", n, l2K, "r-")

plt.ylabel(r'$температура, degree С$')

plt.xlabel(r'$номер  измерения$' +

               '; (период опроса датчика: {:.6f}, c)'.format(Ts))

plt.title("BMP180n(" +

              now.strftime("%d-%m-%Y %H:%M") + ")")

plt.grid(True)

plt.figure('плотность воздуха')

plt.plot( n, ro, "r-")

plt.ylabel(r'$плотность воздуха, г/м^3$')

plt.xlabel(r'$номер  измерения$' +

               '; (период опроса датчика: {:.6f}, c)'.format(Ts))

plt.title("BMP180n(" +

              now.strftime("%d-%m-%Y %H:%M") + ")")

plt.grid(True)

plt.show()

Результаты расчёта представлены листингом и рис. 4, 5, 6.

введите количество измерений: 33

введите номер последовательного порта: 6

соединились с: COM6

 

параметры:

 

n  - момент времени, с;

P  - давление, Па;

Pf - отфильтрованное значение P, Па;

T  - температура, град. С;

Tf - отфильтрованное значение T, град. С;

ro - плотность воздуха, г/м^3;

 

измеряемые значения величин параметров

 

  n         P        Pf         T        Tf        ro

 

  0 101141.000 101141.000     28.120     28.120   1295.574

  1 101140.000 101140.099     28.190     28.183   1295.574

  2 101140.000 101140.000     28.130     28.136   1295.574

  3 101141.000 101140.901     28.100     28.103   1295.574

  4 101140.000 101140.099     28.100     28.100   1295.574

  5 101141.000 101140.901     28.110     28.109   1295.574

  6 101141.000 101141.000     28.100     28.101   1295.574

  7 101139.000 101139.217     28.100     28.100   1295.574

  8 101138.000 101138.099     28.090     28.091   1295.574

  9 101137.000 101137.099     28.100     28.099   1295.574

 10 101151.000 101149.028     28.100     28.100   1295.574

 11 101136.000 101138.117     28.110     28.109   1295.574

 12 101143.000 101142.052     28.110     28.110   1295.574

 13 101139.000 101139.500     28.100     28.101   1295.574

 14 101150.000 101148.463     28.110     28.109   1295.574

 15 101154.000 101153.500     28.120     28.119   1295.574

 16 101151.000 101151.354     28.110     28.111   1295.574

 17 101141.000 101142.391     28.130     28.127   1295.574

 18 101141.000 101141.000     28.120     28.121   1295.574

 19 101142.000 101141.901     28.110     28.111   1295.574

 20 101141.000 101141.099     28.120     28.119   1295.574

 21 101142.000 101141.901     28.110     28.111   1295.574

 22 101146.000 101145.500     28.120     28.119   1295.574

 23 101144.000 101144.217     28.130     28.129   1295.574

 24 101142.000 101142.217     28.130     28.130   1295.574

 25 101142.000 101142.000     28.140     28.139   1295.574

 26 101142.000 101142.000     28.130     28.131   1295.574

 27 101146.000 101145.500     28.150     28.147   1295.574

 28 101142.000 101142.500     28.190     28.185   1295.574

 29 101146.000 101145.500     28.230     28.225   1295.574

 30 101146.000 101146.000     28.230     28.230   1295.574

 31 101146.000 101146.000     28.220     28.221   1295.574

 32 101150.000 101149.500     28.210     28.211   1295.574

 

продолжительность времени измерений: 6.464, c

 

период опроса датчика: 0.201998, c

 

таблица находится в файле 68_count.txt

Рис. 4 – результаты измерения (красный) и фильтрации (синий) давления

Рис. 5 – результаты измерения (красный) и фильтрации (синий) температуры


Рис. 6 – результаты расчёта плотности воздуха, приведенной к стандартным условиям (температура 273.15 К; абсолютное давление 101.325 кПа)

Выводы

Разработана методика определения плотности газа по результатам измерения давления и температуры с применением датчиков Arduino и программных средств Python.

