Поверхностная плотность заряда
Напряженность электрического поля зависит от величины заряда и конфигурации заряженного тела.
Поверхностная плотность заряда — есть отношение заряда к площади заряженной поверхности.
Единица СИ поверхностной плотности заряда:
[ [σ] = frac{кулон}{квадратный enspace метр} = frac{Кл}{м^2} ]
Если
| σ | поверхностная плотность заряда, | Кулон/метр2 |
|---|---|---|
| Q | заряд поверхности проводника, | Кулон |
| S | площадь поверхности проводника, | метр2 |
то
[ σ = frac{Q}{S} ]
Вычислить, найти поверхностную плотность заряда по формуле (2)
Наличие зарядов приводит к возникновению сил, которые в свою очередь действуют на заряды, помещенные в электрическое поле. Причина и следствие здесь взаимно переплетаются.
Если
| σ | поверхностная плотность заряда, | Кулон/метр2 |
|---|---|---|
| E | напряженность электрического поля, | Вольт/метр |
| ε0 | электрическая постоянная, 8.85·10-12 | Кулон/(Вольт · метр) |
то
[ σ = ε_0 · E ]
Вычислить, найти поверхностную плотность заряда через напряженность электрического поля по формуле (3)
Поверхностная плотность заряда |
стр. 626 |
|---|
Для упрощения
математических расчетов электростатических
полей часто пренебрегают дискретной
структурой зарядов. Считают, что заряд
распределен непрерывно и вводят понятие
о плотности заряда.
Рассмотрим различные
случаи распределения зарядов.
1.Заряд
распределен вдоль линии.
Пусть на бесконечно малом участке
находится заряд
.
Введем величину
.
(1.5)
Величина
называется линейной плотностью заряда.
Ее физический смысл – заряд, приходящийся
на единицу длины.
2.Заряд
распределен по поверхности.
Введем поверхностную плотность заряда:
.
(1.6)
Её физический
смысл – заряд, приходящийся на единицу
площади.
3.Заряд
распределен по объёму.
Введем объёмную плотность заряда:
.
(1.7)
Её физический
смысл – заряд, сосредоточенный в единице
объёма.
Заряд,
сосредоточенный на бесконечно малом
участке линии, поверхности или в
бесконечно малом объёме можно считать
точечным. Напряжённость поля, создаваемого
им, определится формулой:
.
(1.8)
Для нахождения
напряжённости поля, создаваемого всем
заряженным телом, нужно применить
принцип суперпозиции полей:
.
(1.9)
В этом случае, как
правило, задача сводится к вычислению
интеграла.
1.3.Применение принципа суперпозиции к расчету электростатических полей. Электростатическое поле на оси заряженного кольца
Постановка
задачи.
Пусть имеется тонкое кольцо радиуса R,
заряженное с линейной плотностью заряда
τ.
Необходимо рассчитать напряжённость
электрического поля в произвольной
точке А,
расположенной на оси заряженного кольца
на расстоянии x
от плоскости кольца (рис. ).
Выберем
бесконечно малый элемент длины кольца
dl;
заряд dq,
находящийся на этом элементе равен dq=
τ·dl.
Этот заряд создает в точке А
электрическое поле напряжённостью
.
Модуль вектора напряжённости равен:
.
(1.10)
По
принципу суперпозиции полей напряжённость
электрического поля, создаваемого всем
заряженным телом, равна векторной сумме
всех векторов
:
.
(1.11)
Разложим
вектора
на составляющие: перпендикулярные оси
кольца (
)
и параллельные оси кольца (
).
.
(1.12)
Векторная
сумма перпендикулярных составляющих
равна нулю:
,
тогда
.
Заменяя сумму интегралом, получим:
.
(1.13)
Из
треугольника (рис.1.2) следует:
=
.
(1.14)
Подставим выражение (1.14) в формулу (1.13) и вынесем за знак интеграла постоянные величины, получим:
.
(1.15)
Так
как
,
то
.
(1.16)
С
учетом того, что
,
формулу (1.16) можно представить в виде:
.
