Как найти полигон частот относительных частот выборки - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Построение полигона, гистограммы, кумуляты, огивы

Для наглядности строят различные графики статистического
распределения, и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигон
Гистограмма
Кумулята и огива

Полигон

Полигоном частот называют
ломаную, отрезки которой соединяют точки

. Для построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты

, а на оси ординат – соответствующие им
частоты

. Такие точки

соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных
частот называют ломаную, отрезки которой соединяют
точки

. Для построения полигона относительных
частот на оси абсцисс откладывают варианты

, а на оси ординат – соответствующие им
относительные частоты (частости)

. Такие точки

соединяют
отрезками прямых и получают полигон частот.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример 1

Построить полигон частот и
полигон относительных частот (частостей):

Решение

Вычислим относительные
частоты (частости):

Полигон частот

Полигон относительных частот

В случае интервального ряда для
построения полигона в качестве

берутся середины интервалов.

Гистограмма

В случае интервального
статистического распределения целесообразно построить гистограмму.

Гистограммой частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною

, а высоты (в случае равных интервалов) должны
быть пропорциональны частотам. При построении гистограммы с неравными
интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность частоты

. Это необходимо сделать для устранения
влияния величины интервала на распределение и иметь возможность сравнивать
частоты.

В случае построения
гистограммы относительных частот (гистограммы частостей)
высоты в случае равных интегралов должны быть пропорциональны относительной
частоте

, а в случае неравных интервалов высота
равна плотности относительной частоты

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Пример 2

Построить гистограмму
частот и относительных частот (частостей)

Гистограмма частот

Гистограмма относительных частот

Пример 3

Построить гистограмму
частот (случай неравных интервалов).

Решение

Вычислим плотности
частоты:

Гистограмма частот

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть

пример построения полигона и гистограммы на одном графике для интервального вариационного ряда

Кумулята и огива

При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот.
Накопленные частоты определяются путём последовательного суммирования частот по
группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше,
чем рассматриваемое значение. При построении кумуляты
интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а
по оси ординат накопленные частоты, которые наносят на поле в виде
перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти
перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту.

Если при графическом
изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси
поменять местами, то получим огиву. То есть огива строится аналогично кумуляте с той
лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения
признака — на оси ординат.

Пример 4

Построить кумулятивную
кривую:

Решение

Вычислим накопленные
частоты:

Кумулятивная кривая

Источник

Постройка полигона и гистограммы частот

Содержание:

Что такое полигон и гистограмма частот
Как построить полигон частот
Как построить гистограмму частот
Чему равна площадь гистограммы частот
Примеры создания полигона и гистограммы в задачах

Что такое полигон и гистограмма частот

Для наглядного представления ряда распределения используют полигон и гистограмму частот.

Определение

Полигон частот – это ломаная, соединяющая точки (x₁, n₁), (x₂, n₂),…, (x_k, n_k), где x_i – это варианты или наблюдаемые значения, а n_i – частота вариантов.

Существует также полигон относительных частот, представляющий собой ломаную, которая образуется при соединении точек (x₁, W₁), (x₂, W₂),…, (x_k, W_k). Величина W является отношением частоты данного варианта к объему выборочной совокупности и имеет вид:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(W_i=frac{n_i}n)

где n – это объем выборки.

Гистограмму используют в случае непрерывного признака.

Определение

Гистограмма частот – это фигура в виде ступеней – прямоугольников, в основании которых лежат частичные интервалы длины h, а высотами служат W_i.

Для гистограммы относительных частот основанием прямоугольников ступенчатой фигуры служат частичные интервалы длины h, а высотами – отношение W_i/h.

Как построить полигон частот

Полигон частот строится следующим образом. На оси абсцисс отмечают наблюдения значения x, на оси ординат откладывают соответствующие x_i частоты n_i. Точки с координатами (x_i, n_i), соединенные прямыми отрезками, составляют ломаную – полигон частот.

Пример

Полигон частот для выборки со следующими значениями:

x_i 92, 94, 95, 96, 97, 98.

n_i1, 2, 2, 3, 1, 1.

График

Как построить гистограмму частот

Алгоритм построения гистограммы частот такой: на оси OX отмечаются частичные интервалы h, затем над отложенными значениями проводятся отрезки, параллельные оси OY, на расстоянии отношения плотности частоты n_i/h.

Пример гистограммы частот при частичном интервале h, равном 3.

Сумма частот вариант h: 2–5, 5–8, 8–11, 11–14.

Плотность частоты n_i/h: 3,3; 8,3.

График 2

Чему равна площадь гистограммы частот

Площадь отдельного прямоугольника гистограммы равна сумме частот интервала i и имеет вид:

(frac{n_ih}h=n_i)

Площадь всей гистограммы складывается из всех частот, значит, она равна объему выборки.

Примеры создания полигона и гистограммы в задачах

Задача 1

Успеваемость студентов по дисциплине «Высшая математика» представлена в виде баллов:

Баллы, x: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Количество студентов, n: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 5, 3, 3, 2, 1.

Нужно построить полигон частот по этим данным.

Решение

На основе представленной информации строим точки и соединяем их отрезками прямой. Следует заметить, что точки с координатами (0; 0) и (13; 0), которые располагаются на оси OX, имеют своими абсциссами числа на 1 меньшее и большее, чем абсциссы наиболее левой и наиболее правой точек соответственно. Полигон частот выглядит так:

График 3

Задача 2

По итогам контрольной работы по биологии среди учеников 9-го класса получена информация о доступности вопросов тестирования (отношение количества учеников, верно ответивших на вопросы, к общему числу учащихся, написавших данную работу). Результаты:

Доступность вопросов, x (%): 25–35, 35–45, 45–55, 55–65, 75–85, 85–95.

Количество вопросов, n: 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1.

Всего в контрольной работе было 25 вопросов.

Необходимо построить гистограмму по этому ряду распределения.

Решение

Отмечаем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. Эти отрезки будут основанием прямоугольников с высотами 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Ступенчатая фигура, полученная в результате перечисленных действий, является искомой гистограммой.

Источник

Для
наглядности строят различные графики
статистического распределения, в
частности, полигон и гистограмму.

Определение.
Полигоном
частот называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки (x₁,
n₁),
(x₂,
n₂),
…, (x_k,
n_k).

Для
построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты x_i,
а на оси ординат – соответствующие им
частоты n_i.
Точки (x_i,
n_i)
соединяют отрезками прямых и получают
полигон частот.

Определение.
Полигоном
относительных частот
называют ломаную, отрезки которой
соединяют точки (x₁,
w₁),
(x₂,
w₂),
…, (x_k,
w_k).

Для
построения полигона частот на оси
абсцисс откладывают варианты x_i,
а на оси ординат w_i.
Точки (x_i,
w_i)
соединяют отрезками прямых и получают
полигон относительных частот.

На
рисунке изображен полигон относительных
частот следующего распределения:

x	1,5	3,5	5,5	7,5
w	0,1	0,2	0,4	0,3

Рис.
6. Полигон относительных частот.

В
случае непрерывного признака целесообразно
строить гистограмму, для чего интервал,
в котором заключены все наблюдаемые
значения признака, разбивают на несколько
частичных интервалов длинной h
и находят для каждого частичного
интервала n_i–
сумму частот вариант, попавших в i-ый
интервал.

Определение.
Гистограммой
частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длиною h,
а высоты равны отношению
(плотность частоты).

Рис.
7. Гистограмма частот.

Для
построения гистограммы частот на оси
абсцисс откладывают частичные интервалы,
а над ними проводят отрезки, параллельные
оси абсцисс, на расстоянии
.

Площадь
i-го
частичного прямоугольника равна
=─ сумме частот вариантi-го
интервала; следовательно, площадь
гистограммы частот равна сумме всех
частот, то есть объему выборки n.

На
рисунке 2 изображена гистограмма частот
распределения объема n=100,
приведенного в таблице 1.

Частичный интервал, длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10	4	0,8
10 – 15	6	1,2
15 – 20	16	3,2
20 – 25	36	7,2
25 – 30	24	4,8
30 – 35	10	2,0
34 – 40	4	0,8

Определение.
Гистограммой
относительных частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую
из прямоугольников, основаниями которых
служат частичные интервалы длинною h,
а высоты равны отношению
(плотность относительной частоты).

Для
построения гистограммы относительных
частот на оси абсцисс откладывают
частичные интервалы, а над ними проводят
отрезки, параллельные оси абсцисс на
расстоянии
.
Площадьi-го
частичного прямоугольника равна
=─ относительной частоте вариант,
попавших вi-й
интервал. Следовательно, площадь
гистограммы относительных частот равна
сумме всех относительных частот, то
есть единице.

Примеры.

В
результате выборки получена следующая
таблица распределения частот.

	2	6	12
	3	10	7

Построить
полигоны частот и относительных частот
распределения.

Для
начала построим полигон частот.

Рис.
8. Полигон частот.

Чтобы
построить полигон относительных частот
найдем относительные частоты, для чего
разделим частоты на объем выборки n.

n
=
3
+
10
+
7
=
20.

Получаем

	2	6	12
	0,15	0,50	0,35

Построим
полигон относительных частот.

Рис.
9. Полигон относительных частот.

2.
Построить гистограммы частот и
относительных частот распределения.

Найдем
плотность частоты
:

Частичный интервал, длиною h = 3	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5	9	3
5 – 8	10	3,3
8 – 11	25	8,3
11 – 14	6	2

Построим
гистограмму частот.

Рис.
10. Гистограмма частот.

Чтобы
построить гистограмму относительных
частот, нужно найти относительные
частоты. Для этого найдем объем выборки
n.

Теперь
найдем относительные частоты
:

Получим:

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,16
11 – 14	0,12	0,04

Плотности
частот
нужно вычислить. При этомh
= 3.

Построим
гистограмму относительных частот.

Рис.11.
Гистограмма относительных частот.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Полигон частот и гистограмма частот

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Полигон частот

Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:

Рисунок 1.

Определение 1

Полигон частот — ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,dots ,m)$.

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 2. Полигон частот.

Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:

Рисунок 3.

Определение 2

Полигон относительных частот — ломанная, которая соединяет точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,dots ,m)$.

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 4. Полигон относительных частот.

Гистограмма частот

Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.

Определение 3

Гистограмма частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием — частичными интервалами длины $h$ и высотами $frac{n_i}{h}$:

Рисунок 5. Гистограмма частот.

«Полигон частот и гистограмма частот» 👇

Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $frac{n_ih}{h}=n_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $sum{n_i}=n$, то есть равна объему выборки.

Определение 4

Гистограмма относительных частот — ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием — частичными интервалами длины $h$ и высотами $frac{W_i}{h}$:

Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.

Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $frac{W_ih}{h}=W_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $sum{W_i}=W=1$.

Примеры задачи на построение полигона и гистограммы

Пример 1

Пусть распределение частот имеет вид:

Рисунок 7.

Построить полигон относительных частот.

Решение.

Построим сначала ряд распределения относительных частот по формуле $W_i=frac{n_i}{n}$

Рисунок 8.

Получим следующий полигон относительных частот.

Рисунок 9.

Пример 2

Дан ряд непрерывного распределения частот:

Рисунок 10.

Решение.

Очевидно, что данном случае длина частичного интервала $h=2.$ Найдем высоты прямоугольников каждой точки разбиения.

При $x=1$: $frac{3}{2}=1,5$.

При $x=3$: $frac{5}{2}=2,5.$

При $x=6$: $frac{7}{2}=3,5.$

При $x=9$: $frac{9}{2}=4,5.$

Получаем следующую гистограмму частот:

Рисунок 11.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 25.02.2023

Источник

2.1.1. Полигон распределения

Полигон частот – это ломаная, соединяющая соседние точки :

Кстати, с помощью полигона можно не только изобразить, но ещё и однозначно задать дискретный вариационный

ряд (вместо таблицы с вариантами и частотами).

Теперь программный способ решения:

Задание

Самостоятельно решить данную задачу в Экселе (прямо в открывшемся файле).

Решаем! – все исходные данные с пошаговыми инструкциями прилагаются.

После чего переходим ко второй части задачи, в которой требуется найти относительные частоты и построить эмпирическую функцию распределения.

Относительные частоты рассчитываем по формуле – для этого каждую частоту делим на объём выборки и результаты заносим в дополнительный столбец, далее я перехожу к

электронной версии оформления:

Обязательно проверяем, что сумма всех относительных частот равна единице:
, ОК.

Иногда требуется построить полигон относительных частот. Как вы правильно догадались – это ломаная, соединяющая

соседние точки . Но такое задание больше

характерно для интервального вариационного ряда, до которого мы доберёмся в самом

близком будущем.

А теперь посмотрим на относительные частоты и задумаемся: на что они похожи? …Правильно, на вероятности. Так, например,

можно сказать, что – есть

примерная вероятность того, что наугад выбранный рабочий цеха будет иметь 4-й разряд. «Примерная» – по той причине,

что перед нами выборка. А вот учесть ВСЕХ рабочих цеха (всю генеральную совокупность), то рассчитанные относительные

частоты – в точности и есть эти

вероятности.

Полигон относительных частот – это статистический аналог многоугольника распределения из теории вероятностей.

Следует заметить, что он уже не задаёт вариационный ряд, так как относительные частоты (сами по себе) ничего не говорят нам о частотах и объеме совокупности.

Но не полигоном единым жив дискретный вариационный ряд, существует и другой подход к его заданию и изображению:

2.1.2. Эмпирическая функция распределения

2.1. Дискретный вариационный ряд

| Оглавление |

Источник