Ссылки на источники информации

1. ГОСТ 8.586.5-2005. URL
2. ГОСТ Р 8.740 – 2011. URL
3. Ideal gas law. URL
4. Standard conditions for temperature and pressure. URL

Комбинированный газовый закон — это формула, которая связывает основные параметры идеального газа и позволяет вычислять неизвестные в случаях, если заданы пять остальных величин.

Идеальный газ

Идеальный газ — это математическая модель с определенными допущениями, которая позволяет исследовать свойства газообразных веществ с достаточной точностью. К допущениям, которые используются в модели идеального газа, относятся:

• пренебрежение размерами молекул;
• силы молекулярного взаимодействия не учитываются;
• соударение атомов и молекул абсолютно упруго;
• газ находится в термодинамическом равновесии.

Благодаря этим допущениям ученые изучили основные свойства газообразных веществ и вывели основные законы, которым подчиняются любые газы. Комбинированный закон объединяет все перечисленные ниже зависимости.

Газовые законы

Любое газообразное вещество характеризуется тремя простыми параметрами: объемом, давлением и температурой. Газ тем и хорош, что он заполняет весь предоставленный объем или может сжиматься до минимальных объемов, иногда переходя в состояние жидкости. Сжимать газ можно двумя способами:

• при постоянном давлении уменьшить температуру;
• при постоянной температуре увеличить давление.

Эти две простые формулировки отражают в себе два известных газовых закона: изобару и изотерму. В изобарном процессе изменение температуры приводит к прямо пропорциональному изменению объема. Вспомните жидкий азот: он занимает минимум места, при этом его температура составляет 63,29 К, что соответствует –209 градусам Цельсия. Если температуру азота поднять до 20 градусов Цельсия, то 1 литр жидкого азота превратится в 700 литров газа. Увеличивается температура, увеличивается объем и наоборот. Эти изменения обусловлены тем, что соотношение объема к температуре газа остается статичным.

В изотермическом процессе температура не изменяется и для сжатия газа придется увеличить давление. Это процесс проще для понимания, так как сдавливая газ мы уменьшаем его объем подобно тому, как утрамбовывание грунта или снега позволяет уложить их более плотно и с меньшим объемом. В этом изотермическом процессе изменение давления приводит к обратно пропорциональному изменению объема. Больше давление, меньше объем и наоборот. Такая динамика обусловлена тем, что произведение давления на объем — это всегда постоянная величина.

Если же объем газа не изменяется, то процесс называется изохорным и в этом процессе отображается взаимосвязь давления и температуры. Согласно закону, изменение одного параметра вызывает прямо пропорциональное изменение другого. Это означает, что увеличение давления в сосуде вызывает рост температуры находящегося там газа. Верно и обратное утверждение.

Комбинированный закон

Все перечисленные законы подчиняются общей формулировке: при постоянстве одного параметра, отношение двух других также постоянно. Обобщая эти законы в динамике получаем комбинированный газовый закон, который описывается формулой:

где P1, V1 и T1 — соответственно начальные давление, объем и температура, а P2, V2 и T2 — конечные.

Используя данную формулу легко определить динамику параметров во время нагрева газа или его сжатия.

Наша программа позволяет рассчитать соотношение параметров идеального газа при их изменении. Для использования калькулятора требуется задать пять известных величин, после чего программа определит последнее неизвестное. Рассмотрим небольшой пример.

Пример использования калькулятора

Представим баллон газа объемом 15 л под давлением 120 кПа и при температуре –20 градусов Цельсия. Определим температуру газа, если баллон будет заменен на емкость объемом 10 л и давлением 150 кПа. На первый взгляд у нас есть все параметры, однако в газовых законах температура обязательно указывается в кельвинах, а не градусах. Для перевода температуры в систему Си достаточно прибавить к значению величину 273. Получаем, что температура газа составляет 253 К. Теперь вводим данные в соответствующие ячейки и смотрим на результат: конечная температура теперь равна 210 К или –63 градуса Цельсия. Очевидно, что газ подчинился приведенным выше законам и при уменьшении объема его температура также уменьшилась.

