Как найти полет камня

Постановка задачи (этап 1)
Задача. Под углом 60° к горизонту и начальной скоростью 30 м/с брошен камень. Сопротивление воздуха не учитывается.
Вопросы:

1. Как далеко от места бросания камень упадет?
2. Сколько секунд камень будет находиться в полете?
3. Какова наибольшая высота взлета камня?
4. Как скоро от начала полета будет достигнута наивысшая точка полета?

Выбор плана создания модели (этап 2)
     Объектом исследования является положение в пространстве летящего тела в зависимости от времени. Определенно ясно, что камень при данных начальных условиях действительно должен полететь.
     Для создания модели потребуются специальные знания из курса физики и математики. Устное решение задачи невозможно.
     Для решения задачи нужно строить документальную математическую модель задачи (уравнения, формулы).
     Дальнейшее моделирование возможно двумя путями. Решение математической задачи можно получить в виде формулы (аналитическое решение). Второй путь связан с построением компьютерной модели (расчетное решение).
     Будем строить компьютерную модель с помощью электронных таблиц, рассчитывая для разных моментов времени удаление и высоту полета камня.
     Таким образом, получаем этапы создания модели:

• 3а — создание документальной математической реализации модели.
• 3б — создание компьютерной реализации модели.

Создание документальной математической реализации модели (этап 3а)
     В вертикальной плоскости полета камня зададим прямоугольную систему координат с началом в точке вылета. Схема представлена на рисунке

Начальная скорость v (м/c) разлагается на составляющие vx и vy по углу бросания u в градусах:

Положение тела в полете определяется парой координат x(t), y(t). Зависимость координат от времени t (с) описывается формулами:

     где g = 9,81 — ускорение свободного падения, т.е.

Положение камня в полете будем рассматривать в отдельные моменты времени t0, t1, t2 и т.д. Пусть начальный момент t0 равен 0, а последующие моменты отстоят друг от друга на одну и ту же величину dt, называемую шагом времени. Зададим dt = 0,2 c.
Создание компьютерной реализации модели (этап 3б)
     Используем табличную схему модели в электронных таблицах.
     В первую строку рабочей таблицы введем название «Модель полета тела».
     Исходными данными для задачи являются начальная скорость (30 м/с), угол бросания (60 град.) и шаг времени (0,2 с).
     В расчетной таблице в столбцах будем отображать: время с начала процесса (столбец Время), координату-удаление (столбец x(t)) и координату-высоту (столбец y(t)). Модель получит вид, приведенный на рисунке

      Вводим данные в первую строку расчетной таблицы:
           A9: 0             В9: 0               С9: 0
      Вторая строка расчетной таблицы — формульная:
           A10: =A9+$A$5
           В10: =$A$3*COS($A$4*3,14/180)*A10
           C10: =$A$3*SIN($A$4*3,14/180)*A10–9,81*A10^2/2
     Абсолютные адреса в формулах введены для обеспечения последующего копирования формул.
     Следующие 35 строк расчетной таблицы, включая строку 45 рабочей таблицы, заполняем вниз содержимым блока A10:C10.
     Расчетную таблицу можно дополнить диаграммой.
     Выделяем в расчетной таблице блок B9:C45 и вставляем на свободное место рабочей таблицы диаграмму (Точечная с гладкими кривыми и маркерами). Легенду можно удалить.
Проверка адекватности модели (этап 4)
     Адекватность модели проверяется рассчитанными данными. Для 1 сек полета удаление равно 15,01379067 м, а высота — 21,06779518 м.
     Модель адекватна реальному процессу только с допущением об отсутствии сопротивления воздуха и для положительных значений координат. Когда координата (высота) становится отрицательной, модель становится неадекватной (тело находится ниже уровня земли).
Получение решения задачи с помощью модели (этап 5)
    Для ответа на вопросы задачи анализируются расчетная таблица и диаграмма.
    По числам в графе y(t) находится та строка, в которой положительные числа переходят в отрицательные (на диаграмме график полета тела пересекает горизонтальную ось). Это и есть момент падения с точностью до величины шага времени. Так получается ответ на 1-й вопрос.
    Ответы на остальные вопросы находятся аналогично.

Условие задачи:

Камень, брошенный с земли под углом 45° к горизонту, через 0,8 с после начала движения имел вертикальную составляющую скорости 12 м/с. Чему равно расстояние между точкой бросания и местом падения камня?

Задача №1.6.3 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(alpha=45^circ), (t_1=0,8) с, (v_y=12) м/с, (L-?)

Решение задачи:

Для решения задачи необходимо сделать рисунок. Мы его сделали за вас, можете взглянуть на него справа, для увеличения кликнув на нем мышью.

Поскольку нужно определить дальность полета, то запишем уравнения движения камня в проекциях на введенные нами оси, а далее уже определим, каких данных нам не хватает. Уравнения, как всегда, выглядят стандартно, поскольку в задаче нет ничего необычного.

[left{ begin{gathered}
ox:x = {v_0}cos alpha cdot t,,,,,,,,,,,,,,,,(1) hfill \
oy:y = {v_0}sin alpha cdot t – frac{{g{t^2}}}{2},,(2) hfill \
end{gathered} right.]

Когда камень ударится о землю, его ордината (y) будет равна нулю, поэтому приравняем уравнение (2) к нулю и найдем корни получившегося уравнения.

[y = 0 Rightarrow {v_0}sin alpha  cdot t – frac{{g{t^2}}}{2} = 0]

[tleft( {{v_0}sin alpha – frac{{gt}}{2}} right) = 0]

[left[ begin{gathered}
t = 0 hfill \
t = frac{{2{v_0}sin alpha }}{g} hfill \
end{gathered} right.]

Первый корень не удовлетворяет условию падения камня, поскольку он не мог взлететь и удариться о землю в ту же секунду.

Тогда второй корень подставим в уравнение (1) и получим формулу для определения дальности полета.

[L = frac{{2{v_0}cos alpha  cdot {v_0}sin alpha }}{g} = frac{{v_0^2sin 2alpha }}{g}]

Отлично, значит нам необходимо узнать начальную скорость камня (в момент броска), и после мы сможем сосчитать ответ. Для этого запишем уравнение скорости для вертикальной ее составляющей.

[{v_y} = {v_{0y}} – gt_1 = {v_0}sin alpha  – gt_1]

Из него выразим начальную скорость камня и подставим ее в формулу дальности полета.

[{v_0} = frac{{{v_y} + gt_1}}{{sin alpha }}]

В итоге получена формула в общем виде:

[L = {left( {frac{{{v_y} + gt_1}}{{sin alpha }}} right)^2}frac{{sin 2alpha }}{g}]

Как всегда, подставим все известные величины в СИ и подсчитаем ответ:

[L = {left( {frac{{12 + 10 cdot 0,8}}{{sin 45^circ }}} right)^2}frac{{sin 90^circ }}{{10}} = 80; м]

Ответ: 80 м.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Если Вам понравилась задача и ее решение, то Вы можете поделитесь ею с друзьями с помощью этих кнопок.

Смотрите также задачи:

1.6.2 Баскетболист бросает мяч в кольцо. Скорость мяча после броска
1.6.4 Минимальная скорость при движении тела, брошенного под углом
1.6.5 На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены