Как найти погрешность приближенного вычисления - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Приближённые вычисления
Абсолютная и относительная погрешности
Выполнение действий над приближёнными числами
Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись

3. Если

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³— две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть

Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:

Число называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа

Решение: Имеем

Следовательно

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .

Решение:

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — исходные данные; пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Лекции:

Уравнение сферы
Пределы: примеры решения
Площадь поверхности конуса
Целые рациональные выражения
Числовые ряды. Числовой ряд. Сумма ряда
Свойства логарифмов
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Скрещивающиеся прямые
Скалярное призведение двух векторов
Теоремы, связанные с понятием производной

Источник

•обучение проведению моделирования процессов и систем;

•повышение способности оценивания качества и надежности функционирования объекта проектирования.

При решении практических задач очень часто нет необходимости производить точные вычисления, поэтому используют приближенные вычисления и приближенные числа. Но при любых приближенных вычислениях очень важна точность, с которой производятся данные вычисления и точность, которая необходима для округления различных величин. Встает вопрос о погрешности величин и вычислений. Погрешности бывают двух видов: устранимые и неустранимые.

Источниками погрешностей могут служить различные причины. Вопервых, очень часто исходные данные получаются из эксперимента, а это само по себе влечет достаточно сильный разброс данных и ограниченную их точность, погрешности дают также и физические приборы, используемые во время эксперимента. Во-вторых, математическая модель, которая используется для формализации данного физического или химического процесса сама по себе является достаточно приблизительной, что тоже влечет за собой погрешности. В-третьих, иррациональные числа и физические константы в процессе вычисления берутся тоже с определенной точностью. Кроме того, потеря точности возможна и при выполнении арифметических операций, использовании бесконечных последовательностей и т.д. Влияние погрешностей на результат может быть достаточно велико, поэтому необходимо очень аккуратно обращаться с приближением чисел.

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

Обозначим A точное значение некоторого числа, а a его приближенное значение. Записывается это следующим образом A ≈ a . Если A > a , то это

— 4 —

приближение по недостатку, а если A < a , то это приближение по избытку. Например, 3,14 <π < 3,15, поэтому приближение по недостатку 3,14, а по избытку 3,15.

Определение. Абсолютной погрешностью приближенного числа а

называют абсолютную величину разности между точным и приближенным значением числа:

∆ =		A − a		.	(1.1)

В практике возможны два случая:

1.Если точное значение известно тогда легко можно использовать формулу (1.1),

2.Если точное значение не известно, как чаще всего и бывает, то тогда используют понятие предельной абсолютной погрешности.

Определение. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа а называется погрешность, которая не меньше абсолютной погрешности этого числа.

∆a ≥ ∆ =		A − a		.	(1.2)

Таким образом, точное значение числа заключено в границах: a − ∆a ≤ A ≤ a + ∆a ,

A = a ± ∆a ,

где a − ∆a — приближение по недостатку, а a + ∆a — приближение по избытку. Пример. Определить предельную абсолютную погрешность числа

е=2,71828…с точностью до тысячных. Число е можно оценить следующим образом 2,7181<e< 2,7183. Тогда предельная абсолютная погрешность: ∆e = 0,0001. Отметим, что этот вариант не единственный, возможны и другие значения предельной абсолютной погрешности.

Ответ: ∆e = 0,0001.

Таким образом, предельной абсолютной погрешностью может являться любой представитель бесконечного множества неотрицательных чисел,

— 5 —

которые удовлетворяют неравенству (1.2). Но из разумных соображений выбирают наименьшее из этих чисел. Абсолютная погрешность характеризует ошибку, приходящуюся на единицу измерения той или иной величины.

Пример. Необходимо измерить длину некоторого расстояния. Измерения

были проведены с	некоторой точностью:456,25 ≤ l ≤ 456,35м. Погрешность
∆l = 0,05м. Запись	результата в этом случае имеет следующий вид:

l = 456,3 ± 0,05 м, где 456,3 – длина отрезка, а 0,05 – точность измерения.

Ответ: l = 456,3 ± 0,05 м.

Определение. Относительной погрешностью приближенного числа а

называют отношение абсолютной погрешности приближенного числа к точному значению этого числа:

δ =	∆	=		A − a	.	(1.3)

A

			A

Здесь надо отметить, что, во-первых, A ≠ 0 , а во-вторых, очень редко бывает известно точное значение A. Тогда вместо A берут приближенное значение а.

Так же как и в предыдущем случае введем понятие предельной относительной

погрешности.
Определение.	Предельной	относительной	погрешностью
приближенного числа а	называется	погрешность, которая не меньше
относительной погрешности этого числа:
		δa ≥δ .	(1.5)

Отсюда следует, что ∆ = Aδ ≤ Aδa . На практике A ≈ a , поэтому считают ∆ = a δa . Границы точного числа А: A = a(1±δa ).

Пример. Вычислить предельную относительную погрешность при округлении числа е = 2,71828.… В одном из предыдущих примеров было

— 6 —

получено, что число e = 2,7182 ± 0,0001. Тогда предельная относительная погрешность δe = 2,718280,0001 ≈ 3,7 10−5 ≤ 4 10−5 .

Ответ: δe = 4 10−5

Докажем следующую формулу, связывающую предельную абсолютную и предельную относительную погрешности:

∆a =	aδa	.	(1.6)

	1−δa

Для определенности будем считать, что A > 0,a > 0,∆a < a .

По определению относительной и предельной относительной

погрешностей

получаем δ =

∆

≤

∆

, а

δa =

∆a

Тогда

абсолютную

a + ∆

a + ∆a

погрешность

можем представить

∆ =

δ ≤ (a + ∆)δa .

Выделив из этого

неравенства

∆, получаем

∆ ≤

aδa

Тогда

предельная

абсолютная

1−δa

погрешность равна ∆a =	aδa	.

	1−δa
На практике стараются, чтобы ∆a << a , а δ <<1; тогда можно принять
		δ ≈	∆a , а ∆a ≈ aδa .	(1.7)
			a

Достаточно часто относительную погрешность измеряют в процентном отношении к приближенной величине. Относительная погрешность показывает, насколько велика абсолютная погрешность по отношению к самой величине.

1.2. Десятичная запись приближенных чисел. Значащие цифры

Любое положительное число А можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

A =α	m	10m +α	10m−1	+α	m−2	10m−2	+… +α	10m−n+1	+…,	(1.8)
		m−1				m−n+1

— 7 —

где αi цифры (αi =0,1,2,…,9),	i=m, m-1,…, причем	αi ≠ 0 , m—	старший
десятичный разряд числа а.
Пример. Число 7654,7683…	можно представить	следующим	образом:

7654,7683… = 7 103 + 6 102 + 5 101 + 4 100 + 7 10−1 + 6 10−2 + 8 10−3 +…

Но работать с бесконечными числами не очень удобно, поэтому берут числа приближенные:

a ≈α	m	10m +α		10m−1 +α	m−2	10m−2 +… +α	10m−N +1.
		m−1			m−N +1
Число (1.8) сохранено до m-N+1 разряда.
Определение. Пусть	αN	первая ненулевая цифра в десятичной записи
приближенного		числа а,	считая слева. Тогда сама	цифра	αN и	все,
последующие за ней, называются значащими цифрами.
Пример. Рассмотрим	приближенное число а=0,00234. Это число имеет
три значащие цифры 2,3,4. А приближенное число	а=1,1030	имеет	пять
значащих цифр 1,1,0,3,0.

Определение. N первых значащих цифр αm ,αm−1,…,αm−N +1 приближенного числа а называют верными, если выполняется следующее

неравенство: ∆ = A − a ≤ 12 10m−N +1 , то есть абсолютная погрешность этого

числа не более чем половина единицы разряда, выражаемого N-й значащей цифрой, считая слева направо.

Пример. Рассмотрим точное и приближенное числа А=78,98 и а=79,00. Определим количество верных цифр у приближенного числа при данном округлении.

Приближенное число будет иметь три верных цифры, так как

∆= A − a = 0,02 ≤ 12 10−1, а m − N +1 = −1 и m=1. Следовательно, N = 3 .

Ответ: приближенное число имеет три верные цифры.

—8 —

Источник

Абсолютная и относительная погрешность

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

4.2

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 2197.

Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.

Опыт работы учителем математики — более 33 лет.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.

Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.

Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.

На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.

Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.

Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.

Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.

Правила подсчета погрешностей

Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:

при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.

Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.

Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.

Что мы узнали?

Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.