Заключение

Газовые законы — серьезная тема школьного курса физики, которую более подробно разбирают на первом году обучения в вузах. Комбинированный закон газа прост на первый взгляд, но обилие параметров может запутать школьника, а выведение пропорций и вовсе способно превратить задачу в ад. Для упрощения расчетов используйте наш онлайн-калькулятор, не забывая переводить все заданные параметры в систему СИ.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Калькулятор ниже предназначен для решения задач на использование уравнения Клапейрона-Менделеева, или уравнение состояния идеального газа. Некоторая теория изложена под калькулятором, ну а чтобы было понятно, о чем идет речь — пара примеров задач:

Примеры задач на уравнение Менделеева-Клапейрона

В колбе объемом 2,6 литра находится кислород при давлении 2,3 атмосфер и температуре 26 градусов Цельсия .
Вопрос: сколько молей кислорода содержится в колбе?

В калькулятор вводим начальные условия, выбираем, что считать (число моль, новые объем, температуру или давление), заполняем при необходимости оставшиеся условия, и получаем результат.

Уравнение Клапейрона-Менделеева. Связь между числом молей газа, его температурой, объемом и давлением.

Теперь немного формул.

где
P — давление газа (например, в атмосферах)
V — объем газа (в литрах);
T — температура газа (в кельвинах);
R — газовая постоянная (0,0821 л·атм/моль·K).
Если используется СИ, то газовая постоянная равна 8,314 Дж/K·моль

Так как m-масса газа в (кг) и M-молярная масса газа кг/моль, то m/M — число молей газа, и уравнение можно записать также

где n — число молей газа

И как нетрудно заметить, соотношение

есть величина постоянная для одного и того же количества моль газа.

И эту закономерность опытным путем установили еще до вывода уравнения. Это так называемые газовые законы — законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака, Шарля.

Так, закон Бойля-Мариотта гласит (это два человека):
Для данной массы газа m при неизменной температуре Т произведение давления на объем есть величина постоянная.

Закон Гей-Люссака (а вот это один человек):
Для данной массы m при постоянном давлении P объем газа линейно зависит от температуры

Закон Шарля:
Для данной массы m при постоянном объеме V давление газа линейно зависит от температуры

Посмотрев на уравнение, нетрудно убедиться в справедливости этих законов.

Уравнение Менделеева-Клапейрона, также как и опытные законы Бойля-Мариотта, Гей-Люссака и Шарля справедливы для широкого интервала давлений, объемов и температур. То есть во многих случаях эти законы удобны для практического применения. Однако не стоит забывать, что когда давления превышают атмосферное в 300-400 раз, или температуры очень высоки, наблюдаются отклонения от этих законов.
Собственно, идеальный газ потому и называют идеальным, что по определению это и есть газ, для которого не существует отклонений от этих законов.

Введение

Задача измерения параметров газовой смеси широко распространена в промышленности и торговле. Проблема получения достоверной информации при измерении параметров состояния газовой среды и её характеристик с помощью технических средств разрешается принятыми в стандартах методиками выполнения измерений (МВИ), например, при измерении расхода и количества газов с помощью стандартных сужающих устройств [1], или с помощью турбинных, ротационных и вихревых расходомеров и счётчиков [2].

Периодический газовый анализ позволяет установить соответствие между реальной анализируемой смесью и её моделью, по которой в МВИ учитываются физико-химические параметры газа: состав газовой смеси и плотность газа при стандартных условиях.
Также в МВИ учитываются теплофизические характеристики газа: плотность при рабочих условиях (давление и температура газа, при которых выполняют измерение его расхода или объёма), вязкость, фактор и коэффициент сжимаемости.

К измеряемым в реальном режиме времени параметрам состояния газа относятся: давление (перепад давлений), температура, плотность. Для измерения этих параметров применяются соответственно средства измерительной техники: манометры (дифманометры), термометры, плотномеры. Измерение плотности газовой среды допускается измерять прямым или косвенным методами измерения. Результаты как прямых, так и косвенных методов измерения зависят от погрешности средств измерения и методической погрешности. В рабочих условиях, сигналы измерительной информации могут быть подвержены влиянию значительного шума, среднее квадратичное отклонение которого может превышать инструментальную погрешность. В этом случае, актуальной задачей является эффективная фильтрация сигналов измерительной информации.

В данной статье рассматривается методика косвенного измерения плотности газа при рабочих и стандартных условиях c применением фильтра Калмана.

Математическая модель определения плотности газа

Обратимся к классике и вспомним уравнение состояния идеального газа [3]. Имеем:

1. Уравнение Менделеева-Клапейрона:

(1),

— давление газа;

— молярный объём;

R — универсальная газовая постоянная,

;

T — абсолютная температура, T=273.16 К.

2. Два измеряемых параметра:

p – давление газа, Па
t – температура газа, °С.

Известно, что молярный объём зависит от объёма газа V и количества молей газа в этом объёме:

(2)

Также известно, что

(3),

где: m – масса газа, M – молярная масса газа.

Учитывая (2) и (3) перепишем (1) в виде:

(4).

Как известно, плотность вещества

равна:

(5).

Из (4) и (5) выведем уравнение для плотности газа

:

(6)

и введём обозначение параметра

, который зависит от молярной массы газовой смеси:

(7).

Если состав газовой смеси не меняется, то параметр k является константой.
Итак, для расчёта плотности газа необходимо рассчитать молярную массу газовой смеси.

Молярную массу смеси веществ определяем, как среднее арифметическое взвешенное молярной массы массовых долей, входящих в смесь индивидуальных веществ.

Примем известным состав веществ в газовой смеси – в воздухе, который состоит из:

Молярные массы этих веществ воздуха будут соответственно равны:

, г/моль.

Вычисляем молярную массу воздуха, как среднее арифметическое взвешенное:

Теперь, зная значение константы

, мы можем вычислить плотность воздуха по формуле (7) с учетом измеряемых значений

и t:

Приведение плотности газа к нормальным, стандартным условиям

Практически, измерения свойств газов проводят в различных физических условиях, и для обеспечения сопоставления между различными наборами данных должны быть установлены стандартные наборы условий [4].

Стандартные условия для температуры и давления – это установленные стандартом физические условия, с которыми соотносят свойства веществ, зависящие от этих условий.

Различные организации устанавливают свои стандартные условия, например: Международный союз чистой и прикладной химии (IUPAC), установил в области химии определение стандартной температуры и давления (STP): температура 0 °C (273.15 K), абсолютное давление 1 бар ( Па); Национальный институт стандартов и технологий (NIST) устанавливает температуру 20 °C (293,15 K) и абсолютное давление 1 атм (101.325 кПа), и этот стандарт называют нормальной температурой и давлением (NTP); Международная организация по стандартизации (ISO) устанавливает стандартные условия для природного газа (ISO 13443: 1996, подтверждённый в 2013 году): температура 15.00 °С и абсолютное давление 101.325 кПа.

Поэтому, в промышленности и торговле необходимо указывать стандартные условия для температуры и давления, относительно которых и проводить необходимые расчёты.

Плотность воздуха мы рассчитываем по уравнению (8) в рабочих условиях температуры и давления. В соответствии с (6) запишем уравнение для плотности воздуха в стандартных условиях: температура и абсолютное давление :

(9).

Делаем расчёт плотности воздуха, приведенной к стандартным условиям. Разделим уравнение (9) на уравнение (6) и запишем это отношение для :

(10).

Подобным образом, получим уравнение для расчёта плотности воздуха, приведенной к нормальным условиям: температура и абсолютное давление

:

(11).

В уравнениях (10) и (11) используем значения параметров воздуха , T и P из уравнения (8), полученные в рабочих условиях.

Реализация измерительного канала давления и температуры

Для решения многих задач получения информации, в зависимости от их сложности, удобно создавать прототип будущей системы на базе одной из микроконтроллерных платформ типа Arduino, Nucleo, Teensy, и др.

Что может быть проще? Давайте сделаем микроконтроллерную платформу для решения конкретной задачи – создание системы измерения давления и температуры, затрачивая меньше, возможно, средств, и используя все преимущества разработки программного обеспечения в среде Arduino Software (IDE).

Для этого, на аппаратном уровне, нам понадобятся компоненты:

1. Arduino (Uno, …) – используем как программатор;
2. микроконтроллер ATmega328P-PU – микроконтроллер будущей платформы;
3. кварцевый резонатор на 16 МГц и пара керамических конденсаторов на 12-22 пФ каждый (по рекомендациям фирмы-изготовителя);
4. тактовая кнопка на перезагрузку микроконтроллера и подтягивающий плюс питания к выводу RESET микроконтроллера резистор на 1 кОм;
5. BMP180 — измерительный преобразователь температуры и давления с интерфейсом I2C;
6. преобразователь интерфейсов TTL/USB;
7. расходные материалы – провода, припой, монтажная плата, и др.

Принципиальная схема платформы, с учетом необходимых интерфейсов: стандартного последовательного интерфейса, I2C, и ничего более, представлена на рис. 1.

Рис. 1 — Принципиальная схема микроконтроллерной платформы для реализации системы измерения давления и температуры

Теперь рассмотрим этапы осуществления нашей задачи.

1. Прежде, нам нужен программатор. Подключаем Arduino (Uno, …) к компьютеру. В среде Arduno Software из меню по пути Файл->Примеры->11. ArdunoISP добираемся до программы программатора ArduinoISP, которую зашиваем в Arduino. Предварительно из меню Инструменты выбираем соответственно Плату, Процессор, Загрузчик, Порт. После Загрузки программы ArduinoISP в плату, наша Arduino превращается в программатор и готова к использованию по назначению. Для этого в среде Arduno Software в меню Инструменты выбираем пункт Программатор: “Arduino as ISP”.

2. Подключаем по интерфейсу SPI ведомый микроконтроллер ATmega328P к ведущему программатору Arduino (Uno, …), рис. 2. Следует заметить, что предварительно биты регистра Low Fuse Byte микроконтроллера ATmega328P были установлены в незапрограммированное состояние. Переходим в среду Arduno Software и из меню Инструменты выбираем пункт Записать Загрузчик. Прошиваем микроконтроллер ATmega328P.

Рис. 2 – Схема подключения микроконтроллера к программатору

3. После успешной прошивки, микроконтроллер ATmega328P готов к установке на разработанную микроконтроллерную платформу (рис. 3), которую программируем также, как и полноценную Arduino (Uno, …). Программа опроса измерительного преобразователя давления и температуры представлена на листинге 1.

Рис. 3 Система измерения давления и температуры

Программа Python для фильтрации по каналам температуры и давления, и получение результатов

Программа Python методики определения плотности газа по результатам измерений давления и температуры представлена на листинге 2. Информация из измерительной системы выводится в реальном режиме времени.

Результаты расчёта представлены листингом и рис. 4, 5, 6.

Рис. 4 – результаты измерения (красный) и фильтрации (синий) давления

Рис. 5 – результаты измерения (красный) и фильтрации (синий) температуры


Рис. 6 – результаты расчёта плотности воздуха, приведенной к стандартным условиям (температура 273.15 К; абсолютное давление 101.325 кПа)

Выводы

Разработана методика определения плотности газа по результатам измерения давления и температуры с применением датчиков Arduino и программных средств Python.