(1.17)
1.4.Геометрическое описание электрического поля. Поток вектора напряжённости
Для
математического описания электрического
поля нужно указать в каждой точке
величину и направление вектора
,
то есть задать векторную функцию
.
Существует
наглядный (геометрический) способ
описания поля с помощью линий вектора
(силовых линий) (рис.13.).
Линии напряжённости
проводят следующим образом:
-
касательная
к линии в каждой точке должна совпадать
с направлением поля; -
число
линий пересекающих единичную площадку,
перпендикулярную к ним, должно быть
равно численному значению вектора
.
.
С
уществует
правило:
линии вектора напряжённости электрических
полей, создаваемых системой неподвижных
зарядов, могут начинаться или заканчиваться
лишь на зарядах либо уходить в
бесконечность.
На
рисунке 1.4 показано изображение
электростатического поля точечного
заряда с помощью линий вектора
,
а на рисунке 1.5 — изображение
электростатического поля диполя.
1.5.
Поток
вектора напряжённости электростатического
поля
П
оместим
в электрическое поле бесконечно малую
площадку dS (рис.1,6).
Здесь
— единичный вектор нормали к площадке.
Вектор напряжённости электрического
поля
образует с нормалью
некоторый угол α.
Проекция вектора
на направление нормали равна En=E·cos
α .
Потоком вектора
через бесконечно малую площадку
называется скалярное произведение
,
(1.18)
или
.
(1.19)
Поток вектора
напряжённости электрического поля
является алгебраической величиной; его
знак зависит то взаимной ориентации
векторов
и
.
Поток
вектора
через произвольную поверхностьSконечной величины определится интегралом:
.
(1.20)
Е
сли
поверхность замкнутая, интеграл отмечают
кружочком:
.
(1.21)
Для замкнутых
поверхностей нормаль берется наружу
(рис.1.7).
Поток
вектора напряжённости имеет наглядный
геометрический смысл: он численно равен
числу линий вектора
,
проходящих через поверхностьS.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Сосредоточенные и распределенные заряды
Заряды можно распределять по какой-либо области тел, тогда их называют распределенными. Когда же заряд целиком собран в одну точку, его называют точечным. Большинство школьных задач физики связано с точечными зарядами.
Сосредоточенный заряд
Электрический заряд, сосредоточенный в какой-либо точке пространства, называют точечным.
Рис. 1. Точечный заряд
Силу взаимодействия точечных зарядов можно вычислить, используя закон Кулона.
Распределенные заряды
Электрический заряд, так же, можно распределять по объему, площади, или длине. Такие заряды называют распределенными. Чтобы описать эти заряды, используют понятие плотности заряда.
Если заряд распределен по:
— объему, говорят о объемной плотности заряда;
— площади, употребляют поверхностную плотность;
— длине, используют линейную плотность.
Примечание: Плотности отрицательных зарядов записывают со знаком «минус».
Формула линейной плотности заряда
Рис. 2. Заряд распределен по длинному тонкому телу
[ large boxed {tau = frac{q}{L} } ]
( large q left(text{Кл} right) ) – заряд;
( large L left(text{м} right) ) – длина, по которой распределен заряд;
( large tau left(frac{text{Кл}}{text{м}} right) ) – линейная плотность заряда;
Формула поверхностной плотности заряда
Любая поверхность обладает площадью, распределяя по ней заряд, получим поверхностную его плотность.
Этот термин используют, например, для вычисления электрического поля заряженной плоскости, или плоского конденсатора (двух параллельных плоскостей).
Рис. 3. Заряд распределен по плоской поверхности
[ large boxed {sigma = frac{q}{S} } ]
( large S left(text{м}^{2} right) ) – площадь, по которой распределен заряд;
( large sigma left(frac{text{Кл}}{text{м}^{2}} right) ) – поверхностная плотность заряда;
Формула объемной плотности заряда
Функция, описывающая плотность распределения заряда в трехмерном пространстве, входит в одно из уравнений Максвелла.
