Как найти погружение тела в воду формула

§ 1  Расчет архимедовой силы, условие плавания тел: формулы и определения

Рассмотрим решение задач на расчет архимедовой силы, условие плавания тел в жидкостях и газах.

Для решения задач нам нужно вспомнить следующие формулы и определения:

Архимедова силаравна произведению коэффициента силы тяжести на плотность жидкости и объем погруженной части тела: Fa = gρжVтела.

Тело плавает в жидкости, если вес вытесненной им жидкости равен весу этого тела в воздухе: P выт.жидкости = P тела.

Морские и речные суда могут перевозить грузы. Вес груза зависит от водоизмещения судна. Водоизмещение — это вес воды, вытесненной судном, равный его весу в воздухе.

Подъемная сила аэростатовравна разности между архимедовой силы и весом оболочки, гондолы и газа, которым наполнен аэростат.

При решении задач важно верно выразить величины в системе СИ. 

Архимедова сила зависит от объема тела, поэтому вспомним размерности объема:

1 дм3 = 0,001 м3;

1 см3 = 0, 000 001 м3.

§ 2  Решение задач

Задача 1:Вычислите архимедову силу, действующую на брусок размером 2х10х4 см, если он наполовину погружен в спирт.

Решение:Запишем условие задачи. Нам известны размеры бруска: длина а = 10 см, ширина b=2 см, высота c=4 см. Плотность спирта ρж = 800 кг/м3. Выразим длину, ширину и высоту в системе СИ: 0,1 м, 0,02 м, 0,04 м.

Для решения запишем формулу вычисления архимедовой силы: Fa = gρжVпогр.части тела.

Объем всего бруска прямоугольной формы равен произведению длины на ширину и на высоту: V=abc = 0,1 м*0,02*0,04 м = 0,00 008 м3.

Объем погруженной части равен половине объема: Vпогр.части тела=0,00 004 м3.

Подставим числовые значения плотности спирта, коэффициента силы тяжести, объема погруженной части тела в формулу архимедовой силы и получим: Fa = 0,32 Н.

Ответ: на брусок в спирте действует архимедова сила 0,32 Н.

Задача 2:Какую силу нужно приложить к плите массой 4 т при ее подъеме со дна водоема, если объем плиты — 2 м3?

Решение:запишем условие задачи. Масса плиты m = 4 т, выразим в СИ: 4000 кг, объем плиты V = 2 м3, плотность воды ρж = 1000 кг/м3.

На тело, погруженное в жидкость или газ, действуют две силы: сила тяжести и архимедова сила, направленные противоположно. Поэтому вес плиты в воде уменьшается: Pв воде = Pв воздухе – Fа .

Вес тела в воздухе найдем по формуле P=mg, архимедову силу определим по формуле Fa = gρжVпогр. тела.

Тогда формула веса плиты в воде запишется так: Pв воде = mg — gρжVпогр. тела.

Подставим числовые значения величин, произведем вычисления и получим ответ: вес плиты в воде равен 20 000 Н, следовательно, для поднятия плиты в воде нужно приложить силу 20 кН.

Ответ: для поднятия плиты в воде нужно приложить силу 20 кН.

Задача 3: Какой по весу груз может удержать на поверхности воды пробковый пояс объемом 6,25 дм3 и массой 2 кг, если пояс будет погружен в воду полностью?

Решение: Запишем условие задачи. Нам известны объем пояса V = 6,25 дм3, его масса m = 2 кг, плотность воды ρж = 1000 кг/м3. Выразим объем в СИ, для этого 6, 25 поделим на 1000, равно 0,00 625 м3. Найти вес груза Pгр.

Известно, что вес груза, перевозимого судами, равен разности между водоизмещением судна и его весом. Водоизмещение — это вес воды, вытесненной судном с грузом. Тогда Pгруза = Pвытесненной воды — Pсудна.

Пробковый пояс при полном погружении вытесняет воду в объеме, равном объему пояса. Вычитая из веса вытесненной воды собственный вес пояса, можем найти вес груза:

Pгруза = Pвыт.воды – Pпояса.

Определим вес вытесненной воды. Для этого массу вытесненной воды умножим на коэффициент силы тяжести, а масса воды равна произведению плотности воды на ее объем. Объем вытесненной воды равен объему спасательного пояса. Тогда вес вытесненной воды равен произведению плотности воды на объем пояса и коэффициент тяжести:

Pвыт.воды = ρводы *Vводы *g

Определим вес пояса по формуле Pпояса =mпояса·g.

Подставим числовые значения величин и вычислим вес вытесненной поясом воды и вес пояса. Тогда вес груза равен их разности.

Ответ: пробковый пояс может удерживать в воде груз весом 42,5 Н.

Задача 4:Аэростат объемом 2000 м3 наполнен водородом. Вес оболочки и гондолы 16 000 Н. Определите подъемную силу аэростата.

Решение: Запишем условие задачи. Известны объем аэростата V = 2000 м3, вес оболочки и гондолы вместе Pоб =16 000 Н, плотность водорода, которым наполнен аэростат, ρгаза = 0,09 кг/м3, плотность воздуха при нормальном атмосферном давлении ρвозд. = 1,29 кг/м3. Все данные приведены в системе СИ. Требуется найти подъемную силу Fподъемн.

На аэростат действуют сила тяжести и архимедова сила, которая поднимает его вверх. Сила тяжести действует на оболочку, гондолу и газ, которым он наполнен. Вес оболочки и гондолы известен, нужно найти вес водорода, для этого массу водорода умножим на коэффициент тяжести. Массу водорода найдем по формуле плотности. Тогда вес газа равен произведению плотности газа на объем аэростата и коэффициент тяжести: Pгаза = ρгаза *Vаэростата *g.

Архимедову силу определим по формуле Fa = gρжVаэростата.

Подставим записанные формулы в формулу подъемной силы, вынесем одинаковые множители за скобки, вычислим.

Ответ: подъемная сила аэростата равна 8000 Н = 8 кН.

§ 3  Краткие итоги по теме урока

ВАЖНО ЗАПОМНИТЬ:

При решении задач нужно помнить основные формулы и определения.

Архимедова сила равна произведению коэффициента силы тяжести на плотность жидкости и объем погруженной части тела: Fa = gρжVтела.

Тело плавает в жидкости, если вес вытесненной им жидкости равен весу этого тела в воздухе.

Водоизмещение — это вес воды, вытесненной судном с грузом, равный весу судна вместе с грузом. Вес груза, перевозимого судами или выдерживаемого спасательным поясом, плотом, льдиной, равен разности между весом вытесненной жидкости и весом самого судна, пояса, плота, льдины.

Подъемная сила аэростатов равна разности между архимедовой силы и весом аэростата (т.е. весом оболочки, гондолы и газа, которым наполнен аэростат).

По закону Архимеда на тело, погруженное
в жидкость, действует выталкивающая
сила, направленная вертикально вверх,

где W— объем погруженной
части тела.

Вес воды, вытесняемой телом, полностью
или частично погру­женным в воду,
называется водоизмещением.

Центр тяжести
вытесненного объема жидкости называетсяцент­ром водоизмещения илицентром
давления. При наклоне (крене) плавающего
тела центр водо­измещения изменяет
свое положение.

Линия, проходящая через центр тяжести
тела

и центр водоизмеще­ния
в положении равновесия пер­пендикулярно
свободной поверхности воды (плоскости
плавания), явля­етсяосью плавания.
В положении рав­новесия ось плавания
вертикальна, при крене она наклонена к
вертикали под углом крена.

Точку пересечения подъемной силы Р
при наклонном положении тела с осью
плавания принято называтьме­тацентром.
Расстояние между цент­ром тяжести
тела
и метацентромMобозначается черезh_м(метацентрическая высота). Чем выше
расположен метацентр над центром тяжести
тела, т. е. чем больше метацентрическая
высота,
тем больше остойчивость тела
(способность из крена переходить в
положение равновесия), так как момент
пары сил,
стремящийся восстановить равновесие
тела, прямо пропорционален метацентрической
высоте. Величина метацентрической
высоты может быть определена по формуле

где — момент инерции площади плоскости
плавания относительно продольной оси;

W— водоизмещение тела;

е — расстояние между центром
тяжести и центром водоизме­щения.

Если метацентр лежит ниже центра тяжести
тела, т. е. метацентрическая высота
отрицательна, то тело неостойчиво.

Примеры

2.48.Определить вес груза, установленного
на круглом в плане металлическом понтоне
диаметром,
если после установки груза осадка
понтона увеличилась на.

Решение.Вес груза равен дополнительной
силе вытеснения воды. В соответствии с
законом Архимеда дополнительная сила
вытеснения воды определяется по формуле:

.

Следовательно, вес груза

.

Ответ: .

2.49.Простейший ареометр (прибор для
определения плотности жидкостей),
выполненный из круглого карандаша
диаметроми прикреплённого к его основанию
металлического шарика диаметром,
имеет вес.
Определить плотность жидкости,
если ареометр цилиндрической частью
погружается в неё на глубину.

Решение.Вес ареометра уравновешивается
силой вытеснения (архимедовой силой).

Следовательно,

,

откуда найдем плотность жидкости

.

Ответ: .

2.50.Объём части ледяной горы,
возвышающейся над поверхностью моря,
равен.
Определить общий объём ледяной горы и
глубину её погружённой части, если в
плане она имеет форму прямоугольника
размером.

Решение.Общий вес ледяной горы

,

где — объём подводной части ледяной горы;

— плотность льда.

Сила вытеснения (подъёмная сила) по
закону Архимеда

,

где
— плотность морской воды.

При плавании ледяной горы соблюдается
условие

;

,

отсюда

,

где ;

(табл. П-3).

Подставляя цифровые значения в предыдущую
формулу, получим:

.

Общий объём ледяной горы

.

Глубина погружённой части ледяной горы

.

Ответ: ;.

2.51.Запорно-поплавковый клапан бака
водонапорной башни имеет следующие
размеры:d=100мм;l=68мм;мм;D=325мм. Если уровень воды
не достигает полушара 2 , то клапан 1
открыт, и вода поступает в бак. По мере
подъёма уровня воды и погружения в неё
полушара на рычаг 3 начинает действовать
сила,
равная выталкивающей силе воды (по
закону Архимеда). Через рычаг усилие
передаётся на клапан. Если величина
этого усилия превысит силу давления
водыpна клапан, то
он закроется и вода перестанет поступать
в бак. Определить, до какого предельного
давленияpклапан будет
закрыт, если допускается погружение в
воду только полушара поплавка (до линии
а – а).

Решение.Сила суммарного давления
воды на клапан

,

где p– гидростатическое
давление в корпусе клапана;

ω – площадь клапана.

Выталкивающая сила воды, действующая
на поплавок, в соответствии с законом
Архимеда

,

где
— объём шара.

Составим сумму моментов сил относительно
шарнира О

.

С учётом ранее полученных зависимостей
запишем уравнение моментов

.

Отсюда находим предельное давление

Ответ: .

2.52.Автомобиль весомустановлен на паром с размерами;;.
Проверить остой­чивость парома, если
его весприложен на поло­вине его высоты, а
центр тяжести автомобиля находится на
высоте
от верхней плоскости парома. Установить,
как изменится метацентрическая высота,
если на автомобиль будет уложен груз,
центр тяжести которого расположен на
высоте
от верхней плоскости парома.

Решение.1) Найдем положение центра
тяжести парома с автомобилем (без груза)
относительно нижней плоскости парома

2) Водоизмещение парома с автомобилем
(объем воды, вытесненный паромом)

3) Осадка парома

4) Расстояние центра водоизмещения от
нижней плоскости парома

1. Расстояние между центром тяжести и
   центром водоизмещения

1. Момент инерции площади плоскости
   плавания

1. Метацентрическая высота

Так как метацентрическая высота
положительная, то паром остойчив. Для
случая

нагруженного автомобиля аналогично
находим:

Следовательно, при наличии груза на
автомобиле метацентрическая высота
уменьшается на

Но паром и при наличии груза будет
остойчив.

Ответ:
.

2.53. Определить остойчивость
деревянного цилиндрического бруса
диаметром^{d=0,6
м и высотой h=0,5
м, если относительный удельный вес
древесины}.

Решение:

Найдем силу веса цилиндра:

G_бр=W_брдер,

где
_дер=
0,7=7000
Н/м³– удельный вес дерева;

W_бр==0,785м^{3
— объем
бруса.}

^{Тогда вес бруса
Gбр=7000987
Н.}

Вычисляем водоизмещение цилиндра:

W=м³.

Осадка цилиндра составит:

=м.

Найдем расстояние центра водоизмещения
от нижней плоскости цилиндра:

H_ц.в.==м.

Центр тяжести цилиндра находится на
расстоянии от нижней плоскости:

h_ц.т.=м.

Расстояние между центром тяжести и
центром водоизмещения составит:

е=h_ц.т.-h_ц.в.=0,25-0,175=0,075
м.

Момент инерции площади плоскости
плавания составит:

I₀=м⁴.

Метацентрическая высота равняется:

h_м=м.

Так как h_м< 0, то
цилиндр неостойчив.

2.54. Плавучий железобетонный тоннель
с наружным диаметромD=8м
и толщиной стенки=0,3м
удерживается от всплытия тросами,
расположенными попарно через каждые
25м длины тоннеля. Определить натяжение
тросов, если вес 1м дополнительной

нагрузки по длине q=9,81кН,
плотность бетона,
а угол.

Решение:

Составим уравнение равновесия сил,
действующих на

тоннель:

Где:

Подставив значение сил в исходное
уравнение, получим:

откуда найдём силу, действующую на
каждый трос:

Ответ:
=

2.55. Определить необходимую высоту
Н колокола газгольдера весомG=70кг,
диаметромD=70см, чтобы
объем газовой подушки был равенW=100л.

Решение: Колокол
удерживается в равновесии вследствие
равенства сил, действующих на него:

G=P,

где P=pω

р – избыточное давление в газовой
подушке под колоколом;

ω – площадь колокола;

G– сила веса колокола.

Найдем избыточное давление газа под
колоколом

.

Для определения величины Н используем
уравнение Клайперона — Менделеева,
исходя из

предположения, что процесс происходит
изотермически:

;

откуда найдём соотношение

;

где
–
первоначальный объем газа в колоколе
при атмосферном давлении,

–
конечный объем газа при давлении.

Причём величина давления
составляет

Па.

Подставим
в
уравнение газового состояния.

где
– заданный первоначальный объём.

Получаем:

Ответ:
.

2.56. Определить давление р, создаваемого
колоколом газгольдера и определить
разность уровней воды под колоколом и
в его стаканеh, если вес
колоколаG= 20 кг и его
диаметрd= 40 см.

Решение:

Составим уравнение равновесия сил,
действующих на колокол:

,

где
–
сила давления в газовой подушке.

,

где
– площадь (горизонтальная) сечения
колокола.

Найдем давление под колоколом:

.

Это давление в газовой подушке (без
учета атмосферного). Оно сохраняется
во всех

точках постоянным, в том числе и на
свободной поверхности воды под колоколом,

и на уровне сечения а-авне колокола.
А это давление, в свою очередь, можно
определить так:

и будет

.

Ответ:

2.57. Шарообразный
поплавок помещен в жидкость, находящуюся
в цилиндрическом сосуде, плавающем в
той же самой жидкости. Вес сосудаG₁=1кг,
вес жидкостиG₂=5кг.

Известно также соотношение глубин
k==0,9.

Определить вес поплавка.

Решение.

Составим уравнение равновесия всех
сил, действующих на эту систему:

G_с+G_ж+G_n=F_арх

где
F_арх=—
архимедова сила, действующая на
цилиндрический сосуд с жидкостью и
поплавком. Или, подставив значения
получим

5+1+ G_n=F_арх ;

;
или

(1),

Объём жидкости в цилиндре и объём
погруженной части поплавка составляют:

W_ж+W_п.ч.п.=.

В свою очередь – объём погруженной
части поплавка умноженный на удельный
вес жидкости — это вес поплавка:

W_п.ч.п=F_apx^’=G_n.

Или
=W_п.ч.п.Подставим в
исходное уравнение:

W_ж+=получаем

W_ж+G_n=,

где W_ж=G_ж– это вес жидкости в цилиндре, тогда

G_ж+G_n=,
откуда

G_n=-G_ж; или

G_n=—
5. (2)

Запишем ещё раз уравнение (1):

G_n=—
6. (1)

Приравняем правые части соотношений
(1) и (2), получим:

-5=-6.

Учтём, что k=0,9=.
Откуда найдём значение=0,9,
тогда

—=6-5=1

(—)=1;

(-0,9)=1;

0,1=1;

=10/

Подставим это значение в уравнение (1)
и найдём вес поплавка:

G_n=—
6=-6=4
кг

Ответ: G_n=4кг.

2.58. Определить удельный вес бруса,
имеющего следующие размеры: ширинаb=30см, высотаh=20см,
длина=100см,
глубина погружения у=16см.

Решение:

Составим уравнение равновесия для
плавающего бруса:

,

где ;

;

=.

Откуда получаем соотношение

.

Найдём удельный вес бруса

=

.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Закон Архимеда

Местоположение предмета в пространстве объясняется действующими на него силами. Нарушение баланса приложенных усилий выводит объект из равновесного состояния и даёт старт движению. В газообразной среде и жидкости вертикальный ход тела зависит от пары сил — выталкивающей и тяжести. Закон, описывающий взаимодействие двух основных составляющих, открыл Архимед за три столетия до Рождества Христова.

Физик, математик, инженер

Архимед родился в 287 году до н. э. на Сицилии в греческой колонии Сиракузы. В детстве за воспитание мальчика взялся отец — астроном и математик Фидий. Всестороннее образование юноша получил в Александрии, где занимался изучением трудов Демокрита и Евдокса, общался с Эратосфеном и Кононом. Жизнь в научной столице древнего мира сформировала Архимеда как талантливого исследователя и экспериментатора.

Учёные, повлиявшие на образование Архимеда:

• греческий филолог и географ Эратосфен — вычислил размеры Земли;
• математик и астроном Конон, составлявший прогнозы погоды и календари с указанием времени восхода и заката Солнца;
• в трудах мыслителя Демокрита разработана теория неделимой частицы — атома, которая легла в основу материалистической философии;
• малоазиатский философ Евдокс, которого считают родоначальником интегральных вычислений и теоретической астрономии.

После обучения в Египте Архимед вернулся в Сиракузы, где жил до трагической гибели в 212 году до н. э. За три года до этого римляне начали осаду сицилийского города, который помогал Карфагенскому государству. Инженерный талант греческого математика помогал горожанам сдерживать нападавшие легионы. Осаждённые греки использовали катапульты разного калибра и подъёмные краны, которые при помощи крюков переворачивали вражеские галеры. Кривые зеркала, фокусирующие лучи в одну точку, сжигали неприятельский флот.

Существует несколько вариантов легенды о гибели Архимеда. Но описания совпадают в одном — мыслителя, занятого в этот момент научными изысканиями, убил римский солдат, после того как Сиракузы сдались на милость победителя.

Архимед написал тринадцать трактатов. В книгах учёного определены основные положения гидростатики и теоретической механики. Рассчитывая площади поверхности фигур и объёмы тел, математик заложил основы интегрального и дифференциального вычисления величин. Инженерные разработки великого изобретателя находят применение и в современных конструкциях.

Тело, погружённое в жидкость

В истории науки известны примеры, когда практические запросы общества приводят к научным открытиям. Подобным образом был открыт основной закон статики. Вычисляя объём царской короны, Архимед погружал символ государственной власти в сосуд с водой. При этом учёный обратил внимание, что предмет, опущенный в жидкость, становится легче. Последующие размышления приводят великого грека к открытию гидростатического закона, названным его именем.

Закон Архимеда гласит, что на тело, погружённое в газовую среду или жидкость, действует сила, равная весу того объёма газа или жидкости, который вытеснило это тело. На языке математики постулат выражается уравнением:

F = gρV.

Смысловое определение математических символов, использованных в формуле:

• F — выталкивающая или архимедова сила;
• g — коэффициент ускорения свободного падения, равный 9,8 м/с²;
• ρ — плотность среды, в которую помещено тело;
• V — объём вытесненной жидкости или газа.

Архимедова сила противоположна силе тяжести и всегда направлена от центра Земли строго по вертикали вверх. В невесомости, где g = 0, закон Архимеда не работает. Взаимодействие двух сил — тяжести Ft и выталкивающей Fa — определяет поведение объекта в пространстве. Наглядным примером проявления силы Архимеда является подъём пузырька воздуха к поверхности воды.

На тело, плавающее на границе сред с разными плотностями, действует суммарная сила:

Fa = (ρ₁V₁ + ρ₂V₂ + ρ₃V₃ +…),

где ρ₁, ρ₂, ρ₃ — плотности различных сред, а V₁, V₂, V₃ — объёмы частей предмета.

Разбирают три варианта развития событий:

1. Если Ft ˂ Fa, то тело начинает всплывать.
2. При условии Ft = Fa, объект пребывает в состоянии покоя.
3. Если Ft ˃ Fa, то происходит погружение предмета.

Аналогичным образом развивается ситуация, если значения сил заменить величинами плотностей тела и жидкости или газа. То есть, вместо силы тяжести Ft использовать плотность предмета, а взамен выталкивающей силы Fa рассматривать плотность среды, в которую помещён объект.

Корабли не тонут, дирижабли летают

Плавучестью корабля называется способность судна оставаться в равновесном состоянии, не всплывая и не погружаясь на глубину. По закону Архимеда условия плавания тел возникают при равенстве силы тяжести выталкивающей силе. Запас плавучести определяется процентным отношением объёма водонепроницаемой полости выше ватерлинии к объёму всего корабля. Надводные суда рассчитываются с резервом плавучести не менее 50%.

Формула расчёта запаса плавучести:

W = v / V * 100%,

где W — запас плавучести, v — объём отсеков над ватерлинией, V — объём всего корабля.

Водоизмещение является основной характеристикой водного транспорта и равно количеству воды, вытесненной подводной частью плавательного средства. Ватерлиния, являясь горизонтальным сечением, обозначается на корпусе и визуально показывает уровень нормального водоизмещения. Вычитание веса судна из водоизмещения представит грузоподъёмность транспортного средства.

В физическом смысле запас плавучести обозначает возможность находиться на поверхности водоёма. Различают нейтральную и отрицательную плавучесть. В первом случае W = 0% и судно погружено в воду до уровня палубы. Малейшее внешнее воздействие приводит к затоплению. Во втором случае корабль не способен держаться на плаву.

Предмет, находящийся в воздухе, также испытывает влияние архимедовой силы. Если подъёмная сила превышает силу тяжести, то тело начинает удаляться от поверхности земли. На этом постулате основан принцип воздухоплавания. В формуле закона Архимеда используется плотность воздуха.

Чтобы летательный аппарат поднялся, оболочку аэростата или дирижабля наполняют газом легче воздуха. Для этого подходят водород и гелий, чьи плотности меньше смеси атмосферных газов. Из-за взрывоопасности водорода чаще применяется гелий.

Идеальным вариантом считается использование в оболочке воздушного шара подогретого воздуха. Горелка устанавливается под отверстием в нижней части сферы. Периодическое включение нагревательного элемента изменяет температуру и плотность воздуха внутри шара, что позволяет регулировать скорость подъёма или спуска.

Решение примеров

Задача 1. Необходимо вычислить выталкивающую силу воды, действующую на сплошное тело цилиндрической формы объёмом 2 м³. Табличное значение плотности воды равно 1 тыс. кг/м³.

Решение. Прежде всего, определяется масса вытесненной воды:

m = ρ * V = 1000 * 2 = 2 тыс. кг.

Вес вытесненной воды, то есть архимедова сила, равны:

P = Fa = g * m = 9,8 * 2000 = 19600 Н.

Задача 2. Требуется определить количество золота в короне, изготовленной из сплава серебра и золота. Вес изделия в воздухе — 2,54 кг. Взвешивание в воде показало результат 2,34 кг.

Решение. На предмет, погружённый в воду, действует архимедова сила:

Fa = gρV = P₁ — P₂,

где P₁ — вес короны в воздухе, P₂ — вес драгоценности в воде, ρ — плотность воды.

Общий объём предмета складывается из объёмов золота и серебра:

V = m₁/ρ₁ + m₂/ρ₂,

где m₁ и ρ₁ — соответственно масса и плотность золота, а m₂ и ρ₂ — масса и плотность серебра.

Поскольку масса является частным от деления веса на коэффициент g, то общий объём короны можно представить формулой:

V = m₁/ρ₁ + 1/ρ₂ * (P₁/g — m₁),

где выражение (P₁/g — m₁) = m₂.

Значение объёма V подставляется в уравнение закона Архимеда:

Fa = g * ρ * (m₁/ρ₁ + 1/ρ₂ * (P₁/g — m₁)) = P₁ — P₂.

Путём математических преобразований определяется m₁:

m₁ = (P₁* (1 — ρ/ρ₂) — P₂)/(g * ρ * (1/ρ₁ — 1/ρ₂)).

Подставив числовые значения коэффициентов и веса короны, получаем ответ: m₁ = 985 г

О существовании трактатов Архимеда европейцам стало известно в XII веке. В это время с арабского языка переводятся труды мусульманских учёных, досконально изучивших работы древнегреческого математика. В XVI столетии методы великого исследователя природы использовал Галилей. Открытия, сделанные Архимедом, послужили фундаментом для развития средневековой механики.

Плавание тел в физике, теория и онлайн калькуляторы

Плавание тел

Сила Архимеда

Если тело находится в жидкости или газе, но на него действует выталкивающая сила, называемая силой Архимеда. Она возникает как результат того, что давление в жидкости (газе) увеличивается с погружением в глубину вещества. При этом сила гидростатического давления на тело в жидкости (газе) сверху вниз меньше, силы давления, направленной снизу вверх.

Сила Архимеда появляется только тогда, когда на жидкость (газ) действует сила тяжести. Так, в невесомости гидростатическое давление равно нулю соответственно, нет силы Архимеда.

И так, если тело погружено в жидкость, при этом оно находится в состоянии механического равновесия, то со стороны окружающей жидкости на тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда). Данная сила направлена вверх. Она проходит через центр масс жидкости, вытесненной телом (обозначим эту точку буквой А). Точку А называют центром плавучести тела. Положением точки плавучести определяют равновесие и устойчивость плавающего тела.

Условия плавания тел

Закон Архимеда дает разъяснение всех вопросов, связанных с плаванием тел. Допустим, что тело находится в жидкости и оно предоставлено самому себе. Если вес тела больше, чем вес жидкости, которую оно вытесняет, то тело тонет. Если вес тела равен весу вытесненной им жидкости, то тело находится в равновесии внутри этой жидкости в любой ее точке. Если вес тела меньше, чем вес вытесненной им жидкости, то тело всплывает, двигаясь к поверхности жидкости. Достигнув поверхности, тело плавает так, что его часть выступает над поверхностью жидкости. Плавающие тела, обладающие разными плотностями, имеют над поверхностью жидкости разные доли своего объема.

Если тело, находящееся в жидкости, однородно ( то есть его плотность ($rho =const$) постоянна), то условия плавания тел в жидкости (${rho }_g-$плотность жидкости) формулируют так$:$

1. При $rho >{rho }_g$, тело тонет;
2. При $rho <{rho }_g$ тело всплывает;
3. При $rho ={rho }_g$ тело плавает (находится в равновесии) в жидкости.

Если тело неоднородно, то формулируя условия плавания тела сравнивают его среднюю плотность и плотность жидкости.

В том случае, если тело плавает на границе нескольких жидкостей с разными плотностями, то сила Архимеда равна:

[F_A=left({rho }_1V_1+{rho }_2V_2+dots {rho }_NV_Nright)gleft(2right),]

${rho }_1$ — плотность первой жидкости; ${rho }_2$ — плотность второй жидкости; $V_1$ — объем части тела, находящийся в первой жидкости; $V_2$ — объем этого же тела, находящийся во второй жидкости …

Равновесие тел в жидкости

Закон Архимеда позволяет решать вопрос, связанный с равновесием тел в жидкости. Для равновесия необходимо, чтобы вес тела равнялся весу вытесненной им жидкости, при этом центр плавучести А должен находиться на одной вертикали с центром масс самого тела. При определении устойчивости равновесия выделяют два случая.

1. Плавающее тело полностью находится в жидкости. В этом случае при всяких поворотах и смещениях центр масс тела и центр плавучести сохраняют свое положение по отношению к телу. Равновесие будет устойчивым, если центр масс тела находится ниже центра плавучести.
2. Плавающее тело погружено в жидкость частично. Его часть выступает над свободной поверхностью жидкости.
   При смещении тела из положения равновесия в этом случае изменяется форма вытесняемого телом объема жидкости. Положение
   центра плавучести относительно тела изменяется. В этом случае вводится понятие метацентра плавающего тела.
   Это точка, назовем ее М, которая получается при пересечении вертикальной оси симметрии тела и линии действия
   выталкивающей силы. Если метацентр ниже центра масс тела, то положение равновесия не устойчиво.

Примеры задач на плавание тел

Читать дальше: плоская волна.

Разработки уроков (конспекты уроков)

Линия УМК А.В. Перышкина. Физика (7-9)

Физика

Используемые технологии: Традиционная.

Цель урока: Выяснить условия плавания тел в зависимости от плотности жидкости и тела, усвоить их на уровне понимания и применения, с использованием логики научного познания.

Задачи:

• установить теоретически и экспериментально соотношение между плотностью тела и жидкости, необходимое для обеспечения условия плавания тел;
• развитие умений наблюдать, анализировать, сопоставлять, обобщать;
• воспитание интереса к предмету;
• воспитание культуры в организации учебного труда.

Предполагаемые результаты:

Знать: Условия плавания тел.

Уметь: Экспериментально выяснять условия плавания тел.

Оборудование: таблица плотностей, исследуемые материалы, два сосуда (с водой и маслом), деревянный и пенопластовый, железный бруски, обернутые фольгой, картофелины, пластилин, нож.

Ход урока

Активизация знаний

Учитель: На предыдущих уроках мы рассмотрели действие жидкости и газа на погруженное в них тело, изучили закон Архимеда.

Учитель: Прежде, чем приступить к решению задач, ответим на несколько вопросов. Какая сила возникает при погружении тела в жидкость?

Учащиеся: Архимедова сила.

Учитель: Куда направлена эта сила?

Учащиеся: Она направлена вертикально вверх.

Учитель: Какие существуют способы для определения выталкивающей силы?

Учащиеся: Эксперимент, как на лабораторной работе. Сначала мы определили вес тела в воздухе, потом сняли показания динамометра с телом, полностью опущенным в воду. Разность показала нам значение выталкивающей силы.

Архимедову силу можно еще определить по формуле, не выполняя эксперимент.

Учитель: От чего зависит выталкивающая сила?

Учащиеся: Архимедова сила зависит от объёма тела и от плотности жидкости или газа, в которые погружено тело.

Учитель: А если тело не полностью погружено в жидкость, то как определяется архимедова сила?

Учащиеся: Тогда для подсчета архимедовой силы надо использовать формулу F_A = ρ_жgV, где V – объем той части тела, которая погружена в жидкость.

Учитель: Давайте решим задачи, представленные на слайдах (Берем задания 2-6)

Учитель: Итак, мы знаем, что на всякое тело, погруженное в жидкость, действует архимедова сила. А ещё, какая сила действует на любое тело?

Учащиеся: Сила тяжести.

Учитель: Изобразите на доске сосуд с телом и расставьте силы (В процессе беседы попросить расписать массу тела через объем тела и плотность тела. Выполняет задание ученик у доски).

Архимедова сила: F_a = ρ_жV_пчт g    

Сила тяжести: F_т= m_тg = ρ_тV_тg   

Учитель: Формулы похожи, но есть и отличия. Проанализируем, чем отличаются эти формулы?

Ученики: в первой формуле плотность жидкости, а во второй – плотность тела

Учитель: а теперь продемонстрируем эксперимент: у меня в руках три бруска одинакового объема. Я бросаю их в сосуд с водой и что наблюдаем?

Ученики: одно тело утонуло, другое погрузилось в воду, а третье практически плавает на поверхности.

Учитель: на всех ли действует выталкивающая сила?

Ученики: да

Учитель: а по величине какова эта сила?

Ученики: объем одинаков, жидкость одна и та же, но тела ведут себя по-разному, плавают по-разному

Учитель: значит, что мы сегодня будем изучать на уроке?

Ученики: когда тело плавает, а когда тонет

Учитель: Давайте сегодня на уроке вместе решим проблему: Выясним: Каковы условия плавания тел в жидкости.

Запишите в тетради тему урока – “Условия плавания тел”.

Учитель: Ребята, а вы знаете, какой учёный изучал плавание тел?

Учащиеся: Архимед.

Учитель: Итак, на любое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила или сила Архимеда направленная вертикально вверх, и сила тяжести, направленная вниз.

Давайте посмотрим на рисунок. Поведение тела зависит от соотношения этих сил. Возможны три случая: (Зарисовываем и записываем в тетрадь!)

• F_A < mg . Равнодействующая этих сил направлена вниз, в результате тело тонет. Если тело сплошное, то это будет при условии, когда плотность тела больше плотности жидкости: 

• F_A = mg. Тело плавает внутри жидкости на любой глубине (безразличное равновесие): ρ_ж = ρ_т

• mg < F_A. Равнодействующая этих сил направлена вверх, и тело начинает всплывать. Пока тело не достигнет свободной поверхности жидкости, выталкивающая сила не будет изменяться. При дальнейшем подъеме объем погруженной части тела уменьшается, следовательно выталкивающая сила начнет уменьшаться и, когда она станет равной по модулю силе тяжести, тело остановится, и будет плавать на поверхности. Всплывшее тело будет, таким образом, частично выступать над поверхностью жидкости. Чем ближе плотность тела к плотности жидкости, тем большая часть тела погружена в жидкость. (Пример с айсбергом)

Итак, чем меньше плотность тела по сравнению с плотностью жидкости, тем меньшая часть тела погружена в жидкость.

В тетради должны появится элементы конспекта в виде: 

Для того чтобы тело плавало, необходимо, чтобы действующая на него сила тяжести уравновешивалась архимедовой (выталкивающей) силой.

Запись в тетради!!!

1. Если ρ_{вещества} > ρ_{жидкости}, то тела тонут.

2. Если ρ_{вещества} < ρ_{жидкости}, то тела всплывают на поверхность жидкости.

3. Если ρ_{вещества} = ρ_{жидкости}, то тело плавает.

Учитель: Теперь выясним, можно ли заставить плавать тела, которые в обычных условиях тонут в воде, например картофелину или пластилин. Посмотрим опыт. Бросим эти тела в воду. Что вы наблюдаете?

Ученики: Они тонут в воде.

Учитель: А в этом сосуде картофелина в воде плавает. В чем же дело?

Ученики: Чтобы заставить картофелину плавать, вы насыпали в воду больше соли.

Учитель: Что же произошло?

Ученики: У соленой воды увеличилась плотность, и она стала сильнее выталкивать картофелину. Плотность воды возросла, и архимедова сила стала больше.

Учитель: Правильно. А если соли не будет. Каким образом добиться, чтобы картофелина плавала в воде?

Ученики: Сделать из картофелины лодочку. Она имеет большой объем и поэтому плавает.

Учитель: Итак, чтобы заставить плавать обычно тонущие тела, можно изменить плотность жидкости или объем погруженной части тела. При этом изменяется и архимедова сила, действующая на тело.

Значит, условия тел можно сформулировать двумя способами: сравнивая архимедову силу и силу тяжести или сравнивая плотности жидкости и находящегося в ней вещества.

В судостроении используется тот факт, что путем изменения объема можно придать плавучесть практически любому телу.

А учитывается ли как-нибудь связь условий плавания тел с изменением плотности жидкости? Да, при переходе из моря в реку меняется глубина осадки судов.

Но подробнее мы поговорим об этом на следующих уроках.

Учитель: Мы говорили об условии плавания твёрдых тел в жидкости. А может ли одна жидкость плавать на поверхности другой?

Наблюдение всплытия масляного пятна, под действием выталкивающей силы воды.

Учитель: Снова вернёмся к таблице плотности веществ. Объясним, почему на воде образуется масляная плёнка.

Итак, проблема решена, значит, жидкости, как и твёрдые тела, подчиняются условиям плавания тел.

А теперь давайте посмотрим, как вы усвоили материал урока (использовать один из двух ресурсов, представленных ниже)

Учитель: давайте познакомимся еще с одним изобретением людей — ареометром.

Ареометр — прибор для измерения плотности жидкостей и твёрдых тел, принцип работы которого основан на Законе Архимеда. Считается, что ареометр изобрела Гипатия.

Обычно представляет собой стеклянную трубку, нижняя часть которой при калибровке заполняется дробью или ртутью для достижения необходимой массы. В верхней, узкой части находится шкала, которая проградуирована в значениях плотности раствора или концентрации растворенного вещества. Плотность раствора равняется отношению массы ареометра к объёму, на который он погружается в жидкость. Соответственно, различают ареометры постоянного объёма и ареометры постоянной массы.

• Для измерения плотности жидкости ареометром постоянной массы сухой и чистый ареометр помещают в сосуд с этой жидкостью так, чтобы он свободно плавал в нём. Значения плотности считывают по шкале ареометра, по нижнему краю мениска.
• Для измерения ареометром постоянного объёма изменяют его массу, достигая его погружения до определённой метки. Плотность определяется по массе груза (например, гирек) и объёму вытесненной жидкости.

Учитель: Теперь давайте подведем итоги. (РЕФЛЕКСИЯ)

Итак, сегодня мы выяснили при каких условиях плавают тела. От чего зависит плавание тел? (проходим по записям на доске условия плавания тел).

Выставление отметок

Учитель: домашнее задание: параграф 52, упражнение 27+ тест