Как найти полную проводимость

193

ЛАБОРАТОРНАЯ
РАБОТА №6

ЦЕПЬ С ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ
СОЕДИНЕНИЕМ ВЕТВЕЙ

С РЕАКТИВНЫМИ
ЭЛЕМЕНТАМИ

Цель
работы:
1. Изучить
основные режимы работы цепи с параллельным
соединением ветвей, содержащих реостат,
катушку индуктивности и конденсатор.
2. Получить навыки расчёта данной цепи
и построения векторных диаграмм.

ОСНОВНЫЕ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим
возможную схему замещения при параллельном
соединении указанных приёмников (рис.1).
Используем символический метод расчета.
Согласно 1 закону Кирхгофа для узла а
можно записать

, (1)

где

– ток в неразветвлённой части схемы
или входной ток (на самом деле это
комплекс действующего значения
синусоидального входного тока. В целях
краткого изложения материала такие
величины будем называть ток, напряжение
и тому подобное);

и

– соответственно, токи в ветвях схемы.
Выразим слагаемые уравнения (1) через
напряжение

,
воспользовавшись законом Ома

(2)

где

– комплексное сопротивление первой
ветви;

— комплексное сопротивление второй
ветви. Тогда

. (3)

В разделе «Основные
понятия о цепях синусоидального тока»
отмечено, что величина

называется комплексной проводимостью.
В данном случае эту величину можно
обозначить как комплексную проводимость
всей цепи. Из (3) получим

, (4)

где

— соответственно комплексная проводимость
первой и второй ветви. Таким образом,
при параллельном соединении ветвей
эквивалентная комплексная проводимость
всей схемы замещения равна сумме
комплексных проводимостей ветвей.

Определим
составляющие комплексных проводимостей
каждой ветви. Отметим, что соотношения

справедливы только
для всей ветви и не могут применяться
в отношении отдельных её элементов.
Рассмотрим составляющие комплексных
проводимостей каждой ветви.

, (5)

где

— активная составляющая проводимости
первой ветви;

— реактивная составляющая проводимости
первой ветви.

С учётом полученных
соотношений

. (6)

Рассуждая аналогично
для второй ветви, получим

. (7)

Тогда

. (8)

Положим, что
синусоидальное напряжение на зажимах
цепи определено выражением

.
В этом случае начальная фаза

.

Комплексную
проводимость всей схемы и отдельной
ветви можно представить в показательной
форме записи

, (9)

где

— соответственно, полное сопротивление
всей схемы, первой и второй ветви;

— фазовые углы указанных полных
сопротивлений. Они противоположны по
знаку углам

,
определяющим сдвиг фаз между напряжением

и, соответственно, током

.
При этом

;
(10)

. (11)

Рассмотрим влияние
реактивных проводимостей на характер
нагрузки цепи:

1.

.
Из (8) и (11) получим, что

,

.
При этом в данной схеме первая ветвь
имеет активно-индуктивный характер
нагрузки. Вторая ветвь – активно-ёмкостный
характер нагрузки. На рис. 2 приведена
векторная диаграмма проводимостей,
соответствующая этому случаю. На
векторной диаграмме действительные
составляющие комплексных проводимостей
(активные проводимости схемы

)
представлены векторами, совпадающими
или параллельными оси

.
Мнимые составляющие комплексных
проводимостей (реактивные проводимости
схемы

)
представлены векторами параллельными
оси

в соответствии с их знаками. Кроме этого
указаны как углы

,
так и углы

.
Учитывая условие 1, в целом, цепь имеет
активно-индуктивный характер нагрузки.
Прямоугольные треугольники OKN,
NBC,
OBM
носят название треугольников
проводимостей.

Примечание.
Направление угла сдвига фаз между
напряжением и током принято отсчитывать
от тока к напряжению. Поэтому с целью
однообразного изложения анализа при
построении векторных диаграмм (как и в
работе №5) в дальнейшем на них указаны
только углы

.

2.

.
Из (8) и (11) получим, что

,

.
Характер нагрузки каждой ветви не
меняется, но характер нагрузки всей
схемы становится активно-ёмкостным.
Векторная диаграмма, соответствующая
этому случаю, приведена на рис. 3.

3.

.
Из (8) и (11) получим, что

,

.
Ха-

рактер нагрузки
каждой ветви не меняется, но характер
нагрузки всей схемы становится чисто
активным. Векторная диаграмма,
соответствующая этому случаю, приведена
на рис. 4.

Таким образом, в
зависимости от соотношения


и


в схеме может происходить частичная
или полная компенсация реактивных
проводимостей ветвей. Это обстоятельство
определяет характер нагрузки реальной
цепи, величину и знак фазового угла

.

Из формул (8) и (10)
следует, что

(12)

Из (3) будем иметь

(13)

Учитывая (9), получим

(14)

Слагаемые в правой
части (14) имеют размерность А (Ампер). Их
принято называть:

– комплекс активной составляющей
действующего значения тока в первой
ветви (в целях сокращения эту составляющую
тока называют активной составляющей
тока в первой ветви. Для остальных
составляющих аналогично);

– комплекс активной составляющей тока
во второй ветви;

– комплекс реактивной составляющей
тока в первой ветви;

– комплекс реактивной составляющей
тока во второй ветви. Тогда соотношение
(14) можно переписать

. (15)

Соотношению (15)
соответствует уже другая эквивалентная
схема замещения заданной цепи, состоящая
из параллельного соединения активных
и реактив-

ных элементов
проводимости (рис. 5).

Изобразим на
комплексной плоскости соотношение
(15). Поскольку

и

,

— действительные числа, то вектора


и

будут совпадать по направлению с вектором

.
Т. е. активные составляющие токов в
ветвях совпадают по фазе с напряжением
на зажимах схемы. вектора

и

будут перпендикулярны вектору

.
При этом реактивная составляющая

отстаёт на угол 90º по фазе, а реактивная
составляющая

опережает на угол 90º по фазе указанное
напряжение. Векторные диаграммы приведены
на рис. 6, 7, 8. Они иллюстрируют возможные
случаи:

1. Если

,
в этом случае
,

,
то общий ток цепи

отстаёт по фазе от напряжения

на угол

(рис. 6);

2. Если

,
в этом случае

,

,
то общий ток цепи

опережает
по фазе напряжение

на угол φ (рис. 7);

3. Наконец, если

,
в этом случае

,

,
то общий ток

цепи
совпадает по фазе с напряжением

(рис. 8).

Следовательно, в
цепи происходит частичная или полная
компенсация реактивных составляющих
токов в ветвях и в зависимости от этого
полный (входной) ток

опережает,
отстаёт или совпадает по фазе с напряжением

на зажимах цепи.

Рассмотрим
энергетические процессы, протекающие
в данной цепи (рис. 1).

Энергетический
режим работы каждой ветви, как было
установлено в разделе «Основные понятия
о цепях синусоидального тока», определяется
соотношением её активной и реактивной
мощностей. Определим их величину

. (16)

Аналогично

(17)

Т.е. активная или
средняя за период мощность каждой ветви
в разветвлённой цепи прямо пропорциональна
активной проводимости этой ветви.
Поскольку Р₁
и Р₂
в каждой ветви характеризуют интенсивность
безвозвратного потребления энергии от
источника питания, то общая активная
мощность цепи равна арифметической
сумме активных мощностей каждой ветви
и пропорциональна активной проводимости
всей цепи

. (18)

Определим реактивную
мощность

. (19)

Аналогично

. (20)

Т. е. реактивная
мощность каждой ветви в разветвлённой
цепи прямо пропорциональна реактивной
проводимости этой ветви. Для реактивных
мощностей можно также записать

(21)

(22)

При одном и том же
напряжении, приложенном к каждой ветви,
реактивные составляющие токов этих
ветвей

и

сдвинуты на 180º друг относительно друга.
Следовательно, суммарная реактивная
мощность равна разности реактивных
мощностей в каждой ветви этой цепи

(23)

и пропорциональна
реактивной проводимости всей цепи.
Полная мощность каждой ветви равна

(24)

(25)

Т. е. полная мощность
каждой ветви пропорциональна полной
проводимости этой ветви. Определим
полную мощность всей цепи

(26)

Т. е. полная мощность
всей цепи пропорциональна проводимости
этой цепи.

Для представления
полной комплексной мощности с
использованием проводимостей введем
понятие о комплексно-сопряженных
векторах.

— комплекс
действующего значения напряжения,

— начальная фаза соответствующей ему
синусоиды,

— активная и

— реактивная составляющие этого комплекса
(этого напряжения);

— сопряженный
комплекс действующего значения напряжения
и его аналогичные составляющие.

Такое же представление
о сопряженном комплексе можно ввести
для тока

;

для сопряженного
комплексного сопротивления

;

для сопряженной
комплексной проводимости

.

Рассмотрим известное
выражение для полной комплексной
мощности

. (27)

Таким образом,
использование понятия о сопряженном
комплексе тока позволяет реализовать
аргумент полной комплексной мощности
в виде разности фаз между синусоидами
напряжения и тока (
),
а также установить корректную
математическую связь между полной
комплексной мощностью и ее составляющими
(
).
Проведем преобразование с сопряженными
комплексами. В соответст-

вии с (13) получим

.

В таком случае
будем иметь

. (28)

Учтем, что

.

То есть для любого
параметра произведение комплекса на
сопряженный комплекс равно квадрату
его модуля.

В соответствии с
(27), (28) и (8) рассмотрим полную комплексную
мощность

(29)

Треугольники
мощностей, соответствующие выражению
(29), приведены на рис. 9, 10, 11, которые
иллюстрируют случаи:

– если

,
в этом случае

,

(рис. 9). Т. е. реактивная мощность всей
цепи является положительной величиной
и во внешней цепи происходит обмен
циркулирующей энергией исключительно
между магнитным полем L
-элемента и источником питания, а
перезаряд С
— элемента полностью осуществляется за
счёт энергии магнитного поля L
— элемента;

– если

,
в этом случае

,

(рис. 10). Т. е. реактивная мощность всей
цепи является отрицательной величиной
и во внешней цепи происходит обмен
циркулирующей энергией исключительно
между электрическим полем С-элемента
и источником питания. Энергия в магнитное
поле L
— элемента полностью поступает при
разряде С
— элемента;

– наконец, если

,
в этом случае

,
а

(рис. 11). Т. е. обмена энергией между
источником питания и цепью не происходит.
Вся энергия, поступающая от источника,
безвозвратно потребляется цепью. При
этом полная мощность на зажимах цепи
чисто активная. Внутри цепи происходит
циркулирующий обмен энергией одинаковой
интенсивности между полями L
—,
C
– элемен-

тов.

Расчёт параметров
режима работы цепи, построение векторной
диаграммы, треугольников проводимостей
и мощностей можно провести, не прибегая
к комплексным числам. Расчёт проводят
в действующих значениях параметров
режима и в модулях параметров цепи. При
этом возможны две методики расчёта:

• с использованием
  понятия об активной и реактивной
  составляющих тока в каждой ветви;

• с использованием
  понятия о полной проводимости цепи,
  ветви и составляющих этих проводимостей.

По первой методике,
по известным параметрам цепи определяют
полные сопротивления ветвей

Затем определяют
полные токи в каждой ветви и составляющие
этих токов

После чего определяют
полный (входной) ток цепи

и его фазовый угол

.

Рассчитывают
мощности на ветвях

мощности на всей
схеме

Используя полученные
результаты, определяют проводимости
ветвей и всей схемы

Наконец, по
полученным результатам с учётом знаков
φ₁,
φ₂
и φ строят векторные диаграммы токов,
проводимостей и мощностей.

По второй методике,
по известным параметрам цепи определяют
проводимости ветвей и их фазовые углы

.

Затем определяют
полную проводимость цепи и ее фазовый
угол

.

После чего
рассчитывают токи в ветвях и входной
ток

.

Определяют мощности
ветвей и всей цепи

.

И, наконец, зная
величину

и их знаки, строят векторные диаграммы
токов, проводимостей и мощностей.

Иного характера
расчёты проводят, если известны некоторые
параметры режима работы цепи, и требуется
определить параметры схемы замещения
и построить векторную диаграмму. Такие
расчёты проводят после экспериментального
исследования схемы.

Например, дана
схема замещения цепи (рис. 12). Путём
эксперимента измерили следующие
параметры режима работы этой цепи: P
– активную мощность всей цепи; U
– напряжение на зажимах цепи; I
– входной ток;
I₁
и I₂
– токи ветвей; угол сдвига фаз

между синусоидами напряжения

и тока

(с учетом его знака). Необходимо определить
параметры схемы и построить векторную
диаграмму. Проводят следующие расчёты:

1. Определяют
   эквивалентные параметры всей цепи
   (знак общей реактивной проводимости
   

   и общего реактивного сопротивления
   

   определяется знаком измеренного угла

   )

(30)

1. Определяют
   эквивалентные параметры каждой ветви

(31)

1. Определяют
   параметры элементов ветвей схемы

. (32)

1. Рассчитывают
   остальные параметры режима работы
   схемы

(33)

1. Строят векторные
   диаграммы токов, проводимостей,
   мощностей.

В данной цепи, как
и в цепи с последовательным соединением
R,
L,
C
— элементов,
возможен резонансный режим, который
носит название резонанса
токов. При
резонансе токов в цепи, содержащей L
—
и С
— элементы, включённые в параллельные
ветви, синусоиды входного тока I
и напряжения

,
приложенного к зажимам цепи, совпадают
по фазе, т. е.
.
Особенности этого режима уже рассмотрены
(рис. 4, 8, 11). Определим резонансную частоту
в цепи (рис. 1). Если для резонанса токов

то в соответствии с (11)

или

. (34)

Выражение (34)
определяет условие резонанса токов для
конкретной цепи. Если
катушка индуктивности и конденсатор
включены в параллельные ветви, то модули
реактивных проводимостей ветвей должны
быть равны.

.

Подставив эти
выражения в (34) и решив уравнение
относительно
,
получим

. (35)

Выражение (35)
показывает, что резонансная частота
определяется величиной четырёх параметров
цепи L,
C,
R₁,
R₂.
Поэтому резонансного режима можно
добиться, варьируя каждый из указанных
параметров.

Проанализируем
зависимости параметров контура и
параметров режима его работы от изменения
C
на примере схемы рис. 12. Считаем, что
величина ёмкости С
изменяется от 0 до

,
а цепь подключена к идеальному источнику
синусоидальной ЭДС.

1. Полная проводимость цепи

.

При

Если

наступает резонансный режим, для которого

Наконец, если

Зависимость

приведена на рис.
13.

1. Учитывая, что
   полное
   сопротивление цепи
   
   ,
   можно определить характер зависимости
   

   которая также приведена на рис. 13.

2. Коэффициент мощности

.

Эта зависимость
будет подобна зависимости

,
поскольку g₁
от С
не зависит. Зависимость

поскольку от C
этот параметр не зависит и определяется
соотношением сопротивлений в первой
ветви

.

Для второй ветви
.

1. Токи в цепи

Характер изменения
этих зависимостей очевиден и его можно
обосновать, используя зависимости,
рассмотренные в пунктах 1-3. Графики
приведены на рис. 14.

1. Мощности S,
   P,
   Q
   в цепи.

Активная мощность
на всей цепи

;

реактивная мощность
изменяется линейно от С

зависимость полной
мощности от С
подобна зависимости

,
поскольку

Графики, указанных
зависимостей приведены на рис. 15.

Участок цепи, в
котором возникает резонанс токов,
называют параллельным
резонансным контуром.
При резонансе токов

в соответствии с (12) становится минимально
возможной величиной. Как следует из
(5), уменьшая активное сопротивление
катушки индуктивности и увеличивая её

,
можно значительно уменьшить и проводимость

.
Т.е. значительно увеличить сопротивление
контура при резонансе токов. Если питать
этот контур от источника синусоидального
сигнала, ток которого

слабо зависит от сопротивления контура
(так называемая модель источника
тока), то при
резонансе токов напряжение на ветвях
может в несколько десятков или сотен
раз превышать это напряжение при других
режимах работы. Это позволяет использовать
такие контуры для качественного выделения
сигнала определенной (резонансной)
частоты во время поиска нужной радиостанции
при приеме ее сигнала. Поэтому резонанс
токов находит широкое применение в
радиотехнике, телевидении, технике
проводной электросвязи, измерительной
технике, в специальных источниках
вторичного электропитания устройств
промышленной электроники.

Порядок выполнения работы

1. Собрать
   экспериментальную электрическую цепь,
   схема которой приведена на рис. 16.

2. Установить
   напряжение питания заданной величины
   по указанию преподавателя.

3. Варьируя величину
   ёмкости, установить резонансный режим
   работы экспериментальной цепи. При
   этом показания фазометра должны быть
   близки к нулевому значению. Снять
   показания приборов и занести их таблицу
   1.

4. Уменьшая каждый
   раз величину ёмкости на 2÷4 мкФ , по
   сравнению с предыдущим опытом, и
   поддерживая U
   =
   const,
   проделать 2÷3 опыта. Данные измерений
   занести в таблицу 1.

5. Восстановить
   резонансный режим в цепи. После чего,
   увеличивая каждый раз величину ёмкости
   на 2÷3 мкФ по сравнению с предыдущим её
   значением, проделать 2÷3 опыта, данные
   занести в таблицу 1 (в каждом опыте
   напряжение

   на входе цепи поддерживается постоянным
   и равным значению в первом опыте).

6. Для каждого опыта
   рассчитать параметры, указанные в
   таблице 1. Использовать для расчёта
   соотношения (30) – (33).

Примечание 1.
В таблице приведены два столбца,
определяющие емкость батареи конденсаторов:
C
и C_ист.
В ячейках столбца C
указывают
величину емкости, набранную на батарее
конденсаторов непосредственно перед
каждым опытом. В ячейках столбца C_ист
указывают
истинное значение емкости, которое
определяют по формуле

после проведения опытов. При этом

.

1. Построить
   экспериментальные зависимости подобные
   приведённым на рис. 13, 14, 15.

2. Построить векторные
   диаграммы токов, треугольники
   проводимостей и мощностей для трёх
   опытов (по указанию преподавателя), в
   которых величина ёмкости выбиралась
   меньше, равной или больше резонансной.

Примечание 2:
При построениях руководствоваться рис.
2, — 4, 6, — 8, 9, — 11, а также учитывать, что для
экспериментальной схемы R₂
=0.
Следовательно, I_a2
= 0, g₂
= 0, P₂
= 0.

Расчет электрической цепи, рассмотренный в предыдущей статье, можно распространить на цепи, содержащие произвольное число приемников, соединенных параллельно.