Рис. 4. Заряд распределен по объему тела
[ large boxed {rho = frac{q}{V} } ]
( large V left(text{м}^{3} right) ) – объем, по которому распределен заряд;
( large rho left(frac{text{Кл}}{text{м}^{3}} right) ) – объемная плотность заряда;
Примечание:
Джеймс Клерк Максвелл (1831 — 1879) – талантливый шотландский математик и физик. Популяризатор науки, экспериментатор и конструктор научных приборов.
Описал электромагнитное взаимодействие с помощью своих уравнений (уравнения Максвелла). Система этих уравнений лежит в основе современной электродинамики.
Предсказал электромагнитные волны, обнаружил, что свет имеет электромагнитную природу и может создавать давление.
Занимался исследованиями в области молекулярной физики и термодинамики. Использовал математический аппарат статистики, получил температурное распределение скоростей молекул.
Проводил исследования в области астрономии и оптики, для планеты Сатурн провел анализ устойчивости колец.
Именно Максвелл заложил трехцветный принцип, который используется в цветной фотографии и телевидении.
Оценка статьи:
Загрузка…
2016-12-11 
Найти плотность электрических зарядов в атмосфере, если известно, что напряженность электрического поля вблизи поверхности Земли равна $E_{1} = 100 frac{В}{м}$, а на высоте 1,5 км — $E_{2} = 25 frac{В}{м}$. Считать, что плотность зарядов атмосферы постоянна, Земля имеет форму шара, а атмосфера — шарового слоя.
Решение:
Воспользуемся принципом суперпозиции для вычисления поля вблизи поверхности Земли:
$E_{1} = E_{1з} + E_{1ат}$, (1)
где $E_{1з}$ — поле, создаваемое зарядами на поверхности Земли, $E_{1ат}$ — зарядами атмосферы. Обозначая заряд и радиус Земли через $Q$ и $R$ соответственно, имеем:
$E_{1з} = frac{kQ}{R^{2}}$. (2)
Для вычисления $E_{1ат}$ разобьем атмосферу на тонкие шаровые слои. Поскольку поле зарядов слоя внутри его равно нулю,
$vec{E}_{1ат} = 0$. (3)
Принцип суперпозиции в точке 2 дает:
$vec{E}_{2} = vec{E}_{2з} + vec{E}_{2ат}$. (4)
Поле $E_{2з}$, создаваемое зарядами Земли в точке 2 равно:
$E_{2з} = frac{kQ}{(R+h)^{2}}$. (5)
Для вычисления $E_{2ат}$ разобьем атмосферу на тонкие слои. При этом вклад шаровых слоев, лежащих выше точки 2, равен пулю (см. выше), а вклад слоев, лежащих ниже точки 2, равен $frac{kq}{(R+h)^{2}}$, где $q$ — заряд шарового слоя между точками 1 и 2. Таким образом:
$E_{2ат} = frac{kq}{(R+h)^{2}}$. (6)
Запишем определение плотности зарядов для шарового слоя между 1 и 2:
$rho = frac{q}{V}$, (7)
где объем $V$ шарового слоя:
$V = frac{4}{3} pi (R+h)^{3} — frac{4}{3} pi R^{3} approx 4 pi R^{2} h$ (8)
(учтено, что $h ll R$).
Проецируя (1) и (4) на радиальную ось, совпадающую с направлениями векторов $E_{1}$ и $E_{2}$, и используя другие полученные соотношения, находим:
$rho = frac{E_{1} — E_{2}}{4 pi kh} = 4,4 cdot 10^{-13} frac{Кл}{м^{3}}$.
Роман Алексеевич Лалетин
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
В случае равновесного распределения заряды проводника распределяются в тонком поверхностном слое. Так, например, если проводнику сообщить отрицательный заряд, то из-за наличия сил отталкивания элементов этого заряда они рассредоточатся по всей поверхности проводника.
