Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».
Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.
Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это
разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:
ΔА = А — Апр .
Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной
погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.
Относительная погрешность измерения
εА равна:
При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:
В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из
множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.
Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:
ΔА = εA· А.
«Правило ничтожных погрешностей»
при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟4 от другого.
Запись результата с указанием погрешности.
Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.
Пример:
Результат записывается в виде:
А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.
При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении
погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения). Значение величины и погрешность следует
выражать в одних и тех же единицах!
Пример:
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1
Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?
Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за
топливо?
26
В
результате прямого измерения получается
не истинное значение х
измеряемой величины, а серия
изn
значений
.
Пусть теперь
Суммируя последнее
равенство, получим
или
Но
(7)
где
средне арифметическое измеренных
значений
.
Таким образом,
(8)
Из
этого простого результата вытекают
весьма важные следствия. Действительно,
при
и
.
значит,
при бесконечно большом числе измерений
и, следовательно, при конечныхn
результат тем ближе к среднему
арифметическому, чем больше число
измерений. Отсюда также следует, что
при оценке ∆Х
в качестве
целесообразно
взять
.
На
практике n
конечно и
.
В задачу математической теории случайной
погрешности входит оценка интервала
(9)
в
котором заключено истинное значение
измеряемой величины. Интервал (9)
называется доверительным
интервалом,
а величина
–абсолютной
погрешностью результата серии измерений.
Теория оценки ∆х
достаточно сложна, поэтому здесь будут
рассмотрены лишь её основные результаты.
Прежде всего нужно отметить, что,
поскольку х
– случайная величина, ошибка ∆х
может быть определенна лишь с той или
иной степенью надежности
α,
которую также называют доверительной
вероятностью.
Доверительная вероятность – это
вероятность того, что истинное значение
измеряемой величины х
попадает в доверительный интервал (9).
Если положить α=1
(100%), то это будет соответствовать
достоверному событию, т.е. вероятности
того, что х
принимает
какое-то значение в интервале (
).
При этом
.
Очевидно, такой выбор надёжностиα
нецелесообразен.
При малых α
доверительный интервал ∆х
определяется с малой достоверностью.
В дальнейшем мы будем полагать α=0.90
или 0.95. Доверительный интервал и
надёжность взаимосвязаны. Для оценки
границ доверительного интервала
английский математик В. Госсет
(публиковавший свои работы под псевдонимом
Стьюдент) ввёл в 1908 г. коэффициент:
(10)
равный
отношению погрешности ∆х
к средней
квадратичной ошибке*
(11)
Коэффициент
зависит от надёжностиα,
а также от числа измерений n
и называется коэффициентом
Стьюдента.
Этот коэффициент табулирован (см.
приложение 1), поэтому рассчитав
и задав доверительную вероятностьα,
нетрудно найти случайную ошибку:
(12)
Расчёт погрешности косвенных измерений.
При
косвенных измерениях измеряемая величина
f
находится
из функциональной зависимости:
где
x,
y,
z
– результаты прямых измерений. Формулу
для ∆f
можно
получить, заменив в (2) дифференциалы
погрешностями и взяв все слагаемые по
модулю
(13)
Соотношение
(13) рекомендуется для оценки погрешности
∆f
, обусловленной
приборными погрешностями величины x,
y, z,… Для
оценки погрешности, связанной со
случайными ошибками прямых измерений,
рекомендуется соотношение:
(14)
Следует
правда отметить, что формулы (13) и (14)
приводят практически к одинаковым
результатам. Производные в (13) и (14)
берутся при средних, т.е. при измеренных
значениях аргументов.
Очень
часто функция f
представлена
степенной зависимостью от аргументов
(15)
где
c, n, m и p – постоянные. Частным случаями
формулы (15) являются соотнощения
,
и
др.
Задание.
Покажите, что для функции вида (15) формулы
(13) и (14) принимают вид:
(13)
(14)
Из
соотношений (13) и (14) следует, что для
степенных функций расчёт погрещностей
существенно упрощается, причём
целесообразно сначала найти относительную
погрешность, которая выражается через
относительную погрешность прямых
измерений, а затем найти абсолютную
погрешность
(16)
Под
понимается
функция от средних (измеренных) значений
аргументов
.
Алгоритм расчета погрешностей
—
Для прямых измерений
1.
Вычислить среднее арифметическое
результатов
серии из n
измерений:
Замечание:
при расчете
удобнее исходить из формулы:
где
— любое удобное значение, близкое к
.
2. Найти отклонения
отдельных измерений от среднего значения
3. Исключить промахи.
4. Рассчитать
среднюю квадратичную погрешность
результата серии измерений
Замечание.
При
можно положить
и рассчитывать
по формуле
5.
Если
,
то случайную ошибку можно не рассчитывать.
6.
В противном случае задать доверительную
вероятность
и найти по таблице коэффициент Стьюдента
.
7. Рассчитать
границы доверительного интервала
Замечание
1. Если
приборная погрешность
имеет тот же порядок величины что и
, то абсолютная погрешность результата
серии измерений находится по формуле:
где
Практически в качестве
можно
взять табличное значение
отвечающее самому большому из
приведенных в ней значенийп
(например, п=500
).
Замечание
2. При большом
числе измерений
можно положить
где
.
8. Результат
измерения представить в виде:
— Для косвенных
измерений
Погрешность
косвенного
измерения можно рассчитать по одной из
формул (13), (14), (13*), (14*). Две последние
формулы выполняются для степенных
зависимостей, а соотношения (13) и (14)
имеют общий характер.
Сводка
соотношений для расчета погрешности
косвенного измерения
для
некоторых простых функциональных
зависимостей представлена в таблице.
Таблица
|
Функция |
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
;
;
Пример.
Пусть джоулево тепло Q рассчитывается
по формуле
Поскольку это
степенная зависимость, целесообразно
воспользоваться формулой (13*)
Правила
представления результатов измерений
и их погрешностей
Погрешности
могут лишь оцениваться, поэтому обычно
достаточно указать погрешность с одной
значащей цифрой. Например, Δm=0,2 г.
г.
Запись т
= 3,0 г
означает, что измерение произведено
с точностью до десятых долей грамма.
Однако при промежуточных вычислениях
целесообразно оставлять больше значащих
цифр.
Правила округления
чисел (результатов измерений)
иллюстрируются в таблице (обратите
внимание на особенности округления
цифры 5).
Таблица Округление
до десятых значащих цифр
|
До округления |
После округления |
Пояснения |
|
734,7 736 735,0 745,0 745,1 |
730 740 740 740 750 |
4<5 6>5 3 – нечетное 4 — четное
после 5 стоит не |
Результат измерения
принято округлять так, чтобы числовое
значение оканчивалось цифрой того
же разряда, что и значение погрешности.
Например, запись
см.
непреемлема,
т.к. само значение погрешности Δl = 0,1 см
указывает
на то, что
цифры 018 результата не могут гарантироваться.
Нужно
записать
так:
см.
Соседние файлы в предмете Физика
- #
- #
- #
Как определять погрешности измерений
Измерение – нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью средств измерений.
Прямое
измерение
– определение значения физической
величины непосредственно средствами измерения.
Косвенное
измерение
– определение значения физической
величины по формуле, связывающей ее с другими физическими величинами, определяемыми
прямыми измерениями.
А, В, С, … — физические величины.
Апр. – приближенное значение физической величины.
А – абсолютная погрешность измерения физической
величины.
— относительная погрешность измерения
физической величины.
иА
– абсолютная
инструментальная погрешность, определяемая конструкцией прибора.
оА – абсолютная погрешность отсчета, она равна в
большинстве случаев
половине цены деления; при
измерении времени – цене деления секундомера или часов.
