Как найти подлогарифмическое выражение десятичного логарифма - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Все знакомы, что такое степень числа (если нет, то вам сюда). В таблице приведены различные степени числа 2. Глядя на таблицу, ясно, что, например, число 32 – это 2 в пятой степени, то есть двойка, умноженная на саму себя пять раз.

Теперь при помощи этой таблицы введем понятие логарифма.

Логарифм от числа 32 по основанию 2 ((log_{2}(32))) – это в какую степень нужно возвести двойку, чтобы получить 32. Из таблицы видно, что 2 нужно возвести в пятую степень. Значит наш логарифм равен 5:

$$ log_{2}(32)=5;$$

Аналогично, глядя в таблицу получим, что:

$$log_{2}(4)=2;$$
$$log_{2}(8)=3;$$
$$log_{2}(16)=4;$$
$$log_{2}(64)=6;$$
$$log_{2}(128)=7.$$

Естественно, логарифм бывает не только по основанию 2, а по любым основаниям больших 0 и неравных 1. Можете так же создавать таблицы для разных чисел. Но, конечно, со временем вы это будете делать в уме.

Теперь дадим определение логарифма в общем виде:

Логарифмом положительного числа (b) по основанию положительно числа (a) называется степень (c), в которую нужно возвести число (a), чтобы получить (b)

$$log_{a}(b)=c;$$
$$a^{c}=b.$$

Будьте внимательны! В первое время обычно путают, что такое основание и то, что стоит под логарифмом (аргумент). Логарифм — это всегда функция, зависящая от двух переменных. Чтобы их не путать, помните определение логарифма – это степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент.

Но, конечно, вы часто будете сталкиваться не с такими простыми логарифмами, как в примерах с двойкой, а очень часто будет, что логарифм нельзя в уме посчитать. Действительно, что скажете про логарифм пяти по основанию два:

$$log_{2}(5)=???$$

Как его посчитать? При помощи калькулятора. Он нам покажет, что такой логарифм равен иррациональному числу:

$$log_{2}(5)=2,32192809…$$

Или логарифм шести по основанию 4:

$$log_{4}(6)= 1.2924812…$$

На уроках математики пользоваться калькулятором нельзя, поэтому на экзаменах и контрольных принято оставлять такие логарифмы в виде логарифма – не считая его, это не будет ошибкой!

Но иногда можно столкнуться с заданием, где нужно примерно оценить значение логарифма – это очень просто! Давайте для примера оценим логарифм (log_{4}(6)). Необходимо подобрать слева и справа от 6 такие ближайшие числа, логарифм от которых мы сможем посчитать, другими словами, надо найти степени 4-ки ближайшие к 6-ке:

$$ log_{4}(4) lt log_{4}(6) lt log_{4}(16);$$
$$ 1 lt log_{4}(6) lt 2. $$

Значит (log_{4}(6)) принадлежите промежутку от 1 до 2:

$$ log_{4}(6) in (1;2). $$

Как посчитать логарифм

Перед тем, как научиться считать логарифмы, нужно ввести несколько ограничений. Дело в том, что функция логарифма (log_{a}(b)) существует только при положительных значениях основания (a) и аргумента (b). И кроме этого на основание накладывается условие, что оно не должно быть равно (1).

$$ log_{a}(b) quad существует,;при quad a gt 0; ;b gt 0 ;a neq 1.$$

Почему так? Это следует из определения показательной функций. Показательная функция не может быть (0). А основание не равно (1), потому что тогда логарифм теряет смысл – ведь (1) в любой степени это будет (1).

При этих ограничениях логарифм существует.

В дальнейшем при решении различных логарифмических уравнений и неравенств вам это пригодится для ОДЗ.

Обратите внимание, что само значение логарифма может быть любым. Это же степень, а степень может быть любой – отрицательной, рациональной, иррациональной и т.д.

$$log_{3}(frac{1}{3})=-1;$$

Так как (вспоминайте определение отрицательной степени)

$$3^{-1}=frac{1}{3};$$

Теперь давайте разберем общий алгоритм вычисления логарифмов:

Во-первых, постарайтесь представить основание и аргумент (то, что стоит под логарифмом) в виде степеней с одинаковым основанием. Параллельно с этим избавляемся от всех десятичных дробей – переводим их в обыкновенные.
Разобраться в какую степень (x) нужно возвести основание, чтобы получить аргумент. Когда у вас там и там степени с одинаковым основанием, это сделать довольно просто.
(x) и будет искомым значением логарифма.

Давайте разберем на примерах.

Пример 1. Посчитать логарифм (9) по основанию (3): (log_{3}(9))

Сначала представим аргумент и основание в виде степени тройки:
$$ 3=3^1, qquad 9=3^2;$$
Теперь надо разобраться в какую степень (x) нужно возвести (3^1), чтобы получить (3^2)
$$ (3^1)^x=3^2, $$
$$ 3^{1*x}=3^2, $$
$$ 1*x=2,$$
$$ x=2.$$
Вот мы и решили:
$$log_{3}(9)=2.$$

Пример 2. Вычислить логарифм (frac{1}{125}) по основанию (5): (log_{5}(frac{1}{125}))

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1, qquad frac{1}{125}=frac{1}{5^3}=5^{-3};$$
В какую степень (x) надо возвести (5^1), чтобы получить (5^{-3}):
$$ (5^1)^x=5^{-3}, $$
$$ 5^{1*x}=5^{-3},$$
$$1*x=-3,$$
$$x=-3.$$
Получили ответ:
$$ log_{5}(frac{1}{125})=-3.$$

Пример 3. Вычислить логарифм (4) по основанию (64): (log_{64}(4))

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 64=2^6, qquad 4=2^2;$$
В какую степень (x) надо возвести (2^6), чтобы получить (2^{2}):
$$ (2^6)^x=2^{2}, $$
$$ 2^{6*x}=2^{2},$$
$$6*x=2,$$
$$x=frac{2}{6}=frac{1}{3}.$$
Получили ответ:
$$ log_{64}(4)=frac{1}{3}.$$

Пример 4. Вычислить логарифм (1) по основанию (8): (log_{8}(1))

Представим аргумент и основание в виде степени двойки:
$$ 8=2^3 qquad 1=2^0;$$
В какую степень (x) надо возвести (2^3), чтобы получить (2^{0}):
$$ (2^3)^x=2^{0}, $$
$$ 2^{3*x}=2^{0},$$
$$3*x=0,$$
$$x=frac{0}{3}=0.$$
Получили ответ:
$$ log_{8}(1)=0.$$

Пример 5. Вычислить логарифм (15) по основанию (5): (log_{5}(15))

Представим аргумент и основание в виде степени пятерки:
$$ 5=5^1 qquad 15= ???;$$
(15) в виде степени пятерки не представляется, поэтому этот логарифм мы не можем посчитать. У него значение будет иррациональное. Оставляем так, как есть:
$$ log_{5}(15).$$

Внимание!

Как понять, что некоторое число (a) не будет являться степенью другого числа (b). Это довольно просто – нужно разложить (a) на простые множители.

$$16=2*2*2*2=2^4,$$

(16) разложили, как произведение четырех двоек, значит (16) будет степенью двойки.

$$ 48=6*8=3*2*2*2*2,$$

Разложив (48) на простые множители, видно, что у нас есть два множителя (2) и (3), значит (48) не будет степенью.

Теперь поговорим о наиболее часто встречающихся логарифмах. Для них даже придумали специально названия – десятичный логарифм и натуральный логарифм. Давайте разбираться.

Десятичный логарифм

На самом деле, все просто. Десятичный логарифм – это любой обыкновенный логарифм, но с основанием 10. Обозначается — (lg(a)).

Пример 6

$$ log_{10}(100)= lg(100)=2;$$
$$log_{10}(1000)=lg(1000)=3;$$
$$log_{10}(10)=lg(10)=1.$$

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию (e). Обозначение — (ln(x)). Что такое (e)? Так обозначают экспоненту, число-константу, равную, примерно, (2,718281828459…). Это число известно тем, что используется в многих математических законах. Просто запомните, что логарифмы с основанием (e) часто встречаются, и поэтому им придумали специальное название – натуральный логарифм.

Пример 7

$$ log_{e}(e^2)=ln(e^2)=2;$$
$$ log_{e}(e)=ln(e)=1;$$
$$ log_{e}(e^5)=ln(e^5)=5.$$

Натуральные и десятичные логарифмы подчиняются тем же самым свойствам и правилам, что и обыкновенные логарифмы.

У логарифмов есть несколько свойств, по которым можно проводить преобразования и вычисления. Кроме этих свойств, никаких операций с логарифмами делать нельзя.

Свойства логарифмов

$$1. ; log_{a}(1)=0;$$
$$2. ; log_{a}(a)=1;$$
$$3. ; log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$4. ; log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$5. ; log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$6. ; log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$
$$ 7. ; log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0; ; c gt 0; ; c neq 1; $$
$$ 8. ; log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$ 9. ; a^{ log_{a}(b)}=b.$$

Давайте разберем несколько примеров на свойства логарифмов.

Пример 8. Воспользоваться формулой (3). Логарифм от произведения – это сумма логарифмов.

$$log_{a}(b*c)=log_{a}(b)+ log_{a}(c);$$
$$ log_{3}(12)=log_{3}(3*4)=log_{3}(3)+log_{3}(4)=1+log_{3}(4);$$
$$ log_{3}(2.7)+log_{3}(10)=log_{3}(2.7*10)=log_{3}(27)=3;$$

Пример 9. Воспользоваться формулой (4). Логарифм от частного – это разность логарифмов.

$$ log_{a}(frac{b}{c})= log_{a}(b)- log_{a}(c);$$
$$ log_{7}(98)-log_{7}(2)=log_{7}(frac{98}{2})=log_{7}(49)=2;$$

Пример 10. Формула (5,6). Свойства степени.

$$log_{a}(b^m)= m*log_{a}(b);$$
$$log_{a^m}(b)=frac{1}{m}* log_{a}(b);$$

Логично, что будет выполняться и такое соотношение:

$$log_{a^m}(b^n)=frac{n}{m}* log_{a}(b);$$

И если (m=n), то:

$$log_{a^m}(b^m)=frac{m}{m}* log_{a}(b);=log_{a}(b)$$
$$log_{4}(9)=log_{2^2}(3^2)=log_{2}(3);$$

Пример 11. Формулы (7,8). Переход к другому основанию.

$$ log_{a}(b)=frac{ log_{c}(b)}{ log_{c}(a)}, ; b gt 0;c gt 0;c neq 1; $$
$$ log_{a}(b)=frac{1}{log_{b}(a)};$$
$$log_{4}(5)=frac{1}{log_{5}(4)};$$
$$log_{4}(5)=frac{log_{7}(5)}{log_{7}(4)};$$

Источник

Десятичный логарифм

оксана николаевна кузнецова

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Десятичный логарифм

Определение 1

Десятичным логарифмом называют логарифм, который имеет в основании число $10$.

Десятичный логарифм вматематике принято обозначать $lg$:

$lg ⁡a=log_{10}⁡a$.

Название десятичного логарифма происходит именно от его основания, которое равняется десяти.

Иногда можно встретить следующее обозначение десятичного логарифма:

$log ⁡a$.

Замечание 1

Согласно определению логарифма можно сделать вывод, что десятичный логарифм $lg ⁡a$ является решением показательного уравнения $10^b=a$.

Свойства десятичного логарифма

Т.к. логарифм по любому основанию от $1$ равен $0$, то и десятичный логарифм единицы равен $0$:

$lg ⁡1=0$.
Десятичный логарифм от числа $10$ равен единице:

$lg ⁡10=1$.
Десятичный логарифм произведения двух чисел равен сумме десятичных логарифмов от этих чисел:

$lg ⁡(ab)=lg ⁡a+lg ⁡b$.
Десятичный логарифм частного двух чисел равен разнице десятичных логарифмов этих чисел:

$lg frac{a}{b}=lg ⁡a-lg ⁡b$.
Десятичный логарифм степени числа может быть представлен в виде произведения показателя степени на десятичный логарифм подлогарифмического числа:

$lg⁡ a^s=s cdot lg ⁡a$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Пример 1

Упростить выражение $frac{2 lg ⁡40-lg ⁡16}{lg ⁡50-frac{1}{2} lg ⁡25}$.

Решение.

Применим к первому логарифму в числителе и в знаменателе свойство логарифма произведения, а ко второму логарифму числителя и знаменателя – свойство логарифма степени:

$frac{2 lg ⁡40-lg ⁡16}{lg ⁡50-frac{1}{2} lg ⁡25}=frac{2(lg ⁡4+lg ⁡10 )-lg 4^2}{lg ⁡5+lg ⁡10-frac{1}{2} lg 5^2}=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые, а также применим свойство $lg ⁡10=1$:

$=frac{2 lg ⁡4+2-2 lg ⁡4}{lg ⁡5+1-frac{1}{2} cdot 2 lg ⁡5}=frac{2}{lg ⁡5+1-lg ⁡5}=2$.

Ответ: $frac{2 lg ⁡40-lg ⁡16}{lg ⁡50-frac{1}{2} ln ⁡25}=2$.

Пример 2

Вычислить значение логарифмического выражения $lg ⁡200+lg frac{1}{20}$.

Решение.

Применим формулу суммы логарифмов:

$lg ⁡200+lg frac{1}{20}=lg ⁡(200 cdot frac{1}{20})=lg ⁡10=1$.

Ответ: $lg ⁡200+lg frac{1}{20}=1$.

«Десятичный логарифм» 👇

Пример 3

Вычислить значение логарифмического выражения $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg ⁡10000$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$2 ln frac{1}{e^2}+3 lg ⁡10000=2 ln e^{-2}+3 lg 10^4=2 cdot (-2) ln ⁡e+3 cdot 4 lg ⁡10=-4 ln ⁡e+12 lg ⁡10=$

теперь применим свойство логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому числу:

$=-4 cdot 1+12 cdot 1=8$.

Ответ: $2 ln frac{1}{e^2}+3 lg ⁡10000=8$.

Пример 4

Упростить логарифмическое выражение $lg frac{1}{8}-3 lg ⁡4$.

Решение.

Применим свойство логарифма степени:

$lg frac{1}{8}-3 lg ⁡4=lg 2^{-3}-3 lg⁡ 2^2=-3 lg ⁡2-3 cdot 2 lg ⁡2=-9 lg ⁡2$.

Ответ: $lg frac{1}{8}-3 lg ⁡4=-9 lg ⁡2$.

Пример 5

Вычислить значение логарифмического выражения $3 lg ⁡0,09-2 lg ⁡27$.

Решение.

Применим к обоим логарифмам свойство логарифма степени:

$3 lg frac{9}{10^2}-2 lg ⁡27=3 lg (frac{3}{10})^2-2 lg 3^3=3 cdot 2 lg frac{3}{10}-2 cdot 3 lg ⁡3=6 lg frac{3}{10}-6 lg ⁡3=$

применим к первому логарифму свойство логарифма частного:

$=6(lg ⁡3-lg ⁡10 )-6 lg ⁡3=$

откроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$=6 lg ⁡3-6 lg ⁡10-6 lg ⁡3=-6$.

Ответ: $3 lg ⁡0,09-2 lg ⁡27=-6$.

Пример 6

Упростить логарифмическое выражение $lg ⁡0,81-2 lg ⁡9$.

Решение.

Применим ко второму логарифму свойство логарифма степени, внеся число $2$ под знак логарифма:

$lg ⁡0,81-lg 9^2=lg ⁡0,81-lg ⁡81=$

применим формулу разности логарифмов:

$=lg frac{0,81}{81}=lg ⁡0,01=$

запишем число под знаком логарифма как $10$ в степени:

$=lg 10^{-2}=$

применим формулу логарифма степени:

$=-2 lg ⁡10=-2$.

Ответ: $lg ⁡0,81-2 lg ⁡9=-2$.

Пример 7

Вычислить значение логарифмического выражения $frac{2 lg ⁡2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16}$.

Решение.

Внесем число $2$ в числителе под знак логарифма:

$frac{2 lg ⁡2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16}=frac{lg 2^2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16}=$

применим формулы разности и суммы логарифмов:

$=frac{lg frac{4}{16}}{lg⁡ (4 cdot 16)} =frac{lg frac{1}{4}}{lg ⁡64} =$

применим формулу логарифма степени, записав число под знаком логарифма как число $4$ в степени:

$=frac{lg 4^{-1}}{lg 4^3} =frac{-lg ⁡4}{3 lg ⁡4}=-frac{1}{3}$.

Ответ: $frac{2 lg ⁡2-lg ⁡16}{lg 4+lg ⁡16} =-frac{1}{3}$.

Пример 8

Преобразовать логарифмическое выражение $lg frac{100}{e}$.

Решение.

Применим формулу логарифма частного:

$lg frac{100}{e}=lg ⁡100-lg ⁡e=$

к первому логарифму применим формулу логарифма степени:

$=lg 10^2-lg ⁡e=2 lg ⁡10-lg ⁡e=$

применив свойство значения логарифма с одинаковым основанием и подлогарифмическим числом, получим:

$=2 cdot 1-lg ⁡e=2-lg ⁡e$.

Ответ: $lg frac{100}{e}=2-lg ⁡e$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 20.07.2022

Источник

Основные свойства логарифмов

2 февраля 2017

Скачать все формулы

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

log_a x + log_a y = log_a (x · y);
log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Задача. Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

log_a xⁿ = n · log_a x;

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49⁶ = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

[Подпись к рисунку]
В частности, если положить c = x, получим:

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

n = log_a aⁿ

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

log_a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
log_a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a⁰ = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Тест к уроку «Что такое логарифм» (тяжелый)
Как решать простейшие логарифмические уравнения
Не пишите единицы измерения в задаче B12
Что такое логарифм
Сложные задачи на проценты
Задача B4: экономика

Источник

Основные теоретические сведения
- Свойства логарифмов
- Рекомендации к решению логарифмических уравнений и систем
- Рекомендации к решению логарифмических неравенств

Основные теоретические сведения

Свойства логарифмов

К оглавлению…

Определение логарифма проще всего записать математически:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Обратите внимание на ограничения которые накладываются на основание логарифма (a) и на подлогарифмическое выражение (x). В дальнейшем эти условия превратятся в важные ограничения для ОДЗ, которые нужно будет учитывать при решении любого уравнения с логарифмами. Итак, теперь кроме стандартных условий приводящих к ограничениям на ОДЗ (положительность выражений под корнями четных степеней, не равенство знаменателя нолю и т.д.) нужно учитывать еще и следующие условия:

Подлогарифмическое выражение может быть только положительным.
Основание логарифма может быть только положительным и не равным единице.

Обратите внимание, что ни основание логарифма, ни подлогарифмическое выражение не могут быть равными нолю. Обратите также внимание и на то, что само значение логарифма может принимать все возможные значения, т.е. логарифм может быть положительным, отрицательным и равным нолю. У логарифмов есть очень много различных свойств, которые следуют из свойств степеней и определения логарифма. Перечислим их. Итак, свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Обратите особо пристальное внимание на те из последних перечисленных свойств, в которых появляется знак модуля после вынесения степени. Не забывайте, что при вынесении четной степени за знак логарифма, под логарифмом или в основании нужно оставить знак модуля.

Другие полезные свойства логарифмов:

Последнее свойство очень часто применяется в сложных логарифмических уравнениях и неравенствах. Его нужно помнить также хорошо, как и все остальные, хотя о нём часто забывают.

Понятие логарифма

Великий ученый Пьер-Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов продлило жизнь астрономов вдвое, ведь с их помощью астрономические расчеты, которые ранее занимали несколько месяцев, стало возможно выполнять за считанные дни. Что же представляют собой логарифмы и как они так сильно упрощают вычисления? Для ответа на этот вопрос сначала следует вспомнить показательные уравнения.

Рассмотрим простейшее показательное уравнение 2^х = 4. Так как 2² =4, то, очевидно, оно имеет единственный корень, равный 2. Найти его можно не только аналитически, но и графически:

1tuyhj

Далее посмотрим на уравнение 2^х = 8. Так как восьмерка – это двойка в кубе (2³ = 8), то единственным корнем ур-ния будет число 3. Также проиллюстрируем это с помощью графика:

2hghf

Однако если мы попытаемся решить уравнение 2^х = 6, то мы столкнемся с проблемами. Представить шестерку как какую-то степень двойки не получается. Графический метод показывает, что у этого ур-ния есть единственный корень, который лежит между числами 2 и 3, но точно определить его значение не получается:

3gfdfg

Можно доказать (мы не будем этого делать), что искомый нами корень невозможно выразить с помощью дробей и даже корней n-ой степени. Поэтому возникает необходимость ввести какое-то новое обозначение, чтобы записывать корни таких уравнений. Математики придумали для такого числа обозначение log₂ 6, которое читается как «логарифм шести по основанию два».

Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть есть некоторое ур-ние

4hgfh

Если число b положительно, то уравнение имеет корень, и при том единственный. Для его обозначения используется запись log_ab. Покажем, как графически показать значение величины log_ab. Для этого надо построить показательную функцию у = а^х и горизонтальную линию у = b. Они пересекутся в единственной точке (если b положительно). Абсцисса (координата х) этой точки и будет равна log_ab:

5ytuu

Дадим строгое определение логарифма:

6hgfgh

Задание. Какое число является решением показательного уравнения

7fgdfg

Задача. Слиток радиоактивного изотопа, чей период полураспада (его обозначают буквой Т) составляет 10 минут, имеет начальную массу (m₀), равную 1 кг. Через сколько минут его вес уменьшится до 300 грамм (0,3 кг)? Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону

m(t) = m₀•2^–^t/^T

Решение. Подставим исходные данные в формулу, и получим уравнение с неизвестной величиной t:

0,2 = 1•2^–^t/10

0,3 = 2^–^t/10

Получили простейшее показательное уравнение, однако его левую часть (число 0,3) нельзя представить как степень двойки. Однако с помощью определения логарифма мы можем записать, что

– t/10 = log₂ 0,3

Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:

t = – 10 log₂ 0,3

С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что

log₂ 0,3 ≈ – 1,737

Тогда искомое нами время примерно равно

t = – 10 log₂ 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды

Ответ: – 10 log₂ 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.

Из задачи видно, что с логарифмы используются и при решении некоторых практических задач.

Иногда бывает удобнее использовать иное определение, которое по своей сути почти не отличается от первого:

8hgfgh

Вычислим для примера несколько простейших логарифмов:

9gfdfg

Ограничения, связанные с логарифмом

Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма log_ab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).

Напомним, что при определении показательной функции у = а^х было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице. Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению. Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.

Также напомним, что показательное уравнение а^х = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой log_ab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить log_ab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.

Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:

10gfdg

Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число. В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в дробную степень, ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня

11gdfg

а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня

Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.

Основные свойства логарифмов

Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство

а¹ = а

Из него, пользуясь определением логарифма, получаем первое важное его свойство: log_аa = 1.

12gfdg

Продемонстрируем использование этого правила:

Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:

14gdfg

Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:

15gfdfg

Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:

16hgyu

Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:

17gfdfg

Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что log_aa^c = c.

18hgfgh

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

19hgfgh

Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:

20gdfg

Логарифм log_ab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:

21fdfg

Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.

22gdfg

В силу этого тождества справедливы следующие равенства:

23fdfg

Функция логарифма

Арифметическое действие, в ходе которого находят логарифм какого-либо числа, называется логарифмированием. Это действие является обратным по отношению к возведению в степень. Проиллюстрируем это табличкой, в которой слева будет показана операция возведения в степень, а справа – логарифмирование:

Теперь подумаем о функции у = log_ax. Так как логарифмирование является обратным действием для возведения в степень, то и ф-ция у = log_ax должна быть обратной для показательной ф-ции у = а^х.

25gfdfg

В свою очередь это означает, что графики этих двух функций должны быть симметричны относительно прямой, задаваемой уравнением у = х.

Напомним, что на вид показательной функции у = а^х влияет значение основания степени а. Если оно больше единицы, то функция оказывается возрастающей. Тогда и обратная ей логарифмическая функция также окажется возрастающей. Для примера построим графики у = 2^х и у = log₂x.

26gfdfg

27hgfgh

Полученный график логарифмической функции называют логарифмической кривой, однако понятно, что она представляет собой всё ту же экспоненту, которую отобразили симметрично относительно оси Ох.

График у = log₂x можно и построить иначе, по точкам, просто вычислив ее значение в нескольких «удобных» для вычисления точках:

28hgfgh

29hgfgh

Видно, что в обоих случаях получился один и тот же график. Похожим будет и график любой функции у =log_ax, если число а будет больше единицы.

Ситуация меняется в том случае, когда а < 1, ведь при таком основании показательная функция у = а^х будет убывающей. Тогда убывающим окажется и логарифмическая функция. Для примера построим график ф-ции = 0,5^х и график обратной ей функции у = log_0,5x:

30hgfgh

Возможно, вы заметили, что графики у = log₂x и у = log_0,5xчем-то похожи друг на друга. И действительно, если построить их на одной плоскости, то мы увидим, что они симметричны относительно оси Ох:

31fdfg

Причиной такой симметрии является то, что их основания, числа 2 и 0,5, являются обратными числами, то есть при перемножении дают единицу (2•0,5 = 1).

Аналогично такой же симметрией будут обладать любые две логарифмические кривые с обратными основаниями. Это свойство логарифмов мы докажем чуть позднее.

32gfdfg

Далее построим ещё несколько графиков, чтобы лучше понять свойства логарифмических функции:

33gfdfg

Анализируя полученные графики, мы можем заметить следующие свойства функции логарифма:

Область определения логарифмической функции – это множество всех положительных чисел, то есть промежуток (0; + ∞). Действительно, выражение log_аb имеет смысл только тогда, когда число b> 0.

Областью значения логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток(– ∞; + ∞).

Логарифмическая функция является строго монотонной. При этом при основании а > 1 она возрастает, а при основании 0 <a< 1 она убывает.

График каждой логарифмической функции проходит через точку (1; 0). Это связано с тем, что для любого основания справедливо равенство log_a 1 = 0.

Три основных вида логарифмов

Математика изучает логарифмы с любыми положительными основаниями. Однако на практике наиболее распространены три их вида.

Первым из них является десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что его помощью до изобретения калькуляторов и компьютеров можно было быстро и с высокой точностью перемножать большие числа, используя такой прибор, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII веках и была связана именно с необходимостью выполнения сложных арифметических действий с большими числами. Для обозначения десятичных логарифмов используют специальный символ lg, то есть

34fsdf

Сегодня из-за развития электроники десятичные логарифмы используются значительно реже по сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся вычислительная техника построена на использовании двоичной системы счета, возросла значимость двоичного логарифма log₂b. Для его обозначения не используются никакие специальные символы, однако в работах, посвященным информатике и оценке сложности алгоритмов, он используется особенно часто.

Наконец, самым важным является натуральный логарифм. Это логарифм, основанием которого является число e, примерно равное 2,71828… Для его обозначения используют символ ln, то есть

35hfgh

36hgjk

Свойства натурального логарифма, которые отличают его от других логарифмов, будут изучены нами позднее, в 11 классе. Заметим лишь, что многие физические формулы содержат именно натуральный логарифм.

Преобразования логарифмических выражений

Для работы с логарифмическими выражениями надо знать несколько основных свойств логарифмов. Первое из них помогает вычислять логарифм произведения.

37hghj

Для доказательства этого правила введем обозначения. Пусть

38hgfgh

Тогда нам надо доказать, что z = x + у. По определению логарифма мы можем записать что

39hgfh

Теперь подставим (1) и (2) в (3):

40hghh

Получили, что a^z = a^x⁺^y. В этом равенстве в обеих частях стоят степени с совпадающим основанием а. Значит, должны совпадать и их степени, то есть

41fdsg

что и мы и пытались доказать.

Убедимся в справедливости этого правила на простейшем примере. Очевидно, что

log₂ 4 = 2, ведь 2² = 4

log₂ 8 = 3, ведь 2³ = 8

log₂ 32 = 5, ведь 2⁵ = 32

С одной стороны, так как

2 + 3 = 5

то и

log₂ 4 + log₂ 8 = log₂ 32

С другой стороны, число 32 можно представить как произведение 4•8, то есть

log₂ 32 = log₂ (4•8)

С учетом этого получаем, что

log₂4 + log₂8 = log₂32 = log₂(4•8)

Покажем несколько примеров использования только что доказанного правила:

42gfh

Отдельно отметить, что правило сложения логарифмов действует и в том случае, когда складываются не два, а большее количество логарифмов:

43gfdgd

Второе правило используют для определения логарифма от степени какого-либо числа.

44gfdfg

Грубо говоря, показатель степени можно перенести и записать перед знаком логарифма. Сначала для наглядности приведем доказательство только для случая, когда r– целая степень. Тогда число b^r можно представить как произведение r множителей, равных b. Однако логарифм такого произведения можно заменить на сумму r логарифмов:

45gjhjk

Однако более строгое доказательство должно рассматривать и случай, когда r – это отрицательное или даже дробное число. Поэтому, как и в ситуации с доказательством первого правила, введем переменные. Пусть

46gfdfg

Получается, что нам доказать, что у = r•x. Из определения логарифма следуют следующие формулы:

47hgfgh

Подставляя первую формулу во вторую, получаем:

48hfgh

И снова, если у двух равных степеней равны основания, то и показатели обязательно будут равными:

49hgfgh

Это равенство мы и пытались доказать.

Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:

50gfdfg

Правило работает и в обратную сторону:

51gfdg

Задание. Чему равна дробь

Третье правило помогает вычислять логарифм от частного или дроби.

53gfdg

Для доказательства этого свойства логарифмов воспользуемся уже доказанными нами двумя правилами. Но предварительно напомним, что произвольное число с в степени (– 1) представляет собой дробь 1/с:

54gfh

Тогда доказательство будет записываться в две строчки:

55hgfh

С помощью полученной формулы возможно выполнить следующие преобразования:

56hkjk

Заметим, что все полученные формулы справедливы только в том случае, когда под знаком логарифма стоят исключительно положительные числа. Например, вполне допустимо преобразование

57hgfgh

но ошибочной будет такая запись:

59jghj

ведь в левой части стоит выражение, имеющее смысл, а в правой – выражение, смысла не имеющее.

Но что делать в случае, если необходимо упростить выражение с переменными, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения? Получается, что запись

59jghj

не является корректной. Действительно, если и х, и у являются отрицательными числами, то их произведение ху положительно. Но тогда получается, что при некоторых значениях переменных левая часть равенства имеет смысл, а правая – нет. Это значит, что оно не является тождеством.

Здесь может помочь использование модуля числа. Запись

60hghj

уже будет корректной при любых допустимых значениях х и у. Если же хоть одна из переменных будет равна нулю, то обе части равенства одновременно потеряют смысл. Таким образом, данное равенство можно считать тождеством.

Аналогично и формулу разности логарифмов можно представить в более общем случае, при котором допускаются отрицательные значения переменных:

61vgfh

Можно ли записать равенство log_aх² = 2log_aх, если допускается, что х может быть и отрицательным? Нет, нельзя, ведь при отрицательных х выражение левая часть равенства будет иметь смысл, а правая нет. Однако использование модуля поможет и в этом случае. Можно написать, что

62gfgh

Аналогичным образом можно упростить и любые другие логарифмы, аргументы которых возведены в четную степень:

63hgfh

64gfgh

Ещё раз уточним, что эти правила используются при упрощении выражений с переменными, если те могут принимать отрицательные значения. Если же известно, что числа b и c положительны, то лучше использовать формулы, не содержащие модулей.

Переход к новому основанию алгоритма

До этого мы рассматривали преобразования, в ходе которых не менялось основание логарифма. Однако иногда возникает необходимость сложить или вычесть логарифмы с различными основаниями. Пусть надо вычислить значение выражения

65ghfgh

Так как основания двух логарифмов различны, то мы не можем использовать выведенную нами формулу разности логарифмов. Однако можно попытаться привести один из логарифмов к новому основанию. Для такой операции существует специальная формула.

66hgfh

Докажем это утверждение. Для этого введем новые переменные:

67hgfgh

Тогда по определению логарифма можно записать равенства

68hfgj

Отсюда следует, что a^x = c^y. Подставим в это равенство вместо а выражение c^z и получим:

69hgfh

Отсюда следует, что zx = у, или х = y/z. Теперь заменим х, у и z на логарифмы и получим то самое тождество, которые необходимо доказать:

70hgfgh

Вернемся к примеру

71gdfg

Теперь мы можем произвести эти вычисления, но для этого сначала приведем log₂₅9 к основанию 5:

72gfgh

Теперь можно вычислить, чему равна искомая разность:

73ghfgh

Формула перехода к новому основанию позволяет иначе взглянуть на графики логарифмических функций. Пусть дана функция у =log₄x. Попытаемся привести ее к показателю 2:

74hgfh

Выходит, что график у = log₄x можно получить из графика у = log₂x его сжатием в 2 раза. Убедимся в этом, построив оба графика в одной плоскости:

75hfgh

Заметим, что и более общем случае графики функций у = log_ax и у = log_bx могут быть получены друг из друга растяжением или сжатием в некоторое число раз. Действительно, формулу перехода к новому основанию можно переписать в таком виде:

76hfgh

Теперь подставим вместо числа b переменную х и получим соотношение, связывающее любые две логарифмические функции:

77ghgh

В данном случае log_сx и log_ax – это логарифмические функции, а log_ca – некоторое число. В результате можно заключить, что график функции у = log_сx может быть получен из графика log_ax его растяжением в log_ca раз.

78hfgh

Попытаемся привести логарифм log_ab к обратному основанию, то есть к основанию 1/а:

79hgfh

Итак, log_ab = – log_1/аb. Именно из-за этого графики логарифмов с обратными основаниями (например, 2 и 0,5) симметричны относительно оси Ох:

80hgfgh

81ghfgh

Покажем примеры использования этой формулы:

82gfdg

А что будет, если мы попробуем log_ab привести к основанию b? Сделаем это:

83gfdfg

Получили ещё одну замечательную логарифмическую формулу.

84gfdg

Её работу иллюстрируют следующие примеры:

Ещё одна логарифмическая формула позволяет возводить основание логарифма и его аргумент в одинаковую степень:

86ghfgh

Докажем это тождество в «обратном порядке», то есть из правой части выведем левую. Для этого просто перейдем к основанию а:

87hgfgh

Проиллюстрируем, как это свойство можно применять на практике:

88hfgh

Использование логарифма для вычислений

Исторически развитие теории логарифмов было связано с необходимостью выполнять громоздкие вычисления. Например, пусть надо возвести число 7 в пятисотую степень, то есть вычислить величину 7⁵⁰⁰. Сделать напрямую это довольно затруднительно. Однако в силу основного логарифмического тождества мы можем записать, что

89jhghj

Напомним, что десятичный логарифм обозначают символом lg, поэтому перепишем это равенство в более привычном виде:

90hjghj

Степень из-под знака логарифма можно вынести:

91gdfg

Значение числа lg 7 можно узнать с помощью калькулятора, в древности же использовали специальные таблицы, в которых были указаны десятичные логарифмы всех чисел от 1 до 10 (с маленьким шагом, равным, например, 0,001). Так или иначе, можно узнать, что

92hgfgh

Получили число, записанное в стандартном виде. При этом наши расчеты были относительно простыми, если сравнить их с необходимостью умножить число 7 само на себя 500 раз. Аналогично и многие другие сложные операции выполняются значительно быстрее, если используются логарифмы. Поэтому долгое время знание теории логарифмов было необходимо для выполнения сложных инженерных расчетов. Но сегодня развитие компьютерной техники позволило избавиться от необходимости использования логарифмических линеек и таблиц.

Логарифмическая функция в природе и науке

Логарифм – это не просто инструмент для выполнения сложных операций. Например, в теории вероятностей существуют логарифмическое и логнормальное (от слов «логарифм» и «нормальное») распределение случайных величин, которые используются в генетике и физике. Так, размеры астероидов в Солнечной системе описываются логарифмическим распределением, а размеры градин во время града – логнормальным.

В компьютерной технике многие величин можно вычислить с использованием логарифмов. Например, ясно, что чем больше телефонных номеров находится в базе данных, тем дольше компьютер будет искать требуемый необходимый номер в ней. Зависимость времени поиска от количества номеров в базе данных описывается логарифмической функцией.

Огромное значение логарифмы имеют в астрономии. Так, яркость звезд на небе характеризуется таким параметром, как «видимая звездная величина». Однако в физике для оценки яркости света используют величину «освещенность», измеряемую в люксах. Зависимость между освещенностью звезд и их видимой величиной также является логарифмической.

Используются логарифмы и в термодинамике для вычисления такой характеристики систем, как энтропия. При расчете количества топлива, необходимого ракете для набора определенной скорости, используется формула Циолковского, содержащая натуральный логарифм:

93gfdfg

В биологии давно замечено, что зависимость человеческих ощущений от силы воздействующих на них факторов окружающей среды носит логарифмический характер. В связи с этим для измерения громкости звуков используется специальная шкала децибелов, которая является логарифмической.

В строении ряда организмов можно обнаружить логарифмические кривые. Классическим примером является форма некоторых ракушек.

Источник

Как посчитать логарифм

Десятичный логарифм

Натуральный логарифм

Свойства логарифмов

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм

Свойства десятичного логарифма

Основные свойства логарифмов

Сложение и вычитание логарифмов

Вынесение показателя степени из логарифма

Переход к новому основанию

Основное логарифмическое тождество

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Свойства логарифмов

Рекомендации к решению логарифмических уравнений и систем

Рекомендации к решению логарифмических неравенств

Понятие логарифма

Ограничения, связанные с логарифмом

Основные свойства логарифмов

Функция логарифма

Три основных вида логарифмов

Преобразования логарифмических выражений

Переход к новому основанию алгоритма

Использование логарифма для вычислений

Логарифмическая функция в природе и науке