Исследование при помощи пробной пластинки
Для того чтобы на опыте исследовать, как распределяются заряды на внешней поверхности проводника используют так называемую пробную пластинку. Эта пластинка настолько мала, что при соприкосновении с проводником ее можно рассматривать как часть поверхности проводника. Если эту пластинку приложить к заряженному проводнику, то часть заряда ($triangle q$) перейдет на нее и величина этого заряда будет равна заряду, который находился на поверхности проводника по площади равной площади пластинки ($triangle S$).
Тогда величина равная:
[sigma=frac{triangle q}{triangle S}(1)]
называется поверхностной плотностью распределения заряда в данной точке.
Разряжая пробную пластинку через электрометр можно судить о величине поверхностной плотности заряда. Так, например, если зарядить проводящий шар, то можно увидеть, с помощью вышеприведенного метода, что в состоянии равновесия поверхностная плотность заряда на шаре одна и та же во всех его точках. То есть заряд по поверхности шара распределяется равномерно. Для проводников более сложной формы распределение заряда сложнее.
Поверхностная плотность проводника
Поверхность любого проводника является эквипотенциальной, но в общем случае плотность распределения заряда может очень сильно отличаться в разных точках. Поверхностная плотность распределения заряда зависит от кривизны поверхности. В разделе, который был посвящен описанию состояния проводников в электростатическом поле, мы установили, что напряженность поля около поверхности проводника перпендикулярна поверхности проводника в любой его точке и равна по модулю:
[E=frac{sigma}{varepsilon {varepsilon }_0} left(2right),]
где ${varepsilon }_0$ — электрическая постоянная, $varepsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды. Следовательно,
[sigma=Evarepsilon {varepsilon }_0 left(3right).]
Чем больше кривизна поверхности тем, тем больше напряженность поля. Следовательно, на выступах плотность заряда особенно велика. Вблизи углублений в проводнике эквипотенциальные поверхности расположены реже. Следовательно, напряженность поля и плотность зарядов в этих местах меньше. Плотность зарядов при заданном потенциале проводника определяется кривизной поверхности. Она растет с увеличением выпуклости и убывает с увеличением вогнутости. Особенно большая плотность заряда на остриях проводников. Так, напряженность поля на острие может быть настолько велика, что может возникать ионизация молекул газа, который окружает проводник. Ионы газа противоположного знака заряда (относительно заряда проводника) притягиваются к проводнику, нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака отталкиваются от проводника, «тянут» за собой нейтральные молекулы газа. Такое явление называют электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается в результате процесса нейтрализации, он как бы стекает с острия. Такое явление называют истечением заряда с острия.
Мы уже говорили, что когда мы вносим проводник в электрическое поле, происходит разделение положительных зарядов (ядер) и отрицательных (электронов). Такое явление носит название электростатической индукции. Заряды, которые появляются в результате, называют индуцированными. Индуцированные заряды создают дополнительное электрическое поле.
«Распределение заряда по поверхности проводника» 👇
Поле индуцированных зарядов направлено в сторону противоположную направлению внешнего поля. Поэтому заряды, которые накапливаются на проводнике, ослабляют внешнее поле.
Перераспределение зарядов идет, пока не выполнены условия равновесия зарядов для проводников. Такие как: равенство нулю напряженности поля везде внутри проводника и перпендикулярность вектора напряженности заряженной поверхности проводника. Если в проводнике есть полость, то при равновесном распределении индуцированного заряда поле внутри полости равно нулю. На этом явлении основана электростатическая защита. Если какой-либо прибор хотят защитить от воздействия внешних полей, его окружают проводящим экраном. В таком случае внешнее поле компенсируется внутри экрана возникающими на его поверхности индуцированными зарядами. Такой может быть не обязательно сплошным, но и в виде густой сетки.
Пример 1
Задание: Бесконечно длинная нить, заряженная с линейной плотностью $tau $, расположена перпендикулярно бесконечно большой проводящей плоскости. Расстояние от нити до плоскости $l$. Если продолжить нить до пересечения с плоскостью, то в месте пересечения получим некоторую точку А. Составьте формулу зависимости поверхностной плотности $sigma left(rright) $индуцированных зарядов на плоскости от расстояния до точки А.
Рис. 1
Решение:
Рассмотрим некоторую точку В на плоскости. Бесконечно длинная заряженная нить в точке В создает электростатическое поле, в поле находится проводящая плоскость, на плоскости образуются индуцированные заряды, которые в свою очередь создают поле, которое ослабляет внешнее поле нити. Нормальная составляющая поля плоскости (индуцированных зарядов) в точке В будет равна нормальной составляющей поля нити в этой же точке, если система находится в равновесии. Выделим на нити элементарный заряд ($dq=tau dx, где dx-элементарный кусочек нити $), найдем в точке В напряжённость, создаваемую этим зарядом ($dE$):
[dE=frac{tau dx}{4pi {varepsilon }_0varepsilon a^2}left(1.1right).]
Найдем нормальную составляющую элемента напряженности поля нити в точке В:
[dE_n=dEcosalpha =frac{tau dxcosalpha }{4pi {varepsilon }_0varepsilon a^2}left(1.2right),]
где $cosalpha $ выразим как:
[cosalpha =frac{x}{a}left(1.3right).]
Выразим расстояние $a$ по теореме Пифагора как:
[a=sqrt{r^2+x^2} left(1.4right).]
Подставим (1.3) и (1.4) в (1.2), получим:
[dE_n=frac{tau dx}{4pi {varepsilon }_0varepsilon a^2}frac{x}{a}=frac{tau xdx}{4pi {varepsilon }_0varepsilon {left(r^2+x^2right)}^{{3}/{2}}}left(1.5right).]
Найдем интеграл от (1.5) где пределы интегрирования от $l (расстояние до ближайшего конца нити от плоскости) до infty $:
[E_n=intlimits^{infty }_l{frac{tau xdx}{4pi {varepsilon }_0varepsilon {left(r^2+x^2right)}^{{3}/{2}}}}=frac{tau }{4pi {varepsilon }_0varepsilon }intlimits^{infty }_l{frac{xdx}{{left(r^2+x^2right)}^{{3}/{2}}}}=frac{tau }{4pi {varepsilon }_0varepsilon }cdot frac{1}{{left(r^2+x^2right)}^{{1}/{2}}}left(1.6right).]
С другой стороны, мы знаем, что поле равномерно заряженной плоскости равно:
[E=frac{sigma}{2varepsilon {varepsilon }_0} left(1.7right).]
Приравняем (1.6) и (1.7), выразим поверхностную плотность заряда:
[frac{1}{2}cdot frac{sigma}{varepsilon {varepsilon }_0}=frac{tau }{4pi {varepsilon }_0varepsilon }cdot frac{1}{{left(r^2+x^2right)}^{{1}/{2}}}to sigma=frac{tau }{2cdot pi {left(r^2+x^2right)}^{{1}/{2}}}.]
Ответ: $sigma=frac{tau }{2cdot pi {left(r^2+x^2right)}^{{1}/{2}}}.$
Пример 2
Задание: Рассчитайте поверхностную плотность заряда, который создается около поверхности Земли, если напряженность поля Земли равна 200$ frac{В}{м}$.
Решение:
Будем считать, что диэлектрическая проводимость воздуха $varepsilon =1$ как у вакуума. За основу решения задачи примем формулу для расчёта напряженности заряженного проводника:
[E=frac{sigma}{varepsilon {varepsilon }_0}left(2.1right).]
Выразим поверхностную плотность заряда, получим:
[sigma=E{varepsilon }_0varepsilon left(2.2right),]
где электрическая постоянная нам известна и равна в СИ ${varepsilon }_0=8,85cdot {10}^{-12}frac{Ф}{м}.$
Проведем вычисления:
[sigma=200cdot 8,85cdot {10}^{-12}=1,77cdot {10}^{-9}frac{Кл}{м^2}.]
Ответ: Поверхностная плотность распределения заряда поверхности Земли равна $1,77cdot {10}^{-9}frac{Кл}{м^2}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме