Как найти погрешность приближенного равенства

В математике используют приближённые значения действительных чисел  для графического решения уравнений и для выполнения  практических вычислений с действительными числами.

Действительные числа — бесконечные десятичные дроби. 

Решение:

найдём площадь круга по формуле S=πR2=4⋅3,14159265359…=12,5663706144….

В ответ мы можем написать приближённое значение:

1) S≈ (12,56) — приближённое значение этого числа  с недостатком с точностью до сотых,

или

2)  S≈(12,57) — приближённое значение этого числа  с избытком с точностью до сотых.

Таким образом, используют округление с недостатком и округление с избытком.

Действия над приближенными значениями величин

Для
того чтобы правильно производить
действия над приближенными значениями
величин, надо уметь находить погрешности
этих действий.

В
таблице приведены формулы для оценки
границ погрешностей результатов
действий:

Действие	Граница абсолютной погрешности	Граница относительной погрешности

Пример 2. Вычислить
сумму приближенных чисел 0.6, 0.42 и 0.286.
Найти границу погрешности результата.

Решение. Округлим
все данные, сохранив два десятичных
знака, и выполним сложение:

Граница
погрешности каждого слагаемого не
превосходит единицы последнего разряда;
тогда

Пример
3. Найти частное приближенных чисел
654.1 и 8.5 и границу погрешности результата.

Решение.
Округлим делимое, сохранив три значащие
цифры, т.е. до единиц:

.
Выполним деление и оставим в результате
две значащие цифры:

Чтобы
ответить на вопрос, с какой точностью
найдено частное, сначала вычислим
границу относительной погрешности
результата:

Границу
погрешности частного находим по формуле

,
т.е.

Итак, частное равно

При
возведении в квадрат и в куб в результате
сохраняют столько значащих цифр,
сколько их имеет подкоренное число.

Пример
4. Вычислить приближенное значение
числа

и найти относительную погрешность
вычисления.

Решение.
Сначала находим квадрат числа 4.13 и
оставляем в результате три значащие
цифры:

Относительную погрешность вычисления
находим по формуле

Итак,

с относительной точностью до 0.5%.

Замечание.
Для более точных вычислений в результатах
промежуточных действий рекомендуется
сохранять одну запасную цифру, т.е.
сохранять на один десятичный знак или
на одну значащую цифру больше, чем
рекомендует правило.

Пример
5. Вычислить приближенное значение
выражения

и найти границу погрешности результата.

Решение.
Находим значение квадрата числа 5.62 и
квадратного корня из числа 18.50; имеем

Теперь получаем

где сначала
выполнено деление, а затем умножение.

Найдем
границу относительной погрешности
результата:

Граница
погрешности результата есть

Итак,

Пример
6. Вычислить приближенное значение
выражения

и найти границу погрешности результата.

Решение.
Находим значение квадратного корня из
числа 6.24 и

;
имеем

;

.
Далее получим

где сначала
выполнено деление, а затем умножение.

Найдем
границу относительной погрешности
результата:

Граница
погрешности результата есть

Итак,

Задачи

1. Найдите
   абсолютную погрешность приближенного
   равенства
   
   .

2. Округлите
   число до единиц и найдите абсолютную
   и относительную погрешности округления:
   а) 10.59; б) 0.892.

3. Сколько
   верных цифр имеет число: а)
   

   б)
   ;
   в)
   

4. Вычислите
   приближенное значение выражения и
   границу погрешности результата:

а)

б)

в)

1. Найти
   относительную погрешность при вычислении
   определителя

а)

,
б)

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ № 2

ПРИБЛИЖЕНИЕ
И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

Постановка
задачи. Пусть
величина у
является функцией аргумента х.
Это означает, что любому значению х
из области определения поставлено в
соответствие значение у.
Вместе с тем на практике часто неизвестна
явная связь между у
и х,
т.е. невозможно записать эту связь в
виде некоторой зависимости

.
В некоторых случаях даже при известной
зависимости

она настолько громоздка (например,
содержит трудно вычисляемые выражения,
сложные интегралы и т.д.), что её
использование в практических расчетах
затруднительно.

Задача
о приближении (аппроксимации) функций
формулируется так: данную функцию

требуется приближенно заменить
(аппроксимировать) некоторой функцией

так, чтобы отклонение (в некотором
смысле)

от

в заданной области было наименьшим.
Функция

при этом называется аппроксимирующей.

Для
практики весьма важен случай аппроксимации
функции многочленом

(1)

При
этом коэффициенты

будут подбираться так, чтобы достичь
наименьшего отклонения многочлена от
данной функции.

Одним
из основных типов аппроксимации является
интерполирование. Оно состоит в следующем:
для данной функции

строим многочлен (1), принимающий в
заданных точках

те же значения

что и функция

,
т.е.

(2)

При
этом предполагается, что среди значений

нет одинаковых, т.е.

при

Точки

называются узлами интерполяции, а
многочлен

— интерполяционным многочленом.

Пусть
функция

определена таблицей

			…
			…

Задачей
интерполяции является построение
многочлена

,
значения которого в узлах интерполяции
{x_i}
равны соответствующим значениям
заданной функции, т.е.

=y_i

(i=0,1,…,n).

Интерполяционной
формулой Лагранжа называется формула,
представляющая многочлен

в виде

,
(3)

где

— многочлен степени n,
принимающий значение, равное единице
в узле

,
и равные нулю значения в остальных узлах

(
),
(i,k=0,1,…,n).
Многочлен

называется интерполяционным многочленом
Лагранжа. Следует отметить, что степень
многочлена Лагранжа не превышает числа
n.

определяется по следующей формуле

.
(4)

Пример.
Для функции, заданной таблицей, построить
интерполяционный многочлен Лагранжа.

	-1	0	1
	3	2	5

Решение.
Многочлен Лагранжа для трех узлов
интерполирования запишется так:

Применяя формулу
Лагранжа, получим

После
элементарных преобразований получаем
интерполяционный многочлен Лагранжа
второй степени

.

Задачи

Для
функции

,
заданной
таблицей,
построить интерполяционный многочлен
Лагранжа.

1.

	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0
	1.5708	1.5738	1.5828	1.5981	1.62

2.

	2.5	3.0	3.5	4.0
	1.649	1.6858	1.7313	1.7868

3.

	0.3	0.4	0.50	0.6	0.7
	0.29131	0.37995	0.46212	0.53705	0.60437

4.

	0.8	0.9	1.0
	0.66404	0.7163	0.76159

5.

	0.0	0.5	1.0	1.05	2.0
	1.5708	1.5678	1.5589	1.5442	1.5238

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ №3

МЕТОД
НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть,
изучая неизвестную функциональную
зависимость между y
и x,
в результате серии экспериментов
произвели ряд измерений этих величин
и получили таблицу значений

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2	…	yn

Задача
состоит в том, чтобы найти приближенную
зависимость

(1)

значения
которой при

мало отличаются от опытных данных

.
Приближенная функциональная зависимость
(1), полученная на основании экспериментальных
данных, называется эмпирической
формулой.

Задача
построения эмпирической формулы
отличается от задачи интерполирования.
График эмпирической зависимости, вообще
говоря, не проходит через заданные
точки

,
как в случае интерполяции. Это приводит
к тому, что экспериментальные данные
в некоторой степени сглаживаются, а
интерполяционная формула повторила бы
все ошибки, имеющиеся в экспериментальных
данных.

Построение
эмпирической формулы состоит из двух
этапов: подбор общего вида этой формулы
и определения наилучших значений
содержащихся в ней параметров.

В
методе наименьших квадратов в качестве
эмпирической функции выбран многочлен.
Согласно этому методу за меру отклонения
многочлена

(2)

от
данной функции

на множестве точек

,

,
…,

принимают величину

,
(3)

равную
сумме квадратов отклонений многочлена

от функции

на заданной системе точек.

Очевидно,
что

есть функция коэффициентов

,

,
…,
.
Эти коэффициенты надо подобрать так,
чтобы величина

была наименьшей. Полученный многочлен
называется аппроксимирующим для данной
функции, а процесс построения этого
многочлена – точечной квадратичной
аппроксимацией или точечным квадратичным
аппроксимированием функции.

Для
решения задачи точечного квадратичного
аппроксимирования воспользуемся общим
приемом дифференциального исчисления.
Найдем частные производные от величины

где

по всем переменным

,
…,

.
Приравнивая эти частные производные к
нулю, получим для определения неизвестных

,
…,

систему m+1
уравнений с m+1
неизвестными:

(4)

Введем обозначения:

,

,

Преобразуя систему
(11) и используя введенные обозначения,
будем иметь:

(5)

где

.

Можно
доказать, что если среди точек

,

,
…,

нет совпадающих и

,
то определитель системы (5) отличен от
нуля и, следовательно, эта система имеет
единственное решение

,

,
…,

.
Многочлен (2) с такими коэффициентами
будет обладать минимальным квадратичным
отклонением

.

Таким
образом, аппроксимирование функций
представляет собой более общий процесс,
чем интерполирование.

Для
составления системы (4) рекомендуется
схема способа наименьших квадратов,
приведенная в таблице 1, где принято
m=2.

Таблица 1

1
1
1
1
1

Пример.
Подобрать аппроксимирующий многочлен
второй степени

для данных

	0.78	1.50	2.34	3.12	3.81
	2.50	1.20	1.12	2.25	4.28

Решение.
Вычисления, которые нам нужно произвести,
расположим по схеме (для m=2,
n=4),
приведенной в таблице 1.

Для данного примера
получаем таблицу 2 (вычисления проводятся
с тремя десятичными знаками).

Таблица 2

1	0.78	0.608	0.475	0.370	2.50	1.950	1.520
1	1.56	2.434	3.796	5.922	1.20	1.872	2.921
1	2.34	5.476	12.813	29.982	1.12	2.621	6.133
1	3.12	9.734	30.371	94.759	2.25	7.020	21.902
1	3.81	14.516	55.306	210.717	4.28	16.307	62.128
5	11.61	32.768	102.761	341.750	11.35	29.770	94.604

Отсюда
система для определения коэффициентов

,

,

:

(6)

Решив
систему (6), получим

,

,

.
Следовательно, искомый многочлен есть

(7)

Сравним
исходные значения для

с соответствующими значениями

,
полученными из приближенной формулы
(7). Соответствующие результаты приведены
в таблице 3.

Таблица
3

0.78	2.50	2.505	0.005
1.56	1.20	1.194	0.006
2.34	1.12	1,110	0.010
3.12	2.25	2.252	0.002
3.81	4.28	4.288	0.008

Задачи

Подобрать
аппроксимирующий многочлен второй
степени

для функций

1.

	0.0	0.5	1.0	1.5	2.0
	1.5708	1.5738	1.5828	1.5981	1.62

2.

	2.5	3.0	3.5	4.0
	1.649	1.6858	1.7313	1.7868

3.

	0.3	0.4	0.50	0.6	0.7
	0.29131	0.37995	0.46212	0.53705	0.60437

4.

	0.8	0.9	1.0
	0.66404	0.7163	0.76159

5.

	0.0	0.5	1.0	1.05	2.0
	1.5708	1.5678	1.5589	1.5442	1.5238

ПРАКТИЧЕСКОЕ
ЗАНЯТИЕ № 4

ЧИСЛЕННОЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

1.
Аппроксимация производных.
Напомним, что производной функции

называется предел отношения приращения
функции

к приращению аргумента

при стремлении

к нулю:

(1)

Значение
шага

полагают равным некоторому конечному
числу и для вычисления значения
производной получают приближенное
равенство

(2)

Это
соотношение называется аппроксимацией
(приближением) производной с помощью
отношения конечных разностей (значения

,

в формуле (2) конечные в отличии от их
бесконечно малых значений в (1)).

Рассмотрим
аппроксимацию производной для функции

,
заданной в табличном виде:

при

.
Пусть шаг – разность между соседними
значениями аргумента – постоянный и
равен h.
Запишем выражения для производной

при

.
В зависимости от способа вычисления
конечных разностей получаем разные
формулы для вычисления производной в
одной и той же точке:

(3)

с
помощью левых разностей;

(4)

с помощью правых
разностей;

(5)

с помощью центральных
разностей.

Выражения для
второй производной

(6)

2.
Использование интерполяционных формул.
Предположим, что функция

,
заданная в виде таблицы с постоянным
шагом

,
может быть аппроксимирована
интерполяционным многочленом Ньютона:

.
(7)

Дифференцируя
этот многочлен по переменной

с учетом правила дифференцирования
сложной функции:

можно
получить формулы для вычисления
производных любого порядка:

Пример.
Вычислить в точке

первую и вторую производные функции,
заданной таблицей.

Здесь

Используя полученные выше формулы,
находим

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5	1.2833 1.8107 2.3606 2.9577 3.5969 4.2833	0.5274 0.5599 0.5971 0.6392 0.6864	0.0325 0.0372 0.0421 0.0472	0.0047 0.0049 0.0051	0.0002 0.0002	0.0000

Запишем
интерполяционный многочлен Лагранжа

и его остаточный член

для случая трех узлов интерполяции (
)
и найдем их производные:

Здесь

— значение производной третьего порядка
в некоторой внутренней точке

Запишем
выражение для производной

при

:

Аналогичные
соотношения можно получить и для
значений

при

(8)

Записывая
интерполяционный многочлен Лагранжа
и его остаточный член для случая четырех
узлов (
),
получаем следующие аппроксимации
производных:

(9)

В
случае пяти узлов

получим

(10)

Выпишем
аппроксимации производных для узла с
произвольным номером

,
считая его центральным:

(11)

С
помощью интерполяционных многочленов
Лагранжа можно получить аппроксимации
для старших производных. Приведем
аппроксимации для вторых производных.

В
случае трех узлов интерполяции (
)
имеем

(12)

В
случае четырех узлов (
)
имеем

(13)

В
случае пяти узлов (
)
имеем

(14)

3.
Улучшение аппроксимации производной.
Метод Рунге-Ромберга. Сущность метода
Рунге – Ромберга. Пусть

— производная, которая подлежит
аппроксимации;

— конечно–разностная аппроксимация
этой производной на равномерной сетке
с шагом h;
R
– погрешность (остаточный член)
аппроксимации, главный член которой
можно записать в виде

т.е.

.
(15).

Формула
(15) позволяет по результатам двух
расчетов значений производной

и

(с шагом h
и kh)
с порядком точности p
найти её уточненное значение с порядком
точности p+1.

Пример.
Вычислить производную функции

в точке x=1.

Очевидно, что

,
поэтому

Найдем эту производную численно. Составим
таблицу значений функции:

x	0.8	0.9	1.0
y	0.512	0.729	1.0

Воспользуемся
аппроксимацией производной с помощью
левых разностей, имеющей первый порядок
(p=1).
Примем шаг равным 0.1 и 0.2, т.е. k=2.
Получим

По
формуле Рунге найдем уточненное значение
производной:

Задачи

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #

  30.04.2022611.84 Кб532.doc

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения —  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.