На рис. 14.14, а параллельно соединены те же элементы цепи, которые были рассмотрены при последовательном соединении (см. рис. 14.7, а). Предположим, что для этой цепи известны напряжение u = U_msinωt. и параметры элементов цепи R, L, С. Требуется найти токи в цепи и мощность.

Векторная диаграмма для цепи с параллельным соединением ветвей. Метод векторных диаграмм

Для мгновенных величин в соответствии с первым законом Кирхгофа уравнение токов

Представляя ток в каждой ветви суммой активной и реактивной составляющих, получим

Для действующих токов нужно написать векторное уравнение

Численные значения векторов токов определяются произведением напряжения и проводимости соответствующей ветви.

На рис. 14.14, б построена векторная диаграмма, соответствующая этому уравнению. За исходный вектор принят, как обычно при расчете цепей с параллельным соединением ветвей, вектор напряжения U, а затем нанесены векторы тока в каждой ветви, причем направления их относительно вектора напряжения выбраны в соответствии с характером проводимости ветвей. Начальной точкой при построении диаграммы токов выбрана точка, совпадающая с началом вектора напряжения. Из этой точки проведен вектор l_1a активного тока ветви I (по фазе совпадает c напряжением), а из конца его проведен вектор I_1p реактивного тока той же ветви (опережает напряжение на 90°). Эти два вектора являются составляющими вектора I₁ тока первой ветви. Далее в том же порядке отложены векторы токов других ветвей. Следует обратить внимание на то, что проводимость ветви 3-3 активная, поэтому реактивная составляющая тока в этой ветви равна нулю. В ветвях 4-4 и 5-5 проводимости реактивные, поэтому в составе этих токов нет активных составляющих.

Расчетные формулы для цепи с параллельным соединением ветвей. Метод векторных диаграмм

Из векторной диаграммы видно, что все активные составляющие векторов тока направлены одинаково — параллельно вектору напряжения, поэтому векторное сложение их можно заменить арифметическими найти активную составляющую общего тока: I_а = I_1a + I_2a + I_3a.

Реактивные составляющие векторов токов перпендикулярны вектору напряжения, причем индуктивные токи направлены в одну сторону, а емкостные — в другую. Поэтому реактивная составляющая общего тока в цепи определяется их алгебраической суммой, в которой индуктивные токи считаются положительными, а емкостные — отрицательными: I_p = — I_1p + I_2p — I_4p + I_5p.

Векторы активного, реактивного и полного тока всей цепи образуют прямоугольный треугольник, из которого следует

Подставив величины токов в ветвях, выраженные через напряжение и соответствующие проводимости, получим

где ∑Gn — общая активная проводимость, равная арифметической сумме активных проводимостей всех ветвей; ∑Bn — общая реактивная
проводимость, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей всех ветвей (в этой сумме индуктивные проводимости считаются положительными, а емкостные — отрицательными); Y — полная проводимость цепи;

Таким образом получена знакомая уже формула (14.12), связывающая напряжение, ток и проводимость цепи [ср. (14.12) и (14.8)].

Следует обратить внимание на возможные ошибки при определении полной проводимости цепи по известным проводимостям отдельных ветвей: нельзя складывать арифметически проводимости ветвей, если токи в них не совпадают по фазе.

Полную проводимость цепи в общем случае определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются выраженные в определенном масштабе активная и реактивная проводимости всей цепи:

От треугольника токов можно перейти также к треугольнику мощностей и для определения мощности получить известные уже формулы

Активную мощность цепи можно представить как арифметическую сумму активных мощностей ветвей.

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме мощностей ветвей. В этом случае индуктивная мощность берется положительной, а емкостная — отрицательной:

Расчет цепи без определения проводимостей ветвей

Расчет электрической цепи при параллельном соединении ветвей можно выполнить без предварительного определения активных и реактивных проводимостей, т. е. представляя элементы цепи в схеме замещения их активными и реактивными сопротивлениями (рис. 14.15, а).

Определяют токи в ветвях по формуле (14.4);

где Z₁, Z₂ и т. д. — полные сопротивления ветвей.

Полное сопротивление ветви, в которую входят несколько элементов, соединенных последовательно, определяют по формуле (14.5).

Для построения векторной диаграммы токов (рис. 14.15, б) можно определить активную и реактивную составляющие тока каждой ветви по формулам

и т. д. для всех ветвей.

В этом случае отпадает необходимость определения углов ф₁ ф₂ и построения их на чертеже.

Ток в неразветвленной части цепи

Общий ток и мощность цепи определяются далее в том же порядке, какой был показан ранее (см. формулы (14.10), (14.15), (14.16)].

Задача

Проводимость, расчет электрических цепей методом проводимостей

Для расчета сложных электрических цепей, и в особенности цепей переменного тока, целесообразно вместо сопротивления использовать проводимость.

Проводимость в цепи постоянного тока — величина, обратная сопротивлению

В цепях переменного тока, как известно, существует три типа сопротивлений: активное , реактивное и полное . По аналогии с этим введено и три типа проводимостей: активная , реактивная и полная . Однако только полная проводимость является величиной, обратной полному сопротивлению

Для введения активной и реактивной проводимостей рассмотрим цепь переменного тока из последовательно соединенных активного и индуктивного сопротивлений (рис. 10.4 а).

Построим для нее векторную диаграмму (рис. 10.4 6). Ток в цепи разложим на активную и реактивную составляющие и от полученного треугольника токов перейдем к треугольнику сопротивлении (рис. 10.4 в). Из последнего имеем:

где — активная проводимость,

где — реактивная проводимость.

Теперь установим взаимосвязь между проводимостями. Для рассматриваемой цепи имеем:

где — полная проводимость цепи.

По аналогии с треугольником сопротивлений (рис. 10.5 в) строим треугольник проводимостей (рис. 10.5 г). По аналогии с индуктивным и емкостным сопротивлениями различают индуктивную и емкостную проводимости.

Если в цепи больше двух параллельных ветвей, то для рационального расчета используется метод проводимостей, который основан на следующем.

1)Ток в каждой цепи является векторной суммой активной и реактивной составляющих (рис. 10.5).

Например, для рассмотренной выше цепи действующие значения токов в ветвях можно рассчитать по следующим формулам: , .

2) Активные составляющие совпадают по фазе с напряжением и равны:

где и — активные проводимости первой и второй ветвей.

3) Реактивные составляющие токов отличаются по фазе от напряжения на и рассчитываются по формулам:

где и — реактивные проводимости первой и второй ветвей. Тогда: где и — полные проводимости обоих ветвей.

Проводимость всей цепи может быть рассчитана по формуле представлена треугольником проводимостей (рис.3.28г), который является следствием векторной диаграммы токов: , где

4)Общая сила тока в цепи может быть рассчитана как модуль векторной суммы активной и реактивной составляющих где и .

5)Сдвиг фаз между током и напряжением: или .

6)Активную, реактивную и полную мощность цепи можно рассчитать по формулам:

0.3 Взаимная индуктивность. Согласное, встречное включения катушек

Поток самоиндукции первой катушки , можно разделить на два: поток рассеяния сцепляющийся только с катушкой 1 и поток взаимоиндукции , сцепляющийся также со второй катушкой (рис. 10.6). . Аналогично для второй катушки :

Полное потокосцепление первой катушки:

на рисунке потоки и направлены одинаково, говорят «согласно». Поэтому в скобках перед стоит (+).

Если изменить направление тока в катушке 2, то потоки будут направлены встречно и будет знак(-). В общем случае: (+) — согласное , (-) — встречное. — потокосцепление самоиндукции, — потокосцепление взаимоиндукции. Величина пропорциональна :

где — индуктивность первой катушки; — взаимная индуктивность. Аналогично для второй катушки:

Полная ЭДС, индуктированная в первом контуре:

Явление наведения ЭДС в каком-либо контуре при изменение тока в другом контуре, называется взаимоиндукцией.

Наведённую ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции и обозначают:

— ЭДС взаимоиндукции в первой катушке,

— ЭДС взаимоиндукции во второй катушке.

В этих формулах

Степени индуктивной связи катушки определяются с помощью коэффициентов связи:

Поскольку у реальных катушек всегда существуют потоки рассеяния, то .

При расчёте таких цепей необходимо учитывать, как направлены потоки маг-нитносвязанных катушек — согласно или встречно.

Направления потоков можно определить, зная направление намотки катушек на сердечнике и направление тока в катушках (рис. 10.7).

Токи, входящие в одноимённые зажимы магнитосвязанных катушек, дают согласное направление магнитных потоков в этих катушек.

Одноимённые зажимы помечают либо точкой, либо звёздочкой. Если на принципиальной электрической схеме токи ориентированы одинаково относительно одноимённых зажимов катушек, то это согласное включение катушек, иначе — встречное.

Эта страница взята со страницы лекций по предмету теоретические основы электротехники (ТОЭ):

Предмет теоретические основы электротехники

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Содержание:

Символический метод расчета цепей:

Символический метол, введенный в теорию переменных токов Штейнмецом, является аналитическим развитием векторных диаграмм. Он основан на изображении векторов в комплексной плоскости и на их записи комплексными числами. Это приводит к применению для цепей синусоидального переменного тока законов Ома и Кирхгофа и вытекающих из них методов расчета цепей в той же форме, что и для цепей постоянного тока. В России символический метод был введен В. Ф. Миткевичем.

В символическом методе принято исходную ось направлять вертикально и на ней откладывать вверх положительные вещественные числа, а по горизонтальной оси влево — положительные мнимые числа (рис. 8.1). В дальнейшем эти оси называются осью и осью мнимых. Тогда, например, вращающийся вектор U_m, изображающий синусоидальное напряжение

и составляющий с осью вещественных угол может быть записан в виде комплексного числа в алгебраической, тригонометрической или показательной форме:

здесь — составляющие, соответственно, по осям вещественных и мнимых, U_m — модуль (величина) вектора, угол — его аргумент, а е — основание натуральных логарифмов.

Комплекс называют множителем вращения, а — комплексной амплитудой. Соответственно

называют комплексным действующим значением, в данном примере — напряжения, или комплексным напряжением. На комплексной плоскости оно изображается неподвижным вектором.

*

Для обратного перехода от комплекса к мгновенному значению и следует взять только мнимую часть комплекса (без i), что записывается следующим образом:

Тогда

Таким образом, комплекс является также изображением (как бы символом) синусоиды и, откуда и получил свое название метод, заключающийся в замене оригиналов (синусоид) комплектными изображениями, в операциях над ними и затем в обратном переходе для искомых величин от их изображений к оригиналам.

Геометрическому сложению и вычитанию векторов соответствует алгебраическое сложение и вычитание их проекций на оси комплексной плоскости, т. е. их вещественных и мнимых составляющих. Поэтому геометрическое сложение и вычитание векторов должно быть заменено вновь алгебраическим сложением и вычитанием их комплексов. Таким образом, алгебраический характер сложения и вычитания мгновенных значений синусоидальных величин сохраняется при замене оригиналов комплексными изображениями.

Так как проекция произведения двух векторов не равна произведению проекций этих векторов, изображение произведения двух синусоидальных функций не равно произведению их изображений, поэтому прч умножении таких функций нельзя применять символический метод.

Производная синусоидальной функции

имеет изображение

так как Полученное изображение равно производной изображения исходной функции:

Интеграл той же синусоидальной функции

имеет изображение

равное интегралу изображения исходной функции:

Таким образом, однозначное соответствие имеет место также между производными и интегралами оригинала и комплексного изображения.

Здесь получен еще один важный результат: дифференцированию оригинала соответствует, умножение на его изображения, интегрированию — деление на . Следовательно, интегро-дифференциальному уравнению для мгновенных значений соответствует алгебраическое уравнение для изображений, т. е. применение символического метода приводит к алгебраизации этих уравнений, что крайне упрощает расчеты.

Применение символического метода для расчета цепей переменного тока

Применение символического метода можно показать на примере. Так, для цепи с последовательным соединением r, L и С уравнению по второму закону Кирхгофа

при синусоидальном законе изменения напряжения и тока соответствует алгебраическое уравнение

(8.1)

откуда комплексное изображение тока

(8 2)

От изображения можно сделать переход к оригиналу — мгновенному значению тока.

Выражение (8.2) можно рассматривать как закон Ома в символической форме. Тогда знаменатель

может рассматриваться как комплексное полное сопротивление. Его модуль z равен полному сопротивлению цепи, его аргумент — сдвигу фаз между напряжением и током цепи. Графически Z изображается неподвижным вектором с составляющими — активным сопротивлением r по оси вещественных и реактивным х — по оси мнимых, что показано на рис. 8.2 для случая > 0. Соответствующий прямоугольный треугольник является треугольником сопротивлений.

Необходимо заметить, что знак плюс, стоящий в общем выражении комплексного сопротивления Z =г + jx, сохраняется в конкретном числовом выражении при преобладании индуктивного сопротивления ( > 0) и переходит в минус при преобладании емкостного сопротивления ( < 0).

Величина, обратная полному сопротивлению

является комплексной полной проводимостью с модулем у, равным полной проводимости, и аргументом , равным сдвигу фаз между напряжением и током со знаком минус. Графически Y изображается неподвижным вектором и образует с составляющими — активной проводимостью g по оси вещественных и реактивной b по оси мнимых — треугольник проводимостей, что показано на рис. 8.2 для случая > 0. Вектор У имеет направление, сопряженное с направлением обратного ему вектора Z. Знак минус, стоящий в общем выражении комплекса проводимости Y = g — jb, сохраняется в конкретном числовом выражений при >0 и переходит в плюс при < 0.

Если в символические выражения (8.1) для второго закона Кирхгофа и (8.2) для закона Ома подставить значения

множитель вращения сократятся и выражения примут вид:

Следовательно, вместо комплексных изображений вращающихся векторов можно применять комплексное напряжение U

и комплексный ток I, т. е. оперировать с неподвижными векторами. Это, очевидно, в равной степени относится к первому закону Кирхгофа, и его можно применять в виде:

Таким образом, время t из уравнений выпадает, а закон Ома и оба закона Кирхгофа в символической форме для комплексных напряжений, токов, полных сопротивлений и полных проводимостей цепей синусоидального тока

получают алгебраическую форму, как и для цепей постоянного тока. Необходимо подчеркнуть, что этот вывод сделан для цепи без взаимной индукции.

Отсюда следует, что для расчета линейных цепей синусоидального переменного тока без взаимной индукции можно применить все изложенные в гл. III методы расчета цепей постоянного тока, вытекающие из законов Ома и Кирхгофа; метод преобразования, метод уравнений Кирхгофа, метод наложения, методы контурных токов и узловых напряжений и метод эквивалентных источников напряжения или тока. При этом, как указывалось, необходимо оперировать с комплексными напряжениями, токами, полными сопротивлениями и проводимостями.

Алгебраические действия над этими комплексами следует производить в соответствии с выбранными для напряжений и токов положительными направлениями, совпадающими с положительными направлениями их мгновенных значений и изображающих их векторов. По окончании расчетов следует перейти к действующим значениям, равным, очевидно, модулям соответствующих комплексов и, если это необходимо, к мгновенным значениям искомых величин.

Символический метод применим также для цепей1 с взаимной индукцией. Особенности их расчета рассмотрены в гл. IX.

Развитие методов расчета цепей постоянного и переменного синусоидального тока может быть проиллюстрировано табл. 8.1.

Таблица 8.1

Род тока	Значения напряжений и токов	Учитываемые э. д. с.	Используемые сопротивления и проводимости	Операции
Постоянный Синусоидальный То же >	Действительные Мгновенные Действующие Комплексные	Внешние Внешние и внутренние Внешние >	Омические Активные Полные Комплексные	Алгебраические > Геометрические Алгебраические

Непосредственное применение символического метода к вычислению по напряжению и току мощности, мгновенное значение которой является произведением их мгновенных значений (р = ui), невозможно. Однако для вычисления активной, реактивной и полной мощности по символическим изображениям напряжения и тока может быть использован искусственный прием. Для этого комплексное напряжение должно быть умножено на комплекс I, сопряженный с комплексным током

Таким образом, вещественная часть комплексной мощности S равна активной мощности Р, а мнимая — реактивной Q. При этом положительный знак сохраняется для индуктивной мощности и изменяется на отрицательный для емкостной. Полная мощность вычисляется, как модуль комплексной мощности:

Расчет цепей переменного тока символическим методом

При расчете цепей по законам Кирхгофа методика составления уравнений остается той же, что и при постоянном токе. Для заданных комплексных э. д. с. и токов должны быть также указаны их положительные направления, для искомых — ими надо задаться.

Например, для цени рис. 7.21, а с двумя узлами и двумя элементарными контурами по первому закону Кирхгофа должно быть составлено одно уравнение

Два уравнения, составляемые по второму закону Кирхгофа, при обходе элементарных контуров А и В по часовой стрелке, будут

При постоянном токе ответ со знаком минус указывал на встречное направление по сравнению с предположенным, а при переменном токе ответ в виде комплекса является окончательным для принятого направления искомой величины — напряжения или тока. При выборе обратного направления фаза (аргумент) искомого комплекса изменилась бы на угол π.

Аналогичным образом составляются и решаются уравнения при применении остальных методов, вытекающих из законов Кирхгофа. Так, уравнения по методу контурных токов для цепи рис. 7.21, а при обходе контуров A и В по часовой стрелке имеют вид:

где

Символический метод весьма удобен также для решения задач в общем виде.

В электроизмерительной технике широко применяется мост переменного тока (рис. 8.3). Условие равновесия моста постоянного тока имеет вид:

По аналогии условие равновесия моста переменного тока:

Это условие распадается на два — равенство модулей и аргументов левой и правой частей:

Если модули и аргументы полных сопротивлений трех ветвей известны, из этих уравнений могут быть определены модуль и аргумент полного сопротивления четвертой ветви.

Вторым примером применения символического метода для решения задач в общем виде может служить задача поддержания в цепи изменяющейся нагрузки неизменного по величине и фазе тока. Например, при последовательном соединении ламп, применяемом при освещении аэродромов, должны автоматически замыкаться накоротко зажимы перегоревшей лампы, чтобы избежать разрыва цепи при этом ток остальных не должен измениться.

Пусть для схемы рис. 8.4, а, питаемой напряжением U = const, требуется найти условие, при выполнении которого ток I в правой параллельной ветви не будет меняться по величине и по фазе при любом изменении сопротивления Z этой ветви.

Общее выражение для комплекса тока I может быть найдено методом эквивалентного источника напряжения. По аналогии с цепью постоянного тока

Здесь комплекс напряжения между зажимами разомкнутой ветви Z (рис. 8.4, б) и комплекс полного сопротивления Z_B цепи относительно зажимов ветви Z при источнике напряжения, замкнутом накоротко (рис. 8.4, в), соответственно равны:
а искомый ток

Для того чтобы ток I не зависел от сопротивления Z нагрузки, коэффициент при Z в выражении I должен быть равен нулю:

Это будет выполнено, если

т. е. сопротивления Z₁ и Z₂ должны быть чисто реактивными, равными
по величине и противоположными по знаку. Одно из них будет индуктивным, а другое — емкостным:

причем

При этом ток нагрузки

Если в цепь до разветвления включено индуктивное сопротивление, а потом — емкостное (рис. 8.5, а), то ток

отстает по фазе от приложенного к цепи напряжения на угол π2. Если индуктивное и емкостное сопротивления поменять местами (рис. 8.5, б), то

1. т. е. ток I опережает приложенное к цепи напряжение на угол π/2. При изменении Z ток I1 до разветвления изменяется и по величине

и по фазе от значения (резонанс напряжений).

Метод дуальных цепей

Метод дуальных цепей, рассмотренный в для частного случая резонансных цепей, является общим методом. Взаимная замена величин при их символической записи должна осуществляться по табл. 8.2, вытекающей из табл. 7.1.

Таблица 8.2

Последовательное соединение	Параллельное соединение	ω	U	I	L	C	r	g	Z	Y
Параллельное соединение	Последовательное соединение	ω	I	U	C	L	g	r	Y	Z

Отсюда можно получить соотношения для дуальной цепи, если они даны для цепи исходной. Так, если для исходной цепи в какой-либо вегви имеет место короткое замыкание (Z = 0), то в дуальной цепи это соответствует холостому ходу (У = 0), и наоборот. При переходе от исходной цепи к дуальной уравнения по первому и второму законам Кирхгофа меняются местами.

Основным свойством дуальных цепей является неизменность их параметров r, L и С при переменной частоте. Например, в дуальных цепях рис. 8.6, а и б численное равенство сопротивления и проводимости сохраняется при изменении частоты. Этим дуальные цепи отличаются от эквивалентных последовательных и параллельных схем, в которых при изменении частоты и постоянстве параметров одной схемы параметры другой изменяются.

Это свойство дуальных цепей позволяет, произведя исследование поведения какой-либо цепи при переменной частоте, перенести результаты на дуальную цепь, заменив напряжения токами и т. д., что и было сделано для резонансных цепей.

При переходе к дуальной цепи не изменяют своей величины мощности S, Р и Q, так как в их выражения входят произведение напряження и тока, и лишь у реактивной мощности Q = VI sin изменяется знак: индуктивная мощность заменяется емкостной, и наоборот.

В качестве примера может быть решена задача создания схем преобразования неизменного по величине и фазе тока в неизменное по величине и фазе напряжение, т. е. схем, дуальных со схемами. При замене схем и величин по табл. 8.2 получается схема рис. 8.7, а, дуальная схеме рис. 8.5, а, и схема рис. 8.7, б, дуальная схеме рис. 8.5, б. Если

то при неизменном токе I напряжение О на изменяющейся проводимости Y будет постоянным, т. е.

что получается путем перехода от формул для токов I исходных цепей.

Символический метод электрических цепей переменного тока

Методы расчета электрических цепей переменного тока при помощи векторных диаграмм, рассмотренные в предыдущих главах, основаны на изображении синусоидальных величин векторами.

Из курса математики известно, что каждому вектору А в комплексной плоскости (рис. 15.1) соответствует комплексное число А, которое можно выразить в форме:
алгебраической —

Рис. 15.1. К вопросу о выражении вектора комплексным числом

тригонометрической —

показательной — 
Это дает основание от графического (векторного) выражения синусоидальных напряжений и токов перейти к аналитическому выражению их комплексными числами, а операции с векторами заменить алгебраическими действиями.

Выражение характеристик электрических цепей комплексными числами

При расчете электрических цепей переменного тока используют или определяют следующие величины: э.д.с. напряжения, токи, сопротивления и проводимости, мощность. Все эти величины должны быть выражены в символической форме, т. е. комплексными числами.

Напряжения и токи

Подобно тому как на векторных диаграммах длины векторов выражают действующие величины, комплексные выражения э. д. с. .напряжений и токов записывают так, что модули их также равны действующим величинам (комплексы синусоидально изменяющихся величин принято отмечать точками над их буквенными обозначениями (например, комплексы напряжения  тока ). Комплексы величин, не зависящих от времени (например, сопротивлений, проводимостей), обозначают большими буквами без точек, но с черточкой внизу: )

Для примера рассмотрим схему электрической цепи параллельного соединения катушки и конденсатора (рис. 15.2).
Напряжение на зажимах цепи выражается уравнением

Этому напряжению соответствуют вектор U в комплексной плоскости (рис. 15.3) и комплексное число в показательной форме

Ток i₁ в катушке отстает от напряжения на угол φ₁:

угол  в рассматриваемом случае

Вектору тока I₁ соответствует комплексное число

Ток в конденсаторе опережает напряжение на угол φ₂. Вектору тока I₂ соответствуют уравнение

и комплекс

где

Согласно первому закону Кирхгофа, ток в неразветвленной части цепи складывается из токов в параллельных ветвях:

Для определения этого тока сложение векторов I₁ и I₂ можно заменить сложением комплексов:



Следует обратить внимание на различие между действительной или мнимой частями комплекса, с одной стороны, и активной или реактивной составляющими вектора тока — с другой.
Действительная и мнимая части комплекса тока равны проекциям вектора тока на оси комплексной плоскости (ось действительных и ось мнимых величин).

Активная и реактивная составляющие вектора тока в данном участке цепи равны его проекциям на взаимно перпендикулярные оси, одна из которых направлена вдоль вектора напряжения этого же участка цепи. Действительная и мнимая части комплекса тока равны соответственно активной и реактивной составляющим вектора тока только в том случае, если вектор напряжения направлен вдоль оси действительных чисел, т. е. комплекс напряжения выражается действительным числом.

Рис. 15.2. К вопросу о выражении токов, напряжений, сопротивлений проводимостей комплексными числами

Рис. 15.3. Векторная диаграмма к схеме цепи рис. 15.2

Сопротивления

Для выражения сопротивлений в комплексной форме продолжим рассмотрение схемы рис. 15.2, где каждый из элементов (катушка и конденсатор) представлен активным и реактивным сопротивлениями, соединенными последовательно.

Разделив комплекс напряжения на комплекс тока в катушке , получим комплекс сопротивления первой ветви:

где — модуль комплекса полного сопротивления; — угол сдвига фаз между напряжением и током первой ветви . 
Выразим комплекс сопротивления катушки в тригонометрической и алгебраической форме:

Но    , поэтому

Аналогично, для второй ветви

где  —модуль комплекса полного сопротивления;  — угол сдвига фаз между напряжением и током второй ветви

или

Если в ветвях схемы рис. 15.2 реактивных сопротивлений нет  то, согласно выражениям (15.6) и (15.7), При   

Из приведенных рассуждений следует:

1. Активное сопротивление в комплексной форме выражается действительным положительным числом.
2. Реактивные сопротивления в комплексной форме выражаются мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление (Х_L) положительно, а емкостное (Х_C) отрицательно.
3. Полное сопротивление участка цепи при последовательном соединении R и X выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активному сопротивлению, а мнимая часть равна реактивному сопротивлению этого участка.

Проводимости

Выражения проводимостей ветвей в комплексной форме можно получить, представив каждый элемент (катушку и конденсатор) схемой параллельного соединения активной и реактивной проводимостей (см. рис. 14.1, б)

Из этих формул видно, что выражения проводимостей комплексными числами можно получить в таком же порядке, как для сопротивлений. Для того чтобы не повторять аналогичных рассуждений, полные проводимости в символической форме можно найти как величины, обратные комплексам полных сопротивлений:

Для первой ветви (катушки)



где и  — активная и индуктивная проводимости.
Для второй ветви (конденсатора)

где  и  — активная и емкостная проводимости.
Результаты этих преобразований показывают, что полная проводимость ветви электрической цепи в комплексной форме выражается комплексным числом, действительная часть которого равна активной проводимости, а мнимая часть равна реактивной проводимости этой ветви, причем индуктивная проводимость отрицательна, а емкостная — положительна.

Мощность

Комплекс мощности в данной цепи определяется умножением комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока этой цепи.
Для ветви с активным сопротивлением и индуктивностью (см. рис. 15.2), согласно векторной диаграмме (см. рис. 15.3),

Произведение комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока

В алгебраической форме

Действительная часть полученного комплекса выражает активную мощность, а мнимая часть без множителя — реактивную мощность первой ветви.
Для ветви с активным сопротивлением и емкостью
 

В алгебраической форме

Реактивная мощность в цепи с емкостью имеет отрицательный знак в отличие от положительного знака реактивной мощности в цепи с индуктивностью. Модуль комплекса мощности в той и другой ветви равен полной мощности:

Рис. 15.4. К вопросу о преобразовании схем с применением комплексных чисел

Основные уравнения электрических цепей в комплексной форме

Представление векторов напряжений и токов комплексами, выражение сопротивлений и проводимостей комплексными числами, а также замена операций с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами позволяют значительно упростить расчет сложных цепей переменного тока. Кроме того, применение комплексных чисел обеспечивает единство методов расчета электрических цепей постоянного и переменного токов. Это значит, что все методы расчета и вытекающие из них соотношения для цепей постоянного тока можно применить и для цепей переменного тока, если величины выражены в комплексной форме. В этом практический смысл применения комплексных чисел для решения задач электротехники.

Законы Кирхгофа

Согласно первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма комплексов токов в электрическом узле равна нулю:

Для составления уравнения в символической форме по первому закону Кирхгофа нужно выбрать условно-положительные направления токов. В уравнении (15.15) ток записывают со знаком плюс, если он направлен к узлу. Для схемы рис. 14.15, а

или

а в комплексной форме

или

Согласно второму закону Кирхгофа, в контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексов э. д. с. источников равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения:

Для схемы рис. 14.10

а в комплексной форме

Преобразование схем

На примере цепи смешанного соединения сопротивлений (рис. 15.4) рассмотрим расчет методом преобразования и упрощения схемы. Параллельно соединенные ветви, имеющие полные сопротивления

заменяются одной ветвью с эквивалентным сопротивлением

Сопротивление в неразветвленной части цепи соединено последовательно с сопротивлением

Общее сопротивление цепи

Ток в неразветвленной части цепи

Напряжения на участках, цепи:

Токи в параллельных ветвях:

Преобразованием можно упростить и более сложные схемы с последовательным и параллельным соединениями участков, а также схемы, которые содержат треугольники или трехлучевые звезды сопротивлений.

Метод узлового напряжения

Схему с двумя узлами можно рассчитать, определив узловое напряжение по формуле

Эта формула аналогична формуле (4.21). В числителе ее записана алгебраическая сумма произведений комплексов э. д. с. и проводимости всех ветвей, а в знаменателе — сумма комплексов проводимостей ветвей.
Комплекс тока определяют по формуле

Правило выбора знаков э.д. с. в формулах (15.16) — (15.18) такое же, как и в цепи постоянного тока, с той лишь разницей, что условно-положительные направления э. д. с. выбираются при расчете, а в цепи постоянного тока направления э. д. с. обычно заданы.

Метод эквивалентного генератора

Порядок расчета по методу эквивалентного генератора,  для цепей постоянного тока, пригоден и для цепей переменного тока, если э.д. с., токи и сопротивления их выражены в комплексной форме.
Ток в исследуемой ветви определяют из уравнения, подобного (5.12):

где — комплекс эквивалентной э.д.с., равный комплексу напряжения холостого хода активного двухполюсника при отключении исследуемой ветви,  — комплекс сопротивления пассивного двухполюсника относительно точек присоединения исследуемой ветви (комплекс внутреннего сопротивления эквивалентного генератора);  — комплекс сопротивления исследуемой ветви.

Задача 15.3.

Выполнить символическим методом расчет цепи (см. рис. 14.8). Дано:



= 8 Ом; Х21 = 6 Ом; Х1С — 15 Ом; Х2С = 10 Ом.


Определить ток в цепи и напряжения
Решение. Выразим заданные э. д. с. и сопротивления комплексными числами.
Э. д. с. в комплексной форме:


Сопротивления в комплексной форме:

При последовательном соединении общее сопротивление цепи

Сопротивление цепи в показательной форме:

модуль

аргумент

Угол φ можно определить, найдя

Ток в цепи

Для удобства деления выразим числитель и знаменатель в показательной форме:


Из сравнения комплексов и  и обшей з. д. с. видно, что ток в цепи совпадает по фазе с э. д. с. Е₂ и опережает общее значение э. д. с. на угол 120—83 = 37°.

Напряжение



Угол сдвига фаз между током и напряжением

Напряжение

Между током и напряжением угол сдвига фаз
так как
 

Задача 15.5.

Определить символическим методом напряжения ка зажимах источника, токи и мощность в цепи рис. 14.13, для которой известны R₁ = 8 Ом; Х_L = 6 Ом; R₂ = 9 Ом; Х_C = 12 Ом; I₁ = 9А.
Решение. Выразим сопротивления ветвей в символической форме:

Предположим, что комплекс тока выражается действительным числом (начальная фаза тока )

(начальную фазу тока можно выбрать произвольно, т.е. угол  не равен нулю).
Напряжение в первой ветви, равное напряжению на зажимах источника,

 Ток во второй ветви

Ток в источнике

Мощность цепи

Комплексные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

Вычисление комплексных сопротивлений и проводимостей последовательных и параллельных двухполюсников, содержащих различные элементы электрических цепей, осуществляются по тем же правилам, которые были получены для резистивных цепей, поскольку, как это было показано в лекции 7, для комплексных амплитуд справедливы законы Ома и Кирхгофа.

Комплексные сопротивления и проводимости полностью характеризуют свойства соответствующего элемента. Будем рассматривать только пассивные элементы, через которые проходит гармонический ток

    (8.1)

комплексная амплитуда которого равна Найдём комплексные сопротивления и проводимости резистивного элемента, индуктивности и ёмкости при согласованной системе отсчёта токов и напряжений.

Резистивный элемент

Для резистивного элемента, обладающего активным сопротивлением, имеем

где — амплитуда гармонического напряжения. Отсюда комплексная амплитуда напряжения на резистивном элементе

По определению комплексного сопротивления двухполюсника (7.38) имеем:

    (8.3)

а комплексная проводимость

Средняя мощность, выделяемая в активном сопротивлении, согласно (7.15) при равна

     (8.4)

или, переходя к действующим значениям (7.18) напряжения и тока,

       (8.5)

Выводы:

Индуктивность

Напряжение на зажимах индуктивности изменяется по закону

     (8.6)

Операции дифференцирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует умножение символического изображения на оператор  т. е.

     (8.7)

причём зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах индуктивности и тока в индуктивности определяется выражением:

    (8.8)

Из (8.7) для индуктивности получаем: комплексное сопротивление (индуктивное сопротивление)

      (8.9)

и комплексную проводимость (индуктивную проводимость)

      (8.10)

Выводы:

Комплексные сопротивление (8.9) и проводимость (8.10) индуктивности имеют только реактивные составляющие и зависят от частоты:

поэтому элемент индуктивности называют реактивным; 

гармоническое напряжение на индуктивности опережает ток на поскольку

что следует из (8.6), т. е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, б);
 

значение средней мощности в элементе индуктивности равно нулю: 

это объясняется тем, что в элементе индуктивности энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между индуктивностью и подключённой к ней внешней цепью.

Ёмкость

Напряжение на зажимах ёмкости определяется соотношением

     (8.11)

Операции интегрирования гармонического колебания (см. лекцию 7) соответствует деление символического изображения на оператору’со, т. е.

     (8.12)

причём зависимость между амплитудами гармонических колебаний напряжения на зажимах ёмкости и тока в ёмкости определяется выражением:

     (8.13)

Из (8.12) для ёмкости получаем: комплексное сопротивление (ёмкостное сопротивление)

     (8.14)

и комплексную проводимость (ёмкостную проводимость)

      (8.15)

Выводы:

комплексные сопротивление (8.14) и проводимость (8.15) ёмкости имеют только реактивные составляющие:

поэтому элемент ёмкости также называют реактивным.

гармоническое напряжение на ёмкости отстаёт оттока на поскольку

что следует из (8.11), т.е. ток и напряжение находятся в квадратуре (рис. 8.1, в);

значение средней мощности в элементе ёмкости так же, как и в индуктивности, равно нулю:

это объясняется тем, что в элементе ёмкости энергия не рассеивается; в режиме гармонических колебаний происходит обмен энергией между ёмкостью и подключённой к ней внешней цепью.

Комплексные сопротивления и проводимости двухполюсников

Проиллюстрируем вычисления комплексных сопротивлений и проводимостей на простейших примерах последовательного соединения резистивного элемента с индуктивным (рис. 8.2, а) и ёмкостным (рис. 8.2, б).

Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов

Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, а)

       (8.16)

где активная составляющая и реактивная составляющая

Полное сопротивление двухполюсника равно

     (8.17)

и аргумент

поэтому показательная форма записи комплексного сопротивления имеет вид

   (8.18)

Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова:

Найдём активную и реактивную части комплексной проводимости, для чего умножим числитель и знаменатель полученного выражения на комплексное число, сопряжённое знаменателю, а затем выделим вещественную и мнимую составляющие:

откуда

Отсюда модуль и аргумент комплексной проводимости соответственно равны:

 (8.19)

    (8.20)

и, наконец, для показательной формы комплексной проводимости получаем:

      (8.21)

Последовательное соединение резистивного и ёмкостного элементов

Алгебраическая форма записи комплексного сопротивления рассматриваемого двухполюсника (рис. 8.2, б)

    (8.22)

откуда

Полное сопротивление двухполюсника равно:

аргумент

   (8.24)

показательная форма имеет вид:

   (8.25)

Комплексная проводимость по определению для данного двухполюсника такова:

B полученном выражении в силу равенства имеем:

поэтому
    (8.26)

Из (8.26) получаем полную проводимость и аргумент двухполюсника соответственно:

 (8.27)

   (8.28)

Наконец, найдём активную и реактивную части комплексной проводимости:

   (8.29)

Выводы:

Реактивные составляющие сопротивления и проводимости пассивных двухполюсников могут иметь как положительные, так и отрицательные значения;

•    если, то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет индуктивный характер (на входе двухполюсника колебания напряжения опережают по фазе колебания тока); при этом на частоте сопротивление двухполюсника является чисто активным и равным R, поскольку сопротивление элемента индуктивности при постоянном токе равно нулю, т. е. индуктивность представляет собой короткое замыкание, а при сопротивление двухполюсника стремится к поскольку сопротивление элемента индуктивности стремится к бесконечности, т. е. индуктивность представляет собой разрыв цепи;
•    если же , то говорят, что сопротивление двухполюсника имеет ёмкостной характер (на входе двухполюсника колебания напряжения отстают по фазе от колебаний тока); при этом на частоте сопротивление двухполюсника стремится к поскольку сопротивление ёмкости стремится к бесконечности, т. е. ёмкость представляет собой разрыв цепи; а при   сопротивление двухполюсника становится равным R, поскольку сопротивление ёмкости стремится к нулю, т. е. ёмкость представляет собой короткое замыкание.
   

Анализ установившихся гармонических колебаний в простейших цепях

Определения режимов состояния электрической цепи:

Колебания в цепях, имеющих реактивные элементы, качественно отличаются от колебаний, происходящих в резистивных цепях. Причиной качественных отличий является способность реактивных элементов выступать как в роли потребителя энергии, чему соответствуют положительные значения мгновенной мощности на зажимах элемента, так и в роли источника, когда элемент отдаёт накопленную энергию в цепь, чему соответствуют отрицательные значения мгновенной мощности на зажимах элемента. Процессы накопления и возврата энергии реактивными элементами не могут прекратиться и начаться сразу же после окончания внешних воздействий на цепь. Колебания в цепи продолжаются за счёт накопленной в реактивных элементах энергии, т. е. цепь обладает электромагнитной инерцией. Характер колебаний зависит от вида воздействия, схемы цепи, наличия начального запаса энергии в реактивных элементах к моменту приложения воздействия и т. д.

Колебания в цепях разделяют на установившиеся (стационарные) и неустановившиеся (нестационарные).

Колебания считаются установившимися, если все напряжения и токи в цепи изменяются как периодические функции времени с периодом Т,   т. е. когда

Частным случаем периодических колебаний являются гармонические напряжения и токи.

Режим гармонических колебаний относится к числу установившихся режимов колебаний.

Режимом постоянного тока называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов не изменяются во времени:

Режимом покоя, или нулевыми начальными условиями называется такое состояние цепи, в котором значения всех напряжений и токов равны нулю.

Режимом переходных колебаний, или переходным процессом называется такое состояние цепи, в котором происходит переход из одного установившегося режима в другой установившийся режим. Режим переходных колебаний принадлежит к неустановившимся режимам.

Переходным временем называется время перехода из одного установившегося режима в другой установившийся режим.

Здесь и далее, если это не будет оговорено особо, рассматриваются цепи, находящиеся в режиме гармонических колебаний.

Анализ линейной цепи в режиме гармонических колебаний методом комплексных амплитуд состоит в следующем:

1. Гармонические токи и напряжения заменяются их комплексными изображениями: комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями

      (8.30)

2.    Составляются уравнения (системы уравнений) для комплексных изображений токов и напряжений согласно законам Ома и Кирхгофа.

3.    Решаются уравнения (системы уравнений) относительно комплексных изображений требуемых токов и напряжений.

4.    Осуществляется переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам.
 

Анализ гармонических колебаний в последовательном RL-контуре

Задача 8.1.

Найти напряжения и токи в последовательном  контуре, изображённом на рис. 8.3.

Решение. Как было показано ранее, такой контур обладает комплексным сопротивлением

Комплексная амплитуда тока в контуре согласно закону Ома равна:

где — комплексная амплитуда напряжения источника гармонических колебаний. По определению комплексной амплитуды тока её модуль равен амплитуде, а её аргумент — начальной фазе гармонического тока в контуре. Отсюда имеем:

    (8.31)

Определим комплексные амплитуды напряжений на элементах контура:

Отсюда для оригиналов напряжений имеем:

  (8.32)

      (8.33)

Выводы:

амплитуда тока в контуре зависит не только от значений индуктивности и сопротивления, но и от частоты гармонического            воздействия (читателю предлагается самостоятельно оценить, что происходит в контуре при и  )

колебания напряжения на входе контура опережают по фазе колебания тока в контуре на угол что объясняется                индуктивным характером сопротивления контура, т. е. ток отстаёт по фазе от напряжения на контуре;

 колебания напряжения на резистивном элементе происходят в фазе с колебаниями тока в контуре и отстают по фазе на угол                   от колебаний напряжения источника;

   колебания напряжения на индуктивности опережают по фазе колебания напряжения источника на угол
и колебания тока в контуре на угол 
 

Анализ гармонических колебаний в RLC-контуре

Задача 8.2.

Найти напряжения и токи в RLC-контуре, изображённом на рис. 8.4, а.

Решение.

1. Определим эквивалентную комплексную проводимость контура (рис. 8.4,6)

2.    Вычислим комплексную амплитуду напряжения на зажимах двухполюсника

где — комплексная амплитуда задающего тока источника и — комплексная амплитуда напряжения на ёмкости.

3.    Найдём комплексные амплитуды токов в ветвях контура

4.    Последние формулы позволяют записать выражения для комплексных амплитуд напряжений на элементах индуктивности и сопротивления:

Амплитуды и начальные фазы колебаний можно найти, представив комплексные амплитуды колебаний в показательной форме, что предлагается выполнить читателю.
 

Анализ сложных линейных электрических цепей в режиме установившихся гармонических колебаний

Ранее было показано (см. разд. 7.3), что комплексные амплитуды колебаний можно найти из решения систем уравнений Кирхгофа, узловых или контурных уравнений. Поэтому при составлении систем уравнений для комплексных амплитуд необходимо пользоваться правилами, установленными для резистивных цепей. Отличие будет состоять лишь в формальной замене обозначений сопротивлений и проводимостей на обозначения комплексных сопротивлений и проводимостей, а токи и напряжения заменить их комплексными амплитудами. Для удобства обозначений при составлении систем уравнений принято вместо комплексных амплитуд и   использовать комплексные действующие значения колебаний  (8.30); комплексные сопротивления и проводимости обозначают как Z и Y соответственно. При этом сами комплексные действующие значения токов и напряжений называют просто токами и напряжениями, если это не приводит к недоразумениям.

При этих обозначениях имеем канонические формы записи системы уравнений для комплексных узловых напряжений согласно (5.2)

    (8.34)

и системы контурных уравнении для комплексных контурных токов согласно (5.9)

      (8.35)

Перед решением задачи анализа гармонических колебаний символическим методом целесообразно сначала найти комплексные проводимости или сопротивления двухполюсников, составляющих ветви цепи, и только после этого составлять систему уравнений. При этом граф цепи упрощается и уменьшается число независимых уравнений.

Пример 8.1.

Рассмотрим схему цепи, изображённую на рис. 8.5, а. В схеме выделены три двухполюсника с сопротивлениями  которые нетрудно найти по правилам последовательного и параллельного соединения элементов. Такое преобразование позволило свести исходную схему к эквивалент

Для схемы (рис. 8.5, б) нетрудно составить систему контурных уравнений:

Из этой системы легко получить последовательно:

   значения комплексных контурных токов,

   значения комплексных напряжений на комплексных сопротивлениях и на резисторе R,

   величины напряжений на всех элементах схемы согласно разд. 8.2.2.

Особенности составления уравнений цепей с индуктивными связями

До сих пор рассматривались цепи, не содержащие индуктивно связанных элементов. Однако в реальных цепях широко используются трансформаторы, предназначенные для преобразования значений переменных напряжений и токов.

Основные соотношения

Простейший воздушный трансформатор без потерь (рис. 8.6) состоит из двух индуктивно связанных элементов индуктивности  и  .

Напряжения и токи на внешних зажимах этих индуктивностей связаны соотношениями:

      (8.36)

где М — взаимная индуктивность между элементами и , равная

Коэффициент к называется коэффициентом связи; он характеризует степень магнитной связи между элементами и . Связь при   называется жёсткой: весь магнитный поток, сцепляющийся с витками одной индуктивности, сцепляется с витками другой; значение при соответствует отсутствию связи.

Знаки в равенствах (8.36) зависят от направлений магнитных потоков в индуктивностях, а сами магнитные потоки зависят от направлений токов, проходящих через индуктивности. На схемах зажимы индуктивностей, через которые положительные частицы проходят в одном и том же направлении (к индуктивности или от неё), помечаются точками. Такие зажимы (узлы) называются одноимёнными. Одинаково ориентированные относительно одноимённых узлов токи создают складывающиеся потокосцепления. Поскольку в задачах анализа направления токов в индуктивностях выбираются независимо и произвольно, различают согласное и встречное направления отсчётов токов и напряжений. В уравнениях (8.36) согласному направлению соответствует знак «+», а встречному — знак «-«. Варианты согласного и встречного выбора направлений отсчётов токов представлены на рис. 8.7.

Метод развязки индуктивных связей

Для составления уравнений цепи, содержащей индуктивные связи, используют такие схемы их замещения, в которых индуктивные связи отсутствуют. Метод, приводящий к таким схемам замещения, называют методом развязки индуктивных связей.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай, когда взаимодействующие катушки имеют один общий узел (рис. 8.8, а). Любая схема замещения, исходя из (8.36), составляется только из элементов индуктивности, число которых должно равняться как минимум трём, поскольку уравнения содержат три коэффициента:

Воспользуемся схемой замещения рис. 8.8, б, для которой запишем систему контурных уравнений:

    (8.37)

Полученная система не будет отличаться от системы (8.36) при условии:

      (8.38)

Таким образом, схема рис. 8.8, б является схемой замещения двух связанных магнитным потоком индуктивностей, если значения элементов этой схемы равны:

 (8.39)

В формулах (8.39) следует выбирать нижние знаки лишь в том случае, когда только один из двух соединённых в узел зажимов цепи рис. 8.8, а помечен точкой. В других случаях необходимо выбирать нижние знаки. Полученная схема называется Т-образной схемой замещения.

Важно:

при жёсткой связи, когда и, следовательно, имеем:

откуда после приведения подобных членов получаем, что значения индуктивностей Т-образной схемы замещения удовлетворяют соотношению

         (8.40)

которое может выполняться, если одна из индуктивностей схемы замещения является отрицательной. Если связь не является жёсткой, т. е. равенство (8.40) переходит в неравенство

что также не исключает возможности появления отрицательной индуктивности. На пассивных элементах отрицательная индуктивность физически не осуществима, однако её наличие в схеме замещения не противоречит задаче анализа колебаний в цепи и способствует решению этой задачи.

Применяется также и другая схема замещения (рис. 8.8, в), называемая П-образной. Соотношения между элементами исходной схемы (рис. 8.8, a) и схемы замещения

    (8.41)

можно найти, если для рис. 8.8, в составить систему из двух узловых уравнений. Знаки в этих формулах выбираются по тому же правилу, что и в (8.39). В рассмотренной схеме замещения также возможно появление одной отрицательной индуктивности.

Символический метод расчета электрических цепей переменного тока

Действия над комплексными числами:

Символический метод нашел широкое применение для расчета сложных цепей переменного тока.

Символический метод расчета основан на использовании комплексных чисел.

Комплексное число А состоит из вещественной и мнимой  частей, т. е.

Комплексное число на комплексной плоскости можно представить вектором. Проекция вектора на вещественную ось (ось абсцисс) соответствует вещественной части комплексного числа (рис. 14.1а). Проекция вектора на мнимую ось j (ось ординат) соответствует коэффициенту при мнимой единице . Мнимая единица у представляет собой поворотный множитель, умножение на который означает поворот вектора на 90° против часовой стрелки, т.е. в положительном направлении. Мнимая единица  Тогда

Комплексным числам соответствуют векторы изображенные на комплексной плоскости (рис. 14.1а и б) в масштабе.

Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изображающего это комплексное число.

Из построения (рис. 14.1а) видно, что модули комплексных чисел определяются выражением

Следовательно,

Углы образованные векторами с положительным направлением вещественной оси, называются аргументами комплексного числа.

Аргументы комплексного числа (рис. 14.1а) определяются выражением

То есть

Как видно, аргумент комплексного числа отрицательный, так как вектор повернут на угол по часовой стрелке, а не против.

Существует три формы записи комплексного числа:

1) алгебраическая:

2)тригонометрическая:  

так как

3) показательная:  

где — основание натурального логарифма, однако в данном случае имеет чисто символическое значение.

Для перевода из показательной формы записи комплексного числа в алгебраическую пользуются тригонометрической формой записи комплексного числа (14.4).

Для перевода из алгебраической формы записи комплексного числа в показательную определяют модуль по (14.1) и аргумент по (14.2) комплексного числа.

Для перевода комплексного числа из одной формы в другую можно использовать логарифмическую линейку или микрокалькулятор.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме

 На рис. 14.16 видно, что сложение и вычитание комплексных чисел соответствует сложению и вычитанию векторов, изображающих эти числа.

Умножение и деление комплексных чисел можно производить 5 алгебраической форме:

Для того чтобы избавиться от комплексов в знаменателе, числитель и знаменатель умножают на комплекс, сопряженный с комплексом знаменателя. У сопряженного комплекса знак перед мнимой единицей изменяется на обратный.

Произведение двух сопряженных комплексов — вещественное число, равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей этих комплексов.

Однако умножение и деление комплексных чисел удобно производить в показательной форме.

При умножении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются алгебраически:

При делении комплексных чисел в показательной форме модули этих чисел делятся, а аргументы вычитаются с учетом знаков:

Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел можно производить только в алгебраической форме, а умножение и деление удобней и проще производить в показательной форме.
 

Ток, напряжение и сопротивление в комплексном виде

Если ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону то, как указывалось выше, их можно изобразить векторами и, следовательно, записать комплексными числами:

где — комплексы тока и напряжения. Точка над комплексами указывает, что ток и напряжение изменяются по синусоидальному закону с определенной частотой — модули комплексов тока и напряжения, они же действующие значения тока и напряжения — аргументы комплексов тока и напряжения, они же начальные фазы тока и напряжения

Для неразветвленной цепи с  (рис. 12.1а) мгновенные значения синусоидального тока и напряжения можно записать так: Тогда комплексы тока и напряжения

Комплекс полного сопротивления цепи определяется отношением комплекса напряжения к комплексу тока, т. е.

Комплексные величины, не зависящие от времени, обозначаются прописными буквами с черточкой внизу.

Модулем комплекса полного сопротивления является кажущееся сопротивление цепи а аргументом — угол сдвига фаз между током и напряжением

Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивления

Вещественная часть комплекса полного сопротивления есть активное сопротивление R, а коэффициент при мнимой единице j -реактивное сопротивление X. Знак перед поворотным множителем (мнимой единицей) указывает на характер цепи. Знак «плюс» соответствует цепи индуктивного характера, а знак «минус» —  цепи емкостного характера.

Выражения комплексов сопротивлений различных цепей приедены в Приложении 7.

Обратная величина комплекса сопротивления — комплекс проводимости

Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по заколам постоянного тока, если все величины представить в комплексной форме. В этом и заключается достоинство символического года расчета.
 

Мощность в комплексном виде

Для неразветвленной цепи с (рис. 12.3а) мгновенные значения тока и напряжения можно записать как

Комплексы напряжения и тока соответственно равны

Комплекс полной мощности цепи определяется произведением комплекса напряжения и сопряженного комплекса тока (над сопряженным комплексом синусоидальной величины ставят «звёздочку»)

Таким образом, модулем комплекса полной мощности является кажущаяся мощность цепи а аргументом — угол сдвига фаз между током и напряжением.

Если комплекс полной мощности перевести из показательной формы в алгебраическую, то получится

То есть вещественная часть комплекса полной мощности — активная мощность Р, а коэффициент при мнимой единице — реактивная мощность Q.

Знак перед поворотным множителем j указывает на характер цепи. В рассматриваемой цепи реактивная мощность емкостного характера

Комплексы величин токов, напряжений, сопротивлений, мощностей и других параметров цепи синусоидального тока необходимо выражать в двух видах записи комплексного числа: показательной и алгебраической. В этом случае сразу определяются действующие значения тока, напряжения, кажущееся сопротивление, его активные и реактивные части угол сдвига фаз между током и напряжением, характер цепи, кажущаяся S, активная Р и реактивная Q мощности. Кроме того, в неразветвленной цепи напряжения на участках складываются, суммируются токи в разветвленных цепях, а сложение комплексов можно производить только в алгебраической форме записи. В алгебраической форме записи кажущейся мощности сразу определяются активная мощность Р и реактивная мощность Q. В показательной форме записи сопротивлений производится их умножение и деление, необходимое при расчете цепей синусоидального тока при смешанном соединении потребителей, и т.д. Необходимость выражения комплексов в двух видах следует из примеров, разобранных в этой главе.

Пример 14.1

Для цепи, изображенной на рис. 14.2а, дано:

Определить токи напряжение на участках мощности S, Р и Q цепи; угол и характер цепи.

Построить векторную диаграмму цепи.

Решение

Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов) и полного сопротивления цепи будут равны

Комплекс сопротивления участка CD цепи:

Тогда полное сопротивление цепи равно

Вектор заданной величины (тока или напряжения) можно направить в любом направлении. Однако удобнее совмещать его с вещественной или мнимой осью.

В рассмотренном примере заданное напряжение направляется по вещественной оси. Таким образом, комплекс общего напряжения будет равен

Комплекс тока цепи равен комплексу первого тока

.

Комплекс напряжения на участке АС:

Комплекс напряжений на участке CD:

Комплексы токов

Комплекс полной мощности цепи:

Из расчета цепи (рис. 14.2а) символическим методом следует:

Характер цепи емкостной, так как угол отрицательный. Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи с учетом начальных фаз напряжений и токов изображена на рис. 14.2б.

Пример 14.2

Для цепи, изображенной на рис. 14.3, дано:

Определить токи напряжение цепи ; угол и характер цепи.

Решение

Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов):

Вектор заданного тока в примере направим по мнимой оси, т. е.

Комплекс напряжения на участке СD:

Значение токов будут равны соответственно

Комплекс напряжения на участке АС:

Комплекс напряжения на участке АВ, т. е. напряжение сети, равен

Комплекс тока

Комплекс тока цепи:

Комплекс полной мощности цепи:

Результаты расчета:

Характер цепи емкостной.

Пример 14.3

По условиям примера 14.2 определить полное сопротивление цепи (рис. 14.3).

Решение

Результаты расчета: полное сопротивление цепи (рис. 14.3) угол сдвига фаз характер цепи — емкостной

Погрешность 10′ при расчете угла в примерах 14.2 и 14.3 в пределах допустимого.