При измерении
длин отрезков и площадей фигур, при взвешивании тел и других измерениях
получаются числа, выражающие эти величины.
Ввиду
погрешностей измерения полученные числа являются приближёнными значениями измеряемой
величины.
У каждого из
вас есть линейка и карандаш. Давайте попытаемся измерить длину карандаша.
Из рисунка
видно, что длина карандаша чуть меньше 10 см. Если бы на этой линейке не было
миллиметровых делений, то мы бы сказали, что длина карандаша равна 10 см. Но
это было бы не совсем точное измерение.
Такую
неточность называют погрешностью измерения.
В нашем случае,
на линейке есть миллиметровые деления, поэтому мы можем измерить длину
карандаша с более высокой точностью – 9,8 см.
Приближённое
значение отличается от точного значения в этом случае на 0,2 см. Чтобы узнать,
на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа
вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближённого значений.
Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
Определение:
Абсолютной
погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.
Значение
абсолютной погрешности не всегда можно найти. Но обычно известна её оценка
сверху – например, при измерении длины отрезка линейкой с сантиметровыми
делениями абсолютная погрешность измерения не превышает 1 сантиметра, а при
взвешивании на весах с гирями 100 грамм, 200 грамм, 500 грамм и 1 килограмм
абсолютная погрешность взвешивания не превышает ста грамм.
Посмотрите, на слайде
изображён отрезок CD.
Его длина
расположена между цифрами 7 см и 8 см. Понятно, что 7 см – это приближённое
значение длины отрезка CD с недостатком, а 8 см – это приближённое значение длины отрезка CD с
избытком.
Если истинную длину
отрезка обозначить за х, то получим, что длина отрезка CD удовлетворяет
неравенству:
Пусть истинное
значение измеряемой величины равно .
Измерение дало
результат .
Тогда разность – это абсолютная погрешность измерения.
Число называют границей абсолютной погрешности
измерения, если выполняется неравенство:
Принято писать
Точность
приближённого значения зависит от многих причин. Если приближённое значение
получено в процессе измерения, то, конечно же, его точность будет зависеть от
прибора, с помощью которого выполнялось это измерение.
Вот, например,
комнатный термометр. На нём деления нанесены через один градус. Это даёт
возможность измерять температуру воздуха с точностью до 1 градуса. А на весах,
у которых цена деления шкалы 20 г, можно взвешивать с точностью до 20 г. Или, к примеру, ещё, механические часы. Цена одного
деления, которых 1 мин. По ним можно сказать время с точностью до 1 минуты.
Для оценки
качества измерения можно использовать относительную погрешность приближённого
значения.
Определение:
Относительной
погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого
значения.
Относительную
погрешность принято выражать в процентах. В тех случаях, когда абсолютная
погрешность приближенного значения неизвестна, а известна лишь его точность,
ограничиваются оценкой относительной погрешности.
Например: при измерении (в сантиметрах) длины книжной полки и
толщины компакт-диска получили следующие результаты:
Чем меньше
относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Итоги:
Абсолютной
погрешностью приближенного значения
называют модуль разности точного и приближенного значений.
Число называют границей абсолютной погрешности измерения,
если выполняется неравенство:
Относительной
погрешностью приближенного значения называется
отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Чем меньше
относительная погрешность измерения, тем оно
точнее.
☰
Погрешность приближения
Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.
Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью. Погрешность приближения представляет собой взятую по модулю разность между точным значением числа и его приближенным значением.
Если a — это точное значение числа, а b — его приближенное значение, то погрешность приближения определяется по формуле |a – b|.
Допустим, что в результате измерений было получено число 1,5. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа равно 1,552. В таком случае погрешность приближения будет равна |1,552 – 1,5| = 0,052.
В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, |π – 3,14| = |3,14159… – 3,14| = 0,00159… . Здесь получается, что погрешность приближения выражена иррациональным числом.
Как известно, приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку. То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15. Причина, по которой в вычислениях используется его приближение по недостатку, заключается в применении правил округления. Согласно этим правилам, если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку. Если меньше пяти, то по недостатку. Так как третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то поэтому при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.
Действительно, если вычислить погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку, то получим:
|3,14159… – 3,14| = 0,00159…
|3,14159… – 3,15| = 0,0084…
Так как 0,00159…
Говоря о погрешности приближения, также как и в случае с самим приближением (по избытку или недостатку), указывают его точность. Так в приводимом выше примере с числом π следует сказать, что оно равно числу 3,14 с точностью до 0,01. Ведь модуль разности между самим числом и его приближенным значением не превышает 0,01 (0,00159… ≤ 0,01).
Точно также π равно 3,15 с точностью до 0,01, так как 0,0084… ≤ 0,01. Однако если говорить о большей точности, например до 0,005, то мы можем сказать, что π равно 3,14 с точностью до 0,005 (так как 0,00159… ≤ 0,005). Сказать же это по отношению к приближению 3,15 мы не можем (так как 0,0084… > 0,005).
В математике используют приближённые значения действительных чисел для графического решения уравнений и для выполнения практических вычислений с действительными числами.
Действительные числа — бесконечные десятичные дроби.
Пример:
найди площадь круга с радиусом (2) см.
Решение:
найдём площадь круга по формуле S=πR2=4⋅3,14159265359…=12,5663706144….
В ответ мы можем написать приближённое значение:
1) S≈ (12,56) — приближённое значение этого числа с недостатком с точностью до сотых,
или
2) S≈(12,57) — приближённое значение этого числа с избытком с точностью до сотых.
Таким образом, используют округление с недостатком и округление с избытком.
Абсолютная погрешность приближения показывает точность приближённого значения и находится по формуле (h=) x−a, где (x) — точное значение величины, (a) — её приближённое значение.
Погрешность приближённого равенства
S≈
(12,56) или
S≈
(12,57) выражается как
S−12,56
или соответственно как
S−12,57
.
Правило округления.
Если первая отбрасываемая цифра меньше (5), то нужно брать приближение с недостатком; если первая отбрасываемая цифра больше или равна (5), то нужно брать приближение с избытком.
(S=12,5663706144…) С точностью до (0,01) имеем
S≈
(12,57); выбрали приближение с избытком, т. к. на третьем месте после запятой стоит цифра (6) — её и отбросим.
Пример:
при точности до (0,0001) получим S≈(12,5664) — тоже выбрали приближение с избытком, т. к. на пятом месте после запятой стоит цифра (7) (мы её отбрасываем).
При точности до (0,001) нужно выбрать приближение с недостатком: S≈(12,566).
Если (a) — приближённое значение числа (x) и x−a≤h, то говорят, что абсолютная погрешность приближения не превосходит (h) или что число (x) равно числу (a) с точностью до (h).
Тема: Погрешность и точность приближения
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
По графику функции y = x2 найдём приближённые значения функции для х = 1,8 и х = 2,9.
При х = 1,8 у ≈ 3,3.
При х = 2,9 y ≈ 8,4.
Найдем точные значения функции при указанных значениях аргумента.
При x = 1,8 y = x2 = 1,82 = 3,24.
При x = 2,9 y = x2 = 2,92 = 8,41.
Посмотрим, насколько отличаются приближённые значения от точных.
3,3 – 3,24 = 0,06.
8,41 – 8,4 = 0,01.
Для того, чтобы узнать разницу между приближённым значением и точным, мы из бОльшего значения вычли меньшее. Иными словами, мы нашли модуль разницы точного и приближённого значений.
Модуль разности точного и приближенного значений называют абсолютной погрешностью.
|3,24 – 3,3| = 0,06.
|8,41 – 8,4| = 0,01.
В некоторых случаях абсолютную погрешность найти невозможно. Например, комнатный термометр.
Термометр показывает температуру приблизительно равную t ≈ 12° по Цельсию. Точное значение нам не известно, значит абсолютную погрешность вычислить не можем, но можем указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. В приведённом примере это может быть 1, т.к. шкала деления термометра равна 1°.
Модуль разницы |t – 12| ≤ 1. Значит: t ≈ 12° с точностью 1°.
Записывается это таким образом: t ≈ 12° ± 1°.
Это значит, что значение температуры расположено между 12 – 1 ≤ t ≤ 12 + 1 или 11 ≤ t ≤ 13.
Для оценки качества измерения вычисляют относительную погрешность приближённого значения.
Относительная погрешность приближённого значения – это отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Относительная погрешность выражается в процентах.
Если значение абсолютной величины неизвестно, но известна точность приближённого значения, то выполняют оценку относительной погрешности.
Например, масса двух яблок равна 200 г ±5 г. Тогда относительная погрешность не превосходит значения, равного 5 : 200 • 100% = 2,5%. Иными словами, измерение выполнено с относительной точностью до 2,5%.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
Погрешность и точность приближения
План урока
- Абсолютная погрешность приближенного значения
- Относительная погрешность приближенного значения
Цели урока
- Знать определения абсолютной и относительной погрешности приближенного значения
- Уметь находить абсолютную и относительную погрешность приближенного значения
Разминка
- Округлите до сотых число:
а) 5,113; б) 5,124; в) 5,553; г) 5,067.
Абсолютная погрешность приближенного значения
На практике в вычислениях используют, как правило, десятичные дроби с ограниченным числом десятичных знаков. Если дробь бесконечная или с большим количеством десятичных знаков, ее округляют. Так число π выражается бесконечной десятичной непериодической дробью 3,1415926… В зависимости от задачи его округляют до десятых, сотых, тысячных и т.д. И тогда получают приближенные значения: 3,1; 3,14; 3,142 и т.д.
По графику функции y=x2 можно найти приближенные значения этой функции при x=1,6 и x=2,3: если x=1,6, то y≈2,6; если x=2,3, то y≈5,3.
Точные значения квадратов чисел:
если x=1,6, то y=1,62=2,56; если x=2,3, то y=2,32=5,29.
В первом случае отличие приближенного значения от точного значения равно 0,04, во втором – 0,01:
2,6-2,56=0,04; 5,3-5,29=0,01.
Абсолютной погрешностью
приближенного значения называют модуль разности точного и приближенного значений.
Так, в рассмотренном примере абсолютная погрешность определяется следующим образом:
|2,56-2,6|=|-0,04|=0,04; |5,29-5,3|=|-0,01|=0,01.
Найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Например, при измерении длины отрезка с помощью линейки мы можем сказать, что абсолютная погрешность не превосходит цены деления. Цена деления обычной линейки 0,1 см, поэтому абсолютная погрешность приближенного значения не больше 0,1.
Если x≈a и абсолютная погрешность этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то число a называют приближенным значением x с точностью до h.
Пишут:
x≈a с точностью h.
Обычно используют другую запись:
x=a±h.
Эта запись означает, что
a-h≤x≤a+h.
Например, если x=15±0,2, то 14,8≤x≤15,2.
Точность приближенного значения зависит от многих причин. На практике в процессе измерения, его точность зависит от прибора, с помощью которого выполнялось измерение, от его точности.
1. Округлите числа 1,526; 13,56; 5,753 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближенных значений.
2. Приближенное значение числа x равно a. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:
а) x=3,76; a=3,8; б) x=9,653; a=9,7; в) x=38,1; a=38;
г) x=26,48; a=26.
3. Запишите в виде двойного неравенства:
а) x=7±1; б) x=27±3; в) x=23±0,1; г) x=16,5±0,5;
д) x=5,82±0,01; е) x=30,42±0,05.
Относительная погрешность приближенного значения
Допустим, мы измерили толщину h монеты и ее диаметр d в сантиметрах:
h=0,2±0,1; d=2,5±0,1
Тогда качество измерения можно оценить как отношение точности измерения к приближенному значению: для толщины 0,10,2=0,5, а для диаметра 0,12,5=0,04. Чем меньше отношение, тем точнее измерение.
Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.
Относительную погрешность принято выражать в процентах:
|x-aa|⋅100%.
Тогда 0,10,2⋅100%=50%, 0,12,5⋅100%=4%. Тогда говорят, что измерение толщины выполнено с относительной точностью до 50%, а измерение диаметра — с относительной точностью до 4%. Качество второго измерения значительно выше, чем первого.
Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления (в процентах):
а) 2,1; б) 5,12; в) 9,736; г) 49,54.
1. Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения? Поясните смысл записи x=a±h.
2. Что называется относительной погрешностью приближенного значения?
Ответы
Упражнение 1
1. 0,026; 0,04; 0,047.
2. а) 0,04; б) 0,047; в) 0,1; г) 0,48.
3. Запишите в виде двойного неравенства:
а) 6≤x≤8; б) 24≤x≤30; в) 22,9≤x≤23,1; г) 16≤x≤17; д) 5,81≤x≤5,83;
е)30,37≤x≤30,47.
Упражнение 2
а) 5%; б) 2,4%; в) 2,64%; г) 0,92%.