Как найти полную поверхность правильной шестиугольной призмы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы
- 1. Общая формула
- 2. Площадь правильной треугольной призмы
- 3. Площадь правильной четырехугольной призмы
- 4. Площадь правильной шестиугольной призмы
Примеры задач

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

S_полн. = S_бок. + 2S_осн.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

S_бок. = P_осн. ⋅ h

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.


Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	S_бок. = 3ah
полная

microexcel.ru

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.


Площадь	Формула
основание	S_осн. = a²
боковая поверхность	S_бок. = 4ah
полная	S_полн. = 2a² + 4ah

microexcel.ru

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a². А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a².

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник


Площадь	Формула
основание
боковая поверхность	S_бок. = 6ah
полная

microexcel.ru

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см². Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Источник

Площадь правильной шестиугольной призмы

Правильная шестиугольная призма — это прямая призма основанием которой служит правильный шестиугольник.

Площадь правильной шестиугольной призмы

Как мы видим — призма имеет два основания, эти основания правильные шестиугольники со стороной a, и шесть боковых сторон, которые представляют из себя прямоугольники со сторонами a и h

Площадь правильной шестиугольной призмы складывается из двух площадей оснований и шести площадей боковых граней.

[ S_{призмы} = 2S_{осн} + 6S_{бок} ]

Подставим сюда формулу площади прямоугольника и формулу площади правильного шестиугольника и получим:

[ S_{призмы} = 2frac{3sqrt{3}}{2}a^2 + 6ah ]

или

[ S_{призмы} = 3a(sqrt{3}a + 2h) ]

Вычислить, найти площадь правильной шестиугольной призмы по формуле (3)

Площадь правильной шестиугольной призмы	стр. 334

Источник

Правильная шестиугольная призма — призма, в основаниях которой лежат два правильных шестиугольника, а все боковые грани строго перпендикулярны этим основаниям.

Обозначения

$ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма
$a$ — длина стороны основания призмы
$h$ — длина бокового ребра призмы
$S_{text{осн.}}$ — площадь основания призмы
$S_{text{бок.}}$ — площадь боковой грани призмы
$S_{text{полн.}}$ — площадь полной поверхности призмы
$V_{text{призмы}}$ — объем призмы

Площадь оснований призмы

В основаниях призмы находятся правильные шестиугольники со стороной $a$. По свойствам правильного шестиугольника, площадь оснований призмы равна $$ S_{text{осн.}}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2 $$ Таким образом, получается, что $S_{ABCDEF}=S_{A_1B_1C_1D_1E_1F_1}=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2$.

Площадь полной поверхности призмы

Площадь полной поверхности призмы складывается из площадей боковых граней призмы и площадей ее оснований. Каждая из боковых граней призмы является прямоугольником со сторонами $a$ и $h$. Следовательно, по свойствам прямоугольника $$ S_{text{бок.}}=acdot h $$ У призмы шесть боковых граней и два основания, следовательно, площадь ее полной поверхности равна $$ S_{text{полн.}}=6cdot S_{text{бок.}}+2cdot S_{text{осн.}}=6cdot acdot h+2cdot frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2$$

Объем призмы

Объем призмы вычисляется как произведение площади ее основания на ее высоту. Высотой правильной призмы является любое из ее боковых ребер, например, ребро $AA_1$. В основании правильной шестиугольной призмы находится правильный шестиугольник, площадь которого нам известна. Получаем $$ V_{text{призмы}}=S_{text{осн.}}cdot AA_1=frac{3sqrt{3}}{2}cdot a^2cdot h $$

Правильный шестиугольник в основаниях призмы

Рассматриваем правильный шестиугольник ABCDEF, лежащий в основании призмы. Проводим отрезки AD, BE и CF. Пусть пересечением этих отрезков является точка O. По свойствам правильного шестиугольника, треугольники AOB, BOC, COD, DOE, EOF, FOA являются правильными треугольниками. Отсюда следует, что $$ AO=OD=EO=OB=CO=OF=a $$ Проводим отрезок AE, пересекающийся с отрезком CF в точке M. Треугольник AEO равнобедренный, в нём $AO=OE=a, angle EOA=120^{circ}$. По свойствам равнобедренного треугольника $$ AE=acdotsqrt{2(1-cos EOA)}=sqrt{3}cdot a $$ Аналогичным образом приходим к заключению, что $ AC=CE=sqrt{3}cdot a $, $FM=MO=frac{1}{2}cdot a$.

Находим $EA_1$

В треугольнике $AEA_1$:

$AA_1=h$
$AE=sqrt{3}cdot a$ — как мы только что выяснили
$angle EAA_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $AEA_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ EA_1=sqrt{AA_1^2+AE^2}=sqrt{h^2+3cdot a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ EA_1=2cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $FB_1=AC_1=BD_1=CE_1=DF_1=sqrt{h^2+3cdot a^2}$.

Находим $EB_1$

В треугольнике $BEB_1$:

$BB_1=h$
$BE=2cdot a$ — потому что $EO=OB=a$
$angle EBB_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $BEB_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ EB_1=sqrt{BB_1^2+BE^2}=sqrt{h^2+4cdot a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ EB_1=sqrt{5}cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $FC_1=AD_1=BE_1=CF_1=DA_1=sqrt{h^2+4cdot a^2}$.

Находим $OF_1$

В треугольнике $FOF_1$:

$FF_1=h$
$FO=a$
$angle OFF_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $FOF_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ OF_1=sqrt{FF_1^2+OF^2}=sqrt{h^2+a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ OF_1=sqrt{2}cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что $OA_1=OB_1=OC_1=OD_1=OE_1=sqrt{h^2+a^2}$.

Находим $FE_1$

В треугольнике $FEE_1$:

$EE_1=h$
$FE=a$
$angle FEE_1=90^{circ}$ — по свойствам правильной призмы

Таким образом, получается, что треугольник $FEE_1$ прямоугольный. По свойствам прямоугольного треугольника $$ FE_1=sqrt{FE^2+EE_1^2}=sqrt{h^2+a^2} $$ Если $h=a$, то тогда $$ FE_1=sqrt{2}cdot a $$ После аналогичных рассуждений получаем, что длины диагоналей остальных боковых граней призмы также равны $sqrt{h^2+a^2}$.

Источник

Объем призмы и другие ее характеристики

Перед вами иллюстрированный гид о призме.

В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.

Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!

Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!

Призма — коротко о главном

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H}),
где ( {{text{S}}_{основания}}) – площадь основания,
( H) – высота.

Необычная формула объема призмы:
( text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l),
где ( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})

А теперь чуть подробнее…

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем еще раз.

А теперь рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

А еще:

Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Виды призм

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Объем призмы

Главная формула объема призмы

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H}),где ( {{text{S}}_{основания}}) — площадь основания,
( H) — высота.

Необычная формула объема призмы

( text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l),
где ( {{text{S}}_{bot }}) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) — длина бокового ребра.

Площадь призмы

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

Все боковые грани прямоугольники;
Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H})

( {{text{S}}_{основания}}) – площадь основания

( H) – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то ( H) «превращается» в боковое ребро. И тогда

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H})

– то же самое, что

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot боковое ребро)

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:

( Large text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l)

( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

( l) – длина бокового ребра

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна ( a), а боковое ребро равно ( b).

pravilnaya treugolnaya prizma formula obyoma

Найдем объем:

( text{V}={{text{S}}_{Основания}}cdot text{H}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b})

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:

ploshad osnovaniya pravilnoj treugolnoj prizmy

( {{text{S}}_{text{ABC}}}=frac{1}{2}text{a}cdot text{h})

( text{h}=sqrt{{{text{a}}^{2}}-frac{{{text{a}}^{2}}}{4}}=frac{sqrt{3}}{2}text{a})

( {{text{S}}_{text{ABC}}}=frac{1}{2}text{a}cdot frac{sqrt{3}}{2}text{a}=frac{{{text{a}}^{2}}sqrt{3}}{4})

Подставляем в формулу объёма:

( text{V}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b}=frac{{{text{a}}^{2}}text{b}sqrt{3}}{4}).

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна ( a), боковое ребро равно ( b).

pravilnaya chetyrehugolnaya prizma formula obyoma

( text{V}={{text{S}}_{text{основания}}}cdot text{H}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b})

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

( displaystyle {{text{S}}_{text{ABCD}}}={{text{a}}^{2}})

Значит, ( displaystyle text{V}={{text{S}}_{text{ABCD}}}cdot text{b}={{text{a}}^{2}}text{b}).

Объем правильной шестиугольной призмы

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})

Формулу можно написать для прямой призмы:

( displaystyle {{text{S}}_{боков.}}=text{H}cdot text{P}), где ( displaystyle P) – периметр основания.

( displaystyle {{text{S}}_{text{полной}}}=text{H}cdot text{P}+2{{text{S}}_{основания}}).

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).

pryamaya prizma ploshad poverhnosti formula

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
репетиторский стаж — c 2003 года;
в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Источник

Improve Article

Save Article

Like Article

Read

Discuss

Improve Article

Save Article

Like Article

Given a Base edge and Height of the Hexagonal prism, the task is to find the Surface Area and the Volume of hexagonal Prism. In mathematics, a hexagonal prism is a three-dimensional solid shape which have 8 faces, 18 edges, and 12 vertices. The two faces at either ends are hexagons, and the rest of the faces of the hexagonal prism are rectangular.

where a is the base length and h is the height of the hexagonal prism.

Surface Area = $6ah + 3sqrt{3}a^{2}$
Volume = $frac{3sqrt{3}}{2}a^{2}h$

Examples:

Input : a = 4, h = 3
Output : Surface Area: 155.138443
         Volume: 124.707657

Input : a = 5, h = 10
Output : Surface Area: 429.904
         Volume: 649.519

C++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

void findSurfaceArea(float a, float h)

{

float Area;

Area = 6 * a * h + 3 * sqrt(3) * a * a;

cout << "Surface Area: " << Area;

cout << "n";

}

void findVolume(float a, float h)

{

float Volume;

Volume = 3 * sqrt(3) * a * a * h / 2;

cout << "Volume: " << Volume;

}

int main()

{

float a = 5, h = 10;

findSurfaceArea(a, h);

findVolume(a, h);

return 0;

}

Java

import java.io.*;

class GFG {

static void findSurfaceArea(float a, float h)

{

float Area;

Area = 6 * a * h + 3 * (float)(Math.sqrt(3)) * a * a;

System.out.println("Surface Area: " + Area);

}

static void findVolume(float a, float h)

{

float Volume;

Volume = 3 * (float)(Math.sqrt(3)) * a * a * h / 2;

System.out.println("Volume: " + Volume);

}

public static void main (String[] args)

{

float a = 5, h = 10;

findSurfaceArea(a, h);

findVolume(a, h);

}

Python3

import math

def findSurfaceArea(a, h):

Area = 0;

Area = (6 * a * h +

3 * math.sqrt(3) * a * a);

print("Surface Area:",

round(Area, 3));

def findVolume(a, h):

Volume = 0;

Volume = (3 * math.sqrt(3) *

a * a * h / 2);

print("Volume:",

round(Volume, 3));

a = 5;

h = 10;

findSurfaceArea(a, h);

findVolume(a, h);

C#

using System;

class GFG

{

static void findSurfaceArea(float a,

float h)

{

float Area;

Area = 6 * a * h + 3 *

(float)(Math.Sqrt(3)) * a * a;

Console.WriteLine("Surface Area: " +

Area);

}

static void findVolume(float a,

float h)

{

float Volume;

Volume = 3 * (float)(Math.Sqrt(3)) *

a * a * h / 2;

Console.WriteLine("Volume: " +

Volume);

}

public static void Main ()

{

float a = 5, h = 10;

findSurfaceArea(a, h);

findVolume(a, h);

}

PHP

<?php

function findSurfaceArea($a, $h)

{

$Area;

$Area = 6 * $a * $h + 3 *

sqrt(3) * $a * $a;

echo "Surface Area: " ,

$Area,"n";

}

function findVolume($a, $h)

{

$Volume;

$Volume = 3 * sqrt(3) *

$a * $a * $h / 2;

echo "Volume: " , $Volume;

}

$a = 5; $h = 10;

findSurfaceArea($a, $h);

findVolume($a, $h);

?>

Javascript

<script>

function findSurfaceArea( a, h)

{

let Area;

Area = 6 * a * h + 3 * Math.sqrt(3) * a * a;

document.write( "Surface Area: " + Area.toFixed(3) + "<br/>");

}

function findVolume( a, h)

{

let Volume;

Volume = 3 * Math.sqrt(3) * a * a * h / 2;

document.write( "Volume: " + Volume.toFixed(3));

}

let a = 5, h = 10;

findSurfaceArea(a, h);

findVolume(a, h);

</script>

Time complexity : O(1) as performing constant operations
Auxiliary Space : O(1)

Last Updated :
07 Aug, 2022

Like Article

Save Article

Источник