Как найти погрешность массы физика - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2

Прямые измерения
массы тела с помощью рычажных весов и определение полной погрешности измерений

Цель работы:
измерить массы трёх предложенных тел прямым способом и рассчитать полную погрешность
результатов прямых измерений.

Оборудование: три тела разной плотности, рычажные весы, разновес (набор гирь)

ТАОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

При определении
полной погрешности измеренного значения массы необходимо учитывать погрешность
весов , погрешность гирь
, и погрешность подбора гирь
.

Погрешность весов зависит от нагрузки линейно и
определяется по графику зависимости . Смотрите об этом §
75 учебника «физика-10» Пинский А.А. Вам необходимо построить такой график
самостоятельно в отчёте по следующим данным: при нагрузке погрешность весов ,
а при нагрузке погрешность весов (см.§ 75). Зная, что зависимость линейная, построение графика не составит
никакого труда.

Погрешность гирь ,
входящих в набор гирь (разновес) приводится в таблице 1. Смотрите также
§ 75 учебника «физика-10» Пинский А.А.

Таблица 1 Погрешность гирь

НОМИНАЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАССЫ ГИРИ	ГРАНИЦЫ ПОГРЕШНОСТИ
10 мг; 20 мг; 50 мг; 100 мг	1 мг
200 мг	2 мг
500 мг	3 мг
1г	4 мг
2г	6 мг
5 г	8 мг
10 г	12 мг
20 г	20 мг
50 г	30 мг
100 г	40 мг

Погрешность гирь
равна сумме погрешностей всех использованных гирь (формула 1)

(1)

Погрешность подбора гирь аналогична погрешности отсчёта и половине
значения наименьшей гири, находящейся на весах, или той, которая выводит весы
из равновесия (формула 2)

(2)

Таким образом, при прямом измерении массы тела
на весах граница абсолютной погрешности измерений (формула 3)

(3)

Ниже смотрите пример определения полной
погрешности массы тела, измеренной прямым способом на рычажных весах.

Пример определения полной погрешности
массы тела

Пусть весы
находятся в равновесии, если на чашке лежат гири со значениями массы: , , . Тогда за результат измерения массы тела
принимается значение

(4)

Погрешность
весов при нагрузке равна . Как было сказано выше, это определяется
по графику зависимости , который уже
необходимо построить.

Таким образом:

(5)

Погрешность
всех гирь определим, пользуясь таблицей 1,
(см. формулу 1):

(6)

Погрешность
подбора гирь определяем по значению наименьшей
гири на весах (см. формулу 2)

(7)

Полная
погрешность массы тела определяется как сумма всех
погрешностей (см. формулу 3)

(8)

Полная погрешность
округляется до одной значащей цифры (общее правило для любых измерений), поэтому
в нашем примере для погрешности получаем окончательно:

(9)

Результат измерения
массы записывается в интервальной форме:

Не забывайте, что
разряд последней цифры измеренного значения и разряд погрешности должны совпадать
(правило Брадиса-Крылова), поэтому в данном примере измеренное значение массы (см. формулу 4) округляется до разряда
десятых, т.к. погрешность находится в этом разряде (см. формулу 9)

Относительная
погрешность измерения массы определяется по
известной формуле:

ПРАКТИЧЕСКАЯ
ЧАСТЬ РАБОТЫ

ВНИМАНИЕ! Прежде
чем приступать к работе, вам необходимо изучить правила работы с весами. Обратитесь
к учебникам 7-го класса (Пёрышкин А.В. или Громов С.В.) и 10-го (Пинский А.А.).
Без знаний этих правил вас не допустят к работе.

Порядок
выполнения работы

Определите массу
первого тела. Запишите значение массы в виде суммы масс всех гирь
находящихся на весах. Смотрите пример выше.

(результат в граммах)

Постройте график
зависимости погрешности весов от нагрузки (смотрите теоретическую часть
работы) и по графику определите погрешность весов

(результат в миллиграммах)

Пользуясь таблицей
1, определите погрешность всех гирь

(результат в миллиграммах)

По значению наименьшей гири на весах (не в
наборе) определите погрешность подбора гирь

= (результат в миллиграммах)

Полная
погрешность определяется как сумма всех погрешностей

= (результат выразите в граммах и
округлите до одной значащей цифры)

Округлите
результат измерения массы (см. пункт 1 практической части) так, чтобы
последняя цифра в округлённом результате принадлежала тому же разряду, в
котором находится значащая цифра полной абсолютной погрешности (пункт 2).

Результат
запишите в интервальной форме в соответствии с правилом Брадиса-Крылова

Определите относительную погрешность
измерения массы

ПОВТОРИТЬ ИЗМЕРЕНИЯ
В СООТВЕТСТВИИ С ПУНКТАМИ 1-8 ДЛЯ ДВУХ ДРУГИХ ТЕЛ

ВСЕ ЗАПИСИ И
РАСЧЁТЫ ВЫПОЛНЯТЬ В ЛАБОРАТОРНАОЙ ТЕТРАДИ

ОТЧЁТ К РАБОТЕ ПОДГОТОВИТЬ
ПО ПЕРДЛАГАЕМОЙ ФОРМЕ (СМ.НИЖЕ)

ОТЧЁТ К РАБОТЕ № 2 ВЫПОЛНИЛ________________________

Цель работы:_____________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

Оборудование:_____________________________________________________________________________

Расчёт погрешности измерения массы первого
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

Расчёт погрешности измерения массы второго
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

Расчёт погрешности измерения массы третьего
тела

(Выполняется в
соответствии с пунктами 1-8)

Вывод

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (ОТВЕТИТЬ ПИСЬМЕННО И СДАТЬ С ОТЧЁТОМ)

1 Как определяется погрешность весов?

Ответ на вопрос 1__________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 Как определяется погрешность гирь?

Ответ на вопрос
2__________________________________________________________________________

3 Как определяется погрешность подбора
гирь?

Ответ на вопрос
3__________________________________________________________________________

4 Как определяется полная абсолютная
погрешность измерения массы?

Ответ на вопрос
4__________________________________________________________________________

5 Как определяется относительная
погрешность и что она показывает?

Ответ на вопрос
5__________________________________________________________________________

6 Какие цифры числа являются значащими? В
чём состоит правило Брадиса-Крылова?

Ответ на вопрос
6__________________________________________________________________________

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

Шкала измерительного прибора
Цена деления
Виды измерений
Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная погрешность серии измерений
Представление результатов эксперимента
Задачи

п.1. Шкала измерительного прибора

Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.

Примеры шкал различных приборов:

п.2. Цена деления

Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.

Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c
b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

п.3. Виды измерений

Вид измерений

Определение

Пример

Прямое измерение

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Косвенное измерение

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.

Составляющие погрешности измерений

Причины

Инструментальная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Погрешность метода

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Погрешность оператора

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$

Если величина (a_0) — это истинное значение, а (triangle a) — погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$

Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$

Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.

Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см})
Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см})
Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}

п.6. Представление результатов эксперимента

Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то

абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$

абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей

$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$

Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:

относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$

относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей

$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$

Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:

относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности

$$ delta_{a^2}=2delta_a $$

относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности

$$ delta_{a^3}=3delta_a $$

относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна

$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	(triangle=frac{b-a}{n+1}), мл
1	20	40	4	(frac{40-20}{4+1}=4)
2	100	200	4	(frac{200-100}{4+1}=20)
3	15	30	4	(frac{30-15}{4+1}=3)
4	200	400	4	(frac{400-200}{4+1}=40)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем (V_0), мл	Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл	Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%})
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})

Источник

И снова о погрешностях

Д.А.ИВАШКИНА,
лицей г. Троицка, Московская обл.

aivashkin@mail.ru

И снова о погрешностях

В современной школьной практике
ученик на уроках физики сталкивается в основном c
двумя типами эксперимента. Эксперимент первого
типа – демонстрационный, его цель –
демонстрация того или иного физического явления,
установление качественной связи между
физическими величинами, характеризующими
явления или объекты. Если такой экс-перимент и
предполагает измерение значений каких-либо
величин, то точность этих измерений невелика.
Главное – это доступность для понимания,
наглядность, возможность достаточно быстро
сделать выводы (например, демонстрация второго
закона Ньютона: вдвое увеличили силу – ускорение
изменилось приблизительно в два раза).

Школьные эксперименты второго типа –
лабораторные работы в рамках программы. Здесь
ученик сталкивается с необходимостью не только
наблюдать и делать выводы, но и правильно
обрабатывать результаты, определять значение
величины и указывать её погрешность. Другие
случаи, как правило, представляют собой
комбинацию двух рассмотренных (практикум,
самостоятельное исследование на уроке,
фронтальный эксперимент).

Ни те, ни другие эксперименты не дают
представления о роли физического эксперимента в
развитии физики, однако государственный
Стандарт по физике требует понимания учениками
этой роли. Конечно, знакомясь с законами,
полученными эмпирическим путем, учащийся не раз
слышит фразу типа: «Георг Ом установил этот закон
на основе многочисленных экспериментов». Но, как
конкретно он это сделал, ученик вряд ли сможет
объяснить. Остаётся неясным и смысл вычисления
погрешностей при выполнении лабораторной
работы.

Нельзя ли преподавать курс физики в
соответствии с логикой самой науки? Проводить
пусть немногочисленные, но настоящие
эксперименты по определению вида зависимости
пути от времени движения, угла преломления от
угла падения, изменения температуры тела при
теплообмене от его массы и т.д.? Такой подход
связан с трудностями обучения школьников
обработке результатов эксперимента. Ведь
невозможно по экспериментальным данным получить
вывод о конкретном виде зависимости между
величинами, не поставив на графике «кресты»
погрешностей. Значит, о погрешности следует
говорить с самых первых шагов в физике. Но эта
тема пугает даже некоторых опытных учителей.

Желая продемонстрировать своим
ученикам роль эксперимента в физике, я на первых
же уроках столк-нулась с тем, что очень трудно
объяснить, кто и зачем выдумал такую вещь, как
погрешность эксперимента. Причину этого я вижу в
следующих ставшими уже традиционными моментах: 1)
понятие погрешности вводится в 9-м классе, когда
позади уже два года экспериментов и демонстраций
без всякого рассмотрения точности полученного
результата; 2) в наших учебниках в угоду простоте
объяснения часто переиначивается сама цель
введения погрешности; 3) в некоторых лабораторных
работах вычисленные относительные погрешности
превышают 100%, что ставит под сомнение саму цель
вычисления погрешностей.

В связи с этим я попыталась
перестроить всю систему обучения
экспериментальному методу познания и оценке
погрешностей результатов эксперимента. Большую
помощь оказало знакомство со школой Светланы
Вениаминовны Анофриковой, где уже разработана
бульшая часть практической программы обучения
экспериментальному методу познания в рамках
технологии деятельностного подхода. В своей
книге С.В.Анофрикова пишет: «При информационном
обучении подобные ситуации (необходимость
использования понятия погрешности. – Д.И.) в
принципе не могут возникнуть. Поэтому
всевозможные попытки обучить школьников методам
обработки экспериментальных данных всегда
оканчивались неудачей: в курс физики вводился
новый и достаточно сложный материал, который,
если и запоминался, то только формально, под
давлением преподавателя, и не превращался в
стиль мышления при проведении экспериментов
даже у тех учащихся, которые планировали связать
свою дальнейшую жизнь с физической наукой» [1].

Выход из сложившейся ситуации я вижу
такой:

– переходить по мере возможности к
преподаванию физики через совместное (учителя и
учеников) «открытие» экспериментальных законов;

– вводить понятие погрешности
измерений одновременно с понятием самого
измерения (как, например, в [2]), используя
творческую работу учащихся: самостоятельное
изготовление измерительных приборов, проведение
измерений в быту и т.д.;

– при использовании констант,
табличных значений физических величин проводить
вычисления с ними, как с приближёнными числами,
используя понятия «значащая цифра»,
«погрешность округления». Это формирует
определённый стиль мышления, учитывающий
приближённость измеренных в эксперименте
величин. Такое критическое отношение к
результатам измерения имеет практическую
важность для будущей «взрослой» жизни ученика, в
какой бы области науки или отрасли производства
он ни работал в дальнейшем;

– не оценивать строго правильность
вычисления погрешностей, использования формул.
Главное здесь всё же – понимание смысла и роли
погрешности в эксперименте.

Тем не менее здесь я хочу предложить
подробное изложение правильного подхода к
обучению вычислению погрешности в школьном
физическом эксперименте. В рассмотрение
включены также конкретные вопросы,
встречающиеся в практике работы с классическими
и новыми учебниками. Важно, чтобы учитель мог
самостоятельно разобраться с ними до того, как
проблемы возникнут у учеников.

С технологией деятельностного подхода
к обучению физике (авторская методика
С.В.Анофриковой) можно познакомиться, например, в
[1, 3, 4]. Большое количество сценариев таких уроков
можно найти в газете «Физика» (ИД «Первое
сентября»).

1. Зачем нужны погрешности?

Традиционно в школе рассчитывается
«максимальная абсолютная погрешность» или
«граница абсолютной погрешности». По сути, это
ответ на вопрос: «На сколько максимально мы можем
ошибиться в определении значения искомой
величины?» При этом, если мы имеем несколько
источников погрешностей в одном измерении,
систематических и (или) случайных, погрешность
результата измерения определяется как сумма
всех погрешностей и называется максимальной.
Хотя такое суммирование неправомерно
(складываться должны не погрешности, а их
квадраты) [квадраты погрешностей складываются
для не зависящих друг от друга величин, а сами
погрешности – для зависящих. – Ред.], тем не
менее даже такой упрощённый подход даёт
возможность показать смысл введения понятия
погрешности.

Так зачем же нужны погрешности?
Известно, что любые измерения, т.е. любое
измеренное или рассчитанное значение физической
величины, не могут быть абсолютно точными. Как
тогда решать вопрос, например, о равенстве двух
значений? Как провести кривую на графике? Приведу
пример.

В учебнике А.В.Пёрышкина
«Физика-8» [5], а также в учебнике С.В.Громова, Н.А.Родиной
«Физика-8» [6] есть лабораторная работа «Сравнение
количеств теплоты при смешивании воды разной
температуры». Её результатом должно стать
сравнение двух значений количества теплоты. Но
какой вывод, не зная ничего о существовании
погрешности эксперимента, должны сделать
учащиеся? Ведь полученные значения заведомо не
могут быть равны! Проблемы с выводом возникают и
в работе «Измерение силы трения скольжения» [6];
там предлагается выяснить, зависит ли
коэффициент трения от веса тела.

Можно предложить такой выход. Если
учащиеся уже знают, что при измерениях
результаты всегда не очень точные, то в работе о
сравнении количеств теплоты можно предложить
округлить полученные результаты, предварительно
выразив количества теплоты в килоджоулях. Но
есть вероятность, что и после этого значения
окажутся различными. А вычислить абсолютную
погрешность (далее я для простоты опускаю слово
«максимальную») «методом границ» (о нём – дальше)
не так уж сложно. Зато эффект от самостоятельно
проведённого опыта возрастает многократно!

Итак, абсолютной погрешностью
измерения называют модуль разности между
истинным значением величины и её значением,
полученным в результате измерения:

Важно здесь то, что истинное значение
величины узнать нельзя! Зато с помощью серии
измерений и обработки их результатов можно найти
её приблизительное значение и оценить возможное
отклонение от него измеренной величины. К
сожалению, этот смысл погрешности часто
ускользает от наших учеников нашими же
стараниями. Приведу пример.

В учебнике И.К.Кикоина, А.К.Кикоина
[7] в нескольких работах предлагается найти
разницу найденного значения и истинного
значения и тем самым оценить погрешность
эксперимента. Сразу возникает вопрос, а откуда
известно истинное значение? Из более точных
экспериментов? Так, в одной работе следует найти
разность найденного значения ускорения
свободного падения со значением 9,8 м/с². То
есть в «истинное» значение заранее
закладывается погрешность около 0,1%. Ясно, что тем
самым авторы пытаются показать смысл самого
понятия абсолютной погрешности как отклонения
от истинного значения. Такой же способ оценки
систематической погрешности предлагается в [8] в
качестве «простейшего способа». Но в результате
ученикам вкладывается в голову представление,
что погрешность можно определить, зная табличное
значение (если не вообще «только зная табличное
значение»). Выходит, погрешность нужна лишь
затем, чтобы проверить, правильно ли они
выполнили лабораторную работу? Такое
истолкование играет скорее отрицательную роль в
формировании подхода к эксперименту как
инструменту познания природы.

Чтобы понимать, насколько велика
погрешность по сравнению с самой величиной,
вводят понятие относительной погрешности
измерения:

Так как истинного значения мы не знаем,
то при не очень больших значениях относительной
погрешности можно заменить в этой формуле а_{истинное}
измеренным значением а. Величина
относительной погрешности играет важную роль в
определении «качества» поставленного
эксперимента. Если она составляет 30–40%, то в
школьном эксперименте это ещё допустимо
(особенно, если учесть, что мы работаем с максимальной
абсолютной погрешностью). А вот измерений, при
которых относительная погрешность заведомо
больше этих значений, надо попросту избегать.

2. Типы погрешностей

Погрешности измерений принято
подразделять на систематические и случайные [9,
10].

Систематические погрешности
вызываются факторами, действующими одинаковым
образом при многократном повторении одних и тех
же измерений. Величину систематической
погрешности можно пытаться уменьшить, улучшая
условия проведения эксперимента, выбирая более
точные приборы и т.д.

Случайные погрешности – те,
значения которых могут отличаться от измерения к
измерению на неизвестную нам, случайную
величину. Если провести ряд измерений и взять
среднее арифметическое из этого ряда, то
случайная погрешность этого среднего будет
меньше, чем погрешность единичного измерения.
Так стараются уменьшить величину случайной
погрешности эксперимента.

Наконец, грубые промахи –
погрешности вследствие неправильных действий
при измерении. Чтобы исключить их, надо соблюдать
аккуратность и тщательность в работе и записях
результатов. При необходимости такие измерения
надо произвести повторно. В дальнейшем мы не
будем говорить об этом типе погрешностей
эксперимента.

Прежде чем перейти к более подробному,
с примерами, рассмотрению различных видов
погрешностей, разберёмся, как они должны
сочетаться в конечном результате. При расчёте среднеквадратичных
погрешностей складываются не сами
погрешности, а их квадраты [9]. Ясно, что введение в
ученический эксперимент такого правила сильно
усложнило бы и без того не очень простой процесс.
При расчёте максимальной абсолютной погрешности
можно складывать погрешности, имеющие
различную природу, но соблюдая «правило
ничтожных погрешностей» [2, 8]: При суммировании
погрешностей любым слагаемым можно пренебречь,
если оно не превосходит 25–30% от другого.

Действительно, если одно из значений
меньше другого в 3 раза, то после возведения в
квадрат оно составит всего лишь около 10% от
другого слагаемого. Это правило помогает
избегать ситуаций, когда при накоплении «малых»
погрешностей, погрешность результата сильно
возрастает. Ниже я приведу пример расчёта
среднеквадратичной погрешности и максимальной
погрешности измерений. И наконец, последнее
правило:

если систематическая погрешность
является определяющей, т.е. её величина
существенно больше величины случайной
погрешности, то достаточно выполнить измерение
один раз; если определяющей является случайная
погрешность, то измерение следует проводить
несколько раз.

3. Учёт систематической
погрешности при прямых измерениях

Существует много видов
систематических погрешностей. В практике
школьного эксперимента встречаются только приборные
(инструментальные) погрешности, погрешность
округления (отсчёта) и субъективные
погрешности (например, точность измерений
секундомером ограничена временем реакции,
равным примерно 0,3 с). Рассмотрим данные виды
погрешностей подробней.

Инструментальная погрешность
_иА –
это систематическая погрешность измерения,
определяемая свойствами измерительного прибора.
Её значение указано в паспорте прибора. Обычно
это класс точности прибора, показывающий,
сколько процентов от максимального показания
шкалы прибора составляет значение абсолютной
погрешности измерения. На мой взгляд, лучше иметь
таблицу абсолютных инструментальных
погрешностей для приборов, используемых в
лабораторных работах (см., например, [11].

Особо следует сказать об
инструментальной погрешности весов и
разновесов. Её вычисление сложно для
семиклассников (да и для десятиклассников), и я
считаю такие вычисления излишними за
исключением физико-математических классов.
Здесь спасает следующее соображение. Точность
измерения массы с помощью весов очень велика –
относительная погрешность менее 1%, тогда как
относительная погрешность измерения, например,
объёма в лабораторной работе по определению
плотности тела обычно не меньше 5%. Поэтому проще
учитывать погрешность измерения массы с помощью
весов через интервал округления
(систематическая погрешность отсчёта).

Погрешность отсчёта ₀А – это
систематическая погрешность, появляющаяся в
результате округления измеряемого значения в
процессе снятия показаний. Обычно в школьном
эксперименте погрешность отсчёта принимают
равной половине цены деления прибора [2, 8]. Иногда
это приводит к необоснованному, на мой взгляд,
завышению значения погрешности. Приведу ряд
примеров:

Удобнее в таком случае ввести понятие
«интервал округления». Если мы
округляем показания прибора до целого деления,
то интервал округления равен цене деления
прибора, если отсчёт округляется до половины
деления («на глаз»), то интервал округления равен
половине цены деления, и т.д. При округлении
погрешность не превышает половины интервала
округления [1]. Такой подход позволяет свести все
случаи к оценке интервала округления.

Пусть в левой мензурке уровень
жидкости ближе к середине деления, чем к штриху 60
мл, и мы можем сказать, что объём равен примерно 65
мл. Тогда интервал округления составляет
половину цены деления, т.е. 5 мл, а погрешность
отсчёта 2,5 мл. Итак, окончательное значение
объёма (65,0 ± 7,5) мл (о количестве значащих цифр в
значении погрешности – позже).

В случае совпадения (или
приблизительного совпадения) уровня жидкости со
штрихом шкалы можно считать, что интервал
округления очень мал (например, 2 мл), так что погрешностью
отсчёта можно пренебречь по сравнению с
инструментальной погрешностью мензурки.

При измерении объёма правой мензуркой
деления настолько малы, что надёжно можно
фиксировать лишь близость уровня жидкости к
одному или другому штриху шкалы. Тогда интервал
округления будет равен цене деления шкалы, а
погрешность – половине цены деления, т.е. 2,5 мл.

Иногда погрешность отсчёта
становится больше инструментальной погрешности
в силу условий эксперимента. Например, в
лабораторном наборе «Механика» лаборатории L-micro
есть магнитные датчики, включающие и выключающие
секундомер при прохождении мимо них тела.
Положение датчиков определяется по линейке, но
отверстия датчиков имеют размер около 2 мм, так
что положение самого датчика невозможно
определить точнее, чем 1 мм. С учётом
инструментальной погрешности линейки
абсолютная погрешность определения координаты
датчика составляет 2 мм.
В лабораторной работе «Определение
КПД при подъёме тела по наклонной плоскости» [12]
значение высоты и длины наклонной плоскости
определяется с помощью ученической линейки. Хотя
цена деления её 1 мм, погрешность отсчёта больше
0,5 мм. Дело в том, что для правильного
определения высоты необходимо держать линейку
строго вертикально и измерять расстояние до
верхней грани плоскости. Это измерение трудно
проделать с точностью меньше 1 мм.

Ещё сложнее измерить высоту, с которой
скатывается цилиндр по наклонной плоскости, в
работе «Измерение момента инерции тела» [2] или
при измерении ускорения тела, скатывающегося с
наклонной плоскости [7]. Ведь необходимо измерять
высоту и длину плоскости между определёнными
точками, в которых находилось тело в начальный и
конечный моменты времени. Поскольку нет смысла
вводить ещё одно понятие – «систематическая
погрешность, определяемая условиями
эксперимента», – следует обратить внимание
учащихся на неточность измерений и после
обсуждения с ними увеличить погрешность отсчёта.

Очень полезно понятие интервала
округления при определении погрешности
табличных значений или значений констант.
Например:

Для определения длины математического
маятника по периоду его колебаний необходимо
значение ускорения свободного падения. С какой
точностью: g = 10 м/с² или g = 9,8
м/с²? В первом случае округление
произведено до единиц, т.е. интервал округления 1
м/с², а погрешность 0,5 м/с². Значение g = (10,0 ± 0,5) м/с²
взято с относительной погрешностью = 0,5/10,0 = 5%.
Поскольку мы знаем более точное значение g,
мы можем указать меньшую погрешность округления,
например, g = (10,0 ± 0,2) м/с²*). Значение g = (9,80 ± 0,05) м/с²
приведено с относительной погрешностью = 0,5%. Для
подстановки в формулу следует выбрать то
значение, относительной погрешностью которого
можно будет пренебречь по сравнению с
относительными погрешностями значений величин,
измеренных в эксперименте. (О вычислении
погрешности косвенных измерений ниже.)

При измерении времени секундомером
большую роль играет субъективная погрешность.
Время реакции человека составляет 0,1–0,2 с [10].
Поэтому систематическая погрешность – около
0,3–0,4 с (реакция при запуске и реакция при
остановке).

И в заключение – об округлении
значения абсолютной погрешности. Обычно его
округляют до одной значащей цифры (т.е. первой не
равной нулю цифры слева). Исключение составляют
случаи, когда единственная оставшаяся значащая
цифра в значении погрешности – единица. В таких
случаях лучше оставить две значащие цифры, т.к.
погрешность такого округления очень велика.
(Если мы округлим, например, 0,14 до 0,1, то
относительная погрешность округления составит
40%, так что лучше оставить 0,14).

В значении самой величины оставляют
столько же десятичных знаков, сколько их в
значении погрешности (см. записи в приведённых
примерах).

Так следует поступать, если полученный
результат является конечным. Если же он
промежуточный, то, по правилам приближённых
вычислений, следует оставлять на одну значащую
цифру больше.

Продолжение в № 17/07

_____________________

*В [6] в этом месте в ЛР № 2 допущена
опечатка.

Источник

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.

ИЗМЕРЕНИЕ МАССЫ ТЕЛА НА РЫЧАЖНЫХ ВЕСАХ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: — Научиться пользоваться рычажными весами и с их

помощью определить массу тела.

— Оценить погрешность данного измерения.

ПРИБОРА И МАТЕРИАЛЫ: — Весы с разновесом

— Тело, массу которого необходимо определить.

ХОД РАБОТЫ.

Изучите правила взвешивания при помощи рычажных весов по учебнику.

1. Уравновесим весы.

2. Придерживаясь правил взвешивания, измерим массу твердого тела.

mизм. = … + … + + … = …г (При определении массы, обязательно запишите массы всех гирек, которые уравновесили тело. Это понадобиться нам при дальнейших расчетах).

3. Определим абсолютную погрешность данного измерения.

Наиболее сложным случаем определения погрешности является определение погрешности измерения массы тела при работе с рычажными весами.

m = весов + всех гирь + подбора гирь , где m – абсолютная погрешность при взвешивании.

а). весов – абсолютная погрешность весов, определяется чувствительностью весов и зависит от нагрузки. Её определяют по графику.

m,мг

200

150

100

0 10 50 100 150 200 m,г

График зависимости погрешности весов

от их нагрузки.

mвесов = … г (Определите погрешность весов по графику и запишите её.)

б). всех гирь – это сумма абсолютных погрешностей каждой гирьки, которая использовалась при взвешивании. Эти данные вы возьмёте из таблицы.

Таблица зависимости погрешности гирь от их массы.

mгири	mгири	mгири	mгири
100мг	1мг	5г	8мг
200мг	2мг	10г	12мг
500мг	3мг	20г	20мг
1г	4мг	50г	30мг
2г	6мг	100г	40мг

mвсех гирь = … г (Определите погрешность всех гирь, пользуясь таблицей.)

ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ! Если, предположим, тело имеет массу 20г, и мы воспользуемся гирями: 10г и 10г, то абсолютная погрешность всех гирь будет равна – 12мг + 12мг = 24мг.

А если одной гирькой 20г, то абсолютная погрешность будет равна – 20мг.

КАК ВЫ ДУМАЕТЕ, как предпочтительнее поступить?

в). mподбора гирь – абсолютная погрешность подбора гирь, не превосходит половины минимальной массы гири, выводящей весы из равновесия. В нашем подборе гирь самая маленькая гирька имеет массу 100мг (0,1г).

mподбора гирь = 0.1г / 2 = 0,05г

m = … + … + 0,05г = …г (Подставьте численные значения в формулу для определения абсолютной погрешности при взвешивании. Округлите полученный результат до десятых.

ОБРАТИТЕ ВНИМНИЕ! Второе слагаемое мало по сравнению с остальными, поэтому в дальнейшем им можно будет пренебрегать. (Это соответствует закону сложения погрешностей.)

ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ:

Научились ли Вы пользоваться рычажными весами и с их помощью определить массу тела?

1. Запишите, чему равна масса тела с учетом абсолютной погрешности с точностью до десятых.

m = ( …  …)г

Что эта запись означает?

2. Какие меры предосторожности необходимо выполнять при работе с рычажными весами и разновесом?

3. Почему определение погрешности при взвешивании оказалось таким сложным?

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ.

1.Определите, чему равна относительная погрешность данного измерения. Что Вы можете сказать о точности этих весов?

Источник

По
способу выражения точности результатов
измерения различают абсолютную
и относительную
ошибки.

Абсолютной
погрешностью измерения
некоторой величины x
называют разность между измеренным
значением x
и истинным значением a
измеряемой
величины:

x =
a
– x.
(1)

Абсолютная
погрешность имеет размерность измеряемой
величины и указывает на необходимую
поправку в данном результате измерения.

Относительной
погрешностью измерения

называют отношение абсолютной погрешности
измерения к истинному значению измеряемой
величины:

= x/a
. (2)

Относительная
погрешность безразмерна и иногда
выражается в процентах:

 = (x/a)100%
. (3)

Если
абсолютная погрешность определяет
неточность в измерении величины
безотносительно к значению самой
величины, то относительная погрешность
определяет, какую долю составляет
погрешность от полученного результата.
Например, абсолютная погрешность в 1
грамм (x
= 1 г) при измерении массы тела в 10 кг даёт
неточность всего

 = (10^-3/10)100%
= 0,01%, в то время как такая же абсолютная
погрешность в определении массы тела
в 10 г даёт неточность уже

 = (10^-3/10^-2)100%
= 10%.

По
характеру проявления различают три
вида погрешностей:
грубые ошибки (промахи), систематические
погрешности и случайные погрешности.

Промахи
– допущенные грубые ошибки. Они могут
возникать вследствие недостатка внимания
экспериментатора, непредсказуемого
поведения прибора (внешние наводки,
нестабильность источника питания и
т.д.) и множества других причин, которые
практически невозможно учесть. Такие
результаты измерения резко выделяются
из большого ряда полученных значений,
и их обычно просто отбрасывают.

Систематические
погрешности связаны
с факторами, действующими одинаково
при многократном повторении одних и
тех же измерений. Они возникают по
следующим причинам:

1). Из-за погрешности
метода измерений, который может не
учитывать некоторых факторов, влияющих
на результат измерений. Например, это
– пренебрежение при измерениях длины
тела её зависимостью от температуры,
не принятие во внимание “потери веса”
тела в воздухе из-за наличия выталкивающей
силы и т.д. Во многих случаях величину
и знак такой систематической погрешности
можно установить и ввести соответствующие
поправки. Поправка, разумеется, равна
систематической погрешности измерения,
взятой с обратным знаком.

2).
Из-за неизвестных, не предполагаемых
свойств измеряемого объекта (например,
наличие пустот, несимметричность
считающегося симметричным объекта и
т.д.). Эти ошибки исключаются только,
если провести измерения изучаемой
величины другим методом и в других
условиях эксперимента.

3).
Из-за индивидуальных погрешностей,
допускаемых в процессе измерений
наблюдателем. Например, наблюдатели
по-разному внимательны, обладают разной
скоростью реакции, а это приводит к
систематическим ошибкам при слежении
за “уходом нуля” приборов, при регистрации
временных интервалов секундомером и
т.д. Устранить индивидуальные
систематические погрешности можно
только повторением этих измерений
другими наблюдателями.

4).
Из-за ошибок, которые вносят измерительные
приборы. Эти ошибки имеет место, даже
если прибор вполне исправен, отрегулирован,
применяется в соответствии с правилами
его эксплуатации, и отсчет показания
производится правильно и с большой
точностью. Она вызывается неизбежными
конструктивными недостатками прибора.
Погрешности измерительных приборов
будут подробно разобраны в следующем
разделе.

Случайные
погрешности определяются
сложной совокупностью причин. Они
обнаруживаются при большом числе
повторных измерений в виде некоторого
разброса результатов, причём невозможно
предсказать результат очередного
измерения. Но это не означает, что
случайная погрешность не подчиняется
никаким закономерностям Далее отдельно
будет дано математическое обоснование
определения этой ошибки.

Наглядной
иллюстрацией систематических и случайных
ошибок могут служить результаты стрельбы
из различных видов оружия, в том числе
на спортивных соревнованиях. Так, если
имеется только систематическая ошибка
(сбит прицел, неправильное прицеливание
или расчеты), то все пули (снаряды, стрелы,
бомбы и т.д.) попадут в одно и то же место,
но смещенное от центра мишени или цели.
Наоборот, если существуют только
случайные ошибки, то будет значительный
разброс в местах попадания («плохая
кучность»), но усредненное отклонение
от центра мишени (или цели) будет
стремиться к нулю. Реально, конечно,
наблюдаются оба вида ошибок, но один из
них обычно существенно преобладает над
другим.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
10.03.20162.93 Mб114ЛАЛАЕВА; ЛОГОПЕДИЯ В СХЕМАХ И ТАБЛИЦАХ.pdf
#

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

п.2. Цена деления

п.3. Виды измерений

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

п.6. Представление результатов эксперимента

п.7. Задачи

Д.А.ИВАШКИНА, лицей г. Троицка, Московская обл.

И снова о погрешностях

Д.А.ИВАШКИНА,
лицей г. Троицка, Московская обл.