Абсолютную погрешность измерения
обычно округляют до одной значащей цифры:
Численное значение результата
измерений округляют так, чтобы его последняя цифра оказалась в том же разряде,
что и цифра погрешности:
Результат
измерения записывается так:
%
Определение погрешности методом среднего арифметического
При многократных
измерениях величины погрешность можно оценить следующим образом:
1.
Определить среднее
значение величины А:
(при трех
измерениях).
2.Определить отклонение каждого значения от среднего:
3.Определить среднее значение отклонения,
его и принимают за абсолютную погрешность:
4.Определить
относительную погрешность и выразить ее в процентах:
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
3 |
|
|
Многократные измерения
предпочтительнее, так как при их проведении возможна компенсация случайных
факторов, влияющих на результат. Обычно многократные измерения проводят, слегка
изменяя условия опыта, но предполагая, что значение величины А не изменяются
Определение
погрешности косвенных измерений
При косвенных измерениях значение
физической величины находится путем расчетов по формуле.
Относительную погрешность
определяют так, как показано в таблице:
|
Формула величины |
Формула |
|
1. |
|
|
2. 3. |
|
|
4. |
|
Абсолютную погрешность определяют
по формуле:
(
выражается десятичной дробью)
Пример: пусть измеряется сопротивление проводника. 
.
Результаты прямых измерений: 
Тогда 
;
, 
;
, 
;
, 
, 
.
Графическое
представление результатов эксперимента
Правила построения
графиков
выберите соответствующую бумагу;
выберите масштаб по осям координат;
напишите обозначения измеряемых физических величин;
нанесите на график данные;
нанесите на график доверительные интервалы;
проведите кривую через нанесенные точки;
составьте заголовок графика.
Для построения графиков выпускают
специальную бумагу-миллиметровку.
При выборе масштабов по осям
координат следует руководствоваться следующими правилами:
— значение независимой переменной
откладывают вдоль оси абсцисс, функции – вдоль оси ординат;
— цена наименьшего деления масштабной
сетки должна быть сравнимой с величиной погрешности измерения;
— точка пересечения оси абсцисс и оси
ординат не обязательно должна иметь координаты (0,0).
При построении графиков следует
иметь в виду, что по результатам опытов мы получаем не точку, а прямоугольник
со сторонами 
и
.
В
|
|
|||||
|
|
|||||
 |
|||||
 |
0
А
При выполнении простых лабораторных
работ достаточно обвести экспериментальную точку кружком или пометить
крестиком, не указывая доверительных интервалов.
Этот кружок или крестик будут
обозначать, что данная точка получена с каким-то приближением и истинное
значение измеряемой величины лежит где-то в ее окрестности.
Правила
приближенных вычислений
1. Основное
правило округления.
Если первая
отброшенная цифра равна 5 или больше, то последнюю из сохраняемых цифр
увеличивают на единицу; если первая отброшенная цифра меньше 5, то последнюю из
сохраняемых цифр оставляют без изменения, например:
2. При сложении и
вычитании приближенных чисел
в полученном результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их в числе
с наименьшим количеством десятичных знаков, например:
3. При умножении
и делении приближенных чисел
в полученном результате нужно сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет
приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр, например:
4. При возведении
в квадрат приближенного числа
нужно в результате сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое
в степень число, например:
5. При извлечении
квадратного корня в результате
нужно сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет подкоренное число,
например:
6. При вычислении
промежуточных результатов в
них следует сохранять на одну цифру больше, чем требуют правила 2-5. Причем при
подсчете значащих цифр запасные цифры не учитываются. В окончательном
результате запасная цифра отбрасывается по основному правилу округления.
7. При нахождении
углов или тригонометрических функций значение соответствующего угла записывают с точностью до градуса, если
значение тригонометрической функции имеет две значащие цифры; если угол задан с
точностью до градусов, то в значении тригонометрической функции сохраняют две
значащие цифры, например:
